第五章 平面向量 第一節(jié) 平面向量的概念及線性運(yùn)算 本節(jié)主要包括2個(gè)知識(shí)點(diǎn)：　1.平面向量的有關(guān)概念；2.平面向量的線性運(yùn)算. 突破點(diǎn)(一)　平面向量的有關(guān)概念　 名稱 定義 備注 向量 既有大小又有方向的量叫做向量；向量的大小叫做向量的長(zhǎng)度(或稱模) 平面向量是自由向量，平面向量可自由平移 零向量 長(zhǎng)度為0的向量；其方向是任意的 記作0 單位向量 長(zhǎng)度等于1個(gè)單位的向量 非零向量a的單位向量為± 平行向量 方向相同或相反的非零向量，又叫做共線向量 0與任一向量平行或共線 相等向量 長(zhǎng)度相等且方向相同的向量 兩向量只有相等或不等，不能比較大小 相反向量 長(zhǎng)度相等且方向相反的向量 0的相反向量為0 1．判斷題 (1)向量與有向線段是一樣的，因此可以用有向線段來(lái)表示向量．(　　) (2) 若a∥b，b∥c，則a∥c.(　　) (3)若向量a與b不相等，則a與b一定不可能都是零向量．(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)√ 2．填空題 (1)給出下列命題： ①若a＝b，b＝c，則a＝c； ②若A，B，C，D是不共線的四點(diǎn)，則＝是四邊形ABCD為平行四邊形的充要條件； ③a＝b的充要條件是|a|＝|b|且a∥b； 其中正確命題的序號(hào)是________． 解析：①正確．∵a＝b，∴a，b的長(zhǎng)度相等且方向相同， 又b＝c，∴b，c的長(zhǎng)度相等且方向相同， ∴a，c的長(zhǎng)度相等且方向相同，故a＝c. ②正確．∵＝，∴||＝||且∥， 又A，B，C，D是不共線的四點(diǎn)， ∴四邊形ABCD為平行四邊形； 反之，若四邊形ABCD為平行四邊形， 則∥且||＝||，因此，＝. ③不正確．當(dāng)a∥b且方向相反時(shí)，即使|a|＝|b|，也不能得到a＝b，故|a|＝|b|且a∥b不是a＝b的充要條件，而是必要不充分條件． 綜上所述，正確命題的序號(hào)是①②. 答案：①② (2)若a、b都為非零向量，則使＋＝0成立的條件是________． 答案：a與b反向共線 平面向量的有關(guān)概念 　　　　　　　　　　　　　　　　　 [典例]　(1)(2018·海淀期末)下列說(shuō)法正確的是(　　) A．長(zhǎng)度相等的向量叫做相等向量 B．共線向量是在同一條直線上的向量 C．零向量的長(zhǎng)度等于0 D．∥就是所在的直線平行于所在的直線 (2)(2018·棗莊期末)下列命題正確的是(　　) A．若|a|＝|b|，則a＝b B．若|a|>|b|，則a>b C．若a＝b，則a∥b D．若|a|＝0，則a＝0 [解析]　(1)長(zhǎng)度相等且方向相同的向量叫做相等向量，故A不正確；方向相同或相反的非零向量叫做共線向量，但共線向量不一定在同一條直線上，故B不正確；顯然C正確；當(dāng)∥時(shí)，所在的直線與所在的直線可能重合，故D不正確． (2)對(duì)于A，當(dāng)|a|＝|b|，即向量a，b的模相等時(shí)，方向不一定相同，故a＝b不一定成立；對(duì)于B，向量的模可以比較大小，但向量不可以比較大小，故B不正確；C顯然正確；對(duì)于D，若|a|＝0，則a＝0，故D不正確，故選C. [答案]　(1)C　(2)C [易錯(cuò)提醒] (1)兩個(gè)向量不能比較大小，只可以判斷它們是否相等，但它們的?？梢员容^大??； (2)大小與方向是向量的兩個(gè)要素，分別是向量的代數(shù)特征與幾何特征； (3)向量可以自由平移，任意一組平行向量都可以移到同一直線上．　　 1．給出下列命題： ①兩個(gè)具有公共終點(diǎn)的向量，一定是共線向量； ②λa＝0(λ為實(shí)數(shù))，則λ必為零； ③λ，μ為實(shí)數(shù)，若λa＝μb，則a與b共線． 其中錯(cuò)誤的命題的個(gè)數(shù)為(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 解析：選D　①錯(cuò)誤，兩向量共線要看其方向而不是起點(diǎn)或終點(diǎn)．②錯(cuò)誤，當(dāng)a＝0時(shí)，不論λ為何值，λa＝0.③錯(cuò)誤，當(dāng)λ＝μ＝0時(shí)，λa＝μb＝0，此時(shí)，a與b可以是任意向量．錯(cuò)誤的命題有3個(gè)，故選D. 2．關(guān)于平面向量，下列說(shuō)法正確的是(　　) A．零向量是唯一沒(méi)有方向的向量 B．平面內(nèi)的單位向量是唯一的 C．方向相反的向量是共線向量，共線向量不一定是方向相反的向量 D．共線向量就是相等向量 解析：選C　對(duì)于A，零向量是有方向的，其方向是任意的，故A不正確；對(duì)于B，單位向量的模為1，其方向可以是任意方向，故B不正確；對(duì)于C，方向相反的向量一定是共線向 量，共線向量不一定是方向相反的向量，故C正確；對(duì)于D，由共線向量和相等向量的定義可知D不正確，故選C. 3.如圖，△ABC和△A′B′C′是在各邊的處相交的兩個(gè)全等的等邊三角形，設(shè)△ABC的邊長(zhǎng)為a，圖中列出了長(zhǎng)度均為的若干個(gè)向量，則 (1)與向量相等的向量有________； (2)與向量共線，且模相等的向量有________； (3)與向量EA―→共線，且模相等的向量有________． 解析：向量相等?向量方向相同且模相等． 向量共線?表示有向線段所在的直線平行或重合． 答案：(1) ， 　(2) ， ，， ， (3) ， ， ，， 突破點(diǎn)(二)　平面向量的線性運(yùn)算　 1．向量的線性運(yùn)算 向量運(yùn)算 定義 法則(或幾何意義) 運(yùn)算律 加法 求兩個(gè)向量和的運(yùn)算 交換律：a＋b＝b＋a；結(jié)合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c) 減法 求a與b的相反向量－b的和的運(yùn)算 a－b＝a＋(－b) 數(shù)乘 求實(shí)數(shù)λ與向量a的積的運(yùn)算 |λa|＝|λ||a|，當(dāng)λ＞0時(shí)，λa與a的方向相同；當(dāng)λ＜0時(shí)，λa與a的方向相反；當(dāng)λ＝0時(shí)，λa＝0 λ(μ a)＝(λ μ)a； (λ＋μ)a ＝λa＋μa； λ(a＋b) ＝λa＋λb 2.平面向量共線定理 向量b與a(a≠0)共線的充要條件是有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使得b＝λa. 1．判斷題 (1)a∥b是a＝λb(λ∈R)的充要條件．(　　) (2)△ABC中，D是BC的中點(diǎn)，則＝(＋)．(　　) 答案：(1)×　(2)√ 2．填空題 (1)化簡(jiǎn)： ①＋＋＋＝________. ②＋＋－＝________. 答案：①　②0 (2)若菱形ABCD的邊長(zhǎng)為2，則|－＋|＝________. 解析：|－＋|＝|＋＋|＝||＝2. 答案：2 (3)在?ABCD中，＝a，＝b， ＝3，則＝________(用a，b表示)． 答案：a＋b 平面向量的線性運(yùn)算 應(yīng)用平面向量的加法、減法和數(shù)乘運(yùn)算的法則即可．注意加法的三角形法則要求“首尾相接”，加法的平行四邊形法則要求“起點(diǎn)相同”；減法的三角形法則要求“起點(diǎn)相同”且差向量指向“被減向量”；數(shù)乘運(yùn)算的結(jié)果仍是一個(gè)向量，運(yùn)算過(guò)程可類比實(shí)數(shù)運(yùn)算． [例1]　(1)(2018·河南中原名校聯(lián)考)如圖，在直角梯形ABCD中，AB＝2AD＝2DC，E為BC邊上一點(diǎn)，＝3，F(xiàn)為AE的中點(diǎn)，則＝(　　) A.－ B.－ C．－＋ D．－＋ (2)(2018·深圳模擬)如圖所示，正方形ABCD中，M是BC的中點(diǎn)，若＝λ＋μ，則λ＋μ＝(　　) A. B. C. D．2 [解析]　(1)＝＋＝＋ ＝－＋(＋＋) ＝－＋ ＝－＋＋＋(＋＋) ＝－＋. (2)因?yàn)椋溅耍蹋溅?＋)＋μ(＋)＝λ＋μ(－＋)＝(λ－μ)＋，且＝＋，所以得 所以λ＋μ＝，故選B. [答案]　(1)C　(2)B [方法技巧] 1．平面向量的線性運(yùn)算技巧 (1)不含圖形的情況：可直接運(yùn)用相應(yīng)運(yùn)算法則求解． (2)含圖形的情況：將它們轉(zhuǎn)化到三角形或平行四邊形中，充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位線等性質(zhì)，把未知向量用已知向量表示出來(lái)求解． 2．利用平面向量的線性運(yùn)算求參數(shù)的一般思路 (1)沒(méi)有圖形的準(zhǔn)確作出圖形，確定每一個(gè)點(diǎn)的位置． (2)利用平行四邊形法則或三角形法則進(jìn)行轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)化為要求的向量形式． (3)比較、觀察可知所求．　　 平面向量共線定理的應(yīng)用 求解向量共線問(wèn)題的注意事項(xiàng) (1)向量共線的充要條件中，當(dāng)兩向量共線時(shí)，通常只有非零向量才能表示與之共線的其他向量，注意待定系數(shù)法和方程思想的運(yùn)用． (2)證明三點(diǎn)共線問(wèn)題，可用向量共線來(lái)解決，但應(yīng)注意向量共線與三點(diǎn)共線的區(qū)別與聯(lián)系，當(dāng)兩向量共線且有公共點(diǎn)時(shí)，才能得到三點(diǎn)共線． (3)直線的向量式參數(shù)方程：A，P，B三點(diǎn)共線?＝(1－t)·＋t (O為平面內(nèi)任一點(diǎn)，t∈R)． [例2]　(1)(2017·蕪湖二模)已知向量a，b是兩個(gè)不共線的向量，若向量m＝4a＋b與n＝a－λb共線，則實(shí)數(shù)λ的值為(　　) A．－4 B．－ C. D．4 (2)(2018·懷化一模)已知向量a，b不共線，向量＝a＋3b，＝5a＋3b，＝－3a＋3b，則(　　) A．A，B，C三點(diǎn)共線 B．A，B，D三點(diǎn)共線 C．A，C，D三點(diǎn)共線 D．B，C，D三點(diǎn)共線 [解析]　(1)因?yàn)橄蛄縜，b是兩個(gè)不共線的向量，所以若向量m＝4a＋b與n＝a－λb共線，則4×(－λ)＝1×1，解得λ＝－，故選B. (2)因?yàn)椋剑?a＋6b＝2(a＋3b)＝2，所以，共線，又有公共點(diǎn)B，所以A，B，D三點(diǎn)共線．故選B. [答案]　(1)B　(2)B [方法技巧]　　　平面向量共線定理的三個(gè)應(yīng)用 證明向量共線 對(duì)于非零向量a，b，若存在實(shí)數(shù)λ，使a＝λb，則a與b共線 證明三點(diǎn)共線 若存在實(shí)數(shù)λ，使＝λ，與有公共點(diǎn)A，則A，B，C三點(diǎn)共線 求參數(shù)的值 利用向量共線定理及向量相等的條件列方程(組)求參數(shù)的值 [提醒]　證明三點(diǎn)共線時(shí)，需說(shuō)明共線的兩向量有公共點(diǎn)． 1. (2018·長(zhǎng)春一模)在梯形ABCD中，＝3，則＝(　　) A．－＋ B．－＋ C．－＋ D．－－ 解析：選A　因?yàn)樵谔菪蜛BCD中，＝3，所以＝＋＋＝－＋＋＝－＋，故選A. 2.已知a，b是不共線的向量，＝λa＋b，＝a＋μb，λ，μ∈R，則A，B，C三點(diǎn)共線的充要條件為(　　) A．λ＋μ＝2 B．λ－μ＝1 C．λμ＝－1 D．λμ＝1 解析：選D　∵A，B，C三點(diǎn)共線，∴∥，設(shè)＝m(m≠0)，則λa＋b＝m(a＋μb)，∴ ∴λμ＝1，故選D. 3.(2018·南寧模擬)已知e1，e2是不共線向量，a＝me1＋2e2，b＝ne1－e2，且mn≠0，若a∥b，則＝(　　) A．－ B. C．－2 D．2 解析：選C　∵a∥b，∴a＝λb，即me1＋2e2＝λ(ne1－e2)，則故＝－2. 4.已知點(diǎn)M是△ABC的邊BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E在邊AC上，且＝2，則＝(　　) A.＋ B.＋ C.＋ D.＋ 解析：選C　如圖，∵＝2，∴＝＋＝＋＝＋(－)＝＋. 5.如圖，在△OAB中，P為線段AB上的一點(diǎn)， ＝x＋y，且＝2，則(　　) A．x＝，y＝ B．x＝，y＝ C．x＝，y＝ D．x＝，y＝ 解析：選A　由題意知＝＋，又＝2，所以＝＋＝＋(－)＝＋，所以x＝，y＝. [全國(guó)卷5年真題集中演練——明規(guī)律] 1．(2015·全國(guó)卷Ⅰ)設(shè)D為△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，＝3，則(　　) A．＝－＋ B．＝－ C．＝＋ D．＝－ 解析：選A?。剑剑剑?－)＝－＝－＋，故選A. 2．(2014·全國(guó)卷Ⅰ)設(shè)D，E，F(xiàn)分別為△ABC的三邊BC，CA，AB的中點(diǎn)，則＋＝(　　) A． B. C． D. 解析：選A?。?＋)＋(＋)＝ (＋)＝，故選A. 3．(2015·全國(guó)卷Ⅱ)設(shè)向量a，b不平行，向量λa＋b與a＋2b平行，則實(shí)數(shù)λ＝________. 解析：∵λa＋b與a＋2b平行，∴λa＋b＝t(a＋2b)， 即λa＋b＝ta＋2tb，∴解得 答案： [課時(shí)達(dá)標(biāo)檢測(cè)] [小題對(duì)點(diǎn)練——點(diǎn)點(diǎn)落實(shí)] 對(duì)點(diǎn)練(一)　平面向量的有關(guān)概念 1．若向量a與b不相等，則a與b一定(　　) A．有不相等的模 B．不共線 C．不可能都是零向量 D．不可能都是單位向量 解析：選C　若a與b都是零向量，則a＝b，故選項(xiàng)C正確． 2．設(shè)a0為單位向量，下列命題中：①若a為平面內(nèi)的某個(gè)向量，則a＝|a|·a0；②若a與a0平行，則a＝|a|a0；③若a與a0平行且|a|＝1，則a＝a0.假命題的個(gè)數(shù)是(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 解析：選D　向量是既有大小又有方向的量，a與|a|a0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命題；若a與a0平行，則a與a0的方向有兩種情況：一是同向，二是反向，反向時(shí)a＝－|a|a0，故②③也是假命題．綜上所述，假命題的個(gè)數(shù)是3. 3．已知a，b是非零向量，命題p：a＝b，命題q：|a＋b|＝|a|＋|b|，則p是q的____________條件． 解析：若a＝b，則|a＋b|＝|2a|＝2|a|，|a|＋|b|＝|a|＋|a|＝2|a|，即p?q.若|a＋b|＝|a|＋|b|，由加法的運(yùn)算知a與b同向共線，即a＝λb，且λ>0，故q?/ p．∴p是q的充分不必要條件． 答案：充分不必要 對(duì)點(diǎn)練(二)　平面向量的線性運(yùn)算 1.如圖，在平行四邊形ABCD中，E為DC邊的中點(diǎn)，且＝a，＝b, 則＝(　　) A.b－a B.a－b C．－a＋b D.b＋a 解析：選C?。剑剑璦＋b＋a＝b－a，故選C. 2．已知向量a，b不共線，且c＝λa＋b，d＝a＋(2λ－1)b，若c與d反向共線，則實(shí)數(shù)λ的值為(　　) A．1 B．－ C．1或－ D．－1或－ 解析：選B　由于c與d反向共線，則存在實(shí)數(shù)k使c＝kd(k＜0)，于是λa＋b＝k.整理得λa＋b＝ka＋(2λk－k)b.由于a，b不共線，所以有整理得2λ2－λ－1＝0，解得λ＝1或λ＝－.又因?yàn)閗＜0，所以λ＜0，故λ＝－. 3．(2018·江西八校聯(lián)考)在△ABC中，P，Q分別是邊AB，BC上的點(diǎn)，且AP＝AB，BQ＝BC.若＝a，＝b，則＝(　　) A.a＋b B．－a＋b C.a－b D．－a－b 解析：選A?。剑剑剑?－)＝＋＝a＋b，故選A. 4．(2017·鄭州二模)如圖，在△ABC中，點(diǎn)D在線段BC上，且滿足BD＝DC，過(guò)點(diǎn)D的直線分別交直線AB，AC于不同的兩點(diǎn)M，N，若＝m，＝n，則(　　) A．m＋n是定值，定值為2 B．2m＋n是定值，定值為3 C.＋是定值，定值為2 D.＋是定值，定值為3 解析：選D　法一：如圖，過(guò)點(diǎn)C作CE平行于MN交AB于點(diǎn)E.由＝n可得＝，所以＝＝，由BD＝DC可得＝，所以＝＝，因?yàn)椋絤，所以m＝，整理可得＋＝3. 法二：因?yàn)镸，D，N三點(diǎn)共線，所以＝λ＋(1－λ)·.又＝m，＝n，所以＝λm＋(1－λ)·n.又＝，所以－＝－，所以＝＋.比較系數(shù)知λm＝，(1－λ)n＝，所以＋＝3，故選D. 5．(2018·銀川一模)設(shè)點(diǎn)P是△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且＋＝2，則＋＝________. 解析：因?yàn)椋?，由平行四邊形法則知，點(diǎn)P為AC的中點(diǎn)，故＋＝0. 答案：0 6．(2018·衡陽(yáng)模擬)在如圖所示的方格紙中，向量a，b，c的起點(diǎn)和終點(diǎn)均在格點(diǎn)(小正方形頂點(diǎn))上，若c與xa＋yb(x，y為非零實(shí)數(shù))共線，則的值為_(kāi)_______． 解析：設(shè)e1，e2分別為水平方向(向右)與豎直方向(向上)的單位向量，則向量c＝e1－2e2，a＝2e1＋e2，b＝－2e1－2e2，由c與xa＋yb共線，得c＝λ(xa＋yb)，所以e1－2e2＝2λ(x－y)e1＋λ(x－2y)e2，所以所以則的值為. 答案： 7．(2018·鹽城一模)在△ABC中，∠A＝60°，∠A的平分線交BC于點(diǎn)D，若AB＝4，且＝＋λ (λ∈R)，則AD的長(zhǎng)為_(kāi)_______． 解析：因?yàn)锽，D，C三點(diǎn)共線，所以＋λ＝1，解得λ＝，如圖，過(guò)點(diǎn)D分別作AC，AB的平行線交AB，AC于點(diǎn)M，N，則＝，＝，經(jīng)計(jì)算得AN＝AM＝3，AD＝3. 答案：3 8．在直角梯形ABCD中，∠A＝90°，∠B＝30°，AB＝2，BC＝2，點(diǎn)E在線段CD上，若＝＋μ，則μ的取值范圍是________． 解析：由題意可求得AD＝1，CD＝，所以＝2. ∵點(diǎn)E 在線段CD上，∴＝λ (0≤λ≤1)． ∵＝＋， 又＝＋μ＝＋2μ＝＋， ∴＝1，即μ＝.∵0≤λ≤1，∴0≤μ≤， 即μ的取值范圍是. 答案： [大題綜合練——遷移貫通] 1.在△ABC中，D，E分別為BC，AC邊上的中點(diǎn)，G為BE上一點(diǎn)，且GB＝2GE，設(shè)＝a，＝b，試用a，b表示， . 解：＝(＋)＝a＋b. ＝＋＝＋＝＋(＋) ＝＋(－)＝＋＝a＋b. 2．已知a，b不共線，＝a，＝b， ＝c， ＝d， ＝e，設(shè)t∈R，如果3a＝c,2b＝d，e＝t(a＋b)，是否存在實(shí)數(shù)t使C，D，E三點(diǎn)在一條直線上？若存在，求出實(shí)數(shù)t的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由． 解：由題設(shè)知，＝d－c＝2b－3a，＝e－c＝(t－3)a＋tb，C，D，E三點(diǎn)在一條直線上的充要條件是存在實(shí)數(shù)k，使得＝k，即(t－3)a＋tb＝－3ka＋2kb， 整理得(t－3＋3k)a＝(2k－t)b. 因?yàn)閍，b不共線，所以有解得t＝. 故存在實(shí)數(shù)t＝使C，D，E三點(diǎn)在一條直線上． 3.如圖所示，在△ABC中，D，F(xiàn)分別是BC，AC的中點(diǎn)，＝，＝a，＝b. (1)用a，b表示向量，，，，； (2)求證：B，E，F(xiàn)三點(diǎn)共線． 解：(1)延長(zhǎng)AD到G，使＝， 連接BG，CG，得到?ABGC，如圖， 所以＝＋＝a＋b， ＝＝(a＋b)，＝＝(a＋b)，＝＝b， ＝－＝(a＋b)－a＝(b－2a)， ＝－＝b－a＝(b－2a)． (2)證明：由(1)可知＝， 又因?yàn)椋泄颤c(diǎn)B， 所以B，E，F(xiàn)三點(diǎn)共線. 第二節(jié) 平面向量基本定理及坐標(biāo)表示 本節(jié)主要包括2個(gè)知識(shí)點(diǎn)：　1.平面向量基本定理；　2.平面向量的坐標(biāo)表示. 突破點(diǎn)(一)　平面向量基本定理　 如果e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任意向量a，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2. 其中，不共線的向量e1，e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底． 1．判斷題 (1)平面內(nèi)的任何兩個(gè)向量都可以作為一組基底．(　　) (2)在△ABC中，設(shè)＝a，＝b，則向量a與b的夾角為∠ABC.(　　) (3)若a，b不共線，且λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b，則λ1＝λ2，μ1＝μ2.(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)√ 2．填空題 (1)設(shè)e1，e2是平面內(nèi)一組基底，若λ1e1＋λ2e2＝0，則λ1＋λ2＝________. 答案：0 (2)設(shè)e1，e2是平面內(nèi)一組基向量，且a＝e1＋2e2，b＝－e1＋e2，則2a－b＝________. 答案：3e1＋3e2 (3)(2018·嘉興測(cè)試)在△ABC中，已知M是BC中點(diǎn)，設(shè)＝a，＝b，則＝________. 答案：－b＋a 平面向量基本定理 　　　　　　　　　　　　　　　　　 [典例]　(1)(2018·長(zhǎng)春模擬)如圖所示，下列結(jié)論正確的是(　　) ①＝a＋b； ②＝a－b； ③＝a－b； ④＝a＋b. A．①② B．③④ C．①③ D．②④ (2)(2018·岳陽(yáng)質(zhì)檢)在梯形ABCD中，已知AB∥CD，AB＝2CD，M，N分別為CD，BC的中點(diǎn)．若＝λ＋μ，則λ＋μ的值為(　　) A. B. C. D. [解析]　(1)①根據(jù)向量的加法法則，得＝a＋b，故①正確；②根據(jù)向量的減法法則，得＝a－b，故②錯(cuò)誤；③＝＋＝a＋b－2b＝a－b，故③正確；④＝＋＝a＋b－b＝a＋b，故④錯(cuò)誤，故選C. (2)法一：連接AC(圖略)，由＝λ＋μ，得＝λ·(＋)＋μ·(＋)，則＋＋＝0，得＋＋＝0，得＋＝0.又，不共線，所以由平面向量基本定理得解得所以λ＋μ＝. 法二：根據(jù)題意作出圖形如圖所示，連接MN并延長(zhǎng)，交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)T，由已知易得AB＝AT，所以＝＝λ＋μ，因?yàn)門，M，N三點(diǎn)共線，所以λ＋μ＝. [答案]　(1)C　(2)C [方法技巧] 平面向量基本定理的實(shí)質(zhì)及解題思路 (1)應(yīng)用平面向量基本定理表示向量的實(shí)質(zhì)是利用平行四邊形法則或三角形法則進(jìn)行向量的加、減或數(shù)乘運(yùn)算． (2)用向量基本定理解決問(wèn)題的一般思路是先選擇一組基底，并運(yùn)用該基底將條件和結(jié)論表示成向量的形式，再通過(guò)向量的運(yùn)算來(lái)解決．　　 1．(2018·泉州調(diào)研)若向量a，b不共線，則下列各組向量中，可以作為一組基底的是(　　) A．a(chǎn)－2b與－a＋2b B．3a－5b與6a－10b C．a(chǎn)－2b與5a＋7b D．2a－3b與a－b 解析：選C　不共線的兩個(gè)向量可以作為一組基底．因?yàn)閍－2b與5a＋7b不共線，故a－2b與5a＋7b可以作為一組基底． 2.向量e1，e2，a，b在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示，則a－b＝(　　) A．－4e1－2e2　　 B.－2e1－4e2 C．e1－3e2 D．3e1－e2 解析：選C　結(jié)合圖形易得，a＝－e1－4e2，b＝－2e1－e2，故a－b＝e1－3e2. 3.如圖，正方形ABCD中，E為DC的中點(diǎn)，若＝λ＋μ，則λ＋μ的值為(　　) A. B．－ C．1 D．－1 解析：選A　由題意得＝＋＝＋－＝－，∴λ＝－，μ＝1，∴λ＋μ＝，故選A. 4.(2018·湖南邵陽(yáng)一模)如圖， 在△ABC中，設(shè)＝a，＝b，AP的中點(diǎn)為Q，BQ的中點(diǎn)為R，CR的中點(diǎn)為P，若＝ma＋nb，則m＋n＝________. 解析：根據(jù)已知條件得，＝－ ＝－＝(ma＋nb)－a＝a＋b， ＝－＝－＋＝－b＋a＝a＋b，∴＝a＋b， ＝a＋b，＝－a＋b.∵＋＝，∴a＋b＝a＋b，∴解得故m＋n＝. 答案： 突破點(diǎn)(二)　平面向量的坐標(biāo)表示　 1．平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算 (1)向量加法、減法、數(shù)乘的坐標(biāo)運(yùn)算及向量的模 設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則： a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝. (2)向量坐標(biāo)的求法 若向量的起點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，則終點(diǎn)坐標(biāo)即為向量的坐標(biāo)．一般地，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則＝(x2－x1，y2－y1)． 2．平面向量共線的坐標(biāo)表示 設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，則a∥b?x1y2－x2y1＝0. (1)已知a＝(2,1)，b＝(－3,4)，則3a＋4b＝________. 答案：(－6,19) (2)已知向量a＝(2,1)，b＝(1，－2)，若ma＋nb＝(9，－8)(m，n∈R)，則m－n的值為_(kāi)_______． 解析：∵ma＋nb＝(2m＋n，m－2n)＝(9，－8)， ∴∴∴m－n＝2－5＝－3. 答案：－3 (3)若AC為平行四邊形ABCD的一條對(duì)角線，＝(2,4)，＝(1,3)，則＝________. 答案：(－1，－1) (4)若三點(diǎn)A(1，－5)，B(a，－2)，C(－2，－1)共線，則實(shí)數(shù)a的值為_(kāi)_______． 解析：＝(a－1,3)，＝(－3,4)，據(jù)題意知∥，∴4(a－1)＝3×(－3)，即4a＝－5，∴a＝－. 答案：－ 平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算 　　　　　　　　　　　　　　　　　 [例1]　(1)(2018·紹興模擬)已知點(diǎn)M(5，－6)和向量a＝(1，－2)，若＝－3a，則點(diǎn)N的坐標(biāo)為(　　) A．(2,0) B．(－3,6) C．(6,2) D．(－2,0) (2)在△ABC中，點(diǎn)P在BC上，且＝2，點(diǎn)Q是AC的中點(diǎn)，若 ＝(4,3)，＝(1,5)，則＝________. [解析]　(1)＝－3a＝－3(1，－2)＝(－3,6)， 設(shè)N(x，y)，則＝(x－5，y＋6)＝(－3,6)， 所以即 (2)＝－＝(－3,2)， ∴＝2＝(－6,4)．＝＋＝(－2,7)， ∴＝3＝(－6,21)． [答案]　(1)A　(2)(－6,21) [方法技巧] 平面向量坐標(biāo)運(yùn)算的技巧 (1)向量的坐標(biāo)運(yùn)算主要是利用加、減、數(shù)乘運(yùn)算法則進(jìn)行，若已知有向線段兩端點(diǎn)的坐標(biāo)，則應(yīng)先求向量的坐標(biāo)． (2)解題過(guò)程中要注意方程思想的運(yùn)用及正確使用運(yùn)算法則．　　 平面向量共線的坐標(biāo)表示 [例2]　已知a＝(1,0)，b＝(2,1)． (1)當(dāng)k為何值時(shí)，ka－b與a＋2b共線； (2)若＝2a＋3b，＝a＋mb，且A，B，C三點(diǎn)共線，求m的值． [解]　(1)∵a＝(1,0)，b＝(2,1)， ∴ka－b＝k(1,0)－(2,1)＝(k－2，－1)，a＋2b＝(1,0)＋2(2,1)＝(5,2)， ∵ka－b與a＋2b共線， ∴2(k－2)－(－1)×5＝0，∴k＝－. (2)＝2(1,0)＋3(2,1)＝(8,3)，＝(1,0)＋m(2,1)＝(2m＋1，m)． ∵A，B，C三點(diǎn)共線，∴∥， ∴8m－3(2m＋1)＝0，∴m＝. [方法技巧] 向量共線的坐標(biāo)表示中的乘積式和比例式 (1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a∥b?x1y2－x2y1＝0，這是代數(shù)運(yùn)算，用它解決平面向量共線問(wèn)題的優(yōu)點(diǎn)在于不需要引入?yún)?shù)“λ”，從而減少了未知數(shù)的個(gè)數(shù)，而且它使問(wèn)題的解決具有代數(shù)化的特點(diǎn)和程序化的特征． (2)當(dāng)x2y2≠0時(shí)，a∥b?＝，即兩個(gè)向量的相應(yīng)坐標(biāo)成比例，這種形式不易出現(xiàn)搭配錯(cuò)誤． (3)公式x1y2－x2y1＝0無(wú)條件x2y2≠0的限制，便于記憶；公式＝有條件x2y2≠0的限制，但不易出錯(cuò)．所以我們可以記比例式，但在解題時(shí)改寫(xiě)成乘積的形式．　　 1.若向量a＝(2,1)，b＝(－1,2)，c＝，則c可用向量a，b表示為(　　) A.a＋b B．－a－b C.a＋b D.a－b 解析：選A　設(shè)c＝xa＋yb，則＝(2x－y，x＋2y)，所以解得則c＝a＋b. 2.已知平行四邊形ABCD中，＝(3,7)，＝(－2,3)，對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)O，則的坐標(biāo)為(　　) A. B. C. D. 解析：選D?。剑?－2,3)＋(3,7)＝(1,10)．∴＝＝.∴＝. 3.(2018·豐臺(tái)期末)已知向量a＝(3，－4)，b＝(x，y)，若a∥b，則(　　) A．3x－4y＝0 B．3x＋4y＝0 C．4x＋3y＝0 D．4x－3y＝0 解析：選C　由平面向量共線基本定理可得3y＋4x＝0，故選C. 4.(2018·江西四校聯(lián)考)已知向量a＝(，1)，b＝(0，－1)，c＝(k，)．若a－2b與c共線，則k＝________. 解析：由題意得，a－2b＝(，3)，由a－2b與c共線，得×－3k＝0，解得k＝1. 答案：1 [全國(guó)卷5年真題集中演練——明規(guī)律] 1．(2015·全國(guó)卷Ⅰ)已知點(diǎn)A(0,1)，B(3,2)，向量＝(－4，－3)，則向量＝(　　) A．(－7，－4) B．(7,4) C．(－1,4) D．(1,4) 解析：選A　設(shè)C(x，y)，則＝(x，y－1)＝(－4，－3)， 所以解得 從而＝(－4，－2)－(3,2)＝(－7，－4)．故選A. 2．(2016·全國(guó)卷Ⅱ)已知向量a＝(m,4)，b＝(3，－2)，且a∥b，則m＝________. 解析：∵a＝(m,4)，b＝(3，－2)，a∥b，∴－2m－4×3＝0.∴m＝－6. 答案：－6 [課時(shí)達(dá)標(biāo)檢測(cè)] [小題對(duì)點(diǎn)練——點(diǎn)點(diǎn)落實(shí)] 對(duì)點(diǎn)練(一)　平面向量基本定理 1．(2018·珠海一模)如圖，設(shè)O是平行四邊形ABCD兩條對(duì)角線的交點(diǎn)，給出下列向量組： ①與；②與； ③與；④與. 其中可作為該平面內(nèi)其他向量的基底的是(　　) A．①② B．①③ C．①④ D．③④ 解析：選B?、僦?，不共線；③中，不共線．②④中的兩向量共線，因?yàn)槠矫鎯?nèi)兩個(gè)不共線的非零向量構(gòu)成一組基底，所以選B. 2．(2018·山西太原質(zhì)檢)在△ABC中，M為邊BC上任意一點(diǎn)，N為AM的中點(diǎn)，＝λ＋μ，則λ＋μ的值為(　　) A. B. C. D．1 解析：選A　設(shè)＝t，則＝＝(＋)＝＋＝＋＝＋(－)＝＋，∴λ＝－，μ＝，∴λ＋μ＝，故選A. 3．(2018·湖南四大名校聯(lián)考)在平行四邊形ABCD中，AC與BD相交于點(diǎn)O，E是線段OD的中點(diǎn)，AE的延長(zhǎng)線與CD交于點(diǎn)F.若＝a，＝b，則＝(　　) A.a＋b B.a＋b C.a＋b D.a＋b 解析：選C　如圖，根據(jù)題意，得＝＋＝(a－b)，＝＋＝(a＋b)． 令＝t，則＝t(＋)＝t＝a＋b.由＝＋，令＝s，又＝(a＋b)，＝a－b，所以＝a＋b，所以解方程組得把s代入即可得到＝a＋b，故選C. 4．(2018·山東濰坊一模)若M是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且滿足＋＝4，則△ABM與△ACM的面積之比為(　　) A. B. C. D．2 解析：選A　設(shè)AC的中點(diǎn)為D，則＋＝2，于是2＝4，從而＝2，即M為BD的中點(diǎn)，于是＝＝＝. 5．(2018·湖北黃石質(zhì)檢)已知點(diǎn)G是△ABC的重心，過(guò)G作一條直線與AB，AC兩邊分別交于M，N兩點(diǎn)，且＝x，＝y(tǒng)，則的值為(　　) A. B. C．2 D．3 解析：選B　由已知得M，G，N三點(diǎn)共線，∴＝λ＋(1－λ)＝λx＋(1－λ)y.∵點(diǎn)G是△ABC的重心，∴＝×(＋)＝·(＋)，∴即得＋＝1，即＋＝3，通分變形得，＝3，∴＝. 對(duì)點(diǎn)練(二)　平面向量的坐標(biāo)表示 1．(2018·福州一模)已知向量a＝(2,4)，b＝(－1,1)，則2a＋b＝(　　) A．(5,7) B．(5,9) C．(3,7) D．(3,9) 解析：選D　2a＋b＝2(2,4)＋(－1,1)＝(3,9)，故選D. 2．(2018·河北聯(lián)考)已知平面向量a＝(1,2)，b＝(－2，m)，若a∥b，則2a＋3b＝(　　) A．(－5，－10) B．(－2，－4) C．(－3，－6) D．(－4，－8) 解析：選D　由a∥b，得m＋4＝0，即m＝－4，所以2a＋3b＝2(1,2)＋3(－2，－4)＝(－4，－8)． 3．(2018·吉林白城模擬)已知向量a＝(2,3)，b＝(－1,2)，若ma＋nb與a－2b共線，則＝(　　) A. B．2 C．－ D．－2 解析：選C　由向量a＝(2,3)，b＝(－1,2)，得ma＋nb＝(2m－n,3m＋2n)，a－2b＝(4，－1)．由ma＋nb與a－2b共線，得＝，所以＝－，故選C. 4．(2018·河南六市聯(lián)考)已知點(diǎn)A(1,3)，B(4，－1)，則與同方向的單位向量是(　　) A. B. C. D. 解析：選A　因?yàn)椋?3，－4)，所以與同方向的單位向量為＝. 5．設(shè)向量a＝(1，－3)，b＝(－2,4)，c＝(－1，－2)，若表示向量4a,4b－2c,2(a－c)，d的有向線段首尾相連能構(gòu)成四邊形，則向量d＝(　　) A．(2,6) B．(－2,6) C．(2，－6) D．(－2，－6) 解析：選D　設(shè)d＝(x，y)，由題意知4a＝(4，－12)，4b－2c＝(－6,20)，2(a－c)＝(4，－2)，又4a＋4b－2c＋2(a－c)＋d＝0，所以(4，－12)＋(－6,20)＋(4，－2)＋(x，y)＝(0,0)，解得x＝－2，y＝－6，所以d＝(－2，－6)． 6．(2017·南昌二模)已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，P1(3,1)，P2(－1,3)，P1，P2，P3三點(diǎn)共線且向量與向量a＝(1，－1)共線，若＝λ＋(1－λ) ，則λ＝(　　) A．－3 B．3 C．1 D．－1 解析：選D　設(shè)＝(x，y)，則由∥a知x＋y＝0，于是＝(x，－x)．若＝λ＋(1－λ)，則有(x，－x)＝λ(3,1)＋(1－λ)(－1,3)＝(4λ－1,3－2λ)，即所以4λ－1＋3－2λ＝0，解得λ＝－1，故選D. 7．(2018·河南中原名校聯(lián)考)已知a＝(1,3)，b＝(m,2m－3)，平面上任意向量c都可以唯一地表示為c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是(　　) A．(－∞，0)∪(0，＋∞) B．(－∞，3) C．(－∞，－3)∪(－3，＋∞) D．[－3,3) 解析：選C　根據(jù)平面向量基本定理，得向量a，b不共線，∵a＝(1,3)，b＝(m,2m－3)，∴2m－3－3m≠0，∴m≠－3.故選C. [大題綜合練——遷移貫通] 1．(2018·皖南八校模擬)如圖，∠AOB＝，動(dòng)點(diǎn)A1，A2與B1，B2分別在射線OA，OB上，且線段A1A2的長(zhǎng)為1，線段B1B2的長(zhǎng)為2，點(diǎn)M，N分別是線段A1B1，A2B2的中點(diǎn)． (1)用向量與表示向量； (2)求向量的模． 解：(1)＝＋＋，＝＋＋，兩式相加，并注意到點(diǎn)M，N分別是線段A1B1，A2B2的中點(diǎn)，得＝(＋)． (2)由已知可得向量與的模分別為1與2，夾角為， 所以·＝1，由＝(＋)得 ||＝ ＝ ＝. 2．已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)，設(shè)＝a，＝b，＝c，有＝3c， ＝－2b，求： (1)3a＋b－3c； (2)滿足a＝mb＋nc的實(shí)數(shù)m，n； (3)M，N的坐標(biāo)及向量的坐標(biāo)． 解：由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1,8)， (1)3a＋b－3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8) ＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)． (2)∵mb＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8n)， ∴解得 (3)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，∵＝－＝3c，∴＝3c＋＝(3,24)＋(－3，－4)＝(0,20)，∴M的坐標(biāo)為(0,20)．又＝－＝－2b，∴＝－2b＋＝(12,6)＋(－3，－4)＝(9,2)，∴N的坐標(biāo)為(9,2)．故＝(9－0，2－20)＝(9，－18)． 3．已知三點(diǎn)A(a,0)，B(0，b)，C(2,2)，其中a>0，b>0. (1)若O是坐標(biāo)原點(diǎn)，且四邊形OACB是平行四邊形，試求a，b的值； (2)若A，B，C三點(diǎn)共線，試求a＋b的最小值． 解：(1)因?yàn)樗倪呅蜲ACB是平行四邊形，所以＝，即(a，0)＝(2,2－b)，解得 (2)因?yàn)椋?－a，b)，＝(2,2－b)， 由A，B，C三點(diǎn)共線，得∥， 所以－a(2－b)－2b＝0，即2(a＋b)＝ab， 因?yàn)閍>0，b>0，所以2(a＋b)＝ab≤2， 即(a＋b)2－8(a＋b)≥0，解得a＋b≥8或a＋b≤0. 因?yàn)閍>0，b>0， 所以a＋b≥8，即當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝4時(shí)，a＋b取最小值為8. 第三節(jié) 平面向量的數(shù)量積及其應(yīng)用 本節(jié)主要包括3個(gè)知識(shí)點(diǎn)：　 1.平面向量的數(shù)量積；2.平面向量數(shù)量積的應(yīng)用；　3.平面向量與其他知識(shí)的綜合問(wèn)題. 突破點(diǎn)(一)　平面向量的數(shù)量積　 1．向量的夾角 (1)定義：已知兩個(gè)非零向量a和b，作＝a，＝b，則∠AOB就是向量a與b的夾角． (2)范圍：設(shè)θ是向量a與b的夾角，則0°≤θ≤180°. (3)共線與垂直：若θ＝0°，則a與b同向；若θ＝180°，則a與b反向；若θ＝90°，則a與b垂直． 2．平面向量的數(shù)量積 (1)定義：已知兩個(gè)非零向量a與b，它們的夾角為θ，則數(shù)量|a||b|cos θ叫做a與b的數(shù)量積(或內(nèi)積)，記作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ，規(guī)定零向量與任一向量的數(shù)量積為0，即0·a＝0. (2)幾何意義：數(shù)量積a·b等于a的長(zhǎng)度|a|與b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘積． (3)坐標(biāo)表示：若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a·b＝x1x2＋y1y2. 3．平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律 (1)a·b＝b·a(交換律)． (2)λa·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(結(jié)合律)． (3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)． 1．判斷題 (1)在△ABC中，向量與的夾角為∠B.(　　) (2)0·＝0.(　　) (3)若a與b共線，則a·b＝|a||b|.(　　) (4)(a－b)·c＝a·(b·c)．(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)× 2．填空題 (1)已知|a|＝5，|b|＝4，a與b的夾角為120°，則a·b＝________. 答案：－10 (2)已知向量a與b的夾角為60°，|a|＝1，|b|＝3，則a·b＝________. 答案： (3)已知向量a，b滿足|a|＝|b|＝2且a·b＝－2，則向量a與b的夾角為_(kāi)_______． 答案： 平面向量數(shù)量積的運(yùn)算 1.利用坐標(biāo)計(jì)算數(shù)量積的步驟 第一步，根據(jù)共線、垂直等條件計(jì)算出這兩個(gè)向量的坐標(biāo)，求解過(guò)程要注意方程思想的應(yīng)用； 第二步，根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)公式進(jìn)行運(yùn)算即可． 2．根據(jù)定義計(jì)算數(shù)量積的兩種思路 思路一 若兩個(gè)向量共起點(diǎn)，則兩向量的夾角直接可得，根據(jù)定義即可求得數(shù)量積；若兩向量的起點(diǎn)不同，需要通過(guò)平移使它們的起點(diǎn)重合，然后再計(jì)算 思路二 根據(jù)圖形之間的關(guān)系，用長(zhǎng)度和相互之間的夾角都已知的向量分別表示出要求數(shù)量積的兩個(gè)向量，然后再根據(jù)平面向量數(shù)量積的定義和性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算求解 　　　　　　　　　　　　　　　　　 [典例]　(1)(2018·商丘模擬)在邊長(zhǎng)為1的等邊三角形ABC中，設(shè)＝a，＝b，＝c，則a·b＋b·c＋c·a＝(　　) A．－ B．0 C. D．3 (2)如圖，平行四邊形ABCD中，AB＝2，AD＝1，A＝60°，點(diǎn)M在AB邊上，且AM＝AB，則·＝________. [解析]　(1)依題意有a·b＋b·c＋c·a＝1×1×＋1×1×＋1×1×＝－. (2)因?yàn)椋剑剑剑?，所?#183;＝·(＋)＝||2＋||2＋·＝1＋－·＝－||·||·cos 60°＝－×1×2×＝1. [答案]　(1)A　(2)1 [易錯(cuò)提醒] (1)解決涉及幾何圖形的向量數(shù)量積運(yùn)算問(wèn)題時(shí)，一定要注意向量的夾角與已知平面角的關(guān)系是相等還是互補(bǔ)． (2)兩向量a，b的數(shù)量積a·b與代數(shù)中a，b的乘積寫(xiě)法不同，不能省略掉其中的“·”．　　 1．已知|a|＝6，|b|＝3，向量a在b方向上的投影是4，則a·b為(　　) A．12 B．8 C．－8 D．2 解析：選A　∵|a|cos〈a，b〉＝4，|b|＝3，∴a·b＝|a||b|·cos〈a，b〉＝3×4＝12. 2．設(shè)x∈R，向量a＝(1，x)，b＝(2，－4)，且a∥b，則a·b＝(　　) A．－6 B. C. D．10 解析：選D　∵a＝(1，x)，b＝(2，－4)且a∥b， ∴－4－2x＝0，x＝－2，∴a＝(1，－2)，a·b＝10，故選D. 3．(2018·重慶適應(yīng)性測(cè)試)設(shè)單位向量e1，e2的夾角為，a＝e1＋2e2，b＝2e1－3e2，則b在a方向上的投影為(　　) A．－ B．－ C. D. 解析：選A　依題意得e1·e2＝1×1×cos ＝－，|a|＝＝＝， a·b＝(e1＋2e2)·(2e1－3e2)＝2e－6e＋e1·e2＝－，因此b在a方向上的投影為＝＝－，故選A. 4．(2018·成都模擬)已知菱形ABCD邊長(zhǎng)為2，∠B＝，點(diǎn)P滿足＝λ，λ∈R，若·＝－3，則λ的值為(　　) A. B．－ C. D．－ 解析：選A　法一：由題意可得·＝2×2cos ＝2， ·＝(＋) ·(－) ＝(＋)·[(－)－] ＝(＋)·[(λ－1)·－] ＝(1－λ)2－·＋(1－λ)·－2 ＝(1－λ)·4－2＋2(1－λ)－4 ＝－6λ＝－3， ∴λ＝，故選A. 法二：建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則B(2,0)，C(1，)，D(－1，)． 令P(x,0)，由·＝(－3，)·(x－1，－)＝－3x＋3－3＝－3x＝－3得x＝1. ∵＝λ，∴λ＝.故選A. 突破點(diǎn)(二)　平面向量數(shù)量積的應(yīng)用 平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其坐標(biāo)表示 設(shè)非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ＝〈a，b〉. 幾何表示 坐標(biāo)表示 模 |a|＝ |a|＝ 夾角 cos θ＝ cos θ＝ a⊥b a·b＝0 x1x2＋y1y2＝0 |a·b|與 |a||b|的 關(guān)系 |a·b|≤|a||b| |x1x2＋y1y2|≤ · (1)已知平面向量a＝(2,4)，b＝(1，－2)，若c＝a＋b，則|c|＝________. 答案： (2)已知向量a＝(1，)，b＝(，1)，則a與b夾角的大小為_(kāi)_______． 解析：由題意得|a|＝＝2，|b|＝＝2，a·b＝1×＋×1＝2.設(shè)a與b的夾角為θ，則cos θ＝＝.∵θ∈[0，π]，∴θ＝. 答案： (3)已知向量a＝(1，t)，b＝(6，－4)．若a⊥b，則實(shí)數(shù)t的值為_(kāi)_______． 答案：－ 平面向量的垂直問(wèn)題 　　　　　　　　　　　　　　　　　 [例1]　(1)(2018·安徽蚌埠一模)已知非零向量m，n滿足3|m|＝2|n|，它們的夾角θ＝60°.若n⊥(tm＋n)，則實(shí)數(shù)t的值為(　　) A．3 B．－3 C．2 D．－2 (2)平面四邊形ABCD中，＋＝0，(－)·＝0，則四邊形ABCD是(　　) A．矩形 B．正方形 C．菱形 D．梯形 [解析]　(1)由題意得cos θ＝. ∵n⊥(tm＋n)，∴n·(tm＋n)＝tm·n＋n2＝t|m||n|×＋|n|2＝|n|2＋|n|2＝0，解得t＝－3.故選B. (2)因?yàn)椋?，所以＝－＝，所以四邊形ABCD是平行四邊形．又(－)·＝·＝0，所以四邊形對(duì)角線互相垂直，所以四邊形ABCD是菱形． [答案]　(1)B　(2)C [方法技巧] 平面向量垂直問(wèn)題的類型及求解方法 (1)判斷兩向量垂直 第一，計(jì)算出這兩個(gè)向量的坐標(biāo)； 第二，根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算公式，計(jì)算出這兩個(gè)向量的數(shù)量積為0即可． (2)已知兩向量垂直求參數(shù) 根據(jù)兩個(gè)向量垂直的充要條件，列出相應(yīng)的關(guān)系式，進(jìn)而求解參數(shù)． [提醒]　注意x1y2－x2y1＝0與x1x2＋y1y2＝0不同，前者是兩向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)共線的充要條件，后者是它們垂直的充要條件．　　 平面向量模的相關(guān)問(wèn)題 [例2]　(1)(2018·合肥模擬)已知不共線的兩個(gè)向量a，b滿足|a－b|＝2且a⊥(a－2b)，則|b|＝(　　) A. B．2 C．2 D．4 (2)在△ABC中，若A＝120°，·＝－1，則||的最小值是(　　) A. B．2 C. D．6 [解析]　(1)由a⊥(a－2b)得a·(a－2b)＝|a|2－2a·b＝0.又|a－b|＝2，所以|a－b|2＝|a|2－2a·b＋|b|2＝4，則|b|2＝4，|b|＝2，故選B. (2)因?yàn)?#183;＝－1，所以||·||·cos 120°＝－1，即||·||＝2，所以||2＝|－|2＝2－2·＋2≥2||·||－2·＝6，當(dāng)且僅當(dāng)||＝||時(shí)等號(hào)成立，所以||min＝. [答案]　(1)B　(2)C [方法技巧] 求向量模的常用方法 (1)若向量a是以坐標(biāo)形式出現(xiàn)的，求向量a的?？芍苯永霉絴a|＝. (2)若向量a，b是以非坐標(biāo)形式出現(xiàn)的，求向量a的?？蓱?yīng)用公式|a|2＝a2＝a·a，或|a±b|2＝(a±b)2＝a2±2a·b＋b2，先求向量模的平方，再通過(guò)向量數(shù)量積的運(yùn)算求解．　　 平面向量的夾角問(wèn)題 [例3]　(1)(2018·泰安質(zhì)檢)已知非零向量a，b滿足|a|＝|b|＝|a＋b|，則a與2a－b夾角的余弦值為(　　) A. B. C. D. (2)已知單位向量e1與e2的夾角為α，且cos α＝，向量a＝3e1－2e2與b＝3e1－e2的夾角為β，則cos β＝________. [解析]　(1)不妨設(shè)|a|＝|b|＝|a＋b|＝1，則|a＋b|2＝a2＋b2＋2a·b＝2＋2a·b＝1，所以a·b＝－，所以a·(2a－b)＝2a2－a·b＝，又|a|＝1，|2a－b|＝＝＝，所以a與2a－b夾角的余弦值為＝＝. (2)∵a2＝(3e1－2e2)2＝9＋4－2×3×2×＝9， b2＝(3e1－e2)2＝9＋1－2×3×1×＝8， a·b＝(3e1－2e2)·(3e1－e2)＝9＋2－9×1×1×＝8，∴cos β＝＝＝. [答案]　(1)D　(2) [方法技巧]　求解兩個(gè)非零向量之間的夾角的步驟 第一步 由坐標(biāo)運(yùn)算或定義計(jì)算出這兩個(gè)向量的數(shù)量積 第二步 分別求出這兩個(gè)向量的模 第三步 根據(jù)公式cos θ＝＝求解出這兩個(gè)向量夾角的余弦值 第四步 根據(jù)兩個(gè)向量夾角的范圍是[0，π]及其夾角的余弦值，求出這兩個(gè)向量的夾角 1.(2017·懷柔二模)已知a＝(1,2)，b＝(－1，)，則a·b＋|b|＝(　　) A．1 B．1＋ C．1＋2 D．2 解析：選C　因?yàn)閍·b＝(1,2)·(－1，)＝－1＋2，|b|＝2，所以a·b＋|b|＝－1＋2＋2＝1＋2. 2.(2018·遼寧沈陽(yáng)一模)已知平面向量a＝(k,3)，b＝(1,4)．若a⊥b，則實(shí)數(shù)k＝(　　) A．－12 B．12 C. D. 解析：選A　∵平面向量a＝(k,3)，b＝(1,4)，a⊥b，∴a·b＝k＋12＝0，解得k＝－12.故選A. 3.(2018·河北廊坊期末)已知|a|＝2，向量a在向量b上的投影為，則a與b的夾角為(　　) A. B. C. D. 解析：選B　設(shè)向量a與向量b的夾角為θ，則a在b上的投影為|a|cos θ＝2cos θ.∵a在b上的投影為，∴cos θ＝.∵θ∈[0，π]，∴θ＝.故選B. 4.(2018·上海普陀區(qū)一模)設(shè)θ是兩個(gè)非零向量a，b的夾角，若對(duì)任意實(shí)數(shù)t，|a＋tb|的最小值為1，則下列判斷正確的是(　　) A．若|a|確定，則θ唯一確定 B．若|b|確定，則θ唯一確定 C．若θ確定，則|b|唯一確定 D．若θ確定，則|a|唯一確定 解析：選D　設(shè)g(t)＝(a＋tb)2＝b2t2＋2ta·b＋a2，則Δ＝4(a·b)2－4b2·a2<0恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)t＝－＝－時(shí)，g(t)取得最小值1，∴b2×－2a·b×＋a2＝1，化簡(jiǎn)得a2sin2θ＝1，所以當(dāng)θ確定時(shí)，|a|唯一確定． 5.(2018·惠州一模)若O為△ABC所在平面內(nèi)任一點(diǎn)，且滿足(－)·(＋－2)＝0，則△ABC的形狀為(　　) A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等邊三角形 D．等腰直角三角形 解析：選A　因?yàn)?－)·(＋－2)＝0，即·(＋)＝0，(－)·(＋)＝0，即