《2022年高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 熱點(diǎn)聚焦與擴(kuò)展 專題41 三視圖——幾何體的面積與體積》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2022年高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 熱點(diǎn)聚焦與擴(kuò)展 專題41 三視圖——幾何體的面積與體積（21頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、2022年高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 熱點(diǎn)聚焦與擴(kuò)展 專題41 三視圖——幾何體的面積與體積 三視圖是高考重點(diǎn)考查的內(nèi)容，近幾年多與面積或體積計(jì)算結(jié)合在一起加以考查，考查內(nèi)容有三視圖的識(shí)別；三視圖與直觀圖的聯(lián)系與轉(zhuǎn)化；求與三視圖對(duì)應(yīng)的幾何體的表面積與體積．命題形式為用客觀題考查識(shí)讀圖形和面積體積計(jì)算，解答題往往以常見(jiàn)幾何體為載體考查空間想象能力和推理運(yùn)算能力，期間需要靈活應(yīng)用幾何體的結(jié)構(gòu)特征．本專題通過(guò)例題說(shuō)明三視圖及幾何體的面積與體積問(wèn)題求解方法. （一）常見(jiàn)幾何體的表面積計(jì)算： 1、常見(jiàn)幾何體的表面積計(jì)算公式： （1）三角形面積：設(shè)的底為，高為，則 （2）圓形面積：設(shè)圓的半徑為，則

2、（3）圓柱的側(cè)面積：設(shè)圓柱底面半徑為，高為，則側(cè)面積為 （4）圓錐的側(cè)面積：設(shè)圓錐底面半徑為 ，母線長(zhǎng)為，則側(cè)面積為 （5）圓臺(tái)的側(cè)面積：設(shè)圓臺(tái)上下底面半徑分別為，母線長(zhǎng)為，則側(cè)面積為 （6）棱柱（棱錐，棱臺(tái)）的側(cè)面積：只需求出每個(gè)側(cè)面的面積并加在一起 （7）球的面積：設(shè)球的半徑為，則球的表面積為 2、軸截面：對(duì)于旋轉(zhuǎn)體（圓柱，圓錐，圓臺(tái)），用軸所在的平面去截幾何體，得到的截面稱為軸截面，軸截面的邊角關(guān)系與幾何體的一些要素向?qū)?yīng). （1）圓柱：軸截面為矩形，其中矩形的長(zhǎng)對(duì)應(yīng)圓柱的底面直徑，矩形的高對(duì)應(yīng)橢圓的高 （2）圓錐：軸截面為等腰三角形，其中等腰三角形的底對(duì)應(yīng)圓錐的底面直

3、徑，高對(duì)應(yīng)圓錐的高，腰對(duì)應(yīng)圓錐的母線長(zhǎng) （3）圓臺(tái)：軸截面為等腰梯形，其中上底對(duì)應(yīng)圓臺(tái)上底面直徑，下底對(duì)應(yīng)下底面直徑，高對(duì)應(yīng)圓臺(tái)的高，腰對(duì)應(yīng)圓臺(tái)的母線 3、三視圖解面積的步驟： （1）分析出所圍成的幾何體的特征（柱，錐，臺(tái)還是組合體） （2）確定所求幾何體由哪些面組成 （3）根據(jù)圍成的面的特點(diǎn)，尋找可求出面積的要素，進(jìn)而求出面積 （4）將各部分面積求和即可得到幾何體的表面積 4、求表面積要注意的幾點(diǎn)： （1）三視圖中側(cè)面的高通常與某個(gè)視圖的邊相對(duì)應(yīng). （2）圓錐和圓柱可利用軸截面的特點(diǎn)求出相關(guān)要素，例如已知圓錐的高和底面半徑，通過(guò)軸截面可求出圓錐的母線長(zhǎng) （3）當(dāng)幾何體被

4、切割時(shí)，要注意截面也算在表面積之列. （4）如果幾何體是由多個(gè)簡(jiǎn)單幾何體拼接而成，要注意哪些面因拼接而含在幾何體之中，進(jìn)而在求表面積時(shí)不予考慮. （二）常見(jiàn)幾何體的體積計(jì)算： 1、常見(jiàn)幾何體的體積公式：（底面積，高） （1）柱體： （2）錐體： （3）臺(tái)體：，其中為上底面面積，為下底面面積 （4）球： 2、求幾何體體積要注意的幾點(diǎn) （1）對(duì)于多面體和旋轉(zhuǎn)體：一方面要判定幾何體的類型（柱，錐，臺(tái)），另一方面要看好該幾何體擺放的位置是否是底面著地.對(duì)于擺放“規(guī)矩”的幾何體（底面著地），通常只需通過(guò)俯視圖看底面面積，正視圖（或側(cè)視圖）確定高，即可求出體積. （2）對(duì)于組合體，

5、首先要判斷是由哪些簡(jiǎn)單幾何體組成的，或是以哪個(gè)幾何體為基礎(chǔ)切掉了一部分.然后再尋找相關(guān)要素 （3）在三視圖中，每個(gè)圖各條線段的長(zhǎng)度不會(huì)一一給出，但可通過(guò)三個(gè)圖之間的聯(lián)系進(jìn)行推斷，推斷的口訣為“長(zhǎng)對(duì)正，高平齊，寬相等”，即正視圖的左右間距與俯視圖的左右間距相等，正視圖的上下間距與側(cè)視圖的上下間距相等， 側(cè)視圖的左右間距與俯視圖的上下間距相等. 【經(jīng)典例題】 例1.【2017北京，理7】某四棱錐的三視圖如圖所示，則該四棱錐的最長(zhǎng)棱的長(zhǎng)度為 （A）3 （B）2 （C）2 （D）2 【答案】B 【解析】 例2. 一

6、個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】由已知中的三視圖可得，該幾何體是以俯視圖為底面的半圓柱， 底面半徑為1，高為2， 故該幾何體的表面積 故選D. 例3.【2018屆重慶市巴蜀中學(xué)月考九】已知某幾何體的三視圖如圖2所示（小正方形的邊長(zhǎng)為），則該幾何體的外接球的表面積為（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】分析：首先根據(jù)題中所給的三視圖，還原幾何體，得到該幾何體是由正方體切割而成的，找到該幾何體的頂點(diǎn)有三個(gè)是正方體的棱的中點(diǎn)，一個(gè)

7、就是正方體的頂點(diǎn)，之后將幾何體補(bǔ)體，從而得到該三棱 取棱中點(diǎn)H，再取正方體的頂點(diǎn)， 從而得到該三棱錐的外接球即為直三棱柱的外接球， 利用正弦定理可以求得底面三角形的外接圓的半徑為， 棱柱的高為4，所以可以求得其外接球的半徑， 所以其表面積為，故選A. 點(diǎn)睛：該題考查的是有關(guān)利用三視圖還原幾何體，求其外接球的體積的問(wèn)題，在解題的過(guò)程中，最關(guān)鍵的一步就是還原幾何體，再者就是將其補(bǔ)成一個(gè)直三棱柱，之后應(yīng)用直三棱柱的外接球的球心在上下底面外心的連線的中點(diǎn)處，利用公式求得結(jié)果. 例4.【2018屆云南省昆明市5月檢測(cè)】一個(gè)幾何體挖去部分后的三視圖如圖所示，若其正視圖和側(cè)視圖都是由三個(gè)邊長(zhǎng)為

8、2的正三角形組成，則該幾何體的表面積為（ ） A. B. C. D. 【答案】B 圓臺(tái)側(cè)面積為，下底面面積為， 圓錐的側(cè)面積為 . 所以該幾何體的表面積為.故選B. 點(diǎn)睛：（1）還原幾何體的基本要素是“長(zhǎng)對(duì)齊，高平直，寬相等”. （2）對(duì)于簡(jiǎn)單幾何體的組合體的三視圖，首先要確定正視、側(cè)視、俯視的方向，其次要注意組合體由哪些幾何體組成，弄清它們的組成方式，特別應(yīng)注意它們的交線的位置． 根據(jù)幾何體的三視圖確定直觀圖的方法： 三視圖為三個(gè)三角形，對(duì)應(yīng)三棱錐； 三視圖為兩個(gè)三角形，一個(gè)四邊形，對(duì)應(yīng)四棱錐； 三視圖為兩個(gè)三角形，一個(gè)帶圓心

9、的圓，對(duì)應(yīng)圓錐； 三視圖為一個(gè)三角形，兩個(gè)四邊形，對(duì)應(yīng)三棱錐； 三視圖為兩個(gè)四邊形，一個(gè)圓，對(duì)應(yīng)圓柱. 例5.【2018屆江西省景德鎮(zhèn)市第一中學(xué)等盟校第二次聯(lián)考】已知菱形滿足：，，將菱形沿對(duì)角線折成一個(gè)直二面角，則三棱錐外接球的表面積為（ ） A. B. C. D. 【答案】A ， 外接球表面積為，故選A. 點(diǎn)睛：本題主要考查三棱錐外接球表面積的求法，屬于難題.要求外接球的表面積和體積，關(guān)鍵是求出求的半徑，求外接球半徑的常見(jiàn)方法有：①若三條棱兩垂直則用（為三棱的長(zhǎng)）；②若面（），則（為外接圓半徑）；③可以轉(zhuǎn)化為長(zhǎng)方體的外接球；④特殊幾何體可以直接

10、找出球心和半徑. 例6.【2018屆廣東省湛江市二?！恳阎粋€(gè)三棱錐的三視圖如圖所示，其中俯視圖是等腰直角三角形，則該三棱錐的外接球體積為（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】分析：由題意首先將三視圖還原為三棱錐，然后補(bǔ)形為三棱柱，結(jié)合外接球半徑即可求得外接球的體積. 且：， 外接球的體積：. 本題選擇C選項(xiàng). 點(diǎn)睛：與球有關(guān)的組合體問(wèn)題，一種是內(nèi)切，一種是外接．解題時(shí)要認(rèn)真分析圖形，明確切點(diǎn)和接點(diǎn)的位置，確定有關(guān)元素間的數(shù)量關(guān)系，并作出合適的截面圖，如球內(nèi)切于正方體，切點(diǎn)為正方體各個(gè)面的中心，正方體的棱長(zhǎng)等于球的直徑；

11、球外接于正方體，正方體的頂點(diǎn)均在球面上，正方體的體對(duì)角線長(zhǎng)等于球的直徑. 例7．【2017課標(biāo)II，理4】如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1，粗實(shí)線畫(huà)出的是某幾何體的三視圖，該幾何體由一平面將一圓柱截去一部分所得，則該幾何體的體積為（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 點(diǎn)睛：在由三視圖還原為空間幾何體的實(shí)際形狀時(shí)，要從三個(gè)視圖綜合考慮，根據(jù)三視圖的規(guī)則，空間幾何體的可見(jiàn)輪廓線在三視圖中為實(shí)線，不可見(jiàn)輪廓線在三視圖中為虛線.在還原空間幾何體實(shí)際形狀時(shí)，一般是以正視圖和

12、俯視圖為主，結(jié)合側(cè)視圖進(jìn)行綜合考慮.求解以三視圖為載體的空間幾何體的體積的關(guān)鍵是由三視圖確定直觀圖的形狀以及直觀圖中線面的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，利用相應(yīng)體積公式求解. 例8.【2017課標(biāo)3，理8】已知圓柱的高為1，它的兩個(gè)底面的圓周在直徑為2的同一個(gè)球的球面上，則該圓柱的體積為（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 點(diǎn)睛：(1)求解以空間幾何體的體積的關(guān)鍵是確定幾何體的元素以及線面的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，利用相應(yīng)體積公式求解；(2)若所給幾何體的體積不能直接利用公式得出，則常用等積法、分割法、補(bǔ)形法等方法進(jìn)行求解. 例9.【2017浙江，3

13、】某幾何體的三視圖如圖所示（單位：cm），則該幾何體的體積（單位：cm3）是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 點(diǎn)睛：思考三視圖還原空間幾何體首先應(yīng)深刻理解三視圖之間的關(guān)系，遵循“長(zhǎng)對(duì)正，高平齊，寬相等”的基本原則，其內(nèi)涵為正視圖的高是幾何體的高，長(zhǎng)是幾何體的長(zhǎng)；俯視圖的長(zhǎng)是幾何體的長(zhǎng)，寬是幾何體的寬；側(cè)視圖的高是幾何體的高，寬是幾何體的寬．由三視圖畫(huà)出直觀圖的步驟和思考方法：1、首先看俯視圖，根據(jù)俯視圖畫(huà)出幾何體地面的直觀圖；2、觀察正視圖和側(cè)視圖找到幾何體前、后、左、右的高度；3、畫(huà)出整體，然后再根據(jù)三視圖進(jìn)行調(diào)整． 例10.【2017

14、課標(biāo)1，理16】如圖，圓形紙片的圓心為O，半徑為5 cm，該紙片上的等邊三角形ABC的中心為O.D、E、F為圓O上的點(diǎn)，△DBC，△ECA，△FAB分別是以BC，CA，AB為底邊的等腰三角形.沿虛線剪開(kāi)后，分別以BC，CA，AB為折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得D、E、F重合，得到三棱錐.當(dāng)△ABC的邊長(zhǎng)變化時(shí)，所得三棱錐體積（單位：cm3）的最大值為_(kāi)______. 【答案】 【解析】 點(diǎn)睛：對(duì)于三棱錐最值問(wèn)題，肯定需要用到函數(shù)的思想進(jìn)行解決，本題解決的關(guān)鍵是設(shè)好未知量，利用圖形特征表示出三棱錐體積.當(dāng)體積中的變量最高次是2次時(shí)可以利用二次函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行解決，當(dāng)變

15、量是高次時(shí)需要用到求導(dǎo)得方式進(jìn)行解決. 【精選精練】 1．【2018屆重慶市三診】一個(gè)正三棱柱的三視圖如圖所示，若該三棱柱的外接球的表面積為，則側(cè)視圖中的的值為 （ ） A. 6 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】C 【解析】分析：首先通過(guò)觀察幾何體的三視圖，還原幾何體，得知其為一個(gè)正三棱柱，結(jié)合直三棱柱的外接球的球心在上下底面外心連線的中點(diǎn)處，利用外接球的表面積，得到底面邊長(zhǎng)所滿足的關(guān)系式，求得其邊長(zhǎng)，再根據(jù)側(cè)視圖中對(duì)應(yīng)的邊長(zhǎng)與底面邊長(zhǎng)的關(guān)系，求得結(jié)果. 則有，從而解得， 因?yàn)閭?cè)視圖中對(duì)應(yīng)的邊為底面三角形的邊的中線， 求得，故選C. 點(diǎn)

16、睛：該題考查的是有關(guān)利用三視圖還原幾何體，以及與外接球相關(guān)的問(wèn)題，在解題的過(guò)程中，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有球的表面積公式、直棱柱的外接球的球心的位置、外接球的半徑與棱柱的高以及底面三角形的外接圓的半徑的關(guān)系，將其整合，得到x所滿足的等量關(guān)系式，求得結(jié)果. 2.【2018屆山東省煙臺(tái)市高考適應(yīng)性練習(xí)（二）】某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（ ） A. B. C. D. 【答案】B 右側(cè)為一個(gè)值三棱柱，其底面如俯視圖所示，高為的直三棱柱， 其體積為， 所以該幾何體的體積為，故選B． 3．【2018屆江西省景德鎮(zhèn)市第一中學(xué)等盟校第二次聯(lián)考】如

17、圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1，粗線描繪的是某幾何體的三視圖，其中主視圖和左視圖相同如上方，俯視圖在其下方，該幾何體體積為（ ） A. B. C. D. 【答案】C 所以組合體體積為： ，故選C. 點(diǎn)睛：本題利用空間幾何體的三視圖重點(diǎn)考查學(xué)生的空間想象能力和抽象思維能力，屬于難題.三視圖問(wèn)題是考查學(xué)生空間想象能力最常見(jiàn)題型，也是高考熱點(diǎn).觀察三視圖并將其“翻譯”成直觀圖是解題的關(guān)鍵，不但要注意三視圖的三要素“高平齊，長(zhǎng)對(duì)正，寬相等”，還要特別注意實(shí)線與虛線以及相同圖形的不同位置對(duì)幾何體直觀圖的影響，對(duì)簡(jiǎn)單組合體三視圖問(wèn)題，先看俯視圖確定底面的形狀，

18、根據(jù)正視圖和側(cè)視圖，確定組合體的形狀. 4．【2018屆浙江省紹興市5月調(diào)測(cè)】已知一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 5.【2018屆福建省三明市5月測(cè)試】已知某幾何體的三視圖如圖所示，其正視圖是腰長(zhǎng)為2的等腰直角三角形，則該幾何體外接球的表面積為（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】分析：由題意首先確定空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征，然后結(jié)合幾何體的性質(zhì)求解外接球半徑，最后求解其表面積即可. 設(shè)該幾何體的外接球半徑為，由幾何關(guān)系可得：

19、 ， 外接球的表面積為：. 本題選擇A選項(xiàng). 點(diǎn)睛：與球有關(guān)的組合體問(wèn)題，一種是內(nèi)切，一種是外接．解題時(shí)要認(rèn)真分析圖形，明確切點(diǎn)和接點(diǎn)的位置，確定有關(guān)元素間的數(shù)量關(guān)系，并作出合適的截面圖，如球內(nèi)切于正方體，切點(diǎn)為正方體各個(gè)面的中心，正方體的棱長(zhǎng)等于球的直徑；球外接于正方體，正方體的頂點(diǎn)均在球面上，正方體的體對(duì)角線長(zhǎng)等于球的直徑. 6．【2018屆山東省煙臺(tái)市高考適應(yīng)性練習(xí)（一）】某幾何體的三視圖如圖所示，其中俯視圖右側(cè)曲線為半圓弧，則幾何體的表面積為（ ） A. B. C. D. 【答案】A 7．【2018屆江西省贛州市5月統(tǒng)考】如圖，網(wǎng)格紙

20、上小正方形的邊長(zhǎng)為1，粗實(shí)線畫(huà)出的是某幾何體的三視圖，則該幾何體的體積為（ ） A. B. C. D. 【答案】A 而挖去的八分之一球體的體積為， 所以該幾何體的體積為，故選A. 8.【2018屆福建省漳州市5月測(cè)試】如圖，網(wǎng)格紙的小正方形的邊長(zhǎng)是，在其上用粗實(shí)線和粗虛線畫(huà)出了某幾何體的三視圖，其中俯視圖中的曲線是四分之一的圓弧，則這個(gè)幾何體的體積可能是 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】分析：由三視圖可知，該幾何體是一個(gè)組合體，它由兩部分組成，左邊是底面半徑與高都是的四分之一圓柱，右邊是底面是棱長(zhǎng)為

21、的正方形，高為的四棱錐，從而可得結(jié)果. 詳解：由三視圖可知，該幾何體是一個(gè)組合體， 它由兩部分組成，左邊是四分之一圓柱， 圓柱底面半徑為，高為， 9．【2018屆福建省南平市5月檢測(cè)】已知頂點(diǎn)在同一球面上的某三棱錐三視圖中的正視圖，俯視圖如圖所示．若球的體積為，則圖中的的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】分析：首先由三視圖的正視圖和俯視圖可以還原三棱錐，做出圖像，建立空間直角坐標(biāo)系，由外接球球心到各點(diǎn)的距離為半徑，列方程組求解即可. 詳解：由三視圖還原幾何體，如圖所示： 由正視圖和俯視圖得三棱錐為， 其外接球

22、的體積為，設(shè)半徑為，則，解得. 故選B. 點(diǎn)睛：本題主要考查三棱錐外接球表面積的求法，屬于難題.求外接球半徑或圓心的常見(jiàn)方法有： ①若三條棱兩垂直則用（為三棱的長(zhǎng)）； ②若面（），則（為外接圓半徑） ③可以轉(zhuǎn)化為長(zhǎng)方體的外接球； ④特殊幾何體可以直接找出球心和半徑； ⑤通過(guò)建立空間直角坐標(biāo)系，利用代數(shù)法解方程組. 10.【2018屆山東省煙臺(tái)市高考適應(yīng)性練習(xí)（二）】在三棱錐中，是等邊三角形，平面平面，若該三棱錐外接球的表面積為，且球心到平面的距離為，則三棱錐的體積的最大值為（ ） A. B. C. 27 D. 81 【答案】C 【解析】分析

23、：由題意，畫(huà)出圖形，再由已知求出底面三角形的邊長(zhǎng)，數(shù)形結(jié)合可知，當(dāng)為等邊三角形時(shí)，三棱錐的體積取得最大值． 詳解：如圖所示， 取等邊三角形的中心，過(guò)作三角形的垂線，截去， 此時(shí)三棱錐的高為， 所以三棱錐的體積的最大值為． 點(diǎn)睛：本題考查了有關(guān)球的組合體問(wèn)題，以及三棱錐的體積的求法，解答時(shí)要認(rèn)真審題，注意球的性質(zhì)的合理運(yùn)用，求解球的組合體問(wèn)題常用方法有（1）三條棱兩兩互相垂直時(shí)，可恢復(fù)為長(zhǎng)方體，利用長(zhǎng)方體的體對(duì)角線為外接球的直徑，求出球的半徑；（2）如果設(shè)計(jì)幾何體有兩個(gè)面相交，可過(guò)兩個(gè)面的外心分別作兩個(gè)面的垂線，垂線的交點(diǎn)為幾何體的球心. 11.【2018屆天津市河?xùn)|區(qū)二?！?/p>

24、麻團(tuán)又叫煎堆，呈球形，華北地區(qū)稱麻團(tuán)，是一種古老的中華傳統(tǒng)特色油炸面食，寓意團(tuán)圓。制作時(shí)以糯米粉團(tuán)炸起，加上芝麻而制成，有些包麻茸、豆沙等餡料，有些沒(méi)有。一個(gè)長(zhǎng)方體形狀的紙盒中恰好放入4個(gè)球形的麻團(tuán)，它們彼此相切，同時(shí)與長(zhǎng)方體紙盒上下底和側(cè)面均相切，其俯視圖如圖所示，若長(zhǎng)方體紙盒的表面積為576 ，則一個(gè)麻團(tuán)的體積為_(kāi)______． 【答案】 詳解：根據(jù)麻團(tuán)與長(zhǎng)方體紙盒上下底和側(cè)面均相切，可知長(zhǎng)方體紙盒的長(zhǎng)寬相等. 設(shè)麻團(tuán)球形半徑r，可得長(zhǎng)方體長(zhǎng)寬a=4r，高為h=2r， 長(zhǎng)方體紙盒的表面積為576cm2，即32r2+32r2=576， 解得：r2=9，即r=3， 可得一個(gè)麻團(tuán)的體積V==36π． 故答案為：36π 12．【2018屆河北省衡水中學(xué)第十六次模擬】已知直三棱柱中，，，,若棱在正視圖的投影面內(nèi)，且與投影面所成角為，設(shè)正視圖的面積為，側(cè)視圖的面積為，當(dāng)變化時(shí)，的最大值是__________． 【答案】 【解析】分析：利用與投影面所成角，，，建立正視圖的面積為和側(cè)視圖的面積為的關(guān)系，利用，求解最大值. 詳解： 與投影面所成角時(shí)，平面如圖所示， ， ， ， ， ，， ， ， ， 故得的最大值為，故答案為.