《（通用版）2019版高考數學一輪復習 第五章 平面向量學案 理》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《（通用版）2019版高考數學一輪復習 第五章 平面向量學案 理（48頁珍藏版）》請在裝配圖網上搜索。

1、 第五章 平面向量 第一節(jié) 平面向量的概念及線性運算 本節(jié)主要包括2個知識點：　1.平面向量的有關概念；2.平面向量的線性運算. 突破點(一)　平面向量的有關概念　 名稱 定義 備注 向量 既有大小又有方向的量叫做向量；向量的大小叫做向量的長度(或稱模) 平面向量是自由向量，平面向量可自由平移 零向量 長度為0的向量；其方向是任意的 記作0 單位向量 長度等于1個單位的向量 非零向量a的單位向量為± 平行向量 方向相同或相反的非零向量，又叫做共線向量 0與任一向量平行或共線 相等向量 長度相等且方向相同的向量 兩向量只有相等或不

2、等，不能比較大小 相反向量 長度相等且方向相反的向量 0的相反向量為0 1．判斷題 (1)向量與有向線段是一樣的，因此可以用有向線段來表示向量．(　　) (2) 若a∥b，b∥c，則a∥c.(　　) (3)若向量a與b不相等，則a與b一定不可能都是零向量．(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)√ 2．填空題 (1)給出下列命題： ①若a＝b，b＝c，則a＝c； ②若A，B，C，D是不共線的四點，則＝是四邊形ABCD為平行四邊形的充要條件； ③a＝b的充要條件是|a|＝|b|且a∥b； 其中正確命題的序號是________． 解析：①正確．∵a＝b，∴a

3、，b的長度相等且方向相同， 又b＝c，∴b，c的長度相等且方向相同， ∴a，c的長度相等且方向相同，故a＝c. ②正確．∵＝，∴||＝||且∥， 又A，B，C，D是不共線的四點， ∴四邊形ABCD為平行四邊形； 反之，若四邊形ABCD為平行四邊形， 則∥且||＝||，因此，＝. ③不正確．當a∥b且方向相反時，即使|a|＝|b|，也不能得到a＝b，故|a|＝|b|且a∥b不是a＝b的充要條件，而是必要不充分條件． 綜上所述，正確命題的序號是①②. 答案：①② (2)若a、b都為非零向量，則使＋＝0成立的條件是________． 答案：a與b反向共線 平面向

4、量的有關概念 　　　　　　　　　　　　　　　　　 [典例]　(1)(2018·海淀期末)下列說法正確的是(　　) A．長度相等的向量叫做相等向量 B．共線向量是在同一條直線上的向量 C．零向量的長度等于0 D．∥就是所在的直線平行于所在的直線 (2)(2018·棗莊期末)下列命題正確的是(　　) A．若|a|＝|b|，則a＝b B．若|a|>|b|，則a>b C．若a＝b，則a∥b D．若|a|＝0，則a＝0 [解析]　(1)長度相等且方向相同的向量叫做相等向量，故A不正確；方向相同或相反的非零向量叫做共線向量，但共線向量不一定在同一條直線上，故B不正確；顯然C正確；當

5、∥時，所在的直線與所在的直線可能重合，故D不正確． (2)對于A，當|a|＝|b|，即向量a，b的模相等時，方向不一定相同，故a＝b不一定成立；對于B，向量的?？梢员容^大小，但向量不可以比較大小，故B不正確；C顯然正確；對于D，若|a|＝0，則a＝0，故D不正確，故選C. [答案]　(1)C　(2)C [易錯提醒] (1)兩個向量不能比較大小，只可以判斷它們是否相等，但它們的?？梢员容^大小； (2)大小與方向是向量的兩個要素，分別是向量的代數特征與幾何特征； (3)向量可以自由平移，任意一組平行向量都可以移到同一直線上．　　 1．給出下列命題： ①兩個具有公共終點的向量

6、，一定是共線向量； ②λa＝0(λ為實數)，則λ必為零； ③λ，μ為實數，若λa＝μb，則a與b共線． 其中錯誤的命題的個數為(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 解析：選D?、馘e誤，兩向量共線要看其方向而不是起點或終點．②錯誤，當a＝0時，不論λ為何值，λa＝0.③錯誤，當λ＝μ＝0時，λa＝μb＝0，此時，a與b可以是任意向量．錯誤的命題有3個，故選D. 2．關于平面向量，下列說法正確的是(　　) A．零向量是唯一沒有方向的向量 B．平面內的單位向量是唯一的 C．方向相反的向量是共線向量，共線向量不一定是方向相反的向量 D．共線向量就是相等向量 解析：選C　

7、對于A，零向量是有方向的，其方向是任意的，故A不正確；對于B，單位向量的模為1，其方向可以是任意方向，故B不正確；對于C，方向相反的向量一定是共線向 量，共線向量不一定是方向相反的向量，故C正確；對于D，由共線向量和相等向量的定義可知D不正確，故選C. 3.如圖，△ABC和△A′B′C′是在各邊的處相交的兩個全等的等邊三角形，設△ABC的邊長為a，圖中列出了長度均為的若干個向量，則 (1)與向量相等的向量有________； (2)與向量共線，且模相等的向量有________； (3)與向量EA―→共線，且模相等的向量有________． 解析：向量相等?向量方向相同且模相等．

8、向量共線?表示有向線段所在的直線平行或重合． 答案：(1) ， 　(2) ， ，， ， (3) ， ， ，， 突破點(二)　平面向量的線性運算　 1．向量的線性運算 向量運算 定義 法則(或幾何意義) 運算律 加法 求兩個向量和的運算 交換律：a＋b＝b＋a；結合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c) 減法 求a與b的相反向量－b的和的運算 a－b＝a＋(－b) 數乘 求實數λ與向量a的積的運算 |λa|＝|λ||a|，當λ＞0時，λa與a的方向相同；當λ＜0時，λa與a的方向相反；當λ＝0時，λa＝0 λ(μ a)＝(λ μ)a；

9、(λ＋μ)a ＝λa＋μa； λ(a＋b) ＝λa＋λb 2.平面向量共線定理 向量b與a(a≠0)共線的充要條件是有且只有一個實數λ，使得b＝λa. 1．判斷題 (1)a∥b是a＝λb(λ∈R)的充要條件．(　　) (2)△ABC中，D是BC的中點，則＝(＋)．(　　) 答案：(1)×　(2)√ 2．填空題 (1)化簡： ①＋＋＋＝________. ②＋＋－＝________. 答案：①?、? (2)若菱形ABCD的邊長為2，則|－＋|＝________. 解析：|－＋|＝|＋＋|＝||＝2. 答案：2 (3)在?ABCD中，＝a，＝b， ＝3，則＝

10、________(用a，b表示)． 答案：a＋b 平面向量的線性運算 應用平面向量的加法、減法和數乘運算的法則即可．注意加法的三角形法則要求“首尾相接”，加法的平行四邊形法則要求“起點相同”；減法的三角形法則要求“起點相同”且差向量指向“被減向量”；數乘運算的結果仍是一個向量，運算過程可類比實數運算． [例1]　(1)(2018·河南中原名校聯考)如圖，在直角梯形ABCD中，AB＝2AD＝2DC，E為BC邊上一點，＝3，F為AE的中點，則＝(　　) A.－ B.－ C．－＋ D．－＋ (2)(2018·深圳模擬)如圖所示，正方形ABCD中，M是BC的中點，若

11、＝λ＋μ，則λ＋μ＝(　　) A. B. C. D．2 [解析]　(1)＝＋＝＋ ＝－＋(＋＋) ＝－＋ ＝－＋＋＋(＋＋) ＝－＋. (2)因為＝λ＋μ＝λ(＋)＋μ(＋)＝λ＋μ(－＋)＝(λ－μ)＋，且＝＋，所以得 所以λ＋μ＝，故選B. [答案]　(1)C　(2)B [方法技巧] 1．平面向量的線性運算技巧 (1)不含圖形的情況：可直接運用相應運算法則求解． (2)含圖形的情況：將它們轉化到三角形或平行四邊形中，充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位線等性質，把未知向量用已知向量表示出來求解． 2．利用平面向量的線性運算求參數的一般思路 (1)沒有圖

12、形的準確作出圖形，確定每一個點的位置． (2)利用平行四邊形法則或三角形法則進行轉化，轉化為要求的向量形式． (3)比較、觀察可知所求．　　 平面向量共線定理的應用 求解向量共線問題的注意事項 (1)向量共線的充要條件中，當兩向量共線時，通常只有非零向量才能表示與之共線的其他向量，注意待定系數法和方程思想的運用． (2)證明三點共線問題，可用向量共線來解決，但應注意向量共線與三點共線的區(qū)別與聯系，當兩向量共線且有公共點時，才能得到三點共線． (3)直線的向量式參數方程：A，P，B三點共線?＝(1－t)·＋t (O為平面內任一點，t∈R)． [例2]　(1)(2017·蕪

13、湖二模)已知向量a，b是兩個不共線的向量，若向量m＝4a＋b與n＝a－λb共線，則實數λ的值為(　　) A．－4 B．－ C. D．4 (2)(2018·懷化一模)已知向量a，b不共線，向量＝a＋3b，＝5a＋3b，＝－3a＋3b，則(　　) A．A，B，C三點共線 B．A，B，D三點共線 C．A，C，D三點共線 D．B，C，D三點共線 [解析]　(1)因為向量a，b是兩個不共線的向量，所以若向量m＝4a＋b與n＝a－λb共線，則4×(－λ)＝1×1，解得λ＝－，故選B. (2)因為＝＋＝2a＋6b＝2(a＋3b)＝2，所以，共線，又有公共點B，所以A，B，D三點共線．故選B

14、. [答案]　(1)B　(2)B [方法技巧]　　　平面向量共線定理的三個應用 證明向量共線 對于非零向量a，b，若存在實數λ，使a＝λb，則a與b共線 證明三點共線 若存在實數λ，使＝λ，與有公共點A，則A，B，C三點共線 求參數的值 利用向量共線定理及向量相等的條件列方程(組)求參數的值 [提醒]　證明三點共線時，需說明共線的兩向量有公共點． 1. (2018·長春一模)在梯形ABCD中，＝3，則＝(　　) A．－＋ B．－＋ C．－＋ D．－－ 解析：選A　因為在梯形ABCD中，＝3，所以＝＋＋＝－＋＋＝－＋，故選A. 2.已知a，b是不共線的向

15、量，＝λa＋b，＝a＋μb，λ，μ∈R，則A，B，C三點共線的充要條件為(　　) A．λ＋μ＝2 B．λ－μ＝1 C．λμ＝－1 D．λμ＝1 解析：選D　∵A，B，C三點共線，∴∥，設＝m(m≠0)，則λa＋b＝m(a＋μb)，∴ ∴λμ＝1，故選D. 3.(2018·南寧模擬)已知e1，e2是不共線向量，a＝me1＋2e2，b＝ne1－e2，且mn≠0，若a∥b，則＝(　　) A．－ B. C．－2 D．2 解析：選C　∵a∥b，∴a＝λb，即me1＋2e2＝λ(ne1－e2)，則故＝－2. 4.已知點M是△ABC的邊BC的中點，點E在邊AC上，且＝2，則＝(　　)

16、 A.＋ B.＋ C.＋ D.＋ 解析：選C　如圖，∵＝2，∴＝＋＝＋＝＋(－)＝＋. 5.如圖，在△OAB中，P為線段AB上的一點， ＝x＋y，且＝2，則(　　) A．x＝，y＝ B．x＝，y＝ C．x＝，y＝ D．x＝，y＝ 解析：選A　由題意知＝＋，又＝2，所以＝＋＝＋(－)＝＋，所以x＝，y＝. [全國卷5年真題集中演練——明規(guī)律] 1．(2015·全國卷Ⅰ)設D為△ABC所在平面內一點，＝3，則(　　) A．＝－＋ B．＝－ C．＝＋ D．＝－ 解析：選A?。剑剑剑?－)＝－

17、＝－＋，故選A. 2．(2014·全國卷Ⅰ)設D，E，F分別為△ABC的三邊BC，CA，AB的中點，則＋＝(　　) A． B. C． D. 解析：選A?。?＋)＋(＋)＝ (＋)＝，故選A. 3．(2015·全國卷Ⅱ)設向量a，b不平行，向量λa＋b與a＋2b平行，則實數λ＝________. 解析：∵λa＋b與a＋2b平行，∴λa＋b＝t(a＋2b)， 即λa＋b＝ta＋2tb，∴解得 答案： [課時達標檢測] [小題對點練——點點

18、落實] 對點練(一)　平面向量的有關概念 1．若向量a與b不相等，則a與b一定(　　) A．有不相等的模 B．不共線 C．不可能都是零向量 D．不可能都是單位向量 解析：選C　若a與b都是零向量，則a＝b，故選項C正確． 2．設a0為單位向量，下列命題中：①若a為平面內的某個向量，則a＝|a|·a0；②若a與a0平行，則a＝|a|a0；③若a與a0平行且|a|＝1，則a＝a0.假命題的個數是(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 解析：選D　向量是既有大小又有方向的量，a與|a|a0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命題；若a與a0平行，則a與a0的方向有兩種情況：一

19、是同向，二是反向，反向時a＝－|a|a0，故②③也是假命題．綜上所述，假命題的個數是3. 3．已知a，b是非零向量，命題p：a＝b，命題q：|a＋b|＝|a|＋|b|，則p是q的____________條件． 解析：若a＝b，則|a＋b|＝|2a|＝2|a|，|a|＋|b|＝|a|＋|a|＝2|a|，即p?q.若|a＋b|＝|a|＋|b|，由加法的運算知a與b同向共線，即a＝λb，且λ>0，故q?/ p．∴p是q的充分不必要條件． 答案：充分不必要 對點練(二)　平面向量的線性運算 1.如圖，在平行四邊形ABCD中，E為DC邊的中點，且＝a，＝b, 則＝(　　) A.b－a B.

20、a－b C．－a＋b D.b＋a 解析：選C?。剑剑璦＋b＋a＝b－a，故選C. 2．已知向量a，b不共線，且c＝λa＋b，d＝a＋(2λ－1)b，若c與d反向共線，則實數λ的值為(　　) A．1 B．－ C．1或－ D．－1或－ 解析：選B　由于c與d反向共線，則存在實數k使c＝kd(k＜0)，于是λa＋b＝k.整理得λa＋b＝ka＋(2λk－k)b.由于a，b不共線，所以有整理得2λ2－λ－1＝0，解得λ＝1或λ＝－.又因為k＜0，所以λ＜0，故λ＝－. 3．(2018·江西八校聯考)在△ABC中，P，Q分別是邊AB，BC上的點，且AP＝AB，BQ＝BC.若＝a，＝b，則

21、＝(　　) A.a＋b B．－a＋b C.a－b D．－a－b 解析：選A?。剑剑剑?－)＝＋＝a＋b，故選A. 4．(2017·鄭州二模)如圖，在△ABC中，點D在線段BC上，且滿足BD＝DC，過點D的直線分別交直線AB，AC于不同的兩點M，N，若＝m，＝n，則(　　) A．m＋n是定值，定值為2 B．2m＋n是定值，定值為3 C.＋是定值，定值為2 D.＋是定值，定值為3 解析：選D　法一：如圖，過點C作CE平行于MN交AB于點E.由＝n可得＝，所以＝＝，由BD＝DC可得＝，所以＝＝，因為＝m，所以m＝，整理可得＋＝3. 法二：因為M，D，N三點共線，所以＝λ＋(1

22、－λ)·.又＝m，＝n，所以＝λm＋(1－λ)·n.又＝，所以－＝－，所以＝＋.比較系數知λm＝，(1－λ)n＝，所以＋＝3，故選D. 5．(2018·銀川一模)設點P是△ABC所在平面內一點，且＋＝2，則＋＝________. 解析：因為＋＝2，由平行四邊形法則知，點P為AC的中點，故＋＝0. 答案：0 6．(2018·衡陽模擬)在如圖所示的方格紙中，向量a，b，c的起點和終點均在格點(小正方形頂點)上，若c與xa＋yb(x，y為非零實數)共線，則的值為________． 解析：設e1，e2分別為水平方向(向右)與豎直方向(向上)的單位向量，則向量c＝e1－2e2，a＝2e1＋

23、e2，b＝－2e1－2e2，由c與xa＋yb共線，得c＝λ(xa＋yb)，所以e1－2e2＝2λ(x－y)e1＋λ(x－2y)e2，所以所以則的值為. 答案： 7．(2018·鹽城一模)在△ABC中，∠A＝60°，∠A的平分線交BC于點D，若AB＝4，且＝＋λ (λ∈R)，則AD的長為________． 解析：因為B，D，C三點共線，所以＋λ＝1，解得λ＝，如圖，過點D分別作AC，AB的平行線交AB，AC于點M，N，則＝，＝，經計算得AN＝AM＝3，AD＝3. 答案：3 8．在直角梯形ABCD中，∠A＝90°，∠B＝30°，AB＝2，BC＝2，點E在線段CD上，若＝＋μ，則μ的取值范

24、圍是________． 解析：由題意可求得AD＝1，CD＝，所以＝2. ∵點E 在線段CD上，∴＝λ (0≤λ≤1)． ∵＝＋， 又＝＋μ＝＋2μ＝＋， ∴＝1，即μ＝.∵0≤λ≤1，∴0≤μ≤， 即μ的取值范圍是. 答案： [大題綜合練——遷移貫通] 1.在△ABC中，D，E分別為BC，AC邊上的中點，G為BE上一點，且GB＝2GE，設＝a，＝b，試用a，b表示， . 解：＝(＋)＝a＋b. ＝＋＝＋＝＋(＋) ＝＋(－)＝＋＝a＋b. 2．已知a，b不共線，＝a，＝b， ＝c， ＝d， ＝e，設t∈R，如果3a＝c,2b＝d，e＝t(a＋b)，是否存在實數

25、t使C，D，E三點在一條直線上？若存在，求出實數t的值，若不存在，請說明理由． 解：由題設知，＝d－c＝2b－3a，＝e－c＝(t－3)a＋tb，C，D，E三點在一條直線上的充要條件是存在實數k，使得＝k，即(t－3)a＋tb＝－3ka＋2kb， 整理得(t－3＋3k)a＝(2k－t)b. 因為a，b不共線，所以有解得t＝. 故存在實數t＝使C，D，E三點在一條直線上． 3.如圖所示，在△ABC中，D，F分別是BC，AC的中點，＝，＝a，＝b. (1)用a，b表示向量，，，，； (2)求證：B，E，F三點共線． 解：(1)延長AD到G，使＝， 連接BG，CG，得到?ABGC，

26、如圖， 所以＝＋＝a＋b， ＝＝(a＋b)，＝＝(a＋b)，＝＝b， ＝－＝(a＋b)－a＝(b－2a)， ＝－＝b－a＝(b－2a)． (2)證明：由(1)可知＝， 又因為，有公共點B， 所以B，E，F三點共線. 第二節(jié) 平面向量基本定理及坐標表示 本節(jié)主要包括2個知識點：　1.平面向量基本定理；　2.平面向量的坐標表示. 突破點(一)　平面向量基本定理　 如果e1，e2是同一平面內的兩個不共線向量，那么對于這一平面內的任意向量a，有且只有一對實數λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2. 其中，不共線的向量e1，e2叫做表示這一平面內所

27、有向量的一組基底． 1．判斷題 (1)平面內的任何兩個向量都可以作為一組基底．(　　) (2)在△ABC中，設＝a，＝b，則向量a與b的夾角為∠ABC.(　　) (3)若a，b不共線，且λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b，則λ1＝λ2，μ1＝μ2.(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)√ 2．填空題 (1)設e1，e2是平面內一組基底，若λ1e1＋λ2e2＝0，則λ1＋λ2＝________. 答案：0 (2)設e1，e2是平面內一組基向量，且a＝e1＋2e2，b＝－e1＋e2，則2a－b＝________. 答案：3e1＋3e2 (3)(2018·嘉興測試)在△AB

28、C中，已知M是BC中點，設＝a，＝b，則＝________. 答案：－b＋a 平面向量基本定理 　　　　　　　　　　　　　　　　　 [典例]　(1)(2018·長春模擬)如圖所示，下列結論正確的是(　　) ①＝a＋b； ②＝a－b； ③＝a－b； ④＝a＋b. A．①② B．③④ C．①③ D．②④ (2)(2018·岳陽質檢)在梯形ABCD中，已知AB∥CD，AB＝2CD，M，N分別為CD，BC的中點．若＝λ＋μ，則λ＋μ的值為(　　) A. B. C. D. [解析]　(1)①根據向量的加法法則，得＝a＋b，故①正確；②根據向量的減

29、法法則，得＝a－b，故②錯誤；③＝＋＝a＋b－2b＝a－b，故③正確；④＝＋＝a＋b－b＝a＋b，故④錯誤，故選C. (2)法一：連接AC(圖略)，由＝λ＋μ，得＝λ·(＋)＋μ·(＋)，則＋＋＝0，得＋＋＝0，得＋＝0.又，不共線，所以由平面向量基本定理得解得所以λ＋μ＝. 法二：根據題意作出圖形如圖所示，連接MN并延長，交AB的延長線于點T，由已知易得AB＝AT，所以＝＝λ＋μ，因為T，M，N三點共線，所以λ＋μ＝. [答案]　(1)C　(2)C [方法技巧] 平面向量基本定理的實質及解題思路 (1)應用平面向量基本定理表示向量的實質是利用平行四邊形法則或三角形法則進行向量的加

30、、減或數乘運算． (2)用向量基本定理解決問題的一般思路是先選擇一組基底，并運用該基底將條件和結論表示成向量的形式，再通過向量的運算來解決．　　 1．(2018·泉州調研)若向量a，b不共線，則下列各組向量中，可以作為一組基底的是(　　) A．a－2b與－a＋2b B．3a－5b與6a－10b C．a－2b與5a＋7b D．2a－3b與a－b 解析：選C　不共線的兩個向量可以作為一組基底．因為a－2b與5a＋7b不共線，故a－2b與5a＋7b可以作為一組基底． 2.向量e1，e2，a，b在正方形網格中的位置如圖所示，則a－b＝(　　) A．－4e1－2e2　　 B.－2e

31、1－4e2 C．e1－3e2 D．3e1－e2 解析：選C　結合圖形易得，a＝－e1－4e2，b＝－2e1－e2，故a－b＝e1－3e2. 3.如圖，正方形ABCD中，E為DC的中點，若＝λ＋μ，則λ＋μ的值為(　　) A. B．－ C．1 D．－1 解析：選A　由題意得＝＋＝＋－＝－，∴λ＝－，μ＝1，∴λ＋μ＝，故選A. 4.(2018·湖南邵陽一模)如圖， 在△ABC中，設＝a，＝b，AP的中點為Q，BQ的中點為R，CR的中點為P，若＝ma＋nb，則m＋n＝________. 解析：根據已知條件得，＝－ ＝－＝(ma＋nb)－a＝a＋b， ＝－＝－＋＝－b＋a＝

32、a＋b，∴＝a＋b， ＝a＋b，＝－a＋b.∵＋＝，∴a＋b＝a＋b，∴解得故m＋n＝. 答案： 突破點(二)　平面向量的坐標表示　 1．平面向量的坐標運算 (1)向量加法、減法、數乘的坐標運算及向量的模 設a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則： a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝. (2)向量坐標的求法 若向量的起點是坐標原點，則終點坐標即為向量的坐標．一般地，設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則＝(x2－x1，y2－y1)． 2．平面向量共線的坐標表示 設a＝(x1，y1

33、)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，則a∥b?x1y2－x2y1＝0. (1)已知a＝(2,1)，b＝(－3,4)，則3a＋4b＝________. 答案：(－6,19) (2)已知向量a＝(2,1)，b＝(1，－2)，若ma＋nb＝(9，－8)(m，n∈R)，則m－n的值為________． 解析：∵ma＋nb＝(2m＋n，m－2n)＝(9，－8)， ∴∴∴m－n＝2－5＝－3. 答案：－3 (3)若AC為平行四邊形ABCD的一條對角線，＝(2,4)，＝(1,3)，則＝________. 答案：(－1，－1) (4)若三點A(1，－5)，B(a，－2)，C(－2，－

34、1)共線，則實數a的值為________． 解析：＝(a－1,3)，＝(－3,4)，據題意知∥，∴4(a－1)＝3×(－3)，即4a＝－5，∴a＝－. 答案：－ 平面向量的坐標運算 　　　　　　　　　　　　　　　　　 [例1]　(1)(2018·紹興模擬)已知點M(5，－6)和向量a＝(1，－2)，若＝－3a，則點N的坐標為(　　) A．(2,0) B．(－3,6) C．(6,2) D．(－2,0) (2)在△ABC中，點P在BC上，且＝2，點Q是AC的中點，若 ＝(4,3)，＝(1,5)，則＝________. [解析]　(1)＝－3a＝－3(1，－2)＝(

35、－3,6)， 設N(x，y)，則＝(x－5，y＋6)＝(－3,6)， 所以即 (2)＝－＝(－3,2)， ∴＝2＝(－6,4)．＝＋＝(－2,7)， ∴＝3＝(－6,21)． [答案]　(1)A　(2)(－6,21) [方法技巧] 平面向量坐標運算的技巧 (1)向量的坐標運算主要是利用加、減、數乘運算法則進行，若已知有向線段兩端點的坐標，則應先求向量的坐標． (2)解題過程中要注意方程思想的運用及正確使用運算法則．　　 平面向量共線的坐標表示 [例2]　已知a＝(1,0)，b＝(2,1)． (1)當k為何值時，ka－b與a＋2b共線； (2)若＝2a＋3b，

36、＝a＋mb，且A，B，C三點共線，求m的值． [解]　(1)∵a＝(1,0)，b＝(2,1)， ∴ka－b＝k(1,0)－(2,1)＝(k－2，－1)，a＋2b＝(1,0)＋2(2,1)＝(5,2)， ∵ka－b與a＋2b共線， ∴2(k－2)－(－1)×5＝0，∴k＝－. (2)＝2(1,0)＋3(2,1)＝(8,3)，＝(1,0)＋m(2,1)＝(2m＋1，m)． ∵A，B，C三點共線，∴∥， ∴8m－3(2m＋1)＝0，∴m＝. [方法技巧] 向量共線的坐標表示中的乘積式和比例式 (1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a∥b?x1y2－x2y1＝0，這

37、是代數運算，用它解決平面向量共線問題的優(yōu)點在于不需要引入參數“λ”，從而減少了未知數的個數，而且它使問題的解決具有代數化的特點和程序化的特征． (2)當x2y2≠0時，a∥b?＝，即兩個向量的相應坐標成比例，這種形式不易出現搭配錯誤． (3)公式x1y2－x2y1＝0無條件x2y2≠0的限制，便于記憶；公式＝有條件x2y2≠0的限制，但不易出錯．所以我們可以記比例式，但在解題時改寫成乘積的形式．　　 1.若向量a＝(2,1)，b＝(－1,2)，c＝，則c可用向量a，b表示為(　　) A.a＋b B．－a－b C.a＋b D.a－b 解析：選A　設c＝xa＋yb，則＝(2x－

38、y，x＋2y)，所以解得則c＝a＋b. 2.已知平行四邊形ABCD中，＝(3,7)，＝(－2,3)，對角線AC與BD交于點O，則的坐標為(　　) A. B. C. D. 解析：選D?。剑?－2,3)＋(3,7)＝(1,10)．∴＝＝.∴＝. 3.(2018·豐臺期末)已知向量a＝(3，－4)，b＝(x，y)，若a∥b，則(　　) A．3x－4y＝0 B．3x＋4y＝0 C．4x＋3y＝0 D．4x－3y＝0 解析：選C　由平面向量共線基本定理可得3y＋4x＝0，故選C. 4.(2018·江西四校聯考)已知向量a＝(，1)，b＝(0，－1)，c＝(k，)．若a－2b與c共線

39、，則k＝________. 解析：由題意得，a－2b＝(，3)，由a－2b與c共線，得×－3k＝0，解得k＝1. 答案：1 [全國卷5年真題集中演練——明規(guī)律] 1．(2015·全國卷Ⅰ)已知點A(0,1)，B(3,2)，向量＝(－4，－3)，則向量＝(　　) A．(－7，－4) B．(7,4) C．(－1,4) D．(1,4) 解析：選A　設C(x，y)，則＝(x，y－1)＝(－4，－3)， 所以解得 從而＝(－4，－2)－(3,2)＝(－7，－4)．故選A. 2．(2016·全國卷Ⅱ)已

40、知向量a＝(m,4)，b＝(3，－2)，且a∥b，則m＝________. 解析：∵a＝(m,4)，b＝(3，－2)，a∥b，∴－2m－4×3＝0.∴m＝－6. 答案：－6 [課時達標檢測] [小題對點練——點點落實] 對點練(一)　平面向量基本定理 1．(2018·珠海一模)如圖，設O是平行四邊形ABCD兩條對角線的交點，給出下列向量組： ①與；②與； ③與；④與. 其中可作為該平面內其他向量的基底的是(　　) A．①② B．①③ C．①④ D．③

41、④ 解析：選B?、僦校还簿€；③中，不共線．②④中的兩向量共線，因為平面內兩個不共線的非零向量構成一組基底，所以選B. 2．(2018·山西太原質檢)在△ABC中，M為邊BC上任意一點，N為AM的中點，＝λ＋μ，則λ＋μ的值為(　　) A. B. C. D．1 解析：選A　設＝t，則＝＝(＋)＝＋＝＋＝＋(－)＝＋，∴λ＝－，μ＝，∴λ＋μ＝，故選A. 3．(2018·湖南四大名校聯考)在平行四邊形ABCD中，AC與BD相交于點O，E是線段OD的中點，AE的延長線與CD交于點F.若＝a，＝b，則＝(　　) A.a＋b B.a＋b C.a＋b D.a＋b 解析：選C　如

42、圖，根據題意，得＝＋＝(a－b)，＝＋＝(a＋b)． 令＝t，則＝t(＋)＝t＝a＋b.由＝＋，令＝s，又＝(a＋b)，＝a－b，所以＝a＋b，所以解方程組得把s代入即可得到＝a＋b，故選C. 4．(2018·山東濰坊一模)若M是△ABC內一點，且滿足＋＝4，則△ABM與△ACM的面積之比為(　　) A. B. C. D．2 解析：選A　設AC的中點為D，則＋＝2，于是2＝4，從而＝2，即M為BD的中點，于是＝＝＝. 5．(2018·湖北黃石質檢)已知點G是△ABC的重心，過G作一條直線與AB，AC兩邊分別交于M，N兩點，且＝x，＝y(tǒng)，則的值為(　　) A. B. C．

43、2 D．3 解析：選B　由已知得M，G，N三點共線，∴＝λ＋(1－λ)＝λx＋(1－λ)y.∵點G是△ABC的重心，∴＝×(＋)＝·(＋)，∴即得＋＝1，即＋＝3，通分變形得，＝3，∴＝. 對點練(二)　平面向量的坐標表示 1．(2018·福州一模)已知向量a＝(2,4)，b＝(－1,1)，則2a＋b＝(　　) A．(5,7) B．(5,9) C．(3,7) D．(3,9) 解析：選D　2a＋b＝2(2,4)＋(－1,1)＝(3,9)，故選D. 2．(2018·河北聯考)已知平面向量a＝(1,2)，b＝(－2，m)，若a∥b，則2a＋3b＝(　　) A．(－5，－10) B

44、．(－2，－4) C．(－3，－6) D．(－4，－8) 解析：選D　由a∥b，得m＋4＝0，即m＝－4，所以2a＋3b＝2(1,2)＋3(－2，－4)＝(－4，－8)． 3．(2018·吉林白城模擬)已知向量a＝(2,3)，b＝(－1,2)，若ma＋nb與a－2b共線，則＝(　　) A. B．2 C．－ D．－2 解析：選C　由向量a＝(2,3)，b＝(－1,2)，得ma＋nb＝(2m－n,3m＋2n)，a－2b＝(4，－1)．由ma＋nb與a－2b共線，得＝，所以＝－，故選C. 4．(2018·河南六市聯考)已知點A(1,3)，B(4，－1)，則與同方向的單位向量是(　　

45、) A. B. C. D. 解析：選A　因為＝(3，－4)，所以與同方向的單位向量為＝. 5．設向量a＝(1，－3)，b＝(－2,4)，c＝(－1，－2)，若表示向量4a,4b－2c,2(a－c)，d的有向線段首尾相連能構成四邊形，則向量d＝(　　) A．(2,6) B．(－2,6) C．(2，－6) D．(－2，－6) 解析：選D　設d＝(x，y)，由題意知4a＝(4，－12)，4b－2c＝(－6,20)，2(a－c)＝(4，－2)，又4a＋4b－2c＋2(a－c)＋d＝0，所以(4，－12)＋(－6,20)＋(4，－2)＋(x，y)＝(0,0)，解得x＝－2，y＝－6，所以

46、d＝(－2，－6)． 6．(2017·南昌二模)已知在平面直角坐標系xOy中，P1(3,1)，P2(－1,3)，P1，P2，P3三點共線且向量與向量a＝(1，－1)共線，若＝λ＋(1－λ) ，則λ＝(　　) A．－3 B．3 C．1 D．－1 解析：選D　設＝(x，y)，則由∥a知x＋y＝0，于是＝(x，－x)．若＝λ＋(1－λ)，則有(x，－x)＝λ(3,1)＋(1－λ)(－1,3)＝(4λ－1,3－2λ)，即所以4λ－1＋3－2λ＝0，解得λ＝－1，故選D. 7．(2018·河南中原名校聯考)已知a＝(1,3)，b＝(m,2m－3)，平面上任意向量c都可以唯一地表示為c＝λa＋μ

47、b(λ，μ∈R)，則實數m的取值范圍是(　　) A．(－∞，0)∪(0，＋∞) B．(－∞，3) C．(－∞，－3)∪(－3，＋∞) D．[－3,3) 解析：選C　根據平面向量基本定理，得向量a，b不共線，∵a＝(1,3)，b＝(m,2m－3)，∴2m－3－3m≠0，∴m≠－3.故選C. [大題綜合練——遷移貫通] 1．(2018·皖南八校模擬)如圖，∠AOB＝，動點A1，A2與B1，B2分別在射線OA，OB上，且線段A1A2的長為1，線段B1B2的長為2，點M，N分別是線段A1B1，A2B2的中點． (1)用向量與表示向量； (2)求向量的模． 解：(1)＝＋＋，

48、＝＋＋，兩式相加，并注意到點M，N分別是線段A1B1，A2B2的中點，得＝(＋)． (2)由已知可得向量與的模分別為1與2，夾角為， 所以·＝1，由＝(＋)得 ||＝ ＝ ＝. 2．已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)，設＝a，＝b，＝c，有＝3c， ＝－2b，求： (1)3a＋b－3c； (2)滿足a＝mb＋nc的實數m，n； (3)M，N的坐標及向量的坐標． 解：由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1,8)， (1)3a＋b－3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8) ＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)．

49、(2)∵mb＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8n)， ∴解得 (3)設O為坐標原點，∵＝－＝3c，∴＝3c＋＝(3,24)＋(－3，－4)＝(0,20)，∴M的坐標為(0,20)．又＝－＝－2b，∴＝－2b＋＝(12,6)＋(－3，－4)＝(9,2)，∴N的坐標為(9,2)．故＝(9－0，2－20)＝(9，－18)． 3．已知三點A(a,0)，B(0，b)，C(2,2)，其中a>0，b>0. (1)若O是坐標原點，且四邊形OACB是平行四邊形，試求a，b的值； (2)若A，B，C三點共線，試求a＋b的最小值． 解：(1)因為四邊形OACB是平行四邊形，所以＝，即(a，0)＝(2,2－

50、b)，解得 (2)因為＝(－a，b)，＝(2,2－b)， 由A，B，C三點共線，得∥， 所以－a(2－b)－2b＝0，即2(a＋b)＝ab， 因為a>0，b>0，所以2(a＋b)＝ab≤2， 即(a＋b)2－8(a＋b)≥0，解得a＋b≥8或a＋b≤0. 因為a>0，b>0， 所以a＋b≥8，即當且僅當a＝b＝4時，a＋b取最小值為8. 第三節(jié) 平面向量的數量積及其應用 本節(jié)主要包括3個知識點：　 1.平面向量的數量積；2.平面向量數量積的應用；　3.平面向量與其他知識的綜合問題. 突破點(一)　平面向量的數量積　 1．向量的夾角 (1)定義

51、：已知兩個非零向量a和b，作＝a，＝b，則∠AOB就是向量a與b的夾角． (2)范圍：設θ是向量a與b的夾角，則0°≤θ≤180°. (3)共線與垂直：若θ＝0°，則a與b同向；若θ＝180°，則a與b反向；若θ＝90°，則a與b垂直． 2．平面向量的數量積 (1)定義：已知兩個非零向量a與b，它們的夾角為θ，則數量|a||b|cos θ叫做a與b的數量積(或內積)，記作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ，規(guī)定零向量與任一向量的數量積為0，即0·a＝0. (2)幾何意義：數量積a·b等于a的長度|a|與b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘積． (3)坐標表示：若a＝(x1

52、，y1)，b＝(x2，y2)，則a·b＝x1x2＋y1y2. 3．平面向量數量積的運算律 (1)a·b＝b·a(交換律)． (2)λa·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(結合律)． (3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)． 1．判斷題 (1)在△ABC中，向量與的夾角為∠B.(　　) (2)0·＝0.(　　) (3)若a與b共線，則a·b＝|a||b|.(　　) (4)(a－b)·c＝a·(b·c)．(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)× 2．填空題 (1)已知|a|＝5，|b|＝4，a與b的夾角為120°，則a·b＝________.

53、答案：－10 (2)已知向量a與b的夾角為60°，|a|＝1，|b|＝3，則a·b＝________. 答案： (3)已知向量a，b滿足|a|＝|b|＝2且a·b＝－2，則向量a與b的夾角為________． 答案： 平面向量數量積的運算 1.利用坐標計算數量積的步驟 第一步，根據共線、垂直等條件計算出這兩個向量的坐標，求解過程要注意方程思想的應用； 第二步，根據數量積的坐標公式進行運算即可． 2．根據定義計算數量積的兩種思路 思路一 若兩個向量共起點，則兩向量的夾角直接可得，根據定義即可求得數量積；若兩向量的起點不同，需要通過平移使它們的起點重合，然后再

54、計算 思路二 根據圖形之間的關系，用長度和相互之間的夾角都已知的向量分別表示出要求數量積的兩個向量，然后再根據平面向量數量積的定義和性質進行計算求解 　　　　　　　　　　　　　　　　　 [典例]　(1)(2018·商丘模擬)在邊長為1的等邊三角形ABC中，設＝a，＝b，＝c，則a·b＋b·c＋c·a＝(　　) A．－ B．0 C. D．3 (2)如圖，平行四邊形ABCD中，AB＝2，AD＝1，A＝60°，點M在AB邊上，且AM＝AB，則·＝________. [解析]　(1)依題意有a·b＋b·c＋c·a＝1×1×＋1×1×＋1×1×＝－. (2)因為＝＋＝＋，＝＋，所以·＝

55、·(＋)＝||2＋||2＋·＝1＋－·＝－||·||·cos 60°＝－×1×2×＝1. [答案]　(1)A　(2)1 [易錯提醒] (1)解決涉及幾何圖形的向量數量積運算問題時，一定要注意向量的夾角與已知平面角的關系是相等還是互補． (2)兩向量a，b的數量積a·b與代數中a，b的乘積寫法不同，不能省略掉其中的“·”．　　 1．已知|a|＝6，|b|＝3，向量a在b方向上的投影是4，則a·b為(　　) A．12 B．8 C．－8 D．2 解析：選A　∵|a|cos〈a，b〉＝4，|b|＝3，∴a·b＝|a||b|·cos〈a，b〉＝3×4＝12. 2．設x∈R，

56、向量a＝(1，x)，b＝(2，－4)，且a∥b，則a·b＝(　　) A．－6 B. C. D．10 解析：選D　∵a＝(1，x)，b＝(2，－4)且a∥b， ∴－4－2x＝0，x＝－2，∴a＝(1，－2)，a·b＝10，故選D. 3．(2018·重慶適應性測試)設單位向量e1，e2的夾角為，a＝e1＋2e2，b＝2e1－3e2，則b在a方向上的投影為(　　) A．－ B．－ C. D. 解析：選A　依題意得e1·e2＝1×1×cos ＝－，|a|＝＝＝， a·b＝(e1＋2e2)·(2e1－3e2)＝2e－6e＋e1·e2＝－，因此b在a方向上的投影為＝＝－，故選A.

57、 4．(2018·成都模擬)已知菱形ABCD邊長為2，∠B＝，點P滿足＝λ，λ∈R，若·＝－3，則λ的值為(　　) A. B．－ C. D．－ 解析：選A　法一：由題意可得·＝2×2cos ＝2， ·＝(＋) ·(－) ＝(＋)·[(－)－] ＝(＋)·[(λ－1)·－] ＝(1－λ)2－·＋(1－λ)·－2 ＝(1－λ)·4－2＋2(1－λ)－4 ＝－6λ＝－3， ∴λ＝，故選A. 法二：建立如圖所示的平面直角坐標系，則B(2,0)，C(1，)，D(－1，)． 令P(x,0)，由·＝(－3，)·(x－1，－)＝－3x＋3－3＝－3x＝－3得x＝1. ∵＝λ，∴λ＝.

58、故選A. 突破點(二)　平面向量數量積的應用 平面向量數量積的性質及其坐標表示 設非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ＝〈a，b〉. 幾何表示 坐標表示 模 |a|＝ |a|＝ 夾角 cos θ＝ cos θ＝ a⊥b a·b＝0 x1x2＋y1y2＝0 |a·b|與 |a||b|的 關系 |a·b|≤|a||b| |x1x2＋y1y2|≤ · (1)已知平面向量a＝(2,4)，b＝(1，－2)，若c＝a＋b，則|c|＝________. 答案： (2)已知向量a＝(1，)，b＝(，1)，則a與b夾角的大

59、小為________． 解析：由題意得|a|＝＝2，|b|＝＝2，a·b＝1×＋×1＝2.設a與b的夾角為θ，則cos θ＝＝.∵θ∈[0，π]，∴θ＝. 答案： (3)已知向量a＝(1，t)，b＝(6，－4)．若a⊥b，則實數t的值為________． 答案：－ 平面向量的垂直問題 　　　　　　　　　　　　　　　　　 [例1]　(1)(2018·安徽蚌埠一模)已知非零向量m，n滿足3|m|＝2|n|，它們的夾角θ＝60°.若n⊥(tm＋n)，則實數t的值為(　　) A．3 B．－3 C．2 D．－2 (2)平面四邊形ABCD中，＋＝0，(－)·＝0

60、，則四邊形ABCD是(　　) A．矩形 B．正方形 C．菱形 D．梯形 [解析]　(1)由題意得cos θ＝. ∵n⊥(tm＋n)，∴n·(tm＋n)＝tm·n＋n2＝t|m||n|×＋|n|2＝|n|2＋|n|2＝0，解得t＝－3.故選B. (2)因為＋＝0，所以＝－＝，所以四邊形ABCD是平行四邊形．又(－)·＝·＝0，所以四邊形對角線互相垂直，所以四邊形ABCD是菱形． [答案]　(1)B　(2)C [方法技巧] 平面向量垂直問題的類型及求解方法 (1)判斷兩向量垂直 第一，計算出這兩個向量的坐標； 第二，根據數量積的坐標運算公式，計算出這兩個向量的數量積為0即可

61、． (2)已知兩向量垂直求參數 根據兩個向量垂直的充要條件，列出相應的關系式，進而求解參數． [提醒]　注意x1y2－x2y1＝0與x1x2＋y1y2＝0不同，前者是兩向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)共線的充要條件，后者是它們垂直的充要條件．　　 平面向量模的相關問題 [例2]　(1)(2018·合肥模擬)已知不共線的兩個向量a，b滿足|a－b|＝2且a⊥(a－2b)，則|b|＝(　　) A. B．2 C．2 D．4 (2)在△ABC中，若A＝120°，·＝－1，則||的最小值是(　　) A. B．2 C. D．6 [解析]　(1)由a⊥(a－2b)得a

62、·(a－2b)＝|a|2－2a·b＝0.又|a－b|＝2，所以|a－b|2＝|a|2－2a·b＋|b|2＝4，則|b|2＝4，|b|＝2，故選B. (2)因為·＝－1，所以||·||·cos 120°＝－1，即||·||＝2，所以||2＝|－|2＝2－2·＋2≥2||·||－2·＝6，當且僅當||＝||時等號成立，所以||min＝. [答案]　(1)B　(2)C [方法技巧] 求向量模的常用方法 (1)若向量a是以坐標形式出現的，求向量a的?？芍苯永霉絴a|＝. (2)若向量a，b是以非坐標形式出現的，求向量a的?？蓱霉絴a|2＝a2＝a·a，或|a±b|2＝(a±b)2＝

63、a2±2a·b＋b2，先求向量模的平方，再通過向量數量積的運算求解．　　 平面向量的夾角問題 [例3]　(1)(2018·泰安質檢)已知非零向量a，b滿足|a|＝|b|＝|a＋b|，則a與2a－b夾角的余弦值為(　　) A. B. C. D. (2)已知單位向量e1與e2的夾角為α，且cos α＝，向量a＝3e1－2e2與b＝3e1－e2的夾角為β，則cos β＝________. [解析]　(1)不妨設|a|＝|b|＝|a＋b|＝1，則|a＋b|2＝a2＋b2＋2a·b＝2＋2a·b＝1，所以a·b＝－，所以a·(2a－b)＝2a2－a·b＝，又|a|＝1，|2a－

64、b|＝＝＝，所以a與2a－b夾角的余弦值為＝＝. (2)∵a2＝(3e1－2e2)2＝9＋4－2×3×2×＝9， b2＝(3e1－e2)2＝9＋1－2×3×1×＝8， a·b＝(3e1－2e2)·(3e1－e2)＝9＋2－9×1×1×＝8，∴cos β＝＝＝. [答案]　(1)D　(2) [方法技巧]　求解兩個非零向量之間的夾角的步驟 第一步 由坐標運算或定義計算出這兩個向量的數量積 第二步 分別求出這兩個向量的模 第三步 根據公式cos θ＝＝求解出這兩個向量夾角的余弦值 第四步 根據兩個向量夾角的范圍是[0，π]及其夾角的余弦值，求出這兩個向量的夾角 1

65、.(2017·懷柔二模)已知a＝(1,2)，b＝(－1，)，則a·b＋|b|＝(　　) A．1 B．1＋ C．1＋2 D．2 解析：選C　因為a·b＝(1,2)·(－1，)＝－1＋2，|b|＝2，所以a·b＋|b|＝－1＋2＋2＝1＋2. 2.(2018·遼寧沈陽一模)已知平面向量a＝(k,3)，b＝(1,4)．若a⊥b，則實數k＝(　　) A．－12 B．12 C. D. 解析：選A　∵平面向量a＝(k,3)，b＝(1,4)，a⊥b，∴a·b＝k＋12＝0，解得k＝－12.故選A. 3.(2018·河北廊坊期末)已知|a|＝2，向量a在向量b上的投影為，則a與b的夾角為(

66、　　) A. B. C. D. 解析：選B　設向量a與向量b的夾角為θ，則a在b上的投影為|a|cos θ＝2cos θ.∵a在b上的投影為，∴cos θ＝.∵θ∈[0，π]，∴θ＝.故選B. 4.(2018·上海普陀區(qū)一模)設θ是兩個非零向量a，b的夾角，若對任意實數t，|a＋tb|的最小值為1，則下列判斷正確的是(　　) A．若|a|確定，則θ唯一確定 B．若|b|確定，則θ唯一確定 C．若θ確定，則|b|唯一確定 D．若θ確定，則|a|唯一確定 解析：選D　設g(t)＝(a＋tb)2＝b2t2＋2ta·b＋a2，則Δ＝4(a·b)2－4b2·a2<0恒成立，當且僅當t＝－＝－時，g(t)取得最小值1，∴b2×－2a·b×＋a2＝1，化簡得a2sin2θ＝1，所以當θ確定時，|a|唯一確定． 5.(2018·惠州一模)若O為△ABC所在平面內任一點，且滿足(－)·(＋－2)＝0，則△ABC的形狀為(　　) A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等邊三角形 D．等腰直角三角形 解析：選A　因為(－)·(＋－2)＝0，即·(＋)＝0，(－)·(＋)＝0，即