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(江蘇專版)2018年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第1部分 知識(shí)專題突破 專題6 數(shù)列學(xué)案

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1、 專題六 數(shù)列 ———————命題觀察·高考定位——————— (對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第21頁(yè)) 1.(2017·江蘇高考)等比數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為實(shí)數(shù),其前n項(xiàng)和為Sn.已知S3=,S6=,則a8=________. 32 [設(shè){an}的首項(xiàng)為a1,公比為q,則 解得 所以a8=×27=25=32.] 2.(2016·江蘇高考)已知{an}是等差數(shù)列,Sn是其前n項(xiàng)和.若a1+a=-3,S5=10,則a9的值是________. 20 [法一:設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,由S5=10,知S5=5a1+d=10,得a1+2d=2,即a1=2-2d.所以a2=a1+d=2-d,代入

2、a1+a=-3,化簡(jiǎn)得d2-6d+9=0,所以d=3,a1=-4.故a9=a1+8d=-4+24=20. 法二:設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,由S5=10,知=5a3=10,所以a3=2. 所以由a1+a3=2a2,得a1=2a2-2,代入a1+a=-3,化簡(jiǎn)得a+2a2+1=0,所以a2=-1. 公差d=a3-a2=2+1=3,故a9=a3+6d=2+18=20.] 3.(2014·江蘇高考)在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}中,若a2=1,a8=a6+2a4,則a6的值是________. 4 [因?yàn)閍8=a2q6,a6=a2q4,a4=a2q2,所以由a8=a6+2a4得a2q6

3、=a2q4+2a2q2,消去a2q2,得到關(guān)于q2的一元二次方程(q2)2-q2-2=0,解得q2=2,a6=a2q4=1×22=4.] 4.(2015·江蘇高考)設(shè)數(shù)列滿足a1=1,且an+1-an=n+1(n∈N*),則數(shù)列前10項(xiàng)的和為_(kāi)_____.  [由題意有a2-a1=2,a3-a2=3,…,an-an-1=n(n≥2).以上各式相加,得an-a1=2+3+…+n==. 又∵a1=1,∴an=(n≥2). ∵當(dāng)n=1時(shí)也滿足此式,∴an=(n∈N*). ∴==2. ∴S10=2×=2×=.] 5.(2017·江蘇高考)對(duì)于給定的正整數(shù)k,若數(shù)列{an}滿足:an-k+

4、an-k+1+…+an-1+an+1+…+an+k-1+an+k=2kan,對(duì)任意正整數(shù)n(n>k)總成立,則稱數(shù)列{an}是“P(k)數(shù)列”. (1)證明:等差數(shù)列{an}是“P(3)數(shù)列”; (2)若數(shù)列{an}既是“P(2)數(shù)列”,又是“P(3)數(shù)列”,證明:{an}是等差數(shù)列. 【導(dǎo)學(xué)號(hào):56394035】 [證明] (1)因?yàn)閧an}是等差數(shù)列,設(shè)其公差為d,則 an=a1+(n-1)d, 從而,當(dāng)n≥4時(shí), an-k+an+k=a1+(n-k-1)d+a1+(n+k-1)d =2a1+2(n-1)d=2an,k=1,2,3, 所以an-3+an-2+an-1+a

5、n+1+an+2+an+3=6an, 因此等差數(shù)列{an}是“P(3)數(shù)列”. (2)數(shù)列{an}既是“P(2)數(shù)列”,又是“P(3)數(shù)列”,因此, 當(dāng)n≥3時(shí),an-2+an-1+an+1+an+2=4an,① 當(dāng)n≥4時(shí),an-3+an-2+an-1+an+1+an+2+an+3=6an.② 由①知,an-3+an-2=4an-1-(an+an+1),③ an+2+an+3=4an+1-(an-1+an).④ 將③④代入②,得an-1+an+1=2an,其中n≥4, 所以a3,a4,a5,…是等差數(shù)列,設(shè)其公差為d′. 在①中,取n=4,則a2+a3+a5+a6=4a4,

6、所以a2=a3-d′, 在①中,取n=3,則a1+a2+a4+a5=4a3,所以a1=a3-2d′,所以數(shù)列{an}是等差數(shù)列. [命題規(guī)律] (1)對(duì)等差數(shù)列與等比數(shù)列基本量的考查是重點(diǎn),主要考查利用通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式建立方程組求解,屬于低檔題,主要是以填空題的形式出現(xiàn). (2)對(duì)等差數(shù)列與等比數(shù)列性質(zhì)的考查是熱點(diǎn),具有“新、巧、活”的特點(diǎn),考查利用性質(zhì)解決有關(guān)的計(jì)算問(wèn)題,屬中低檔題,主要是以填空題的形式出現(xiàn). (3)數(shù)列的通項(xiàng)公式及遞推公式的應(yīng)用也是命題的熱點(diǎn),根據(jù)an與Sn的關(guān)系求通項(xiàng)公式以及利用構(gòu)造或轉(zhuǎn)化的方法求通項(xiàng)公式也是常考的熱點(diǎn).填空、解答題都有出現(xiàn). (4)數(shù)列

7、的求和問(wèn)題,多以考查等差、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式、錯(cuò)位相減法和裂項(xiàng)相消法為主,且考查頻率較高,是高考命題的熱點(diǎn).填空、解答題都有出現(xiàn). (5)數(shù)列與函數(shù)、不等式的綜合問(wèn)題也是高考考查的重點(diǎn),主要考查利用函數(shù)的觀點(diǎn)解決數(shù)列問(wèn)題以及用不等式的方法研究數(shù)列的性質(zhì),多為中檔題,以解答題的形式出現(xiàn). (6)數(shù)列與解析幾何交匯主要涉及點(diǎn)列問(wèn)題,難度中等及以上,常以解答題形式出現(xiàn). (7)數(shù)列應(yīng)用題主要以等差數(shù)列、等比數(shù)列及遞推數(shù)列為模型進(jìn)行考查,難度中等及以上,常以解答題形式出現(xiàn). ———————主干整合·歸納拓展——————— (對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第21頁(yè)) [第1步▕ 核心知識(shí)再整合] 1

8、.等差數(shù)列 (1)通項(xiàng)公式 (2)前n項(xiàng)和公式:Sn==na1+d. (3)常用性質(zhì): ①如果數(shù)列{an}是等差數(shù)列,m+n=p+q?am+an=ap+aq(m,n,p,q∈N*),特別地,當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),a1+an=a2+an-1=……=2a中. ②若等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,則Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,…成等差數(shù)列. ③若等差數(shù)列{an},{bn}的前n項(xiàng)和為An,Bn,則=. ④若等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,則數(shù)列仍是等差數(shù)列. (4)等差數(shù)列的單調(diào)性 設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,當(dāng)d>0時(shí),數(shù)列{an}為遞增數(shù)列;當(dāng)d<0時(shí),數(shù)列{an}為遞減

9、數(shù)列;若d=0,則數(shù)列{an}為常數(shù)數(shù)列. (5)等差數(shù)列的最值 若{an}是等差數(shù)列,求前n項(xiàng)和的最值時(shí), ①若a1>0,d<0,且滿足則前n項(xiàng)和Sn最大; ②若a1<0,d>0,且滿足則前n項(xiàng)和Sn最?。? 2.等比數(shù)列 (1)通項(xiàng)公式 (2)前n項(xiàng)和公式Sn= (3)常用性質(zhì): ①如果數(shù)列{an}是等比數(shù)列m+n=p+q?am·an=ap·aq(m,n,p,q∈N*),特別地,當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),a1·an=a2·an-1=……=a. ②等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,滿足Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,S4n-S3n,…成等比數(shù)列(其中Sn,S2n-Sn,S3n-S2

10、n,…均不為0). (4)等比數(shù)列的單調(diào)性 設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q, 當(dāng)或時(shí),{an}為遞增數(shù)列;當(dāng)或時(shí),{an}為遞減數(shù)列;當(dāng)q=1時(shí),則數(shù)列{an}為常數(shù)數(shù)列. 3.?dāng)?shù)列常見(jiàn)通項(xiàng)公式的求法 (1)觀察法:利用遞推關(guān)系寫出前幾項(xiàng),根據(jù)前幾項(xiàng)的特點(diǎn)觀察、歸納、猜想出an的表達(dá)式,然后用數(shù)學(xué)歸納法證明. (2)利用前n項(xiàng)和與通項(xiàng)的關(guān)系an= (3)公式法:利用等差(比)數(shù)列求通項(xiàng)公式. (4)累加法:在已知數(shù)列{an}中,滿足an+1=an+f (n),把原遞推公式轉(zhuǎn)化為an+1-an=f (n),再利用累加法(逐差相加法)求解. (5)疊乘法:在已知數(shù)列{an}中,滿足

11、an+1=f (n)an,把原遞推公式轉(zhuǎn)化為=f (n),再利用疊乘法(逐商相乘法)求解. (6)構(gòu)造等比數(shù)列法:在已知數(shù)列{an}中,滿足an+1=pan+q(其中p,q均為常數(shù),pq(p-1)≠0),先用待定系數(shù)法把原遞推公式轉(zhuǎn)化為an+1-t=p(an-t),其中t=,再利用換元法轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求解. 4.?dāng)?shù)列求和的主要方法 (1)公式法:如果一個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列或等比數(shù)列,則求和時(shí)直接利用等差、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式,注意等比數(shù)列公比q的取值情況要分q=1或q≠1. (2)倒序相加法:如果一個(gè)數(shù)列{an},首末兩端等“距離”的兩項(xiàng)的和相等或等于同一常數(shù),那么求這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和即

12、可用倒序相加法,如等差數(shù)列的前n項(xiàng)和即是用此法推導(dǎo)的. (3)分組轉(zhuǎn)化求和法:若一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式是由若干個(gè)等差數(shù)列或等比數(shù)列或可求和的數(shù)列組成,則求和時(shí)可用分組轉(zhuǎn)化法,分別求和而后相加減. (4)錯(cuò)位相減法:如果一個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)是由一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列的對(duì)應(yīng)項(xiàng)之積構(gòu)成的,那么這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和即可用此法來(lái)求,如等比數(shù)列的前n項(xiàng)和就是用此法推導(dǎo)的. (5)裂項(xiàng)相消法:把數(shù)列的通項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差,在求和時(shí)中間的一些項(xiàng)可以相互抵消,從而求得其和. 常見(jiàn)的拆項(xiàng)公式如下: ①分式型 =-,=, =,=. ②乘式型 n(n+1)=-[(n-1)n(n+1)-n(n+1)(n+2)],

13、 n(n+1)(n+2)=-[(n-1)n(n+1)(n+2)-n(n+1)(n+2)(n+3)]. ③階乘型 ==-,C=C-C,kC=nC. ④三角函數(shù)型 tan an tan an+1=1-, =,=, cos=,sin=. ⑤根式型 =-. (6)并項(xiàng)求和法:在一個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和中,可兩兩結(jié)合求解,則稱之為并項(xiàng)求和. [第2步▕ 高頻考點(diǎn)細(xì)突破] 等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項(xiàng)及基本量的求解 【例1】 (南京市2017屆高三年級(jí)學(xué)情調(diào)研)各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{an},其前n項(xiàng)和為Sn,若a2-a5=-78,S3=13,則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an=____

14、____. [解析] 由題意得a1q(q3-1)=78,a1(1+q+q2)=13?q(q-1)=6,∵q>0∴q=3,a1=1,an=3n-1. [答案] 3n-1 [規(guī)律方法] 等差(比)數(shù)列的通項(xiàng)公式、求和公式中一共包含a1、d(或q)、n、an與Sn這五個(gè)量,如果已知其中的三個(gè),就可以求其余的兩個(gè).其中a1和d(或q)是兩個(gè)基本量,所以等差數(shù)列與等比數(shù)列的基本運(yùn)算問(wèn)題一般先設(shè)出這兩個(gè)基本量,然后根據(jù)通項(xiàng)公式、求和公式構(gòu)建這兩者的方程組,通過(guò)解方程組求其值,這也是方程思想在數(shù)列問(wèn)題中的體現(xiàn). [舉一反三] (江蘇省南通中學(xué)2017屆高三上學(xué)期期中考試)設(shè)Sn是等比數(shù)列{an}的

15、前n項(xiàng)的和,若a3+2a6=0,則的值是________. 【導(dǎo)學(xué)號(hào):56394036】 2 [a3+2a6=0?=-?q3=-,因此====2.] 等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質(zhì) 【例2】 (2016-2017學(xué)年度江蘇蘇州市高三期中調(diào)研考試)已知等比數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù),且滿足:a1a9=4,則數(shù)列{log2an}的前9項(xiàng)之和為_(kāi)_______. [解析] ∵a1a9=a=4,∴a5=2, ∴l(xiāng)og2a1+log2a2+…+log2a9=log2(a1a2…a9)=log2a=9log2a5=9. [答案] 9 [規(guī)律方法] 條件或結(jié)論中涉及等差或等比數(shù)列中的兩項(xiàng)

16、或多項(xiàng)的關(guān)系時(shí),先觀察分析下標(biāo)之間的關(guān)系,再考慮能否應(yīng)用性質(zhì)解決,要特別注意等差、等比數(shù)列性質(zhì)的區(qū)別.等差數(shù)列(或等比數(shù)列)中若出現(xiàn)的是通項(xiàng)與數(shù)列和的關(guān)系,則優(yōu)先考慮等差數(shù)列(或等比數(shù)列)性質(zhì)m+n=p+q?am+an=ap+aq(m,n,p,q∈N*)(m+n=p+q?am·an=ap·aq(m,n,p,q∈N*)). [舉一反三] (2017屆高三七校聯(lián)考期中考試)設(shè)Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,Sn=kn2+n,n∈N*,其中k是常數(shù).若對(duì)于任意的m∈N*,am,a2m,a4m成等比數(shù)列,則k的值為_(kāi)_______. 0或1 [∵Sn=kn2+n,n∈N* ,∴ 數(shù)列{an}是首項(xiàng)

17、為k+1,公差為2k的等差數(shù)列,an=2kn+1-k.又對(duì)于任意的m∈N*都有a=ama4m,∴a=a1a4,(3k+1)2=(k+1)·(7k+1),解得k=0或1.又k=0時(shí)an=1,顯然對(duì)于任意的m∈N*,am,a2m,a4m成等比數(shù)列;k=1時(shí)an=2n,am=2m,a2m=4m,a4m=8m,顯然對(duì)于任意的m∈N*,am,a2m,a4m也成等比數(shù)列.綜上所述,k=0或1.] 判斷和證明等差數(shù)列、等比數(shù)列 【例3】 (2017·江蘇省淮安市高考數(shù)學(xué)二模)設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn(n∈N*),且滿足: ①|(zhì)a1|≠|(zhì)a2|; ②r(n-p)Sn+1=(n2+n)an+(

18、n2-n-2)a1,其中r,p∈R,且r≠0. (1)求p的值; (2)數(shù)列{an}能否是等比數(shù)列?請(qǐng)說(shuō)明理由; (3)求證:當(dāng)r=2時(shí),數(shù)列{an}是等差數(shù)列. [解] (1)n=1時(shí),r(1-p)(a1+a2)=2a1-2a1,其中r,p∈R,且r≠0.又|a1|≠|(zhì)a2|. ∴1-p=0,解得p=1. (2)設(shè)an=kan-1(k≠±1),r(n-1)Sn+1=(n2+n)an+(n2-n-2)a1,∴rS3=6a2,2rS4=12a3+4a1,化為:r(1+k+k2)=6k,r(1+k+k2+k3)=6k2+2.聯(lián)立解得r=2,k=1(不合題意),舍去,因此數(shù)列{an}不是

19、等比數(shù)列. (3)證明:r=2時(shí),2(n-1)Sn+1=(n2+n)an+(n2-n-2)a1,∴2S3=6a2,4S4=12a3+4a1,6S5=20a4+10a1. 化為:a1+a3=2a2,a2+a4=2a3,a3+a5=2a4.假設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)成等差數(shù)列,公差為d. 則2(n-1)=(n2+n)[a1+(n-1)d]+(n2-n-2)a1,化為an+1=a1+(n+1-1)d,因此第n+1項(xiàng)也滿足等差數(shù)列的通項(xiàng)公式, 綜上可得,數(shù)列{an}成等差數(shù)列. [規(guī)律方法] (1)定義法:an+1-an=d(常數(shù))(n∈N*){an}是等差數(shù)列;=q(q是非零常數(shù)){an}是

20、等比數(shù)列;(2)等差(比)中項(xiàng)法:2an+1=an+an+2(n∈N*){an}是等差數(shù)列;a=an·an+2(n∈N*,an≠0){an}是等比數(shù)列;(3)通項(xiàng)公式法:an=pn+q(p,q為常數(shù)){an}是等差數(shù)列;an=a1·qn-1(其中a1,q為非零常數(shù),n∈N*){an}是等比數(shù)列.(4)前n項(xiàng)和公式法:Sn=An2+Bn(A,B為常數(shù)){an}是等差數(shù)列;Sn=Aqn-A(A為非零常數(shù),q≠0,1){an}是等比數(shù)列. [舉一反三] (2017·江蘇省鹽城市高考數(shù)學(xué)二模)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,數(shù)列{bn},{cn}滿足(n+1)bn=an+1-,(n+2)cn=-

21、,其中n∈N*. (1)若數(shù)列{an}是公差為2的等差數(shù)列,求數(shù)列{cn}的通項(xiàng)公式; (2)若存在實(shí)數(shù)λ,使得對(duì)一切n∈N*,有bn≤λ≤cn,求證:數(shù)列{an}是等差數(shù)列. 【導(dǎo)學(xué)號(hào):56394037】 [解] (1)∵數(shù)列{an}是公差為2的等差數(shù)列,∴an=a1+2(n-1),=a1+n-1. ∴(n+2)cn=-(a1+n-1)=n+2,解得cn=1. (2)證明:由(n+1)bn=an+1-, 可得:n(n+1)bn=nan+1-Sn,(n+1)(n+2)bn+1=(n+1)an+2-Sn+1, 相減可得:an+2-an+1=(n+2)bn+1-nbn, 可得:

22、(n+2)cn=-=-[an+1-(n+1)bn]=+(n+1)bn=+(n+1)bn=(bn+bn+1), 因此cn=(bn+bn+1).∵bn≤λ≤cn, ∴λ≤cn=(bn+bn+1)≤λ,故bn=λ,cn=λ. ∴(n+1)λ=an+1-,(n+2)λ=(an+1+an+2)-, 相減可得:(an+2-an+1)=λ,即an+2-an+1=2λ(n≥2). 又2λ=a2-=a2-a1,則an+1-an=2λ(n≥1),∴數(shù)列{an}是等差數(shù)列. 等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合應(yīng)用 【例4】 (2016-2017學(xué)年度江蘇蘇州市高三期中調(diào)研考試)已知等比數(shù)列{an}的公比q>

23、1,且滿足:a2+a3+a4=28,且a3+2是a2,a4的等差中項(xiàng). (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式; (2)若bn=anlogan,Sn=b1+b2+…+bn,求使Sn+n·2n+1>62成立的正整數(shù)n的最小值. [解] (1)∵a3+2是a2,a4的等差中項(xiàng),∴2(a3+2)=a2+a4, 代入a2+a3+a4=28,可得a3=8, ∴a2+a4=20,∴ 解之得或 ∵q>1,∴∴數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=2n. (2)∵bn=anlogan=2nlog2n=-n·2n, ∴Sn=-(1×2+2×22+…+n·2n),① 2Sn=-(1×22+2×23+…+(n-

24、1)·2n+n ·2n+1),② ②-①得Sn=2+22+23…+2n-n·2n+1=-n·2n+1=2n+1-2-n·2n+1. ∵Sn+n·2n+1>62,∴2n+1-2>62,∴n+1>6,n>5, ∴使Sn+n·2n+1>62成立的正整數(shù)n的最小值為6. [規(guī)律方法] 等差數(shù)列、等比數(shù)列的綜合問(wèn)題的解題關(guān)鍵仍然是“基本量”方法,其通過(guò)方程或者方程組求出數(shù)列的基本量,然后再解決后續(xù)問(wèn)題. [舉一反三] (泰州中學(xué)2016-2017年度第一學(xué)期第一次質(zhì)量檢測(cè)文科)已知各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式bn=(n∈N*),若S3=b5+1,b4

25、是a2和a4的等比中項(xiàng). (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式; (2)求數(shù)列{an·bn}的前n項(xiàng)和Tn. [解] (1)∵數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式bn=(n∈N*), ∴b5=6,b4=4. 設(shè)各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列{an}的公比為q,q>0, ∵S3=b5+1=7,∴a1+a1q+a1q2=7,① ∵b4是a2和a4的等比中項(xiàng),∴a2a4=a=16, 解得a3=a1q2=4,② 由①②得3q2-4q-4=0, 解得q=2或q=-(舍去), ∴a1=1,an=2n-1. (2)當(dāng)n為偶數(shù)時(shí), Tn=(1+1)×20+2×2+(3+1)×22+4×23+(5+1)×24+…

26、+[(n-1)+1]×2n-2+n×2n-1 =(20+2×2+3×22+4×23+…+n×2n-1)+(20+22+…+2n-2), 設(shè)Hn=20+2×2+3×22+4×23+…+n×2n-1,③ 則2Hn=2+2×22+3×23+…+(n-1)×2n-1+n×2n,④ ③-④,得-Hn=20+2+22+23+…+2n-1-n×2n=-n×2n=(1-n)×2n-1, ∴Hn=(n-1)×2n+1, ∴Tn=(n-1)×2n+1+=×2n+. 當(dāng)n為奇數(shù),且n≥3時(shí), Tn=Tn-1+(n+1)×2n-1=×2n-1++(n+1)×2n-1=×2n-1+, 經(jīng)檢驗(yàn),T1=2

27、符合上式. ∴Tn= 一般數(shù)列的性質(zhì) 【例5】 (江蘇省蘇州市2016屆高三九月測(cè)試試卷)已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{an},若2a4+a3-2a2-a1=8,則2a8+a7的最小值為_(kāi)_______. [解析] 設(shè){an}的公比為q,由2a4+a3-2a2-a1=8,得(2a2+a1)q2-(2a2+a1)=8,所以(2a2+a1)(q2-1)=8,顯然q2>1,2a8+a7=(2a2+a1)q6=,令t=q2,則2a8+a7=,設(shè)函數(shù)f (t)=(t>1),f ′(t)=,易知當(dāng)t∈時(shí)f (t)為減函數(shù),當(dāng)t∈時(shí),f (t)為增函數(shù)時(shí),所以f (t)的最小值為f =54,故2

28、a8+a7的最小值為54. [答案] 54 [規(guī)律方法] (1)在處理數(shù)列單調(diào)性問(wèn)題時(shí)應(yīng)利用數(shù)列的單調(diào)性定義,即“若數(shù)列{an}是遞增數(shù)列??n≥1,an+1≥an恒成立”;(2)數(shù)列an=f (n)的單調(diào)性與y=f (x),x∈[1,+∞)的單調(diào)性不完全一致;(3)當(dāng)數(shù)列對(duì)應(yīng)的連續(xù)函數(shù)是單調(diào)函數(shù),則可以借助其單調(diào)性來(lái)求解數(shù)列的單調(diào)性問(wèn)題. [舉一反三] (南京市2016屆高三年級(jí)模擬考試)已知數(shù)列{an}是遞增數(shù)列,且對(duì)n∈N*,都有an=n2+λn恒成立,則實(shí)數(shù)λ的取值范圍是________. 【導(dǎo)學(xué)號(hào):56394038】 (-3,+∞) [利用遞增數(shù)列的定義,an+1>an

29、,an+1-an=2n+1+λ>0?λ>-2n-1,n∈N*恒成立,則λ>-3. (注:本題易錯(cuò)的解法是根據(jù)數(shù)列所對(duì)應(yīng)的函數(shù)單調(diào)性an=n2+λn=2-,然后-≤1?λ≥-2.由數(shù)列是遞增數(shù)列去斷定數(shù)列對(duì)應(yīng)的函數(shù)是遞增函數(shù),是錯(cuò)誤的)] 一般數(shù)列的通項(xiàng)及求和 【例6】 (2016-2017學(xué)年度江蘇蘇州市高三期中調(diào)研考試)已知數(shù)列{an}滿足:an+1=an(1-an+1),a1=1,數(shù)列{bn}滿足:bn=an·an+1,則數(shù)列{bn}的前10項(xiàng)的和S10=________. [解析] 由an+1=an(1-an+1)得:-=1,因此數(shù)列是等差數(shù)列,所以=n,即an=,bn=

30、anan+1==-,所以S10=b1+b2+…+b10=++…+=1-=. [答案]  [規(guī)律方法] (1)通常情況下數(shù)列的第(1)題是需要求數(shù)列的通項(xiàng)公式,而且其中也設(shè)出一個(gè)新的數(shù)列,我們?cè)谧龅倪^(guò)程中,要把這個(gè)條件作為一種提示,配湊成這種新的數(shù)列,即可解決;若題中沒(méi)有設(shè)出這樣的新數(shù)列,可以看知識(shí)整合中6種求通項(xiàng)公式的方法;(2)對(duì)于數(shù)列求和,需要先判斷用哪種求和的方法,然后進(jìn)行求解. [舉一反三] (無(wú)錫市普通高中2017屆高三上學(xué)期期中基礎(chǔ)性檢測(cè))設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,已知4Sn=2an-n2+7n(n∈N*),則a11=________. -2 [由題設(shè)4Sn=2an

31、-n2+7n(n∈N*)可得4Sn-1=2an-1-(n-1)2+7(n-1),將以上兩式兩邊相減可得4an=2an-2an-1-2n+1+7,即an=-an-1-n+4,所以an+an-1=-n+4,又因?yàn)閍1=3,所以a2=-3-2+4=-1,故a3=1-3+4=2,依次可推得a11=-2.] 存在探索與證明性問(wèn)題 【例7】 (江蘇省南通中學(xué)2017屆高三上學(xué)期期中考試)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且Sn+an=4,n∈N*. (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式; (2)已知cn=2n+3(n∈N*),記dn=cn+logCan(C>0且C≠1),是否存在這樣的常數(shù)C,使得數(shù)

32、列{dn}是常數(shù)列?若存在,求出C的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由; (3)若數(shù)列{bn},對(duì)于任意的正整數(shù)n,均有b1an+b2an-1+b3an-2+…+bna1=n-成立,求證:數(shù)列 {bn}是等差數(shù)列. [解] (1)a1=4-a1,所以a1=2, 由Sn+an=4得n≥2時(shí),Sn-1+an-1=4, 兩式相減得,2an=an-1,=. 數(shù)列{an}是以2為首項(xiàng),公比為的等比數(shù)列, 所以an=22-n(n∈N*). (2)由于數(shù)列{dn}是常數(shù)列, dn=cn+logCan=2n+3+(2-n)logC2 =2n+3+2logC2-nlogC2=(2-logC2)n+3+2

33、logC2為常數(shù)列,只有2-logC2=0;解得C=,此時(shí)dn=7. (3)證明:b1an+b2an-1+b3an-2+…+bna1=n-.① 當(dāng)n=1時(shí),b1a1=-=-1,其中a1=2,所以b1=-. 當(dāng)n≥2時(shí), b1an-1+b2an-2+b3an-3+…+bn-1a1=n-1-,② ②式兩邊同時(shí)乘以得, b1an+b2an-1+b3an-2+…+bn-1a2=n-.③ ①式減去③式得,bna1=,所以bn=--, 且bn+1-bn=-. 所以數(shù)列{bn}是以-為首項(xiàng),公差為-的等差數(shù)列. [舉一反三] (南京市2017屆高三年級(jí)學(xué)情調(diào)研)已知數(shù)列{an}是公差為

34、正數(shù)的等差數(shù)列,其前n項(xiàng)和為Sn,且a2a3=15,S4=16. (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式; (2)數(shù)列{bn}滿足b1=a1,bn+1-bn=. ①求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式; ②是否存在正整數(shù)m,n(m≠n),使得b2,bm,bn成等差數(shù)列?若存在,求出m,n的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由. [解] (1)設(shè)數(shù)列{an}的公差為d,則d>0. 由a2·a3=15,S4=16,得 解得或(舍去). 所以an=2n-1. (2)①因?yàn)閎1=a1,bn+1-bn=, 所以b1=a1=1, bn+1-bn===, 即b2-b1=, b3-b2=, …… bn-bn-1

35、=(n≥2), 累加得:bn-b1==, 所以bn=b1+=1+=. b1=1也符合上式. 故bn=,n∈N*. ②假設(shè)存在正整數(shù)m、n(m≠n),使得b2,bm,bn成等差數(shù)列,則b2+bn=2bm. 又b2=,bn==-,bm=-, 所以+=2,即=+, 化簡(jiǎn)得:2m==7-. 當(dāng)n+1=3,即n=2時(shí),m=2,不符合題意,舍去; 當(dāng)n+1=9,即n=8時(shí),m=3,符合題意. 所以存在正整數(shù)m=3,n=8,使得b2,bm,bn成等差數(shù)列. 數(shù)列與不等式的綜合應(yīng)用 【例8】 (江蘇省泰州中學(xué)2017屆高三摸底考試)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn滿足:Sn=t(S

36、n-an+1)(t為常數(shù),且t≠0,t≠1). (1)求{an}的通項(xiàng)公式; (2)設(shè)bn=a+Sn·an,若數(shù)列{bn}為等比數(shù)列,求t的值; (3)在滿足條件(2)的情形下,設(shè)cn=4an+1,數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和為Tn,若不等式≥2n-7對(duì)任意的n∈N*恒成立,求實(shí)數(shù)k的取值范圍. [解] (1)當(dāng)n=1時(shí),S1=t(S1-a1+1),得a1=t. 當(dāng)n≥2時(shí),由Sn=t(Sn-an+1),即(1-t)Sn=-tan+t,① 得(1-t)Sn-1=-tan-1+t,② ①-②,得(1-t)an=-tan+tan-1,即an=tan-1,∴=t(n≥2),∴{an}是等比數(shù)

37、列,且公比是t,∴an=tn. (2)由(1)知,bn=(tn)2+·tn,即bn=, 若數(shù)列{bn}為等比數(shù)列,則有b=b1·b3, 而b1=2t2,b2=t3(2t+1),b3=t4(2t2+t+1), 故[t3(2t+1)]2=(2t2)·t4(2t2+t+1), 解得t=, 再將t=代入bn,得bn=n, 由=,知{bn}為等比數(shù)列,∴t=. (3)由t=,知an=n,∴cn=4n+1, ∴Tn=4×+n=4+n-, 由不等式≥2n-7恒成立,得3k≥恒成立, 設(shè)dn=,由dn+1-dn=-=, ∴當(dāng)n≤4時(shí),dn+1>dn,當(dāng)n>4時(shí),dn+1

38、4=,d5=,∴d4

39、5. (2)證明:由(1)an=2n+5, 得bn===. Sn=b1+b2+…+bn==<. 數(shù)列、函數(shù)、不等式的綜合應(yīng)用 【例9】 (2017·海安模擬)設(shè)函數(shù)f n(x)=-1+x+++…+(x∈R,n∈N*),證明: (1)對(duì)每個(gè)n∈N*,存在唯一的xn∈,滿足f n=0; (2)對(duì)任意p∈N*,由(1)中xn構(gòu)成的數(shù)列滿足0<xn-xn+p<. 【導(dǎo)學(xué)號(hào):56394039】 [證明] (1)對(duì)每個(gè)n∈N*,當(dāng)x>0時(shí),f n′(x)=1++…+>0, 則f n(x)在(0,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增, 而f 1(1)=0,當(dāng)n≥2時(shí),f n(1)=++…+>0,

40、故f n(1)≥0, 又f n=-1++≤-+k =-+·=-·n-1<0, 所以對(duì)每個(gè)n∈N*,存在唯一的xn∈,滿足f n(xn)=0. (2)當(dāng)x>0時(shí),f n+1(x)=f n(x)+>f n(x),并由(1)知f n+1(xn)>f n(xn)= f n+1(xn+1)=0. 由f n+1(x)在(0,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增知,xn+1

41、② ①-②并移項(xiàng),利用0

42、是f (x)的導(dǎo)函數(shù),且f ′(0)=2n(n∈N*) . (1)求f (x)的表達(dá)式(含有字母n); (2)若數(shù)列{an}滿足an+1=f ′(an),且a1=4,求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式; (3)在(2)的條件下,若bn=n·2,Sn=b1+b2+…+bn,是否存在自然數(shù)M,使得當(dāng)n>M時(shí)n·2n+1-Sn>50恒成立?若存在,求出最小的M;若不存在,說(shuō)明理由. [解] (1)由已知,可得c=0,f ′(x)=2ax+b, ∴ 解之得a=,b=2n. ∴f (x)=x2+2nx. (2)∵an+1=an+2n, ∴an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a3

43、-a2)+(a2-a1)+a1=2(1+2+3+…+n-1)+4=2×+4=n2-n+4. (3)an+1-an=(n+1)2-(n+1)+4-(n2-n+4)=2n, ∴bn=n·2=n·2n. Sn=1·21+2·22+3·23+…+n·2n,① 2Sn=1·22+2·23+3·24+…+n·2n+1.② ①-②得:-Sn=21+22+…+2n-n·2n+1=2n+1-2-n·2n+1, ∴n·2n+1-Sn=2n+1-2>50,即2n+1>52,當(dāng)n≥5時(shí),2n+1>52. ∴存在M=4,使得當(dāng)n>M時(shí),n·2n+1-Sn>50恒成立. [第3步▕ 高考易錯(cuò)明辨析]

44、 1.忽視n的取值范圍致誤 已知數(shù)列{an}中,a1=1,前n項(xiàng)的和為Sn,對(duì)任意的自然數(shù)n≥2,an是3Sn-4與2-Sn-1的等差中項(xiàng).求通項(xiàng)an. [錯(cuò)原] 忽視了=-成立的前提n≥2,只能說(shuō)明數(shù)列從第2項(xiàng)起為等比數(shù)列,至于整個(gè)數(shù)列{an}是否為等比數(shù)列還需驗(yàn)證是否等于-,這種在解答過(guò)程中忽視數(shù)列“定義域”限制而致錯(cuò)的題目頻率是非常高的,應(yīng)引起足夠的重視. [正解] 由已知,當(dāng)n≥2時(shí),2an=(3Sn-4)+, 又an=Sn-Sn-1, 得an=3Sn-4(n≥2), an+1=3Sn+1-4, 以上兩式相減得an+1-an=3an+1, ∴=-, ∴a2,a3,…,

45、an,…成等比數(shù)列,其中 a2=3S2-4=3(1+a2)-4. 即a2=,q=-, ∴當(dāng)n≥2時(shí),an=a2qn-2=·n-2=-n-1, ∴an= 2.求等比數(shù)列的公比時(shí)忽視隱含條件致誤 已知一個(gè)等比數(shù)列的前四項(xiàng)之積為,第2,3項(xiàng)的和為,求這個(gè)等比數(shù)列的公比. [錯(cuò)原] 設(shè)這四個(gè)數(shù)為,,aq,aq3,公比為q2,就等于規(guī)定了這個(gè)等比數(shù)列各項(xiàng)要么同為正,要么同為負(fù),但題中q可以為負(fù)! [正解] 依題意,設(shè)這四個(gè)數(shù)為a,aq,aq2,aq3, 則 解得q=3±2或q=-5±2. 3.解數(shù)列問(wèn)題時(shí)由思維定勢(shì)導(dǎo)致錯(cuò)誤 已知等比數(shù)列{an}中a2=1,則其前3項(xiàng)的和S3的取

46、值范圍是________. [錯(cuò)原] 默認(rèn)q>0,遺漏當(dāng)q<0時(shí)的情況.所以需要分q為正、負(fù)兩種情況. [正解] 因?yàn)榈缺葦?shù)列{an}中a2=1, 所以S3=a1+a2+a3=a2=1+q+; 當(dāng)公比q>0時(shí),S3=1+q+≥1+2=3; 當(dāng)公比q<0時(shí),S3=1-≤1-2=-1; 所以S3∈(-∞,-1]∪[3,+∞). ———————專家預(yù)測(cè)·鞏固提升——————— (對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第27頁(yè)) 1.已知定義在R上的函數(shù)f (x)是奇函數(shù)且滿足f =f (x),f (-2)=-3,數(shù)列{an}滿足a1=-1,且=2×+1(其中Sn為{an}的前n項(xiàng)和),則f (a5)+f

47、(a6)=________. 3 [由定義在R上的函數(shù)f (x)是奇函數(shù)且滿足f =f (x)知,f =f =-f =-f (x),所以f (x-3)= f = -f =-(-f (x))=f (x),所以f (x)的周期為3,由=2×+1得,Sn=2an+n,當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1=2an+n-2an-1-(n-1),所以an=2an-1-1,所以a2=-3,a3=-7,a4=-15,a5=-31,a6=-63,所以f (a5)+f (a6)=f (-31)+f (-63) =-f (3×10+1)-f (3×21+0)=-f (1)-f (0)=-f (1-3)-0 =

48、-f (-2)=3.] 2.設(shè)△AnBnCn的三邊長(zhǎng)分別為an,bn,cn,n=1,2,3,…,若b1>c1,b1+c1=2a1,an+1=an,bn +1=,cn+ 1=,則∠An的最大值是________.  [由bn+1=,cn+1=得 bn+1+cn+1=+=(bn+cn)+an,又an+1=an=a1,所以bn+1+cn+1-2a1=(bn+cn-2a1),而b1+c1=2a1,所以bn+cn=2a1,所以 cos∠An===-1 ≥-1=-1=,所以∠An的最大值是.] 3.在△ABC中,三個(gè)內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c.若內(nèi)角A,B,C依次成等差數(shù)列,且a和

49、c是-x2+6x-8=0的兩根,則S△ABC=________. 2  [∵內(nèi)角A,B,C依次成等差數(shù)列,∴B=60°, ∵a和c是-x2+6x-8=0的兩根,∴a=2,c=4, ∴S△ABC=acsin B=×2×4×=2.] 4.(改編題)函數(shù)f 1(x)=x3,f 2(x)=f 3(x)= f 4(x)=|sin(2πx)|,等差數(shù)列{an}中,a1=0,a2 015=1,bn=|f k(an+1)-f k(an)|(k=1,2,3,4),用Pk表示數(shù)列{bn}的前2 014項(xiàng)的和,則P1,P2,P3,P4的關(guān)系為_(kāi)_______. 【導(dǎo)學(xué)號(hào):56394040】 P4<1

50、=P1=P2<P3=2 [{an}是等差數(shù)列,且a1=0,a2 015=1,可知該數(shù)列為遞增數(shù)列,且a1 008=,a504<,a505>. 對(duì)于f 1(x)=x3,該函數(shù)在[0,1]上為增函數(shù),于是有f 1(an+1)-f 1(an)>0, 于是b1=f 1(an+1)-f 1(an), 所以P1=f 1(a2 015)-f 1(a1)=1-0=1. 對(duì)于f 2(x),該函數(shù)在上遞增,在上遞減, 于是P2=f 2(a1 008)-f 2(a1)+f 2(a1 008)-f 2(a2 015)=-0+-0=1. 對(duì)于f 3(x),該函數(shù)在上遞減,在上為常數(shù), 類似有P3=f 3(a1)-f 3(a1 008)=f 3(0)-f 3=3-1=2. 對(duì)于f 4(x),該函數(shù)在和遞增,在和上遞減,且是以為周期的周期函數(shù), 故只需討論的情況,再2倍即可, 仿前可知,P4=2[f 4(a504)-f 4(a1)+f 4(a505)-f 4(a1 008)]<2=1, 故P4<1,則P4<1=P1=P2

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