《2021高考數學一輪復習 第2章 函數 第6節(jié) 指數與指數函數教學案 理 北師大版》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《2021高考數學一輪復習 第2章 函數 第6節(jié) 指數與指數函數教學案 理 北師大版（9頁珍藏版）》請在裝配圖網上搜索。

1、第六節(jié)　指數與指數函數 [最新考綱]　1.理解有理指數冪的含義，了解實數指數冪的意義，掌握冪的運算.2.了解指數函數模型的實際背景，理解指數函數的概念及其單調性，掌握指數函數圖像通過的特殊點，會畫底數為2,3,10，，的指數函數的圖像.3.體會指數函數是一類重要的函數模型． 1．有理數指數冪 (1)冪的有關概念 ①正分數指數冪：a＝(a＞0，m，n∈N＋，且n＞1)； ②負分數指數冪：a＝＝(a＞0，m，n∈N＋，且n＞1)； ③0的正分數指數冪等于0,0的負分數指數冪無意義． (2)有理數指數冪的運算性質 ①aras＝ar＋s(a＞0，r，s∈Q)； ②(ar)s＝

2、ars(a＞0，r，s∈Q)； ③(ab)r＝arbr(a＞0，b＞0，r∈Q)． 2．指數函數的圖像與性質 y＝ax a＞1 0＜a＜1 圖像 定義域 R 值域 (0，＋∞) 性質 過定點(0,1) 當x＞0時，y＞1； 當x＜0時，0＜y＜1 當x＞0時，0＜y＜1； 當x＜0時，y＞1 在R上是增函數 在R上是減函數 1．指數函數圖像的畫法 畫指數函數y＝ax(a＞0，且a≠1)的圖像，應抓住三個關鍵點：(1，a)，(0,1)，. 2．指數函數的圖像與底數大小的比較 如圖是指數函數(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4

3、)y＝dx的圖像，底數a，b，c，d與1之間的大小關系為c＞d＞1＞a＞b＞0.由此我們可得到以下規(guī)律：在第一象限內，指數函數y＝ax(a＞0，a≠1)的圖像越高，底數越大． 3．指數函數y＝ax(a＞0，a≠1)的圖像和性質跟a的取值有關，要特別注意應分a＞1與0＜a＜1來研究． 一、思考辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”) (1)＝()n＝a.(　　) (2)(－1)＝(－1)＝.(　　) (3)函數y＝ax2＋1(a＞1)的值域是(0，＋∞)．(　　) (4)若am＜an(a＞0且a≠1)，則m＜n.(　　) [答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)× 二、教

4、材改編 1．函數f(x)＝21－x的大致圖像為(　　) A　　　 　B　　　　C　　　　D A　[f(x)＝21－x＝x－1，又f(0)＝2，f(1)＝1，故排除B，C，D，故選A.] 2．若函數f(x)＝ax(a＞0，且a≠1)的圖像經過點P，則f(－1)＝________. 　[由題意知＝a2，所以a＝， 所以f(x)＝x，所以f(－1)＝－1＝.] 3．化簡(x＜0，y＜0)＝________. [答案]　－2x2y 4．已知a＝，b＝，c＝，則a，b，c的大小關系是________． c＜b＜a　[∵y＝x是減函數， ∴＞＞0， 則a＞b＞1， 又c＝＜0

5、＝1， ∴c＜b＜a.] 考點1　指數冪的運算 　指數冪運算的一般原則 (1)有括號的先算括號里的，無括號的先算指數運算． (2)先乘除后加減，負指數冪化成正指數冪的倒數． (3)底數是負數，先確定符號；底數是小數，先化成分數；底數是帶分數的，先化成假分數． (4)若是根式，應化為分數指數冪，盡可能用冪的形式表示，運用指數冪的運算性質來解答． 　1.化簡·(a＞0，b＞0)＝________. 　[原式＝2×＝21＋3×10－1＝.] 2．計算：＋0.002－10(－2)－1＋π0＝________. －　[原式＝－2＋500－＋1＝＋10－10－20＋1＝－.]

6、 3．化簡：＝________(a＞0)． a2　[原式＝× ＝a2.] 　運算結果不能同時含有根號和分數指數冪，也不能既有分母又含有負指數，形式力求統(tǒng)一． 考點2　指數函數的圖像及應用 　(1)與指數函數有關的函數圖像的研究，往往利用相應指數函數的圖像，通過平移、對稱、翻折變換得到其圖像． (2)一些指數方程、不等式問題的求解，往往利用相應的指數型函數圖像數形結合求解． 　(1)函數f(x)＝ax－b的圖像如圖，其中a，b為常數，則下列結論正確的是(　　) A．a＞1，b＜0　　　 B．a＞1，b＞0 C．0＜a＜1，b＞0 D．0＜a＜1，b＜0 (2)若曲線y＝

7、|3x－1|與直線y＝m有兩個不同交點，則實數m的取值范圍是________． (1)D　(2)(0,1)　[(1)由f(x)＝ax－b的圖像可以觀察出，函數f(x)＝ax－b在定義域上單調遞減，所以0＜a＜1.函數f(x)＝ax－b的圖像是在f(x)＝ax的基礎上向左平移得到的，所以b＜0.故選D. (2)曲線y＝|3x－1|的圖像是由函數y＝3x的圖像向下平移一個單位長度后，再把位于x軸下方的圖像沿x軸翻折到x軸上方得到的，而直線y＝m的圖像是平行于x軸的一條直線，它的圖像如圖所示，由圖像可得，如果曲線y＝|3x－1|與直線y＝m有兩個公共點，則m的取值范圍是(0,1)．] [母

8、題探究] 1．(變條件)若本例(2)條件變?yōu)椋悍匠?|x|－1＝m有兩個不同實根，則實數m的取值范圍是________． (0，＋∞)　[作出函數y＝3|x|－1與y＝m的圖像如圖所示，數形結合可得m的取值范圍是(0，＋∞)． ] 2．(變條件)若本例(2)的條件變?yōu)椋汉瘮祔＝|3x－1|＋m的圖像不經過第二象限，則實數m的取值范圍是________． (－∞，－1]　[作出函數y＝|3x－1|＋m的圖像如圖所示． 由圖像知m≤－1，即m∈(－∞，－1]．] 　應用指數函數圖像的技巧 (1)已知函數解析式判斷其圖像一般是取特殊點，判斷所給的圖像是否過這些點，若不滿足則排除．

9、 (2)對于有關指數型函數的圖像問題，一般是從最基本的指數函數的圖像入手，通過平移、對稱變換而得到．特別地，當底數a與1的大小關系不確定時應注意分類討論． 　1.函數f(x)＝1－e|x|的圖像大致是(　　) 　 　　　 A　　　 　　　　　　B 　 　　　 C　　　　 　　　　　D A　[f(x)＝1－e|x|是偶函數，圖像關于y軸對稱，又e|x|≥1，∴f(x)≤0，符合條件的圖像只有A.] 2．函數y＝ax－b(a＞0，且a≠1)的圖像經過第二、三、四象限，則ab的取值范圍是________． (0,1)　[因為函數y＝a

10、x－b的圖像經過第二、三、四象限，所以函數y＝ax－b單調遞減且其圖像與y軸的交點在y軸的負半軸上．令x＝0，則y＝a0－b＝1－b，由題意得解得故ab∈(0,1)．] 3．已知實數a，b滿足等式2 019a＝2 020b，下列五個關系式：①0＜b＜a；②a＜b＜0；③0＜a＜b；④b＜a＜0；⑤a＝b.其中不可能成立的關系式有________(填序號)． ③④　[作出y＝2 019x及y＝2 020x的圖像如圖所示，由圖可知a＞b＞0，a＝b＝0或a＜b＜0時，有2 019a＝2 020b，故③④不可能成立．] 考點3　指數函數的性質及應用 　指數函數性質的應用主要是利用單調性解決

11、相關問題，而指數函數的單調性是由底數a決定的，因此解題時通常對底數a按0＜a＜1和a＞1進行分類討論． 　比較指數式的大小 　(1)已知a＝20.2，b＝0.40.2，c＝0.40.6，則(　　) A．a＞b＞c　　　 B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．b＞c＞a (2)設函數f(x)＝x2－a與g(x)＝ax(a＞1且a≠2)在區(qū)間(0，＋∞)上具有不同的單調性，則M＝(a－1)0.2與N＝0.1的大小關系是(　　) A．M＝N B．M≤N C．M＜N D．M＞N (1)A　(2)D　[(1)由0.2＜0.6,0.4＜1，并結合指數函數的圖像可知0.40.2＞0.40.6，

12、即b＞c.因為a＝20.2＞1，b＝0.40.2＜1，所以a＞b.綜上，a＞b＞c. (2)因為f(x)＝x2－a與g(x)＝ax(a＞1且a≠2)在區(qū)間(0，＋∞)上具有不同的單調性，所以a＞2，所以M＝(a－1)0.2＞1，N＝0.1＜1，所以M＞N.故選D.] 　指數式的大小比較，依據的就是指數函數的單調性，原則上化為同底的指數式，并要注意底數范圍是(0,1)還是(1，＋∞)，若不能化為同底，則可化為同指數，或利用中間變量比較，如本例(1)． 　解簡單的指數方程或不等式 　(1)已知函數f(x)＝a＋的圖像過點，若－≤f(x)≤0，則實數x的取值范圍是________． (2)

13、方程4x＋|1－2x|＝11的解為________． (1)　(2)x＝log23　[(1)∵f(x)＝a＋的圖像過點， ∴a＋＝－， 即a＝－. ∴f(x)＝－＋. ∵－≤f(x)≤0， ∴－≤－≤0， ∴≤≤，∴2≤4x＋1≤3， 即1≤4x≤2， ∴0≤x≤. (2)當x≥0時，原方程化為4x＋2x－12＝0， 即(2x)2＋2x－12＝0. ∴(2x－3)(2x＋4)＝0， ∴2x＝3，即x＝log23. 當x＜0時，原方程化為4x－2x－10＝0. 令t＝2x，則t2－t－10＝0(0＜t＜1)． 由求根公式得t＝均不符合題意，故x＜0時，方程無解．]

14、 　(1)af(x)＝ag(x)?f(x)＝g(x)．(2)af(x)＞ag(x)，當a＞1時，等價于f(x)＞g(x)；當0＜a＜1時，等價于f(x)＜g(x)．(3)有些含參指數不等式，需要分離變量，轉化為求有關函數的最值問題． 　與指數函數有關的復合函數的單調性 　(1)函數f(x)＝－x2＋2x＋1的單調減區(qū)間為________． (2)函數f(x)＝4x－2x＋1的單調增區(qū)間是________． (1)(－∞，1]　(2)[0，＋∞)　[(1)設u＝－x2＋2x＋1，∵y＝u在R上為減函數，所以函數f(x)＝－x2＋2x＋1的減區(qū)間即為函數u＝－x2＋2x＋1的增區(qū)間．

15、又u＝－x2＋2x＋1的增區(qū)間為(－∞，1]， 所以f(x)的減區(qū)間為(－∞，1]． (2)設t＝2x(t＞0)，則y＝t2－2t的單調增區(qū)間為[1，＋∞)，令2x≥1，得x≥0，又y＝2x在R上單調遞增，所以函數f(x)＝4x－2x＋1的單調增區(qū)間是[0，＋∞)．] [逆向問題]　已知函數f(x)＝2|2x－m|(m為常數)，若f(x)在區(qū)間[2，＋∞)上單調遞增，則m的取值范圍是________． (－∞，4]　[令t＝|2x－m|，則t＝|2x－m|在區(qū)間上單調遞增，在區(qū)間上單調遞減．而y＝2t在R上單調遞增，所以要使函數f(x)＝2|2x－m|在[2，＋∞)上單調遞增，則有≤2

16、，即m≤4，所以m的取值范圍是(－∞，4]．] 　求解與指數函數有關的復合函數問題，首先要熟知指數函數的定義域、值域、單調性等相關性質，其次要明確復合函數的構成，涉及值域、單調區(qū)間、最值等問題時，都要借助“同增異減”這一性質分析判斷． 　指數函數性質的綜合應用 　(1)函數f(x)＝a＋(a，b∈R)是奇函數，且圖像經過點，則函數f(x)的值域為(　　) A．(－1,1) B．(－2,2) C．(－3,3) D．(－4,4) (2)若不等式1＋2x＋4x·a＞0在x∈(－∞，1]時恒成立，則實數a的取值范圍是________． (1)A　(2)　[(1)函數f(x)為奇函

17、數，定義域是R，則f(0)＝a＋＝0①，函數圖像過點，則f(ln 3)＝a＋＝②.結合①②可得a＝1，b＝－2，則f(x)＝1－.因為ex＞0，所以ex＋1＞1，所以0＜＜2，所以－1＜1－＜1，即函數f(x)的值域為(－1,1)． (2)從已知不等式中分離出實數a，得a＞－.因為函數y＝x和y＝x在R上都是減函數，所以當x∈(－∞，1]時，x≥，x≥，所以x＋x≥＋＝，從而得－≤－.故實數a的取值范圍為a＞－.] 　指數函數的綜合問題，主要涉及單調性、奇偶性、最值問題，應在有關性質的基礎上，結合指數函數的性質進行解決，而指數函數性質的重點是單調性，注意利用單調性實現(xiàn)問題的轉化． 　

18、1.函數y＝x2＋2x－1的值域是(　　) A．(－∞，4) B．(0，＋∞) C．(0,4] D．[4，＋∞) C　[設t＝x2＋2x－1，則y＝t. 因為0＜＜1，所以y＝t為關于t的減函數． 因為t＝(x＋1)2－2≥－2，所以0＜y＝t≤－2＝4，故所求函數的值域為(0,4]．] 2．已知實數a≠1，函數f(x)＝若f(1－a)＝f(a－1)，則a的值為________． 　[當a＜1時，41－a＝21，所以a＝；當a＞1時，代入可知不成立，所以a的值為.] 3．設函數f(x)＝若f(a)＜1，則實數a的取值范圍是________． (－3,1)　[當a＜0時，不等式f(a)＜1可化為a－7＜1，即a＜8，即a＜－3， ∴a＞－3.又a＜0，∴－3＜a＜0. 當a≥0時，不等式f(a)＜1可化為＜1. ∴0≤a＜1，綜上，a的取值范圍為(－3,1)．] 9