《（渝皖瓊）2018-2019學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第一章 立體幾何初步 5.2 平行關(guān)系的性質(zhì)學(xué)案 北師大版必修2》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《（渝皖瓊）2018-2019學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第一章 立體幾何初步 5.2 平行關(guān)系的性質(zhì)學(xué)案 北師大版必修2（20頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、 5.2　平行關(guān)系的性質(zhì) 學(xué)習(xí)目標(biāo)　1.能應(yīng)用文字語言、符號語言、圖形語言準(zhǔn)確描述直線與平面平行，兩平面平行的性質(zhì)定理.2.能用兩個性質(zhì)定理，證明一些空間線面平行關(guān)系的簡單問題． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知識點一　直線與平面平行的性質(zhì) 思考1　如圖，直線l∥平面α，直線a平面α，直線l與直線a一定平行嗎？為什么？ 答案　不一定，因為還可能是異面直線． 思考2　如圖，直線a∥平面α，直線a平面β，平面α∩平面β＝直線b，滿足以上條件的平面β有多少個？直線a，b有什么位置關(guān)系？ 答案　無數(shù)個，a∥b. 梳理　性質(zhì)定理 文字語言 如果一條直線與一

2、個平面平行，那么過該直線的任意一個平面與已知平面的交線與該直線平行 符號語言 a∥α，aβ，α∩β＝b?a∥b 圖形語言 知識點二　平面與平面平行的性質(zhì) 觀察長方體ABCD－A1B1C1D1的兩個面：平面ABCD及平面A1B1C1D1. 思考1　平面A1B1C1D1中的所有直線都平行于平面ABCD嗎？ 答案　是的． 思考2　若m平面ABCD，n平面A1B1C1D1，則m∥n嗎？ 答案　不一定，也可能異面． 思考3　過BC的平面交平面A1B1C1D1于B1C1，B1C1與BC是什么關(guān)系？ 答案　平行． 梳理　性質(zhì)定理 文字語言 如果兩個平行平面同時與

3、第三個平面相交，那么它們的交線平行 符號語言 α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b?a∥b 圖形語言 知識點三　平行關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化 1．若直線l不平行于平面α，則直線l就不平行于平面α內(nèi)的任意一條直線．(　×　) 2．若平面α∥平面β，l平面β，m平面α，則l∥m.(　×　) 3．夾在兩平行平面的平行線段相等．(　√　) 類型一　線面平行的性質(zhì)定理的應(yīng)用 例1　如圖所示，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是平行四邊形，AC與BD交于點O，M是PC的中點，在DM上取一點G，過G和AP作平面交平面BDM于GH，求證：AP∥GH. 考點　直線與平面平行的性

4、質(zhì) 題點　利用性質(zhì)證明平行問題 證明　連接MO. ∵四邊形ABCD是平行四邊形， ∴O是AC的中點． 又∵M是PC的中點，∴AP∥OM. 又∵AP?平面BDM，OM平面BDM， ∴AP∥平面BDM. 又∵AP平面APGH，平面APGH∩平面BDM＝GH，∴AP∥GH. 引申探究 如圖，在三棱錐P－ABQ中，E，F(xiàn)，C，D分別是PA，PB，QB，QA的中點，平面PCD∩平面QEF＝GH. 求證：AB∥GH. 證明　因為D，C，E，F(xiàn)分別是AQ，BQ，AP，BP的中點， 所以EF∥AB，DC∥AB. 所以EF∥DC. 又EF?平面PCD，DC

5、平面PCD， 所以EF∥平面PCD. 又EF平面EFQ， 平面EFQ∩平面PCD＝GH， 所以EF∥GH. 又EF∥AB，所以AB∥GH. 反思與感悟　線∥面線∥線．在空間平行關(guān)系中，交替使用線線平行、線面平行的判定定理與性質(zhì)定理是解決此類問題的關(guān)鍵． 跟蹤訓(xùn)練1　如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，點E為AD的中點，點F在CD上，若EF∥平面AB1C，則線段FE的長度為________． 考點　直線與平面平行的性質(zhì) 題點　利用性質(zhì)求線段長度 答案　 解析　∵EF∥平面AB1C，又平面ADC∩平面AB1C＝AC，EF平面ADC，

6、 ∴EF∥AC，∵E是AD的中點， ∴EF＝AC＝×2＝. 類型二　面面平行的性質(zhì)定理的應(yīng)用 例2　如圖，平面α∥β，A，C∈α，B，D∈β，直線AB與CD交于點S，且AS＝8，BS＝9，CD＝34，求CS的長． 考點　平面與平面平行的性質(zhì) 題點　利用性質(zhì)求線段長 解　設(shè)AB，CD都在平面γ上， 因為γ∩α＝AC，γ∩β＝BD，且α∥β， 所以AC∥BD， 所以△SAC∽△SBD， 所以＝， 即＝， 所以SC＝272. 引申探究 若將本例改為：點S在平面α，β之間(如圖)，其他條件不變，求CS的長． 解　設(shè)AB，CD共面γ，γ∩α＝AC，γ∩β

7、＝BD. 因為α∥β，所以AC與BD無公共點，所以AC∥BD， 所以△ACS∽△BDS，所以＝. 設(shè)CS＝x，則＝，所以x＝16， 即CS＝16. 反思與感悟　應(yīng)用平面與平面平行性質(zhì)定理的基本步驟 跟蹤訓(xùn)練2　已知：平面α∥平面β∥平面γ，兩條直線l，m分別與平面α，β，γ相交于點A，B，C和點D，E，F(xiàn)，如圖所示，求證：＝. 考點　平面與平面平行的性質(zhì) 題點　與面面平行性質(zhì)有關(guān)的計算 證明　如圖，連接DC，設(shè)DC與平面β相交于點G，則平面ACD與平面α，β分別相交于直線AD，BG，平面DCF與平面β，γ分別相交于直線GE，CF. 因為α∥β，β∥γ，所以BG∥

8、AD，GE∥CF. 于是，得＝，＝，所以＝. 類型三　平行關(guān)系的綜合應(yīng)用 命題角度1　由面面平行證明線面平行 例3　設(shè)AB，CD為夾在兩個平行平面α，β之間的線段，且直線AB，CD為異面直線，M，P分別為AB，CD的中點．求證：MP∥平面β. 考點　平行問題的綜合應(yīng)用 題點　線線、線面、面面平行的相互轉(zhuǎn)化 證明　如圖，過點A作AE∥CD交平面β于點E， 連接DE，BE. ∵AE∥CD，∴AE，CD確定一個平面，設(shè)為γ， 則α∩γ＝AC，β∩γ＝DE. 又α∥β，∴AC∥DE， 取AE的中點N，連接NP，MN， ∵M，P分別為AB，CD的中點， ∴NP∥DE，MN

9、∥BE. 又NP?β，DEβ，MN?β，BEβ，∴NP∥β，MN∥β， ∵NP∩MN＝N，∴平面MNP∥β. ∵MP平面MNP，MP?β，∴MP∥β. 反思與感悟　線線平行、線面平行、面面平行是一個有機的整體，平行關(guān)系的判定定理、性質(zhì)定理是轉(zhuǎn)化平行關(guān)系的關(guān)鍵，其內(nèi)在聯(lián)系如圖所示： 跟蹤訓(xùn)練3　如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，點N在BD上，點M在B1C上，且CM＝DN. 求證：MN∥平面AA1B1B. 考點　平行問題的綜合應(yīng)用 題點　線線、線面、面面平行的相互轉(zhuǎn)化 證明　如圖，作MP∥BB1交BC于點P，連接NP， ∵M

10、P∥BB1，∴＝. ∵BD＝B1C，DN＝CM， ∴B1M＝BN. ∴＝，∴NP∥CD∥AB. ∵NP?平面AA1B1B，AB平面AA1B1B， ∴NP∥平面AA1B1B. ∵MP∥BB1，MP?平面AA1B1B，BB1平面AA1B1B， ∴MP∥平面AA1B1B， 又∵MP平面MNP，NP平面MNP，MP∩NP＝P， ∴平面MNP∥平面AA1B1B. ∵MN平面MNP，∴MN∥平面AA1B1B. 命題角度2　探索性問題 例4　在棱長為2的正方體ABCD－A1B1C1D1中，A1B1的中點是P，過點A1作與截面PBC1平行的截面，能否確定截面的形狀？如果能，求

11、出截面的面積． 考點　 題點　 解　能，如圖，取AB，C1D1的中點M，N，連接A1M，MC，CN，NA1. ∵平面A1C1∥平面AC，平面A1C∩平面A1C1＝A1N，平面AC∩平面A1C＝MC， ∴A1N∥MC. 同理，A1M∥NC. ∴四邊形A1MCN是平行四邊形． ∵C1N＝C1D1＝A1B1＝A1P，C1N∥A1P， ∴四邊形A1PC1N是平行四邊形， ∴A1N∥PC1且A1N＝PC1. 同理，A1M∥BP且A1M＝BP. 又∵A1N∩A1M＝A1，C1P∩PB＝P， ∴平面A1MCN∥平面PBC1. 故過點A1與截面PBC1平行的截面是?

12、A1MCN. 連接MN，作A1H⊥MN于點H. 由題意，易得A1M＝A1N＝，MN＝2. ∴MH＝NH＝，∴A1H＝. 故＝＝2××2×＝2. 反思與感悟　在將線面平行轉(zhuǎn)化為線線平行時，注意觀察圖形中是不是性質(zhì)定理中符合條件的平面． 跟蹤訓(xùn)練4　如圖所示，已知P是?ABCD所在平面外一點，M，N分別是AB，PC的中點，平面PBC∩平面PAD＝l. (1)求證：l∥BC； (2)MN與平面PAD是否平行？試證明你的結(jié)論． 考點　直線與平面平行的性質(zhì) 題點　利用性質(zhì)證明平行問題 (1)證明　因為BC∥AD，BC?平面PAD， AD平面PAD， 所以BC∥平面PAD.

13、 又因為平面PBC∩平面PAD＝l，所以BC∥l. (2)解　平行．證明如下： 如圖，取PD的中點E，連接AE，NE， 可以證得NE∥AM且NE＝AM， 所以四邊形MNEA是平行四邊形，所以MN∥AE. 又AE平面PAD，MN?平面PAD， 所以MN∥平面PAD. 1．如圖所示，在三棱錐S－ABC中，E，F(xiàn)分別是SB，SC上的點，且EF∥平面ABC，則(　　) A．EF與BC相交 B．EF∥BC C．EF與BC異面 D．以上均有可能 考點　直線與平面平行的性質(zhì) 題點　利用性質(zhì)判定位置關(guān)系 答案　B 解析　∵EF∥平面ABC，而平面SBC∩平面A

14、BC＝BC， EF平面SBC，∴EF∥BC. 2．直線a∥平面α，α內(nèi)有n條直線交于一點，則這n條直線中與直線a平行的直線有(　　) A．0條 B．1條 C．0條或1條 D．無數(shù)條 考點　直線與平面平行的性質(zhì) 題點　利用性質(zhì)判定位置關(guān)系 答案　C 解析　過直線a與交點作平面β，設(shè)平面β與α交于直線b，則a∥b，若所給n條直線中有1條是與b重合的，則此直線與直線a平行，若沒有與b重合的，則與直線a平行的直線有0條． 3．給出四種說法： ①若平面α∥平面β，平面β∥平面γ，則平面α∥平面γ； ②若平面α∥平面β，直線a與α相交，則a與β相交； ③若平面α∥平面β，

15、P∈α，PQ∥β，則PQα； ④若直線a∥平面β，直線b∥平面α，且α∥β，則a∥b. 其中正確說法的序號是________． 考點　平行問題的綜合應(yīng)用 題點　線線、線面、面面平行的相互轉(zhuǎn)化 答案　①②③ 解析　①正確，因為平面α與γ沒有公共點； ②正確，若直線a與平面β平行或直線aβ，則由平面α∥平面β， 知aα或a與α無公共點， 這與直線a與α相交矛盾，所以a與β相交． ③正確，如圖所示， 過直線PQ作平面γ，γ∩α＝a，γ∩β＝b， 由α∥β得a∥b， 因為PQ∥β，PQγ.所以PQ∥b， 因為過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行，所以直線a

16、與直線PQ重合，因為aα，所以PQα； ④錯誤，若直線a∥平面β，直線b∥平面α，且α∥β，則a與b平行、相交和異面都有可能． 4.如圖所示，直線a∥平面α，A?α，并且a和A位于平面α兩側(cè)，點B，C∈a，AB，AC分別交平面α于點E，F(xiàn)，若BC＝4，CF＝5，AF＝3，則EF＝______. 考點　直線與平面平行的性質(zhì) 題點　利用性質(zhì)求線段長度 答案　 解析　由于點A不在直線a上，則直線a和點A確定一個平面β，所以α∩β＝EF. 因為a∥平面α，a平面β，所以EF∥a. 所以＝. 所以EF＝＝＝. 5.如圖，AB是圓O的直徑 ，點C是圓O上異于A，B的點，P為平

17、面ABC外一點，E，F(xiàn)分別是PA，PC的中點．記平面BEF與平面ABC的交線為l，試判斷直線l與平面PAC的位置關(guān)系，并加以證明． 考點　直線與平面平行的性質(zhì) 題點　利用性質(zhì)證明平行問題 解　直線l∥平面PAC. 證明如下： 因為E，F(xiàn)分別是PA，PC的中點， 所以EF∥AC. 又EF?平面ABC，且AC平面ABC， 所以EF∥平面ABC. 而EF平面BEF，且平面BEF∩平面ABC＝l， 所以EF∥l. 因為l?平面PAC，EF平面PAC， 所以l∥平面PAC. 1．空間中各種平行關(guān)系相互轉(zhuǎn)化關(guān)系的示意圖 2．證明線與線、線與面的平行關(guān)系的一般

18、規(guī)律是：“由已知想性質(zhì)，由求證想判定”，是分析和解決問題的一般思維方法，而作輔助線和輔助面往往是溝通已知和未知的有效手段. 一、選擇題 1.如圖所示的三棱柱ABC—A1B1C1中，過A1B1的平面與平面ABC交于直線DE，則DE與AB的位置關(guān)系是(　　) A．異面 B．平行 C．相交 D．以上均有可能 考點　平面與平面平行的性質(zhì) 題點　利用性質(zhì)證明平行問題 答案　B 解析　由面面平行的性質(zhì)定理，可得DE∥A1B1，又A1B1∥AB，所以DE∥AB. 2．如圖所示，P是三角形ABC所在平面外一點，平面α∥平面ABC，α分別交線段PA，PB，PC于點A′，B′，C′.

19、若PA′∶AA′＝2∶3，則S△A′B′C′∶S△ABC等于(　　) A．2∶25 B．4∶25 C．2∶5 D．4∶5 考點　平面與平面平行的性質(zhì) 題點　與面面平行性質(zhì)有關(guān)的計算 答案　B 解析　∵平面α∥平面ABC，平面PAB與它們的交線分別為A′B′，AB，∴A′B′∥AB.同理B′C′∥BC，A′C′∥AC，從而易得△A′B′C′∽△ABC，且＝＝， ∴S△A′B′C′∶S△ABC＝2＝. 3．如圖，在四面體A－BCD中，若截面PQMN是正方形，則在下列說法中，錯誤的是(　　) A．AC⊥BD B．AC∥截面PQMN C．AC＝BD D．異面直線

20、PM與BD所成的角為45° 考點　 題點　 答案　C 解析　∵截面PQMN為正方形，∴PQ∥MN，從而易得PQ∥平面DAC.又∵平面ABC∩平面ADC＝AC，PQ平面ABC，∴PQ∥AC.從而易得AC∥平面PNMQ.同理可得QM∥BD.又∵PQ⊥QM，∠PMQ＝45°，∴AC⊥BD，且異面直線PM與BD所成的角為45°.故選項A，B，D正確． 4．a(chǎn)，b，c為三條不重合的直線，α，β，γ為三個不重合的平面，給出的下列說法中，正確的個數(shù)為(　　) ①?a∥b；②?a∥b；③?α∥β；④?α∥β. A．1 B．2 C．3 D．4 考點　平行的綜合應(yīng)用 題點　線線、線面、面

21、面平行的相互轉(zhuǎn)化 答案　B 解析　只有①④正確． 5．設(shè)α∥β，A∈α，B∈β，C是AB的中點，當(dāng)A，B分別在平面α，β內(nèi)運動時，得到無數(shù)個AB的中點C，那么所有的動點C(　　) A．不共面 B．當(dāng)且僅當(dāng)A，B分別在兩條直線上移動時才共面 C．當(dāng)且僅當(dāng)A，B分別在兩條給定的異面直線上移動時才共面 D．不論A，B如何移動，都共面 考點　平面與平面平行的性質(zhì) 題點　利用性質(zhì)判定位置關(guān)系 答案　D 解析　如圖所示，A′，B′分別是A，B兩點在α，β上運動后的兩點，此時AB中點C變成A′B′的中點C′，連接A′B，取A′B的中點E.連接CE，C′E，AA′，BB′，CC′，則CE

22、∥AA′， 又CE?平面α，AA′平面α，∴CE∥平面α. 又C′E∥BB′，C′E?平面β，BB′平面β， ∴C′E∥平面β. 又∵平面α∥平面β，C′E?平面α， ∴C′E∥平面α. ∵C′E∩CE＝E，C′E，CE平面CC′E， ∴平面CC′E∥平面α， ∴CC′∥平面α. ∴不論A，B如何移動，所有的動點C都在過C點且與平面α，β平行的平面上． 6．設(shè)m，n表示不同的直線，α，β表示不同的平面，則下列結(jié)論中正確的是(　　) A．若m∥α，m∥n，則n∥α B．若mα，nβ，m∥β，n∥α，則α∥β C．若α∥β，m∥α，m∥n，則n∥β D．若

23、α∥β，m∥α，n∥m，n?β，則n∥β 考點　平行的綜合應(yīng)用 題點　線線、線面、面面平行的相互轉(zhuǎn)化 答案　D 解析　A選項不正確，n可能在平面α內(nèi)，B選項不正確，平面α可能與平面β相交；C選項不正確，n可能在平面β內(nèi)；選項D正確． 7．如圖，四棱錐S－ABCD的所有的棱長都等于2，E是SA的中點，過C，D，E三點的平面與SB交于點F，則四邊形DEFC的周長為(　　) A．2＋ B．3＋ C．3＋2 D．2＋2 考點　直線與平面平行的性質(zhì) 題點　利用性質(zhì)求線段長度 答案　C 解析　∵CD∥AB，CD?平面SAB，AB平面SAB， ∴CD∥平面SAB. 又

24、平面CDEF∩平面SAB＝EF，∴CD∥EF， 又CD∥AB，∴AB∥EF. ∵SE＝EA，∴EF為△ABS的中位線， ∴EF＝AB＝1，又DE＝CF＝， ∴四邊形DEFC的周長為3＋2. 8．過平面α外的直線l，作一組平面與α相交，如果所得的交線為a，b，c，…，則這些交線的位置關(guān)系為(　　) A．都平行 B．都相交且一定交于同一點 C．都相交但不一定交于同一點 D．都平行或交于同一點 考點　 題點　 答案　D 解析　∵l?α，∴l(xiāng)∥α或l與α相交． ①若l∥α，則由線面平行的性質(zhì)定理可知l∥a，l∥b，l∥c，…， ∴a，b，c，…，這些交線都平行． ②若l

25、與α相交，不妨設(shè)l∩α＝A，則A∈l，又由題意可知A∈a，A∈b，A∈c，…，∴這些交線交于同一點A. 綜上可知D正確． 二、填空題 9．α，β，γ是三個兩兩平行的平面，且α與β之間的距離是3，α與γ之間的距離是4，則β與γ之間的距離是________． 考點　平面與平面平行的性質(zhì) 題點　與面面平行性質(zhì)有關(guān)的計算 答案　1或7 解析　β與γ位于α的兩側(cè)時，β與γ間的距離是7；當(dāng)β與γ位于α同側(cè)時，β與γ間的距離是1. 10．如圖所示，ABCD—A1B1C1D1是棱長為a的正方體，M，N分別是下底面的棱A1B1，B1C1的中點，P是上底面的棱AD上的一點，AP＝，過P，M，N的平

26、面交上底面于PQ，Q在CD上，則PQ＝________. 考點　直線與平面平行的性質(zhì) 題點　利用性質(zhì)求線段長度 答案　a 解析　∵MN∥平面AC，平面PMN∩平面AC＝PQ， ∴MN∥PQ，易知DP＝DQ＝， 故PQ＝＝DP＝. 11.如圖所示，在空間四邊形ABCD中，E、F、G、H分別是四邊上的點，它們共面，并且AC∥平面EFGH，BD∥平面EFGH，AC＝m，BD＝n，當(dāng)四邊形EFGH是菱形時，AE∶EB＝________. 考點　直線與平面平行的性質(zhì) 題點　與性質(zhì)有關(guān)的其他問題 答案　m∶n 解析　∵AC∥平面EFGH， ∴EF∥AC，GH∥AC， ∴E

27、F＝HG＝m· ， 同理EH＝FG＝n· . ∵四邊形EFGH是菱形， ∴m· ＝n· ， ∴AE∶EB＝m∶n. 12．已知平面α∥β，P?α且P?β，過點P的直線m與α，β分別交于點A，C，過點P的直線n與α，β分別交于點B，D，且PA＝6，AC＝9，PD＝8，則BD的長為________． 考點　平面與平面平行的性質(zhì) 題點　利用性質(zhì)求線段長 答案　或24 解析　如圖①所示，∵AC∩BD＝P， ∴經(jīng)過直線AC與BD可確定平面PCD. ∵α∥β，α∩平面PCD＝AB，β∩平面PCD＝CD， ∴AB∥CD. ∴＝，即＝，∴BD＝. 如圖②所示，同理可證AB∥CD

28、，∴＝， 即＝，∴BD＝24. 綜上所述，BD的長為或24. 三、解答題 13．如圖所示，四邊形ABCD是平行四邊形，P?平面ABCD，過BC作平面BCFE交AP于點E，交DP于點F. 求證：四邊形BCFE是梯形． 考點　平行公理 題點　判斷、證明線線平行 證明　因為四邊形ABCD為平行四邊形， 所以BC∥AD，因為AD平面PAD，BC?平面PAD， 所以BC∥平面PAD. 因為平面BCFE∩平面PAD＝EF，BC平面BCFE， 所以BC∥EF. 因為AD＝BC，AD≠EF， 所以BC≠EF， 所以四邊形BCFE是梯形． 四、探究與拓展 14．在空間四

29、邊形ABCD中，E，F(xiàn)，G，H分別是AB，BC，CD，DA上的點，當(dāng)BD∥平面EFGH時，下面結(jié)論正確的是(　　) A．E，F(xiàn)，G，H一定是各邊的中點 B．G，H一定是CD，DA的中點 C．BE∶EA＝BF∶FC，且DH∶HA＝DG∶GC D．AE∶EB＝AH∶HD，且BF∶FC＝DG∶GC 考點　直線與平面平行的性質(zhì) 題點　與性質(zhì)有關(guān)的其他問題 答案　D 解析　由于BD∥平面EFGH，所以有BD∥EH，BD∥FG，則AE∶EB＝AH∶HD，且BF∶FC＝DG∶GC. 15．如圖所示，四邊形EFGH為四面體A－BCD的一個截面，若截面為平行四邊形． (1)求證：AB∥平面EFGH； (2)若AB⊥CD，求證：四邊形EFGH為矩形． 考點　直線與平面平行的性質(zhì) 題點　與性質(zhì)有關(guān)的其他問題 證明　(1)∵EFGH為平行四邊形，∴EF∥HG. ∵HG平面ABD，EF?平面ABD， ∴EF∥平面ABD. ∵EF平面ABC，平面ABD∩平面ABC＝AB， ∴EF∥AB. 又EF平面EFGH，AB?平面EFGH， ∴AB∥平面EFGH. (2)由(1)同理可證CD∥EH， ∴∠FEH即是AB與CD所成的角． ∵AB⊥CD，∴∠FEH＝90°， ∴平行四邊形EFGH為矩形． 20