2022年高一數(shù)學(xué)必修4 3-1-3二倍角的正弦、余弦、正切公式 教案 教材分析 本節(jié)內(nèi)容是數(shù)學(xué)必修四（人教A版）第三章第一節(jié)，是在研究了兩角和與差的三角函數(shù)的基礎(chǔ)上,研究具有倍角關(guān)系的正弦、余弦、正切公式，它是兩角和的正弦、余弦、正切公式延續(xù)，為后續(xù)內(nèi)容求三角函數(shù)值、化簡和證明提供了非常有用的理論工具.通過對二倍角公式的推導(dǎo)知道：二倍角公式的內(nèi)涵是“揭示具有倍數(shù)關(guān)系的兩個角的三角函數(shù)的運算規(guī)律”，通過推導(dǎo)還讓學(xué)生了解高中數(shù)學(xué)中由“一般”到“特殊”的化歸數(shù)學(xué)思想，因此這節(jié)課也是培養(yǎng)學(xué)生運算和邏輯推理能力的重要內(nèi)容，對培養(yǎng)學(xué)生的探索精神和創(chuàng)新能力都有重要意義. 重點是二倍角的正弦、余弦、正切公式的推導(dǎo)及余弦公式兩種變形及應(yīng)用.難點是靈活應(yīng)用二倍角公式變形，熟練解三角綜合題. 課時分配 本節(jié)內(nèi)容用1課時完成，主要講解二倍角的正弦、余弦、正切公式. 教學(xué)目標(biāo) 重點：公式的推導(dǎo)、記憶、及公式變形及應(yīng)用. 難點：靈活應(yīng)用二倍角公式變形，熟練解三角綜合題. 知識點：理解并掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式，能熟練地正用、逆用、變形用公式. 能力點：通過對二倍角公式的正用、逆用、變形使用，提高三角變形的能力，運算能力，以及應(yīng)用轉(zhuǎn)化、化歸、換元等數(shù)學(xué)思想方法對學(xué)生推理能力的發(fā)展起到很好的推動作用. 教育點：認(rèn)識事物之間的普遍聯(lián)系與相互轉(zhuǎn)化，培養(yǎng)學(xué)生用聯(lián)系的觀點看問題. 自主探究點：探究二倍角正弦、余弦、正切公式 考試點：二倍角公式. 易錯易混點：正切公式是有條件的，使用時要先考慮公式是否有意義，再選擇恰當(dāng)公式，簡單地認(rèn)為是的二倍；根據(jù)給的角判斷三角函數(shù)符號，求值易錯，學(xué)生運算能力差；. 拓展點:倍角公式與三角函數(shù)其它知識聯(lián)系，解決實際問題，可以推導(dǎo)升冪、降次公式,培養(yǎng)發(fā)散性思維. 教具準(zhǔn)備 導(dǎo)學(xué)案、三角板和多媒體. 【教學(xué)過程】 一、引入新課 同學(xué)們，上幾節(jié)課學(xué)習(xí)了兩角和與差的正弦、余弦、正切公式，知道是用簡單的角的三角函數(shù)表達(dá)復(fù)雜角的三角函數(shù)，知道并不簡單的等于，請同學(xué)們回憶這些公式并默寫出來。 那么嗎？顯然不是對于所有的角都成立，比如就不成立，那它等于什么，用什么表示？ 【設(shè)計意圖】開門見山，運用類比，引出課題，同時加深對兩角和與差的正弦、余弦、正切公式的理解，引出探究問題 二、探究新知 【探究一】二倍角的正弦、余弦、正切公式 請問 學(xué)生討論：通過取特殊值，比如，，,,不成立. 引導(dǎo)：在推導(dǎo)時，是對進(jìn)行特殊化得到的，如果令，得到什么結(jié)論？ 引導(dǎo)學(xué)生觀察其結(jié)構(gòu)，并回答觀察結(jié)果：左邊角均為，右邊角均為，具有“二倍”關(guān)系. 板書： 上式即為我們學(xué)習(xí)的二倍角公式. 【設(shè)計意圖】用已學(xué)公式，對其特殊化,讓學(xué)生學(xué)會從“一般”到“特殊”的化歸方法，從而達(dá)到“溫故而知新”的教學(xué)目的. 【思想方法】上面推導(dǎo)過程體現(xiàn)了一般到特殊的思想方法. 【探究二】思考：把上述關(guān)于的式子能否變成只含有或形式的式子呢？ 推導(dǎo)：由 變形式：==1- == 記憶：從左到右，由一次式到右端的二次式，但角卻由二倍角變?yōu)閱谓? 【設(shè)計意圖】學(xué)會公式的變形，公式的變形使用也是本節(jié)的重要內(nèi)容. 【探究三】思考：二倍角公式，對任意角都適合嗎？ 讓學(xué)生說出：板書：：（） : = 1-=（） : () 【設(shè)計意圖】探索出二倍角公式的使用條件. 三、理解新知 二倍角公式中的倍數(shù)關(guān)系是相對的 是的二倍的形式，其實也是的兩倍，是的兩倍等，所有這些都可以應(yīng)用二倍角公式.因此，要理解“二倍角”的含義，即當(dāng)時，就是的二倍角.凡是符合二倍角關(guān)系的就可以應(yīng)用二倍角公式. 學(xué)生口答  1．填角： 答案 答案 答案 2．填空：（用表示） 答案 答案 ( 【設(shè)計意圖】通過填空，讓學(xué)生靈活理解“二倍角”的含義，根據(jù)學(xué)生易混點，類比公式，展開訓(xùn)練，達(dá)到“跨越障礙、突破難點”的目的. 【思想方法】上面體現(xiàn)了換元的思想方法. 四、運用新知 例 1. （1）； （2）； (3）； (4) 【設(shè)計意圖】 運用公式,對二倍角公式結(jié)構(gòu)特征進(jìn)一步理解，鞏固二倍角公式，訓(xùn)練化簡求值 變式訓(xùn)練: (1) (2) (3) 思維過程：解：(1)= （2）=== (3) === 【設(shè)計意圖】：公式的簡單應(yīng)用，包括公式的簡單變形用 例2.已知求的值． 【分析】是的二倍，由得，所以求出 代入二倍角公式求值. 解：由得． 又因為． 于是； ；． 用也能求解. 【設(shè)計意圖】本題是公式的正用.通過本例的解答，要求學(xué)生對倍角的相對性有一定認(rèn)識.由淺入深,鞏固公式,培養(yǎng)學(xué)生規(guī)范、科學(xué)解題的能力. 給值求值 變式訓(xùn)練：已知等腰三角形一個底角的正弦值為,求這個三角形的頂角的正弦、余弦及正切值. A B C 【設(shè)計意圖】本題是公式的正用.利用二倍角解決實際問題,培養(yǎng)學(xué)生分析解決問題能力. 找一同學(xué)板書，其他同學(xué)自己做，老師講評. 已知： 求 解：由題意設(shè)且，所以， 因此,同樣有 例3.在△ABC中，求的值 分析：在三角形當(dāng)中，，,會有不同的思路，進(jìn)一步求解. 法1: 在△ABC中, ，得， , 又 解法2：, 【設(shè)計意圖】本題具有一定的綜合性，同時也是和（差）角公式的應(yīng)用問題. 例4．（1） (2) (1)分析：本題主要是觀察結(jié)構(gòu)特征，1=，, 解：= (2)分析：本題主要是逆用二倍角正弦公式，觀察結(jié)構(gòu)特征，1=. 解：== ===== 【設(shè)計意圖】主要是練習(xí)倍角公式的靈活運用和角、倍角公式，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散性思維. 練習(xí):P135 1，2，3，4 五、課堂小結(jié) 1．知識：：（） : = 1-=（） : () 2．思想方法：一般到特殊思想、換元思想、轉(zhuǎn)化、化歸思想、方程思想. 【設(shè)計意圖】讓學(xué)生學(xué)會學(xué)習(xí)，反思，總結(jié)，同時應(yīng)加強(qiáng)對學(xué)生在數(shù)學(xué)知識與思想方法的認(rèn)識與指導(dǎo). 六、布置作業(yè)： 必做題: 1.已知.求 2.已知.，，，求 選做題：【設(shè)計意圖】對學(xué)有余力的學(xué)生留出自我發(fā)展的空間，嘗試能力，拓展創(chuàng)新. 3. 已知,,求 4.利用三角公式化簡： 七、教后反思 本節(jié)課采用特殊化、探究相結(jié)合的研究方法，運用調(diào)動學(xué)生思維，讓學(xué)生自主探究，通過設(shè)置問題引導(dǎo)學(xué)生觀察分析，使學(xué)生在獨立思考的基礎(chǔ)上進(jìn)行合作交流，在思考、探索和交流的過程中獲得倍角公式；對于倍角公式的應(yīng)用從正用、逆用、變形用的角度設(shè)置例習(xí)題，采取講、練相結(jié)合的方式進(jìn)行處理，使學(xué)生邊練邊鞏固，同時設(shè)計問題，探究問題，深化對公式的理解、記憶. 八、 板書設(shè)計 3．1．3二倍角的正弦、余弦、正切公式 一、公式推導(dǎo) 二、使用條件 三、例題與練習(xí) 類型一：.化簡求值（公式逆用） 例1 變式訓(xùn)練 類型二：給值求值（公式正用） 例2 變式訓(xùn)練 例3 類型三：公式變形靈活運用. 例4 四．小結(jié) 1．知識： 2．思想方法： 五．作業(yè)