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1、（全國通用版）2022年中考數(shù)學復習 第六單元 圓 第22講 圓的基本性質(zhì)練習 重難點　垂徑定理及圓周角定理(含推論) 　如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，D為線段AB的中點，延長OD交⊙O于點E，連接AE，BE，則下列五個結(jié)論：①AB⊥DE；②AE＝BE；③OD＝DE；④∠AOE＝∠C；⑤＝.正確結(jié)論的個數(shù)是(C) A．2 B．3 C．4 D．5 【拓展提問1】　若AB＝12，DE＝4，則⊙O的半徑為6.5． 【拓展提問2】　若∠C＝60°，AB＝12，則DE的長度是2． 【拓展提問3】　若⊙O的半徑為8，將沿AB折疊后，

2、圓弧恰好經(jīng)過圓心O，則折痕AB的長為8． (1)對于一圓和一條直線來說，下列五個條件：①垂直于弦；②過圓心；③平分弦(不是直徑)；④平分弦所對的優(yōu)??；⑤平分弦所對的劣弧．如果具備其中兩個，就能推出其他三個，簡稱為“知二得三”．如例題考查由②過圓心、③平分弦(不是直徑)這兩個條件推出其他三個結(jié)論． (2)運用垂徑定理及其推論求線段長的關(guān)鍵是構(gòu)造直角三角形． 最常用的方法是連接圓心和圓中弦的一個端點，若弦長為l，圓心到弦的距離為d，半徑為r，根據(jù)勾股定理有如下公式： l＝. 或在直角三角形中，已知一直角邊與斜邊的關(guān)系，得到角度關(guān)系，再利用三角函數(shù)求解． 　⊙O是△ABC的外接圓

3、，P是⊙O上的一個動點． (1)當BC是⊙O的直徑時，如圖1，連接AP，BP.若∠BAP＝30°，BP＝3，求⊙O的半徑； (2)當∠APC＝∠CPB＝60°時，如圖2，連接AP，BP，PC. ①判斷△ABC的形狀：等邊三角形； ②試探究線段PA，PB，PC之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論． 　　 圖1　　　　　　　圖2 【思路點撥】　(1)連接PC，則可得∠BAP＝∠BCP＝30°，在Rt△BCP中求出BC，繼而可得⊙O的半徑． (2)①利用圓周角定理可得∠BAC＝∠CPB，∠ABC＝∠APC，而∠APC＝∠CPB＝60°，所以∠BAC＝∠ABC＝60°，從而可判斷△ABC的形

4、狀；②在PC上截取PD＝AP，則△APD是等邊三角形，然后證明△APB≌△ADC，證明BP＝CD，即可證得． 【自主解答】　解：(1)連接PC. ∵BC是⊙O的直徑， ∴∠BPC＝90°. ∵∠BAP＝∠BCP＝30°，BP＝3， ∴BC＝6. ∴⊙O的半徑為3. (2)②證明：在PC上截取PD＝AP. 又∵∠APC＝60°， ∴△APD是等邊三角形． ∴AD＝AP＝PD，∠ADP＝60°，即∠ADC＝120°. 又∵∠APB＝∠APC＋∠BPC＝120°， ∴∠ADC＝∠APB. 在△APB和△ADC中， ∴△APB≌△ADC(AAS)． ∴BP＝CD. 又∵

5、PD＝AP， ∴CP＝CD＋PD＝BP＋AP. 1．本題源于人教版教材九上P90第14題，考查的核心知識點是圓周角定理及其推論． 2．在本題的解答過程中，有兩點必須注意： ①由BC是直徑，可連接PC構(gòu)造直角三角形，同時也得到了同弧所對的圓周角相等，從而把已知角和已知邊轉(zhuǎn)移到同一個三角形內(nèi)； ②證明不在同一條直線上的三條線段的數(shù)量關(guān)系最常用的方法是通過截長補短法證明三角形全等． 1．本題源于人教版教材九上P90第14題，考查的核心知識點是圓周角定理及其推論． 2．在本題的解答過程中，有兩點必須注意： ①由BC是直徑，可連接PC構(gòu)造直角三角形，同時也得到了同弧所對的圓周角相

6、等，從而把已知角和已知邊轉(zhuǎn)移到同一個三角形內(nèi)； ②證明不在同一條直線上的三條線段的數(shù)量關(guān)系最常用的方法是通過截長補短法證明三角形全等． 【拓展提問】?、廴簟袿的半徑為1，當點P位于的什么位置時，四邊形APBC的面積最大？并求出最大面積． 【自主解答】　解：當點P為的中點時，四邊形APBC的面積最大． 理由如下： 圖3 如圖3，過點P作PE⊥AB，垂足為E. 過點C作CF⊥AB，垂足為F. ∵S△APB＝AB·PE，S△ABC＝AB·CF， ∴S四邊形APBC＝AB·(PE＋CF)． 當點P為的中點時，PE＋CF＝PC，PC為⊙O的直徑， ∴此時四邊形APBC的面積

7、最大． 又∵⊙O的半徑為1， ∴其內(nèi)接正三角形的邊長AB＝. ∴S四邊形APBC＝×2×＝. 考點1　圓的有關(guān)概念 1．如圖，AB為⊙O的直徑，點C，D在⊙O上，已知∠BOC＝70°，AD∥OC，則∠AOD＝40°． 考點2　 垂徑定理及其推論 2．如圖，⊙O的弦AB＝8，M是AB的中點，且OM＝3，則⊙O的半徑等于(D) A．8 B．2 C．10 D．5 3．(xx·張家界)如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點E，OC＝5 cm，CD＝8 cm，則AE等于(A)

8、 A．8 cm B．5 cm C．3 cm D．2 cm 4．(xx·紹興)如圖，公園內(nèi)有一個半徑為20米的圓形草坪，A，B是圓上的點，O為圓心，∠AOB＝120°，從A到B只有路，一部分市民為走“捷徑”，踩壞了花草，走出了一條小路AB.通過計算可知，這些市民其實僅僅少走了15步．(假設1步為0.5米，結(jié)果保留整數(shù))(參考數(shù)據(jù)：≈1.732，π取3.142) 考點3　 圓心角、弧、弦之間的關(guān)系 5．如圖，AB是⊙O的直徑，＝＝，∠COD＝34°，則∠AEO的度數(shù)是(A) A．51°

9、B．56° C．68° D．78° 6．如圖，在⊙O中，已知弦AB＝DE，OC⊥AB，OF⊥DE，垂足分別為C，F(xiàn)，則下列說法中正確的個數(shù)為(D) ①∠DOE＝∠AOB；②＝；③OF＝OC；④AC＝EF. A．1 B．2 C．3 D．4 考點4　 圓周角定理及其推論 7．(xx·柳州)如圖，A，B，C，D是⊙O上的四個點，∠A＝60°，∠B＝24°，則∠C的度數(shù)為(D) A．84° B．60°

10、 C．36° D．24° 8．(xx·赤峰)如圖，AB是⊙O的直徑，點C是⊙O上的一點(A，B除外)，∠AOD＝130°，則∠C的度數(shù)是(C) A．50° B．60° C．25° D．30° 9．(xx·廣州)如圖，AB是⊙O的弦，OC⊥AB，交⊙O于點C，連接OA，OB，BC.若∠ABC＝20°，則∠AOB的度數(shù)是(D) A．40° B．50° C．70° D．80° 10．(xx·畢節(jié))如圖，AB是⊙O的直徑，C，D為

11、半圓的三等分點，CE⊥AB于點E，∠ACE的度數(shù)為30°． 11．(xx·十堰)如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，∠ACB＝90°，∠ACB的平分線交⊙O于點D.若AC＝6，BD＝5，則BC的長為8． 12．(xx·巴中)如圖所示，⊙O的兩弦AB，CD相交于點P，連接AC，BD，得S△ACP∶S△DBP＝16∶9，則AC∶BD＝4∶3． 考點5　 圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì) 13．(xx·蘇州)如圖，AB是半圓的直徑，O為圓心，C是半圓上的點，D是上的點．若∠BOC＝40°，則∠D的度數(shù)為(B) A．100° B．110° C．120°

12、 D．130° 14．(xx·曲靖)如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，E為BC延長線上一點．若∠A＝n°，則∠DCE＝n°． 15．(分類討論)(xx·安順)已知⊙O的直徑CD＝10 cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足為M，且AB＝8 cm，則AC的長為(C) A．2 cm B．4 cm C．2 cm或4 cm D．2 cm或4 cm 16．(xx·濰坊)如圖，四邊形ABCD為⊙O的內(nèi)接四邊形，延長AB與DC相交于點G，AO⊥CD，垂足為E，連接BD，∠GBC＝50°，則∠D

13、BC的度數(shù)為(C) A．50° B．60° C．80° D．85° 17．(xx·廣安)如圖，AB是⊙O的直徑，且經(jīng)過弦CD的中點H，已知cos∠CDB＝，BD＝5，則OH的長度為(D) A. B. C．1 D. 　 18．(xx·宜賓)如圖，AB是半圓的直徑，AC是一條弦，D是的中點，DE⊥AB于點E且DE交AC于點F，DB交AC于點G.若＝，則＝. 19．(xx·南京)如圖，在正方形ABCD中，E是AB上一點，連

14、接DE.過點A作AF⊥DE，垂足為F.⊙O經(jīng)過點C，D，F(xiàn)，與AD相交于點G. (1)求證：△AFG∽△DFC； (2)若正方形ABCD的邊長為4，AE＝1，求⊙O的半徑． 解：(1)證明：在正方形ABCD中，∠ADC＝90°， ∴∠CDF＋∠ADF＝90°. ∵AF⊥DE， ∴∠AFD＝90°. ∴∠GAF＋∠ADF＝90°. ∴∠GAF＝∠CDF. ∵四邊形GFCD是⊙O的內(nèi)接四邊形， ∴∠FCD＋∠DGF＝180°. 又∵∠FGA＋∠DGF＝180°， ∴∠FGA＝∠FCD. ∴△AFG∽△DFC. (2)連接CG. ∵∠EAD＝∠AFD＝90°，∠EDA＝∠ADF， ∴△EDA∽△ADF. ∴＝，即＝. ∵△AFG∽△DFC， ∴＝. ∴＝. ∵在正方形ABCD中，DA＝DC， ∴AG＝EA＝1，DG＝DA－AG＝4－1＝3. ∴CG＝＝＝5. ∵∠CDG＝90°，C，G在⊙O上， ∴CG是⊙O的直徑． ∴⊙O的半徑為. 20．“圓材埋壁”是我國古代著名數(shù)學著作《九章算術(shù)》中的問題：“今有圓材，埋在壁中，不知大小，以鋸鋸之，深一寸，鋸道長一尺，問徑幾何？”用現(xiàn)在的數(shù)學語言可表達為：“如圖，CD為⊙O的直徑，弦AB⊥CD于點E，CE＝1寸，AB＝10寸，求直徑CD的長．”則直徑CD＝26寸．