高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題訓(xùn)練五 第2講 空間中的平行與垂直 理
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1、高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題訓(xùn)練五 第2講 空間中的平行與垂直 理 考情解讀 1.以選擇、填空題的形式考查,主要利用平面的基本性質(zhì)及線線、線面和面面的判定與性質(zhì)定理對(duì)命題的真假進(jìn)行判斷,屬基礎(chǔ)題.2.以解答題的形式考查,主要是對(duì)線線、線面與面面平行和垂直關(guān)系交匯綜合命題,且多以棱柱、棱錐、棱臺(tái)或其簡(jiǎn)單組合體為載體進(jìn)行考查,難度中等. 1.線面平行與垂直的判定定理、性質(zhì)定理 線面平行的判定定理 ?a∥α 線面平行的性質(zhì)定理 ?a∥b 線面垂直的判定定理 ?l⊥α 線面垂直的性質(zhì)定理 ?a∥b 2.面面平行與垂直的判定定理、性質(zhì)定理 面面垂直的判定定理 ?α
2、⊥β 面面垂直的性質(zhì)定理 ?a⊥β 面面平行的判定定理 ?α∥β 面面平行的性質(zhì)定理 ?a∥b 提醒 使用有關(guān)平行、垂直的判定定理時(shí),要注意其具備的條件,缺一不可. 3.平行關(guān)系及垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化 熱點(diǎn)一 空間線面位置關(guān)系的判定 例1 (1)設(shè)a,b表示直線,α,β,γ表示不同的平面,則下列命題中正確的是( ) A.若a⊥α且a⊥b,則b∥α B.若γ⊥α且γ⊥β,則α∥β C.若a∥α且a∥β,則α∥β D.若γ∥α且γ∥β,則α∥β (2)平面α∥平面β的一個(gè)充分條件是( ) A.存在一條直線a,a∥α,a∥β B.存
3、在一條直線a,a?α,a∥β C.存在兩條平行直線a,b,a?α,b?β,a∥β,b∥α D.存在兩條異面直線a,b,a?α,b?β,a∥β,b∥α 思維啟迪 判斷空間線面關(guān)系的基本思路:利用定理或結(jié)論;借助實(shí)物模型作出肯定或否定. 答案 (1)D (2)D 解析 (1)A:應(yīng)該是b∥α或b?α;B:如果是墻角出發(fā)的三個(gè)面就不符合題意;C:α∩β=m,若a∥m時(shí),滿足a∥α,a∥β,但是α∥β不正確,所以選D. (2)若α∩β=l,a∥l,a?α,a?β,則a∥α,a∥β,故排除A. 若α∩β=l,a?α,a∥l,則a∥β,故排除B. 若α∩β=l,a?α,a∥l,b?β,b∥
4、l,則a∥β,b∥α,故排除C.故選D. 思維升華 解決空間點(diǎn)、線、面位置關(guān)系的組合判斷題,主要是根據(jù)平面的基本性質(zhì)、空間位置關(guān)系的各種情況,以及空間線面垂直、平行關(guān)系的判定定理和性質(zhì)定理進(jìn)行判斷,必要時(shí)可以利用正方體、長(zhǎng)方體、棱錐等幾何模型輔助判斷,同時(shí)要注意平面幾何中的結(jié)論不能完全引用到立體幾何中. 對(duì)于平面α,β,γ和直線a,b,m,n,下列命題中真命題是( ) A.若a⊥m,a⊥n,m?α,n?α,則a⊥α B.若α⊥β,α∩γ=a,β∩γ=b,則a∥b C.若a∥b,b?α,則a∥α D.若a?β,b?β,a∥α,b∥α,則β∥α 答案 B 解析 A中:由線面垂直
5、的判定定理知,還需m與n相交才能得a⊥α,故A錯(cuò).C中:由線面平行的判定定理,還需知a?α,故C錯(cuò).D中:由面面平行的判定定理知,還需a與b相交才能得β∥α,故D錯(cuò).所以選B. 熱點(diǎn)二 平行、垂直關(guān)系的證明 例2 如圖,在四棱錐P-ABCD中,AB∥CD,AB⊥AD,CD=2AB,平面PAD⊥底面ABCD,PA⊥AD,E和F分別是CD和PC的中點(diǎn),求證: (1)PA⊥底面ABCD; (2)BE∥平面PAD; (3)平面BEF⊥平面PCD. 思維啟迪 (1)利用平面PAD⊥底面ABCD的性質(zhì),得線面垂直;(2)BE∥AD易證;(3)EF是△CPD的中位線. 證明 (1)因?yàn)槠矫鍼A
6、D⊥底面ABCD, 且PA垂直于這兩個(gè)平面的交線AD, 所以PA⊥底面ABCD. (2)因?yàn)锳B∥CD,CD=2AB,E為CD的中點(diǎn), 所以AB∥DE,且AB=DE. 所以四邊形ABED為平行四邊形. 所以BE∥AD. 又因?yàn)锽E?平面PAD,AD?平面PAD, 所以BE∥平面PAD. (3)因?yàn)锳B⊥AD,而且ABED為平行四邊形. 所以BE⊥CD,AD⊥CD, 由(1)知PA⊥底面ABCD. 所以PA⊥CD. 所以CD⊥平面PAD. 所以CD⊥PD. 因?yàn)镋和F分別是CD和PC的中點(diǎn), 所以PD∥EF.所以CD⊥EF. 所以CD⊥平面BEF. 又CD?平
7、面PCD, 所以平面BEF⊥平面PCD. 思維升華 垂直、平行關(guān)系證明中應(yīng)用轉(zhuǎn)化與化歸思想的常見類型. (1)證明線面、面面平行,需轉(zhuǎn)化為證明線線平行. (2)證明線面垂直,需轉(zhuǎn)化為證明線線垂直. (3)證明線線垂直,需轉(zhuǎn)化為證明線面垂直. (4)證明面面垂直,需轉(zhuǎn)化為證明線面垂直,進(jìn)而轉(zhuǎn)化為證明線線垂直. 如圖所示,已知AB⊥平面ACD,DE⊥平面ACD,△ACD為等邊三角形,AD=DE=2AB,F(xiàn)為CD的中點(diǎn). 求證:(1)AF∥平面BCE; (2)平面BCE⊥平面CDE. 證明 (1)如圖,取CE的中點(diǎn)G,連接FG,BG. ∵F為CD的中點(diǎn),∴GF∥DE且GF=D
8、E. ∵AB⊥平面ACD,DE⊥平面ACD, ∴AB∥DE,∴GF∥AB. 又AB=DE,∴GF=AB. ∴四邊形GFAB為平行四邊形,則AF∥BG. ∵AF?平面BCE,BG?平面BCE, ∴AF∥平面BCE. (2)∵△ACD為等邊三角形,F(xiàn)為CD的中點(diǎn), ∴AF⊥CD. ∵DE⊥平面ACD,AF?平面ACD,∴DE⊥AF. 又CD∩DE=D,∴AF⊥平面CDE. ∵BG∥AF,∴BG⊥平面CDE. ∵BG?平面BCE,∴平面BCE⊥平面CDE. 熱點(diǎn)三 圖形的折疊問題 例3 如圖(1),在Rt△ABC中,∠C=90°,D,E分別為AC,AB的中點(diǎn),點(diǎn)F為線段C
9、D上的一點(diǎn),將△ADE沿DE折起到△A1DE的位置,使A1F⊥CD,如圖(2). (1)求證:DE∥平面A1CB; (2)求證:A1F⊥BE; (3)線段A1B上是否存在點(diǎn)Q,使A1C⊥平面DEQ?請(qǐng)說明理由. 思維啟迪 折疊問題要注意在折疊過程中,哪些量變化了,哪些量沒有變化.第(1)問證明線面平行,可以證明DE∥BC;第(2)問證明線線垂直轉(zhuǎn)化為證明線面垂直,即證明A1F⊥平面BCDE;第(3)問取A1B的中點(diǎn)Q,再證明A1C⊥平面DEQ. (1)證明 因?yàn)镈,E分別為AC,AB的中點(diǎn), 所以DE∥BC. 又因?yàn)镈E?平面A1CB,BC?平面A1CB, 所以DE∥平面A
10、1CB. (2)證明 由圖(1)得AC⊥BC且DE∥BC, 所以DE⊥AC.所以DE⊥A1D,DE⊥CD. 所以DE⊥平面A1DC.而A1F?平面A1DC, 所以DE⊥A1F.又因?yàn)锳1F⊥CD, 所以A1F⊥平面BCDE,又BE?平面BCDE, 所以A1F⊥BE. (3)解 線段A1B上存在點(diǎn)Q,使A1C⊥平面DEQ.理由如下: 如圖,分別取A1C,A1B的中點(diǎn)P,Q,則PQ∥BC. 又因?yàn)镈E∥BC, 所以DE∥PQ. 所以平面DEQ即為平面DEP. 由(2)知,DE⊥平面A1DC, 所以DE⊥A1C. 又因?yàn)镻是等腰三角形DA1C底邊A1C的中點(diǎn), 所以A1
11、C⊥DP.所以A1C⊥平面DEP. 從而A1C⊥平面DEQ. 故線段A1B上存在點(diǎn)Q,使得A1C⊥平面DEQ. 思維升華 (1)解決與折疊有關(guān)的問題的關(guān)鍵是搞清折疊前后的變化量和不變量.一般情況下,折線同一側(cè)線段的長(zhǎng)度是不變量,而位置關(guān)系往往會(huì)發(fā)生變化,抓住不變量是解決問題的突破口.(2)在解決問題時(shí),要綜合考慮折疊前后的圖形,既要分析折疊后的圖形,也要分析折疊前的圖形. 如圖(1),已知梯形ABCD中,AD∥BC,∠BAD=,AB=BC=2AD=4,E,F(xiàn)分別是AB,CD上的點(diǎn),EF∥BC,AE=x.沿EF將梯形ABCD翻折,使平面AEFD⊥平面EBCF(如圖(2)所示),G是BC
12、的中點(diǎn). (1)當(dāng)x=2時(shí),求證:BD⊥EG; (2)當(dāng)x變化時(shí),求三棱錐D-BCF的體積f(x)的函數(shù)式. (1)證明 作DH⊥EF,垂足為H,連接BH,GH, 因?yàn)槠矫鍭EFD⊥平面EBCF,交線為EF,DH?平面AEFD, 所以DH⊥平面EBCF,又EG?平面EBCF,故EG⊥DH. 因?yàn)镋H=AD=BC=BG=2,BE=2,EF∥BC,∠EBC=90°, 所以四邊形BGHE為正方形,故EG⊥BH. 又BH,DH?平面DBH,且BH∩DH=H,故EG⊥平面DBH. 又BD?平面DBH,故EG⊥BD. (2)解 因?yàn)锳E⊥EF,平面AEFD⊥平面EBCF,交線為EF
13、,AE?平面AEFD,
所以AE⊥平面EBCF.
由(1)知,DH⊥平面EBCF,故AE∥DH,
所以四邊形AEHD是矩形,DH=AE,故以B,F(xiàn),C,D為頂點(diǎn)的三棱錐D-BCF的高DH=AE=x.
又S△BCF=BC·BE=×4×(4-x)=8-2x,
所以三棱錐D-BCF的體積f(x)=S△BFC·DH
=S△BFC·AE=(8-2x)x
=-x2+x(0 14、
2.證明線面平行的常用方法
(1)利用線面平行的判定定理,把證明線面平行轉(zhuǎn)化為證線線平行;
(2)利用面面平行的性質(zhì)定理,把證明線面平行轉(zhuǎn)化為證面面平行.
3.證明面面平行的方法
證明面面平行,依據(jù)判定定理,只要找到一個(gè)面內(nèi)兩條相交直線與另一個(gè)平面平行即可,從而將證面面平行轉(zhuǎn)化為證線面平行,再轉(zhuǎn)化為證線線平行.
4.證明線線垂直的常用方法
(1)利用特殊平面圖形的性質(zhì),如利用直角三角形、矩形、菱形、等腰三角形等得到線線垂直;
(2)利用勾股定理逆定理;
(3)利用線面垂直的性質(zhì),即要證線線垂直,只需證明一線垂直于另一線所在平面即可.
5.證明線面垂直的常用方法
(1)利用 15、線面垂直的判定定理,把線面垂直的判定轉(zhuǎn)化為證明線線垂直;
(2)利用面面垂直的性質(zhì)定理,把證明線面垂直轉(zhuǎn)化為證面面垂直;
(3)利用常見結(jié)論,如兩條平行線中的一條垂直于一個(gè)平面,則另一條也垂直于這個(gè)平面.
6.證明面面垂直的方法
證明面面垂直常用面面垂直的判定定理,即證明一個(gè)面過另一個(gè)面的一條垂線,將證明面面垂直轉(zhuǎn)化為證明線面垂直,一般先從現(xiàn)有直線中尋找,若圖中不存在這樣的直線,則借助中點(diǎn)、高線或添加輔助線解決.
真題感悟
1.(xx·遼寧)已知m,n表示兩條不同直線,α表示平面.下列說法正確的是( )
A.若m∥α,n∥α,則m∥n
B.若m⊥α,n?α,則m⊥n
C 16、.若m⊥α,m⊥n,則n∥α
D.若m∥α,m⊥n,則n⊥α
答案 B
解析 方法一 若m∥α,n∥α,則m,n可能平行、相交或異面,A錯(cuò);
若m⊥α,n?α,則m⊥n,因?yàn)橹本€與平面垂直時(shí),它垂直于平面內(nèi)任一直線,B正確;
若m⊥α,m⊥n,則n∥α或n?α,C錯(cuò);
若m∥α,m⊥n,則n與α可能相交,可能平行,也可能n?α,D錯(cuò).
方法二 如圖,在正方體ABCD-A′B′C′D′中,用平面ABCD表示α.
A項(xiàng)中,若m為A′B′,n為B′C′,滿足m∥α,n∥α,
但m與n是相交直線,故A錯(cuò).
B項(xiàng)中,m⊥α,n?α,
∴m⊥n,這是線面垂直的性質(zhì),故B正確.
C項(xiàng) 17、中,若m為AA′,n為AB,
滿足m⊥α,m⊥n,但n?α,故C錯(cuò).
D項(xiàng)中,若m為A′B′,n為B′C′,
滿足m∥α,m⊥n,但n∥α,故D錯(cuò).
2.(xx·遼寧)如圖,△ABC和△BCD所在平面互相垂直,且AB=BC=BD=2,∠ABC=∠DBC=120°,E,F(xiàn),G分別為AC,DC,AD的中點(diǎn).
(1)求證:EF⊥平面BCG;
(2)求三棱錐D-BCG的體積.
附:錐體的體積公式V=Sh,其中S為底面面積,h為高.
(1)證明 由已知得△ABC≌△DBC,因此AC=DC.
又G為AD的中點(diǎn),所以CG⊥AD.
同理BG⊥AD,又BG∩CG=G,因此AD⊥平面BGC.
18、
又EF∥AD,所以EF⊥平面BCG.
(2)解 在平面ABC內(nèi),作AO⊥BC,交CB的延長(zhǎng)線于O.
由平面ABC⊥平面BCD,知AO⊥平面BDC.
又G為AD中點(diǎn),因此G到平面BDC的距離h是AO長(zhǎng)度的一半.
在△AOB中,AO=AB·sin 60°=,
所以VD-BCG=VG-BCD=S△DBC·h
=×BD·BC·sin 120°·=.
押題精練
1.如圖,AB為圓O的直徑,點(diǎn)C在圓周上(異于點(diǎn)A,B),直線PA垂直于圓O所在的平面,點(diǎn)M為線段PB的中點(diǎn).有以下四個(gè)命題:
①PA∥平面MOB;
②MO∥平面PAC;
③OC⊥平面PAC;
④平面PAC⊥平面PBC. 19、
其中正確的命題是________(填上所有正確命題的序號(hào)).
答案?、冖?
解析?、馘e(cuò)誤,PA?平面MOB;②正確;③錯(cuò)誤,否則,有OC⊥AC,這與BC⊥AC矛盾;④正確,因?yàn)锽C⊥平面PAC.
2.如圖所示,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E是棱DD1的中點(diǎn).
(1)證明:平面ADC1B1⊥平面A1BE;
(2)在棱C1D1上是否存在一點(diǎn)F,使B1F∥平面A1BE?并證明你的結(jié)論.
(1)證明 如圖,因?yàn)锳BCD-A1B1C1D1為正方體,
所以B1C1⊥面ABB1A1.
因?yàn)锳1B?面ABB1A1,
所以B1C1⊥A1B.
又因?yàn)锳1B⊥AB1,B1C1∩AB1 20、=B1,
所以A1B⊥面ADC1B1.
因?yàn)锳1B?面A1BE,所以平面ADC1B1⊥平面A1BE.
(2)解 當(dāng)點(diǎn)F為C1D1中點(diǎn)時(shí),可使B1F∥平面A1BE.
證明如下:
取C1D1中點(diǎn)F,連接EF,B1F
易知:EF∥C1D,且EF=C1D.
設(shè)AB1∩A1B=O,連接OE,則B1O∥C1D且B1O=C1D,
所以EF∥B1O且EF=B1O,
所以四邊形B1OEF為平行四邊形.
所以B1F∥OE.
又因?yàn)锽1F?面A1BE,OE?面A1BE.
所以B1F∥面A1BE.
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一、選擇題
1.(xx·廣東)若空間中四條兩兩不同的直線l1, 21、l2,l3,l4,滿足l1⊥l2,l2⊥l3,l3⊥l4,則下列結(jié)論一定正確的是( )
A.l1⊥l4
B.l1∥l4
C.l1與l4既不垂直也不平行
D.l1與l4的位置關(guān)系不確定
答案 D
解析 如圖,在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中,記l1=DD1,l2=DC,l3=DA,若l4=AA1,滿足l1⊥l2,l2⊥l3,l3⊥l4,此時(shí)l1∥l4,可以排除選項(xiàng)A和C.若l4=DC1,也滿足條件,可以排除選項(xiàng)B.故選D.
2.已知m和n是兩條不同的直線,α和β是兩個(gè)不重合的平面,那么下面給出的條件中一定能推出m⊥β的是( )
A.α⊥β,且m?α B.m∥n,且n⊥ 22、β
C.α⊥β,且m∥α D.m⊥n,且n∥β
答案 B
解析 根據(jù)定理、性質(zhì)、結(jié)論逐個(gè)判斷.因?yàn)棣痢挺拢琺?α?m,β的位置關(guān)系不確定,可能平行、相交、m在β面內(nèi),故A錯(cuò)誤;由線面垂直的性質(zhì)定理可知B正確;若α⊥β,m∥α,則m,β的位置關(guān)系也不確定,故C錯(cuò)誤;若m⊥n,n∥β,則m,β的位置關(guān)系也不確定,故D錯(cuò)誤.
3.ABCD-A1B1C1D1為正方體,下列結(jié)論錯(cuò)誤的是( )
A.BD∥平面CB1D1 B.A1C⊥BD
C.AC1⊥平面CB1D1 D.AC1⊥BD1
答案 D
解析 因?yàn)锳BCD-A1B1C1D1為正方體,所以DD1∥BB1且DD1=BB1, 23、所以四邊形DD1B1B為平行四邊形,所以BD∥B1D1,因?yàn)锽D?面CB1D1,B1D1?面CB1D1,所以BD∥平面CB1D1,故A正確;因?yàn)锳A1⊥面ABCD,BD?面ABCD,所以AA1⊥BD,因?yàn)锳BCD為正方形,所以AC⊥BD,因?yàn)锳C∩AA1=A,所以BD⊥面A1ACC1,因?yàn)锳1C?面A1ACC1,所以BD⊥A1C,故B正確.同理可證得B1D1⊥面A1ACC1,因?yàn)锳C1?面A1ACC1,所以B1D1⊥AC1,同理可證CB1⊥AC1,因?yàn)锽1D1∩CB1=B1,所以AC1⊥平面CB1D1,故C正確.排除法應(yīng)選D.
4.如圖,四邊形ABCD中,AD∥BC,AD=AB,∠BCD=4 24、5°,∠BAD=90°,將△ADB沿BD折起,使平面ABD⊥平面BCD,構(gòu)成三棱錐A-BCD.則在三棱錐A-BCD中,下列命題正確的是( )
A.平面ABD⊥平面ABC
B.平面ADC⊥平面BDC
C.平面ABC⊥平面BDC
D.平面ADC⊥平面ABC
答案 D
解析 ∵在四邊形ABCD中,AD∥BC,AD=AB,∠BCD=45°,∠BAD=90°,∴BD⊥CD,
又平面ABD⊥平面BCD,且平面ABD∩平面BCD=BD,
∴CD⊥平面ABD,則CD⊥AB,
又AD⊥AB,AD∩CD=D,∴AB⊥平面ADC,
又AB?平面ABC,∴平面ABC⊥平面ADC,故選D.
5. 25、直線m,n均不在平面α,β內(nèi),給出下列命題:
①若m∥n,n∥α,則m∥α;②若m∥β,α∥β,則m∥α;③若m⊥n,n⊥α,則m∥α;
④若m⊥β,α⊥β,則m∥α.其中正確命題的個(gè)數(shù)是( )
A.1 B.2
C.3 D.4
答案 D
解析 對(duì)①,根據(jù)線面平行的判定定理知,m∥α;對(duì)②,如果直線m與平面α相交,則必與β相交,而這與α∥β矛盾,故m∥α;對(duì)③,在平面α內(nèi)取一點(diǎn)A,設(shè)過A、m的平面γ與平面α相交于直線b.因?yàn)閚⊥α,所以n⊥b,又m⊥n,所以m∥b,則m∥α;對(duì)④,設(shè)α∩β=l,在α內(nèi)作m′⊥β,因?yàn)閙⊥β,所以m∥m′,從而m∥α.故四個(gè)命題都正確.
6 26、.在正三棱錐S-ABC中,M,N分別是SC,BC的中點(diǎn),且MN⊥AM,若側(cè)棱SA=2,則正三棱錐S-ABC外接球的表面積是( )
A.12π B.32π
C.36π D.48π
答案 C
解析 由MN⊥AM且MN是△BSC的中位線得BS⊥AM,
又由正三棱錐的性質(zhì)得BS⊥AC,∴BS⊥面ASC.
即正三棱錐S-ABC的三側(cè)棱SA、SB、SC兩兩垂直,外接球直徑為SA=6.
∴球的表面積S=4πR2=4π×32=36π.選C.
二、填空題
7.已知兩條不同的直線m,n和兩個(gè)不同的平面α,β,給出下列四個(gè)命題:
①若m∥α,n∥β,且α∥β,則m∥n;②若m∥α,n⊥ 27、β,且α⊥β,則m∥n;③若m⊥α,n∥β,且α∥β,則m⊥n;④若m⊥α,n⊥β,且α⊥β,則m⊥n.其中正確的個(gè)數(shù)為_________________.
答案 2
解析 ①中m,n可能異面或相交,故不正確;②因?yàn)閙∥α,n⊥β,且α⊥β成立時(shí),m,n兩直線的關(guān)系可能是相交、平行、異面,故不正確;③因?yàn)閙⊥α,α∥β可得出m⊥β,再由n∥β可得出m⊥n,故正確;④分別垂直于兩個(gè)垂直平面的兩條直線一定垂直,正確.故③④正確.
8.下列四個(gè)正方體圖形中,A,B為正方體的兩個(gè)頂點(diǎn),M,N,P分別為其所在棱的中點(diǎn),能得出AB∥平面MNP的圖形的序號(hào)是________(寫出所有符合要求的圖形序號(hào) 28、).
答案?、佗?
解析 對(duì)于①,注意到該正方體的面中過直線AB的側(cè)面與平面MNP平行,因此直線AB平行于平面MNP;對(duì)于②,注意到直線AB和過點(diǎn)A的一個(gè)與平面MNP平行的平面相交,因此直線AB與平面MNP相交;對(duì)于③,注意到此時(shí)直線AB與平面MNP內(nèi)的一條直線MP平行,且直線AB位于平面MNP外,因此直線AB與平面MNP平行;對(duì)于④,易知此時(shí)AB與平面MNP相交.綜上所述,能得出直線AB平行于平面MNP的圖形的序號(hào)是①③.
9.如圖,在三棱柱ABC-A1B1C1中,側(cè)棱AA1⊥底面ABC,底面是以∠ABC為直角的等腰直角三角形,AC=2a,BB1=3a,D是A1C1的中點(diǎn),點(diǎn)F在 29、線段AA1上,當(dāng)AF=________時(shí),CF⊥平面B1DF.
答案 a或2a
解析 由題意易知,B1D⊥平面ACC1A1,所以B1D⊥CF.
要使CF⊥平面B1DF,只需CF⊥DF即可.
令CF⊥DF,設(shè)AF=x,則A1F=3a-x.
易知Rt△CAF∽R(shí)t△FA1D,
得=,
即=,
整理得x2-3ax+2a2=0,
解得x=a或x=2a.
10.如圖,在長(zhǎng)方形ABCD中,AB=2,BC=1,E為DC的中點(diǎn),F(xiàn)為線段EC(不含端點(diǎn))上一動(dòng)點(diǎn).現(xiàn)將△AFD沿AF折起,使平面ABD⊥平面ABC.在平面ABD內(nèi)過點(diǎn)D作DK⊥AB,K為垂足.設(shè)AK=t,則t的取值范圍是____ 30、____.
答案
解析 破解此題可采用兩個(gè)極端位置法,
即對(duì)于F位于DC的中點(diǎn)時(shí),t=1,
隨著F點(diǎn)到C點(diǎn)時(shí),
∵CB⊥AB,CB⊥DK,
∴CB⊥平面ADB,
即有CB⊥BD,
對(duì)于CD=2,BC=1,
∴BD=,
又AD=1,AB=2,因此有AD⊥BD,
則有t=,
因此t的取值范圍是.
三、解答題
11.如圖所示,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=3,BC=4,AB=5,AA1=4,點(diǎn)D是AB的中點(diǎn),
(1)求證:AC⊥BC1;
(2)求證:AC1∥平面CDB1.
證明 (1)直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面三邊長(zhǎng)AC=3,BC=4,AB 31、=5,
∴AB2=AC2+BC2,
∴AC⊥BC.CC1⊥平面ABC,
AC?平面ABC,
∴AC⊥CC1,又BC∩CC1=C,
∴AC⊥平面BCC1B1,
BC1?平面BCC1B1,
∴AC⊥BC1.
(2)設(shè)CB1與C1B的交點(diǎn)為E,連接DE,
∵D是AB的中點(diǎn),E是C1B的中點(diǎn),
∴DE∥AC1,
∵DE?平面CDB1,AC1?平面CDB1,
∴AC1∥平面CDB1.
12.如圖所示,三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥平面ABC,D,E分別為A1B1,AA1的中點(diǎn),點(diǎn)F在棱AB上,且AF=AB.
(1)求證:EF∥平面BC1D;
(2)在棱AC上是否存在 32、一個(gè)點(diǎn)G,使得平面EFG將三棱柱分割成的兩部分體積之比為1∶15,若存在,指出點(diǎn)G的位置;若不存在,請(qǐng)說明理由.
(1)證明 取AB的中點(diǎn)M,連接A1M.
因?yàn)锳F=AB,所以F為AM的中點(diǎn).
又E為AA1的中點(diǎn),所以EF∥A1M.
在三棱柱ABC-A1B1C1中,D,M分別是A1B1,AB的中點(diǎn),
所以A1D∥BM,A1D=BM,
所以四邊形A1DBM為平行四邊形,所以A1M∥BD.
所以EF∥BD.
因?yàn)锽D?平面BC1D,EF?平面BC1D,
所以EF∥平面BC1D.
(2)解 設(shè)AC上存在一點(diǎn)G,使得平面EFG將三棱柱分割成兩部分的體積之比為1∶15,如圖所示.
33、則VE-AFG∶VABC-A1B1C1=1∶16,
所以
==×××=×,
由題意,×=,解得==.
所以AG=AC>AC,所以符合要求的點(diǎn)G不存在.
13.(xx·廣東)如圖(1),四邊形ABCD為矩形,PD⊥平面ABCD,AB=1,BC=PC=2,作如圖(2)折疊,折痕EF∥DC.其中點(diǎn)E,F(xiàn)分別在線段PD,PC上,沿EF折疊后點(diǎn)P疊在線段AD上的點(diǎn)記為M,并且MF⊥CF.
(1)證明:CF⊥平面MDF;
(2)求三棱錐M-CDE的體積.
(1)證明 如圖,
因?yàn)镻D⊥平面ABCD,AD?平面ABCD,
所以PD⊥AD.
又因?yàn)锳BCD是矩形,CD⊥AD,
PD與CD交于點(diǎn)D,PD∩CD=D,
所以AD⊥平面PCD.
又CF?平面PCD,
所以AD⊥CF,即MD⊥CF.
又MF⊥CF,MD∩MF=M,
所以CF⊥平面MDF.
(2)解 因?yàn)镻D⊥DC,PC=2,CD=1,∠PCD=60°,
所以PD=,由(1)知FD⊥CF,
在直角三角形DCF中,CF=CD=.
過點(diǎn)F作FG⊥CD,垂足為G,得FG=FCsin 60°=×=,
所以DE=FG=,故ME=PE=-=,
所以MD== =.
S△CDE=DE·DC=××1=.
故VM-CDE=MD·S△CDE=××=.
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