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1、山東省齊河縣高考數(shù)學三輪沖刺 專題 二項分布及其應用練習（含解析） 一、選擇題（本大題共12小題，共60分） 1. 甲乙二人爭奪一場圍棋比賽的冠軍，若比賽為“三局兩勝”制，甲在每局比賽中獲勝的概率均為，且各局比賽結果相互獨立，則在甲獲得冠軍的情況下，比賽進行了三局的概率為 A. B. C. D. （正確答案）B 【分析】 本題考查條件概率，考查相互獨立事件概率公式，屬于中檔題． 求出甲獲得冠軍的概率、比賽進行了3局的概率，即可得出結論． 【解答】 解：由題意，甲獲得冠軍的概率為， 其中比賽進行了3局的概率為， 所求概率為， 故選B． 2. 小趙、小錢、

2、小孫、小李到 4 個景點旅游，每人只去一個景點，設事件 “4 個人去的景點不相同”，事件“小趙獨自去一個景點”，則 A. B. C. D. （正確答案）A 【分析】 本題考查條件概率，考查學生的計算能力，確定基本事件的個數(shù)是關鍵這是求小趙獨自去一個景點的前提下，4 個人去的景點不相同的概率，求出相應基本事件的個數(shù)，即可得出結論，屬于中檔題． 【解答】 解：小趙獨自去一個景點，有4個景點可選，則其余3人只能在小趙剩下的3個景點中選擇，可能性為種 所以小趙獨自去一個景點的可能性為種 因為4 個人去的景點不相同的可能性為種， 所以． 故選A． 3. 201

3、6年鞍山地區(qū)空氣質量的記錄表明，一天的空氣質量為優(yōu)良的概率為，連續(xù)兩天為優(yōu)良的概率為，若今天的空氣質量為優(yōu)良，則明天空氣質量為優(yōu)良的概率是 A. B. C. D. （正確答案）C 解：一天的空氣質量為優(yōu)良的概率為，連續(xù)兩天為優(yōu)良的概率為， 設隨后一天空氣質量為優(yōu)良的概率為p， 若今天的空氣質量為優(yōu)良，則明天空氣質量為優(yōu)良，則有， ， 故選：C． 設隨后一天的空氣質量為優(yōu)良的概率是p，利用相互獨立事件概率乘法公式能求出結果． 本題考查概率的求法，是基礎題，解題時要認真審題，注意相互獨立事件概率乘法公式的合理運用． 4. 投籃測試中，每人投3次，至少投中2次才能

4、通過測試已知某同學每次投籃投中的概率為，且各次投籃是否投中相互獨立，則該同學通過測試的概率為 A. B. C. D. （正確答案）A 解：由題意可知：同學3次測試滿足X∽， 該同學通過測試的概率為． 故選：A． 判斷該同學投籃投中是獨立重復試驗，然后求解概率即可． 本題考查獨立重復試驗概率的求法，基本知識的考查． 5. 設某種動物由出生算起活到10歲的概率為，活到15歲的概率為現(xiàn)有一個10歲的這種動物，它能活到15歲的概率是 A. B. C. D. （正確答案）C 解：記該動物從出生起活到10歲為事件A， 從出生起活到15歲的為事件AB，而所

5、求的事件為， 由題意可得，， 由條件概率公式可得， 故選C． 活到15歲的概率是在活到10歲的概率的情況下發(fā)生的，故可用條件概率來求解這個題． 本題考點是條件概率，理清楚事件之間的關系是解決問題的關鍵，屬中檔題． 6. 在10個球中有6個紅球和4個白球各不相同，不放回地依次摸出2個球，在第一次摸出紅球的條件下，第2次也摸到紅球的概率為 A. B. C. D. （正確答案）D 解：先求出“第一次摸到紅球”的概率為：， 設“在第一次摸出紅球的條件下，第二次也摸到紅球”的概率是 再求“第一次摸到紅球且第二次也摸到紅球”的概率為， 根據(jù)條件概率公式，得：，

6、故選：D． 事件“第一次摸到紅球且第二次也摸到紅球”的概率等于事件“第一次摸到紅球”的概率乘以事件“在第一次摸出紅球的條件下，第二次也摸到紅球”的概率根據(jù)這個原理，可以分別求出“第一次摸到紅球”的概率和“第一次摸到紅球且第二次也摸到紅球”的概率，再用公式可以求出要求的概率． 本題考查了概率的計算方法，主要是考查了條件概率與獨立事件的理解，屬于中檔題看準確事件之間的聯(lián)系，正確運用公式，是解決本題的關鍵． 7. 將4個不同的小球裝入4個不同的盒子，則在至少一個盒子為空的條件下，恰好有兩個盒子為空的概率是 A. B. C. D. （正確答案）A 解：根據(jù)題意，將4個不同的

7、小球裝入4個不同的盒子，有種不同的放法， 若沒有空盒，有種放法，有1個空盒的放法有種，有3個空盒的放法有種， 則至少一個盒子為空的放法有種，故“至少一個盒子為空”的概率， 恰好有兩個盒子為空的放法有種，故“恰好有兩個盒子為空”的概率， 則則在至少一個盒子為空的條件下，恰好有兩個盒子為空的概率； 故選：A． 根據(jù)題意，由分步計數(shù)原理計算可得“將4個不同的小球裝入4個不同的盒子”的放法數(shù)目，進而由排列、組合數(shù)公式計算“沒有空盒”、“有1個空盒的放法”、“有3個空盒”的放法數(shù)目，由古典概型公式計算可得“至少一個盒子為空”以及“恰好有兩個盒子為空”的概率，最后由條件概率的計算公式計算可得答

8、案． 本題考查條件概率的計算，涉及排列、組合的應用，關鍵是求出“至少一個盒子為空”以及“恰好有兩個盒子為空”的概率． 8. 在區(qū)間內隨機投擲一個點其坐標為，若，則 A. B. C. D. （正確答案）A 解：根據(jù)題意，得， 因此，事件AB對應的區(qū)間長度為， 結合總的區(qū)間長度為1，可得 又，同理可得 因此， 故選：A 由題意，算出且，結合條件概率計算公式即可得到的值． 本題給出投點問題，求事件A的條件下B發(fā)生的概率，著重考查了條件概率及其應用的知識，屬于基礎題． 9. 九江氣象臺統(tǒng)計，5月1日潯陽區(qū)下雨的概率為，刮風的概率為，既刮風又下雨的概

9、率為，設A為下雨，B為刮風，那么 A. B. C. D. （正確答案）B 解：由題意，，， ， 故選B． 確定，，，再利用條件概率公式，即可求得結論． 本題考查概率的計算，考查條件概率，考查學生的計算能力，屬于基礎題． 10. 從混有5張假鈔的20張一百元紙幣中任意抽取2張，將其中一張在驗鈔機上檢驗發(fā)現(xiàn)是假幣，則這兩張都是假幣的概率為 A. B. C. D. （正確答案）D 解：解：設事件A表示“抽到的兩張都是假鈔”，事件B表示“抽到的兩張至少有一張假鈔”， 則所求的概率即． 又，， 由公式． 故選：D． 設事件A表示“抽到的兩張都是

10、假鈔”，事件B表示“抽到的兩張至少有一張假鈔”，所求的概率即先求出和的值，再根據(jù)，運算求得結果． 本題考查概率的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意條件概率的合理運用． 11. 如圖，和都是圓內接正三角形，且，將一顆豆子隨機地扔到該圓內，用A表示事件“豆子落在內”，B表示事件“豆子落在內”，則 A. B. C. D. （正確答案）D 解：如圖所示，作三條輔助線，根據(jù)已知條件這些小三角形全等，所以， 故選：D． 作三條輔助線，根據(jù)已知條件這些小三角形全等，即可求出． 本題考查概率的計算，考查學生的計算能力，正確作出圖形是關鍵． 12. 下

11、列說法中正確的是 設隨機變量X服從二項分布，則 已知隨機變量X服從正態(tài)分布且，則 ；． A. B. C. D. （正確答案）A 解：設隨機變量X服從二項分布，則，正確； 隨機變量服從正態(tài)分布，正態(tài)曲線的對稱軸是． ， ， ，正確； 利用積分的幾何意義，可知，正確 ；故不正確． 故選：A． 分別對4個選項，分別求解，即可得出結論． 考查二項分布、正態(tài)分布以及定積分的幾何意義，考查學生的計算能力，知識綜合性強． 二、填空題（本大題共4小題，共20分） 13. 如果，當取得最大值時， ______ ． （正確答案）50 解：， 當，

12、 由組合數(shù)知，當時取到最大值． 故答案為：50． 根據(jù)變量符合二項分布，寫出試驗發(fā)生k次的概率的表示式，在表示式中，只有是一個變量，根據(jù)組合數(shù)的性質，當時，概率取到最大值． 本題考查二項分布與n次獨立重復試驗的模型，考查概率的最值，考查組合數(shù)的性質，是一個比較簡單的綜合題目． 14. 拋擲紅、藍兩顆骰子，設事件A為“藍色骰子的點數(shù)為3或6”，事件B為“兩顆骰子的點數(shù)之和大于8”則當已知藍色骰子點數(shù)為3或6時，問兩顆骰子的點數(shù)之和大于8的概率為______ ． （正確答案） 解：設x為擲紅骰子得的點數(shù)，y為擲藍骰子得的點數(shù)，則所有可能 的事件與建立對應， 顯然：， ，．

13、 ． 故答案為： 由題意知這是一個條件概率，做這種問題時，要從這樣兩步入手，一是做出藍色骰子的點數(shù)為3或6的概率，二是兩顆骰子的點數(shù)之和大于8的概率，再做出兩顆骰子的點數(shù)之和大于8且藍色骰子的點數(shù)為3或6的概率，根據(jù)條件概率的公式得到結果． 本題考查條件概率，條件概率有兩種做法，本題采用概率來解，還有一種做法是用事件發(fā)生所包含的事件數(shù)之比來解出結果，本題出現(xiàn)的不多，以這個題目為例，同學們要認真分析． 15. 從標有1，2，3，4，5的五張卡片中，依次抽出2張，則在第一次抽到偶數(shù)的條件下，第二次抽到奇數(shù)的概率為______． （正確答案） 解：在第一次抽到偶數(shù)時，還剩下1個偶數(shù)

14、，3個奇數(shù)， 在第一次抽到偶數(shù)的條件下，第二次抽到奇數(shù)的概率為． 故答案為：． 根據(jù)剩下4個數(shù)的奇偶性得出結論． 本題考查了條件概率的計算，屬于基礎題． 16. 若隨機變量，且，則 ______ ． （正確答案） 解：隨機變量，且， 可得，正態(tài)分布曲線的圖象關于直線對稱． ， ， 故答案為：． 由條件求得，可得正態(tài)分布曲線的圖象關于直線對稱求得的值，再根據(jù)，求得的值． 本題主要考查正態(tài)分布的性質，正態(tài)曲線的對稱性，屬于基礎題． 三、解答題（本大題共3小題，共40分） 17. 甲、乙兩人各進行3次射擊，甲每次擊中目標的概率為，乙每次擊中目標的概率，假設兩人射

15、擊是否擊中目標，相互之間沒有影響；每次射擊是否擊中目標，相互之間沒有影響． Ⅰ求甲至少有1次未擊中目標的概率； Ⅱ記甲擊中目標的次數(shù)為，求的概率分布及數(shù)學期望； Ⅲ求甲恰好比乙多擊中目標2次的概率． （正確答案）解：記“甲連續(xù)射擊3次，至少1次未擊中目標”為事件， 由題意知兩人射擊是否擊中目標，相互之間沒有影響， 射擊3次，相當于3次獨立重復試驗， 故． 故甲至少有1次未擊中目標的概率為； 由題意知X的可能取值是0，1，2，3 ， ， ， ， X的概率分布如下表： X 0 1 2 3 P 設甲恰比乙多擊中目標2次為事件A， 甲恰擊

16、中目標2次且乙恰擊中目標0次為事件，甲恰擊中目標 3次且乙恰擊中目標 1次為事件， 則，，為互斥事件 甲恰好比乙多擊中目標2次的概率為 由題意知，兩人射擊是否擊中目標，相互之間沒有影響；甲每次擊中目標的概率為，射擊3次，相當于3次獨立重復試驗，根據(jù)獨立重復試驗概率公式得到結果． 根據(jù)題意看出變量的可能取值，根據(jù)變量對應的事件和獨立重復試驗的概率公式，寫出變量對應的概率，寫出分布列，做出期望值． 甲恰比乙多擊中目標2次，包括甲恰擊中目標2次且乙恰擊中目標0次，甲恰擊中目標3次且乙恰擊中目標1次，這兩種情況是互斥的，根據(jù)公式公式

17、得到結果． 本題考查離散型隨機變量的分布列和期望，考查互斥事件的概率，是一個基礎題，這種題目解題的關鍵是看清題目事件的特點，找出解題的規(guī)律，遇到類似的題目要求能做． 18. 袋子A和B中裝有若干個均勻的紅球和白球，從A中摸出一個紅球的概率是，從B中摸出一個紅球的概率是現(xiàn)從兩個袋子中有放回的摸球 從A中摸球，每次摸出一個，共摸5次求： 恰好有3次摸到紅球的概率； 設摸得紅球的次數(shù)為隨機變量X，求X的期望； Ⅱ從A中摸出一個球，若是白球則繼續(xù)在袋子A中摸球，若是紅球則在袋子B中摸球，若從袋子B中摸出的是白球則繼續(xù)在袋子B中摸球，若是紅球則在袋子A中摸球，如此反復摸球3次，計摸出的紅

18、球的次數(shù)為Y，求Y的分布列以及隨機變量Y的期望． （正確答案）解：Ⅰ由題意知本題是在相同的條件下進行的試驗，且事件發(fā)生的概率相同，可以看作獨立重復試驗， 根據(jù)獨立重復試驗公式得到，恰好有3次摸到紅球的概率：． 由題意知從A中有放回地摸球，每次摸出一個，是獨立重復試驗， 根據(jù)獨立重復試驗公式得到：， ． 隨機變量Y的取值為0，1，2，3；且： ； ； ； ； 隨機變量Y的分布列是： 的數(shù)學期望是． 由題意知本題是在相同的條件下進行的試驗，且事件發(fā)生的概率相同，可以看作獨立重復試驗，根據(jù)獨立重復試驗公式得到結果． 由題意知從A中有放回地摸球，每次摸出一個，是獨立重復

19、試驗，根據(jù)獨立重復試驗公式得到答案． 由題意知計摸出的紅球的次數(shù)為Y，隨機變量Y的取值為0，1，2，3；由獨立試驗概率公式得到概率，寫出分布列和期望． 解決離散型隨機變量分布列問題時，主要依據(jù)概率的有關概念和運算，同時還要注意題目中離散型隨機變量服從什么分布，若服從特殊的分布則運算要簡單的多． 19. 某射擊小組有甲、乙兩名射手，甲的命中率為，乙的命中率為，在射擊比武活動中每人射擊發(fā)兩發(fā)子彈則完成一次檢測，在一次檢測中，若兩人命中次數(shù)相等且都不少于一發(fā)，則稱該射擊小組為“先進和諧組”； 若，求該小組在一次檢測中榮獲“先進和諧組”的概率； 計劃在2011年每月進行1次檢測，設這12

20、次檢測中該小組獲得“先進和諧組”的次數(shù)，如果，求的取值范圍． （正確答案）解：，， 根據(jù)“先進和諧組”的定義可得 該小組在一次檢測中榮獲“先進和諧組”的包括兩人兩次都射中，兩人恰好各射中一次， 該小組在一次檢測中榮獲“先進和諧組”的概率 該小組在一次檢測中榮獲先進和諧組”的概率 而，所以 由知， 解得： 根據(jù)甲的命中率為，乙的命中率為，兩人命中次數(shù)相等且都不少于一發(fā)，則稱該射擊小組為“先進和諧組”；我們可以求出該小組在一次檢測中榮獲“先進和諧組”的概率； 由已知結合的結論，我們可以求出該小組在一次檢測中榮獲“先進和諧組”的概率含參數(shù)，由，可以構造一個關于的不等式，解不等式結合概率的含義即可得到的取值范圍． 本題考查的知識點是相互獨立事件的概率乘法公式，二項分布與n次獨立重復試驗的模型，中關鍵是要列舉出該小組在一次檢測中榮獲“先進和諧組”的所有可能性，的關鍵是要根據(jù)，可以構造一個關于的不等式．