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(通用版)2019版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第六章 數(shù)列學(xué)案 理

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1、 第六章 數(shù) 列 第一節(jié) 數(shù)列的概念與簡單表示 本節(jié)主要包括2個知識點: 1.數(shù)列的通項公式; 2.數(shù)列的性質(zhì). 突破點(一) 數(shù)列的通項公式  1.數(shù)列的定義 按照一定順序排列的一列數(shù)稱為數(shù)列.數(shù)列中的每一個數(shù)叫做這個數(shù)列的項,數(shù)列中的每一項都和它的序號有關(guān),排在第一位的數(shù)稱為這個數(shù)列的第一項(通常也叫做首項). 2.數(shù)列的通項公式 如果數(shù)列{an}的第n項與序號n之間的關(guān)系可以用一個式子來表示,那么這個公式叫做這個數(shù)列的通項公式. 3.數(shù)列的遞推公式 如果已知數(shù)列{an}的第一項(或前幾項),且任何一項an與它的前一項an-1(或前幾項)間的關(guān)系可以用

2、一個式子來表示,即an=f(an-1)(或an=f(an-1,an-2)等),那么這個式子叫做數(shù)列{an}的遞推公式. 4.Sn與an的關(guān)系 已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn,則an=這個關(guān)系式對任意數(shù)列均成立. 1.判斷題 (1)所有數(shù)列的第n項都能使用公式表達.(  ) (2)根據(jù)數(shù)列的前幾項歸納出數(shù)列的通項公式可能不止一個.(  ) (3)若已知數(shù)列{an}的遞推公式為an+1=,且a2=1,則可以寫出數(shù)列{an}的任何一項.(  ) (4)如果數(shù)列{an}的前n項和為Sn,則對?n∈N*,都有an+1=Sn+1-Sn.(  ) 答案:(1)× (2)√ (3)√ (

3、4)× 2.填空題 (1)已知數(shù)列{an}的前4項為1,3,7,15,則數(shù)列{an}的一個通項公式為________. 答案:an=2n-1(n∈N*) (2)已知數(shù)列{an}中,a1=1,an+1=,則a2=________. 答案: (3)已知Sn是數(shù)列{an}的前n項和,且Sn=n2+1,則數(shù)列{an}的通項公式是________________. 答案:an= 利用數(shù)列的前幾項求通項 給出數(shù)列的前幾項求通項時,需要注意觀察數(shù)列中各項與其序號之間的關(guān)系,在所給數(shù)列的前幾項中,先看看哪些部分是變化的,哪些是不變的,再探索各項中變化部分與序號間的關(guān)系. [例

4、1] (1)(2018·江西鷹潭一中期中)數(shù)列1,-4,9,-16,25,…的一個通項公式是(  ) A.a(chǎn)n=n2 B.a(chǎn)n=(-1)nn2 C.a(chǎn)n=(-1)n+1n2 D.a(chǎn)n=(-1)n(n+1)2 (2)(2018·山西太原五中調(diào)考)把1,3,6,10,15,…,這些數(shù)叫做三角形數(shù),這是因為這些數(shù)目的圓點可以排成一個正三角形(如圖所示). 則第7個三角形數(shù)是(  ) A.27 B.28 C.29 D.30 [解析] (1)法一:該數(shù)列中第n項的絕對值是n2,正負交替的符號是(-1)n+1,故選C. 法二:將n=2代入各選項,排除A,B,D,故選C. (2)觀察三

5、角形數(shù)的增長規(guī)律,可以發(fā)現(xiàn)每一項比它的前一項多的點數(shù)正好是該項的序號,即an=an-1+n(n≥2).所以根據(jù)這個規(guī)律計算可知,第7個三角形數(shù)是a7=a6+7=a5+6+7=15+6+7=28.故選B. [答案] (1)C (2)B [方法技巧] 由數(shù)列的前幾項求通項公式的思路方法 (1)分式形式的數(shù)列,分別求分子、分母的通項,較復(fù)雜的還要考慮分子、分母的關(guān)系. (2)若第n項和第n+1項正負交錯,那么符號用(-1)n或(-1)n+1或(-1)n-1來調(diào)控. (3)對于較復(fù)雜數(shù)列的通項公式,其項與序號之間的關(guān)系不容易發(fā)現(xiàn),這就需要將數(shù)列各項的結(jié)構(gòu)形式加以變形,可使用添項、通分、

6、分割等方法,將數(shù)列的各項分解成若干個常見數(shù)列對應(yīng)項的“和”“差”“積”“商”后再進行歸納. [提醒] 根據(jù)數(shù)列的前幾項寫出數(shù)列的一個通項公式利用了不完全歸納法,其蘊含著“從特殊到一般”的思想,由不完全歸納得出的結(jié)果是不可靠的,要注意代值檢驗.    利用an與Sn的關(guān)系求通項 數(shù)列{an}的前n項和Sn與通項an的關(guān)系為an=通過紐帶:an=Sn-Sn-1(n≥2),根據(jù)題目已知條件,消掉an或Sn,再利用特殊形式(累乘或累加)或通過構(gòu)造成等差數(shù)列或者等比數(shù)列求解. [例2] 已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn. (1)若Sn=(-1)n+1·n,求a5+a6及an; (2)若

7、Sn=3n+2n+1,求an. [解] (1)a5+a6=S6-S4=(-6)-(-4)=-2, 當n=1時,a1=S1=1; 當n≥2時,an=Sn-Sn-1=(-1)n+1·n-(-1)n·(n-1) =(-1)n+1·[n+(n-1)] =(-1)n+1·(2n-1), 又a1也適合此式,所以an=(-1)n+1·(2n-1). (2)因為當n=1時,a1=S1=6; 當n≥2時,an=Sn-Sn-1=(3n+2n+1)-[3n-1+2(n-1)+1]=2·3n-1+2, 由于a1不適合此式,所以an= [方法技巧] 已知Sn求an的三個步驟 (1)先利用a1=S

8、1求出a1. (2)用n-1替換Sn中的n得到一個新的關(guān)系,利用an=Sn-Sn-1(n≥2)便可求出當n≥2時an的表達式. (3)對n=1時的結(jié)果進行檢驗,看是否符合n≥2時an的表達式,如果符合,則可以把數(shù)列的通項公式合寫;如果不符合,則應(yīng)該分n=1與n≥2兩段來寫.   利用遞推關(guān)系求通項 [例3] (1)在數(shù)列{an}中,a1=2,an+1=an+3n+2,求數(shù)列{an}的通項公式. (2)在數(shù)列{an}中,a1=1,an=an-1(n≥2),求數(shù)列{an}的通項公式. (3)在數(shù)列{an}中a1=1,an+1=3an+2,求數(shù)列{an}的通項公式. (4)

9、已知數(shù)列{an}中,a1=1,an+1=,求數(shù)列{an}的通項公式. [解] (1)因為an+1-an=3n+2, 所以an-an-1=3n-1(n≥2), 所以an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1=(n≥2). 當n=1時,a1=2=×(3×1+1),符合上式, 所以an=n2+. (2)因為an=an-1(n≥2), 所以an-1=an-2,…,a2=a1. 由累乘法可得an=a1···…·==(n≥2).又a1=1符合上式,∴an=. (3)因為an+1=3an+2,所以an+1+1=3(an+1),所以=3,所以數(shù)列{an+1}為

10、等比數(shù)列,公比q=3.又a1+1=2,所以an+1=2·3n-1,所以an=2·3n-1-1. (4)∵an+1=,a1=1,∴an≠0, ∴=+,即-=, 又a1=1,則=1, ∴是以1為首項,為公差的等差數(shù)列. ∴=+(n-1)×=+, ∴an=(n∈N*). [方法技巧]   典型的遞推數(shù)列及處理方法 遞推式 方法 示例 an+1=an+f(n) 疊加法 a1=1,an+1=an+2n an+1=anf(n) 疊乘法 a1=1,=2n an+1=Aan+B (A≠0,1,B≠0) 化為等比數(shù)列 a1=1,an+1=2an+1 an+1= (

11、A,B,C為常數(shù)) 化為等差數(shù)列 a1=1,an+1= 1.(2018·湖南衡陽二十六中期中)在數(shù)列1,1,2,3,5,8,x,21,34,55,…中,x的值為(  ) A.11 B.12 C.13 D.14 解析:選C 觀察所給數(shù)列的項,發(fā)現(xiàn)從第3項起,每一項都是與它相鄰的前兩項的和,所以x=5+8=13,故選C. 2.數(shù)列1,-,,-,…的一個通項公式是(  ) A.a(chǎn)n=(-1)n+1(n∈N*) B.a(chǎn)n=(-1)n-1(n∈N*) C.a(chǎn)n=(-1)n+1(n∈N*) D.a(chǎn)n=(-1)n-1(n∈N*) 解析:選D 所給數(shù)列各項可寫成:,-,,-

12、,…,通過對比各選項,可知選D. 3.(2018·黑龍江雙鴨山一中期末)已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn,若Sn=2an-4,n∈N*,則an=(  ) A.2n+1 B.2n C.2n-1 D.2n-2 解析:選A 因為Sn=2an-4,所以n≥2時,有Sn-1=2an-1-4, 兩式相減可得Sn-Sn-1=2an-2an-1,即an=2an-2an-1,整理得an=2an-1,即 =2(n≥2).因為S1=a1=2a1-4,所以a1=4,所以an=2n+1. 4.(2018·山東濰坊期中)在數(shù)列{an}中,a1=2,an+1=an+ln,則an=(  ) A.2+ln n B.

13、2+(n-1)ln n C.2+nln n D.1+n+ln n 解析:選A 法一:由已知得an+1-an=ln=ln,而an=(an-an-1)+(an-1+an-2)+…+(a2-a1)+a1,n≥2,所以an=ln+ln+…+ln+2= ln+2=ln n+2,n≥2.當n=1時,a1=2=ln 1+2.故選A. 法二:由an=an-1+ln=an-1+ln=an-1+ln n-ln(n-1)(n≥2),可知an-ln n=an-1-ln(n-1)(n≥2).令bn=an-ln n,則數(shù)列{bn}是以b1=a1-ln 1=2為首項的常數(shù)列,故bn=2,所以2=an-ln n,所以

14、an=2+ln n.故選A. 突破點(二) 數(shù)列的性質(zhì)  數(shù)列的分類 分類標準 類型 滿足條件 按項數(shù)分類 有窮數(shù)列 項數(shù)有限 無窮數(shù)列 項數(shù)無限 按項與項間的大小關(guān)系分類 遞增數(shù)列 an+1>an 其中n∈N* 遞減數(shù)列 an+1<an 常數(shù)列 an+1=an 按其他標準分類 有界數(shù)列 存在正數(shù)M,使|an|≤M 擺動數(shù)列 從第二項起,有些項大于它的前一項,有些項小于它的前一項 (1)已知函數(shù)f(x)=,設(shè)an=f(n)(n∈N*),則{an}是________數(shù)列(填“遞增”或“遞減”). 答案:遞增 (2)數(shù)列

15、{an}的通項公式為an=-n2+9n,則該數(shù)列第________項最大. 答案:4或5 (3)現(xiàn)定義an=5n+n,其中n∈N*,則{an}是_______數(shù)列(填“遞增”或“遞減”). 答案:遞增 (4)對于數(shù)列{an},“an+1>|an|(n=1,2,…)”是“{an}為遞增數(shù)列”的____________條件. 答案:充分不必要 數(shù)列的單調(diào)性 (1)數(shù)列的單調(diào)性與函數(shù)的單調(diào)性有所不同,其自變量的取值是不連續(xù)的,只能取正整數(shù),所以在求數(shù)列中的最大(小)項時,應(yīng)注意數(shù)列中的項可以是相同的,故不應(yīng)漏掉等號. (2)數(shù)列是自變量不連續(xù)的函數(shù),不能對數(shù)列直接

16、求導(dǎo)判斷單調(diào)性.要先寫出數(shù)列對應(yīng)的函數(shù),對函數(shù)進行求導(dǎo),再將函數(shù)的單調(diào)性對應(yīng)到數(shù)列中去. [例1] (1)已知數(shù)列{an}的通項公式為an=nn,則數(shù)列{an}中的最大項為(  )                    A. B. C. D. (2)已知數(shù)列{an}的通項公式為an=2n2+tn+1,若{an}是單調(diào)遞增數(shù)列,則實數(shù)t的取值范圍是(  ) A.(-6,+∞) B.(-∞,-6) C.(-∞,-3) D. [解析] (1)法一(作差比較法): an+1-an=(n+1)n+1-nn=·n, 當n<2時,an+1-an>0,即an+1>an; 當n=2

17、時,an+1-an=0,即an+1=an; 當n>2時,an+1-an<0,即an+1a4>a5>…>an, 所以數(shù)列{an}中的最大項為a2或a3,且a2=a3=2×2=.故選A. 法二(作商比較法): ==, 令>1,解得n<2; 令=1,解得n=2; 令<1,解得n>2. 又an>0,故a1a4>a5>…>an, 所以數(shù)列{an}中的最大項為a2或a3,且a2=a3=2×2=.故選A. (2)法一:因為{an}是單調(diào)遞增數(shù)列, 所以對于任意的n∈N*,都有an+1>an, 即2(n+1)2+t(n+1)+

18、1>2n2+tn+1, 化簡得t>-4n-2, 所以t>-4n-2對于任意的n∈N*都成立, 因為-4n-2≤-6,所以t>-6.故選A. 法二:設(shè)f(n)=2n2+tn+1,其圖象的對稱軸為n=-,要使{an}是遞增數(shù)列,則-<,即t>-6.故選A. [答案] (1)A (2)A [方法技巧] 1.判斷數(shù)列單調(diào)性的兩種方法 (1)作差比較法 an+1-an>0?數(shù)列{an}是單調(diào)遞增數(shù)列;an+1-an<0?數(shù)列{an}是單調(diào)遞減數(shù)列;an+1-an=0?數(shù)列{an}是常數(shù)列. (2)作商比較法 an>0時 ①>1?數(shù)列{an}是單調(diào)遞增數(shù)列; ②<1?數(shù)列{an}

19、是單調(diào)遞減數(shù)列; ③=1?數(shù)列{an}是常數(shù)列 an<0時 ①>1?數(shù)列{an}是單調(diào)遞減數(shù)列; ②<1?數(shù)列{an}是單調(diào)遞增數(shù)列; ③=1?數(shù)列{an}是常數(shù)列 2.求數(shù)列最大項或最小項的方法 (1)利用不等式組(n≥2)找到數(shù)列的最大項; (2)利用不等式組(n≥2)找到數(shù)列的最小項. 數(shù)列的周期性 數(shù)列的周期性與函數(shù)的周期性相類似.求解數(shù)列的周期問題時,通常是求出數(shù)列的前n項觀察規(guī)律.確定出數(shù)列的一個周期,然后再解決相應(yīng)的問題. [例2] (1)(2018·黃岡質(zhì)檢)已知數(shù)列{xn}滿足xn+2=|xn+1-xn|(n∈N*),若x1=1,x2=a(a≤1,a

20、≠0),且xn+3=xn對于任意的正整數(shù)n均成立,則數(shù)列{xn}的前2 017項和S2 017=(  ) A.672 B.673 C.1 342 D.1 345 (2)(2018·廣東四校聯(lián)考)數(shù)列{an}滿足a1=2,an+1=(n∈N*),則a2 018=(  ) A.-2 B.-1 C.2 D. [解析] (1)∵x1=1,x2=a(a≤1,a≠0),∴x3=|x2-x1|=|a-1|=1-a,∴x1+x2+x3=1+a+(1-a)=2,又xn+3=xn對于任意的正整數(shù)n均成立,∴數(shù)列{xn}的周期為3,所以數(shù)列{xn}的前2 017項和S2 017=S672×3+1

21、=672×2+1=1 345.故選D. (2)數(shù)列{an}滿足a1=2,an+1=(n∈N*),∴a2==-1,a3==,a4==2,…,可知此數(shù)列有周期性,周期T=3,即an+3=an,則a2 018=a672×3+2=a2=-1.故選B. [答案] (1)D (2)B [方法技巧] 周期數(shù)列的常見形式與解題方法 (1)周期數(shù)列的常見形式 ①利用三角函數(shù)的周期性,即所給遞推關(guān)系中含有三角函數(shù); ②相鄰多項之間的遞推關(guān)系,如后一項是前兩項的差; ③相鄰兩項的遞推關(guān)系,等式中一側(cè)含有分式,又較難變形構(gòu)造出特殊數(shù)列. (2)解決此類題目的一般方法 根據(jù)給出的關(guān)系式求出數(shù)列的若

22、干項,通過觀察歸納出數(shù)列的周期,進而求有關(guān)項的值或者前n項的和.   1.(2018·安徽名校聯(lián)盟考前模擬)在數(shù)列{an}中,若對任意的n∈N*均有an+an+1+an+2為定值,且a1=2,a9=3,a98=4,則數(shù)列{an}的前100項的和S100=(  ) A.132 B.299 C.68 D.99 解析:選B 因為對任意的n∈N*均有an+an+1+an+2為定值,所以an+an+1+an+2=an+1+an+2+an+3,所以an+3=an,所以數(shù)列{an}是周期數(shù)列,且周期為3.故a2=a98=4,a3=a9=3,a100=a1=2,所以S100=33(a1+a2+

23、a3)+a100=299.故選B. 2.(2018·山東棗莊第八中學(xué)階段性檢測)已知數(shù)列,欲使它的前n項的乘積大于36,則n的最小值為(  ) A.7 B.8 C.9 D.10 解析:選B 由數(shù)列的前n項的乘積···…·=>36,得n2+3n-70>0,解得n<-10或n>7.又因為n∈N*,所以n的最小值為8,故選B. 3.已知函數(shù)f(x)=(a>0,且a≠1),若數(shù)列{an}滿足an=f(n)(n∈N*),且{an}是遞增數(shù)列,則實數(shù)a的取值范圍是(  ) A.(0,1) B. C.(2,3) D.(1,3) 解析:選C 因為{an}是遞增數(shù)列,所以解得2

24、a的取值范圍是(2,3). 4.(2018·遼寧重點中學(xué)協(xié)作體聯(lián)考)在數(shù)列{an}中,a1=1,an+1-an=sin,記Sn為數(shù)列{an}的前n項和,則S2 018=(  ) A.0 B.2 018 C.1 010 D.1 009 解析:選C 由a1=1及an+1-an=sin,得an+1=an+sin,所以a2=a1+sin π=1,a3=a2+sin=0,a4=a3+sin=0,a5=a4+sin=1,a6=a5+sin=1,a7=a6+sin=0,a8=a7+sin=0,…,可見數(shù)列{an}為周期數(shù)列,周期T=4,所以S2 018=504(a1+a2+a3+a4)+a1+a2=

25、1 010.  [全國卷5年真題集中演練——明規(guī)律]              1.(2015·全國卷Ⅱ)設(shè)Sn是數(shù)列{an}的前n項和,且a1=-1,an+1=SnSn+1,則Sn=________. 解析:∵an+1=Sn+1-Sn,an+1=SnSn+1,∴Sn+1-Sn=SnSn+1.∵Sn≠0,∴-=1,即-=-1.又=-1,∴是首項為-1,公差為-1的等差數(shù)列.∴=-1+(n-1)×(-1)=-n,∴Sn=-. 答案:- 2.(2014·全國卷Ⅱ)數(shù)列 {an}滿足 an+1= , a8=2,則a1 =________. 解析:將a8=2代入

26、an+1=,可求得a7=;再將a7=代入an+1=,可求得a6=-1;再將a6=-1代入an+1=,可求得a5=2;由此可以推出數(shù)列{an}是一個周期數(shù)列,且周期為3,所以a1=a7=. 答案: 3.(2013·全國卷Ⅰ)若數(shù)列{an}的前n項和Sn=an+,則{an}的通項公式是an=________. 解析:當n=1時,由已知Sn=an+, 得a1=a1+,即a1=1; 當n≥2時,由已知得到Sn-1=an-1+, 所以an=Sn-Sn-1=- =an-an-1, 所以an=-2an-1,所以數(shù)列{an}為以1為首項,以-2為公比的等比數(shù)列,所以an=(-2)n-1. 答

27、案:(-2)n-1 4.(2016·全國卷Ⅲ)已知各項都為正數(shù)的數(shù)列{an}滿足a1=1,a-(2an+1-1)an-2an+1=0. (1)求a2,a3; (2)求{an}的通項公式. 解:(1)由題意可得a2=,a3=. (2)由a-(2an+1-1)an-2an+1=0得 2an+1(an+1)=an(an+1). 因此{an}的各項都為正數(shù),所以=. 故{an}是首項為1,公比為的等比數(shù)列,因此an=. [課時達標檢測] [小題對點練——點點落實] 對點練(

28、一) 數(shù)列的通項公式 1.在數(shù)列{an}中,a1=1,an+1=(n∈N*),則是這個數(shù)列的(  )                  A.第6項 B.第7項 C.第8項 D.第9項 解析:選B 由an+1=可得=+,即數(shù)列是以=1為首項,為公差的等差數(shù)列,故=1+(n-1)×=n+,即an=,由=,解得n=7,故選B. 2.(2018·南昌模擬)在數(shù)列{an}中,a1=1,anan-1=an-1+(-1)n(n≥2,n∈N*),則的值是(  ) A. B. C. D. 解析:選C 由已知得a2=1+(-1)2=2,∴2a3=2+(-1)3,a3=,∴a4=+(-1)4,

29、a4=3,∴3a5=3+(-1)5,∴a5=,∴=×=. 3.(2018·河南鄭州一中考前沖刺)數(shù)列{an}滿足:a1=1,且對任意的m,n∈N*,都有am+n=am+an+mn,則+++…+=(  ) A. B. C. D. 解析:選D ∵a1=1,且對任意的m,n∈N*都有am+n=am+an+mn,∴an+1=an+n+1,即an+1-an=n+1,用累加法可得an=a1+=,∴==2,∴+++…+=2=,故選D. 4.(2018·甘肅天水檢測)已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn,a1=1,Sn=2an+1,則Sn=(  ) A.2n-1 B. C.n-1 D.n-1 解析

30、:選D 因為an+1=Sn+1-Sn,所以Sn=2an+1=2(Sn+1-Sn),所以=,所以數(shù)列{Sn}是以S1=a1=1為首項,為公比的等比數(shù)列,所以Sn=n-1.故選D. 5.(2018·蘭州模擬)在數(shù)列1,2,,,,…中2是這個數(shù)列的第________項. 解析:數(shù)列1,2,,,,…,即數(shù)列,,,,,…,∴該數(shù)列的通項公式為an==,∴=2=,∴n=26,故2是這個數(shù)列的第26項. 答案:26 6.(2018·河北冀州中學(xué)期中)已知數(shù)列{an}滿足a1=1,且an=n(an+1-an)(n∈N*),則a3=________,an=________. 解析:由an=n(an+1

31、-an),可得=,則an=···…··a1=×××…××1=n(n≥2),∴a3=3.∵a1=1滿足an=n,∴an=n. 答案:3 n 7.(2018·福建晉江季延中學(xué)月考)已知數(shù)列{an}滿足a1+2a2+3a3+…+nan=n+1(n∈N*),則數(shù)列{an}的通項公式為________________. 解析:已知a1+2a2+3a3+…+nan=n+1,將n=1代入,得a1=2;當n≥2時,將n-1代入得a1+2a2+3a3+…+(n-1)an-1=n,兩式相減得nan=(n+1)-n=1,∴an=,∴an= 答案:an= 對點練(二) 數(shù)列的性質(zhì) 1.已知數(shù)列{an}的通

32、項公式為an=(n∈N*).則下列說法正確的是(  ) A.這個數(shù)列的第10項為 B.是該數(shù)列中的項 C.數(shù)列中的各項都在區(qū)間內(nèi) D.數(shù)列{an}是單調(diào)遞減數(shù)列 解析:選C an===.令n=10,得a10=.故選項A不正確,令=, 得9n=300,此方程無正整數(shù)解,故不是該數(shù)列中的項.因為an===1-,又n∈N*,所以數(shù)列{an}是單調(diào)遞增數(shù)列,所以≤an<1,所以數(shù)列中的各項都在區(qū)間內(nèi),故選項C正確,選項D不正確,故選C. 2.(2018·湖北黃岡中學(xué)期中)已知數(shù)列{an}中,a1=,an+1=,則a2 018=(  ) A.-2 B. C.- D.3 解析:選D

33、 ∵a1=,∴a2==3,a3==-2,a4==-,a5==,…,∴數(shù)列{an}是周期數(shù)列且周期T=4,∴a2 018=a2=3,故選D. 3.(2018·河南鄭州質(zhì)量預(yù)測)已知數(shù)列{an}滿足an+1=an-an-1(n≥2),a1=m,a2=n,Sn為數(shù)列{an}的前n項和,則S2 017的值為(  ) A.2 017n-m B.n-2 017m C.m D.n 解析:選C 根據(jù)題意計算可得a3=n-m,a4=-m,a5=-n,a6=m-n,a7=m,a8=n,…,因此數(shù)列{an}是以6為周期的周期數(shù)列,且a1+a2+…+a6=0,所以S2 017=S336×6+1=a1=m.故選

34、C. 4.(2018·安徽淮南模擬)已知{an}中,an=n2+λn,且{an}是遞增數(shù)列,則實數(shù)λ的取值范圍是(  ) A.(-2,+∞) B.[-2,+∞) C.(-3,+∞) D.[-3,+∞) 解析:選C ∵{an}是遞增數(shù)列,∴?n∈N*,an+1>an,∴(n+1)2+λ(n+1)>n2+λn,化簡得λ>-(2n+1),∴λ>-3.故選C. 5.(2018·北京海淀區(qū)模擬)數(shù)列{an}的通項為an=(n∈N*),若a5是{an}中的最大值,則a的取值范圍是________. 解析:當n≤4時,an=2n-1單調(diào)遞增,因此n=4時取最大值,a4=24-1=15. 當n≥

35、5時,an=-n2+(a-1)n=-2+. ∵a5是{an}中的最大值,∴解得9≤a≤12.∴a的取值范圍是[9,12]. 答案:[9,12] [大題綜合練——遷移貫通] 1.(2018·東營模擬)設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn,數(shù)列{Sn}的前n項和為Tn,滿足Tn=2Sn-n2,n∈N*. (1)求a1的值; (2)求數(shù)列{an}的通項公式. 解:(1)令n=1,T1=2S1-1, ∵T1=S1=a1,∴a1=2a1-1,∴a1=1. (2)n≥2時,Tn-1=2Sn-1-(n-1)2, 則Sn=Tn-Tn-1=2Sn-n2-[2Sn-1-(n-1)2] =2(S

36、n-Sn-1)-2n+1 =2an-2n+1. 因為當n=1時,a1=S1=1也滿足上式, 所以Sn=2an-2n+1(n≥1), 當n≥2時,Sn-1=2an-1-2(n-1)+1, 兩式相減得an=2an-2an-1-2, 所以an=2an-1+2(n≥2), 所以an+2=2(an-1+2), 因為a1+2=3≠0, 所以數(shù)列{an+2}是以3為首項,公比為2的等比數(shù)列. 所以an+2=3×2n-1, 所以an=3×2n-1-2, 當n=1時也成立, 所以an=3×2n-1-2. 2.(2018·浙江舟山模擬)已知Sn為正項數(shù)列{an}的前n項和,且滿足Sn=

37、a+an(n∈N*). (1)求a1,a2,a3,a4的值; (2)求數(shù)列{an}的通項公式. 解:(1)由Sn=a+an(n∈N*)可得,a1=a+a1, 解得a1=1,a1=0(舍).S2=a1+a2=a+a2, 解得a2=2(負值舍去);同理可得a3=3,a4=4. (2)因為Sn=a+,① 所以當n≥2時,Sn-1=a+,② ①-②得an=(an-an-1)+(a-a),所以(an-an-1-1)(an+an-1)=0.由于an+an-1≠0,所以an-an-1=1, 又由(1)知a1=1,所以數(shù)列{an}是首項為1,公差為1的等差數(shù)列,所以an=n. 3.(201

38、8·山西太原月考)已知等比數(shù)列{an}是遞增數(shù)列,a2a5=32,a3+a4=12,又數(shù)列{bn}滿足bn=2log2an+1,Sn是數(shù)列{bn}的前n項和. (1)求Sn; (2)若對任意n∈N*,都有≤成立,求正整數(shù)k的值. 解:(1)因為{an}是等比數(shù)列,則a2a5=a3a4=32, 又a3+a4=12,且{an}是遞增數(shù)列, 所以a3=4,a4=8,所以q=2,a1=1, 所以an=2n-1.所以bn=2log2an+1=2log22n=2n. 所以Sn=2+4+…+2n==n2+n. (2)令cn==, 則cn+1-cn=-=-=. 所以當n=1時,c1

39、; 當n=2時,c3=c2; 當n≥3時,cn+1-cn<0,即c3>c4>c5>…, 所以數(shù)列{cn}中最大項為c2和c3. 所以存在k=2或3,使得任意的正整數(shù)n,都有≥. 第二節(jié) 等差數(shù)列及其前n項和 本節(jié)主要包括3個知識點:  1.等差數(shù)列基本量的計算;2.等差數(shù)列的基本性質(zhì)及應(yīng)用;3.等差數(shù)列的判定與證明. 突破點(一) 等差數(shù)列基本量的計算  1.等差數(shù)列的有關(guān)概念 (1)定義:如果一個數(shù)列從第2項起,每一項與它的前一項的差都等于同一個常數(shù),那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列.符號表示為an+1-an=d(n∈N*,d為常數(shù)

40、). (2)等差中項:數(shù)列a,A,b成等差數(shù)列的充要條件是A=,其中A叫做a,b的等差中項. 2.等差數(shù)列的有關(guān)公式 (1)通項公式:an=a1+(n-1)d. (2)前n項和公式:Sn=na1+d=. 1.判斷題 (1)若一個數(shù)列從第2項起每一項與它的前一項的差都是常數(shù),則這個數(shù)列是等差數(shù)列.(  ) (2)數(shù)列{an}為等差數(shù)列的充要條件是對任意n∈N*,都有2an+1=an+an+2.(  ) (3)等差數(shù)列{an}的單調(diào)性是由公差d決定的.(  ) (4)數(shù)列{an}為等差數(shù)列的充要條件是其通項公式為n的一次函數(shù).(  ) 答案:(1)× (2)√ (3)√ (

41、4)√ 2.填空題 (1)已知等差數(shù)列{an},a5=-20,a20=-35,則an=________. 答案:-15-n (2)已知等差數(shù)列5,4,3,…,則該數(shù)列的第5項為________. 答案:2 (3)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,若a1=2,S3=12,則a6=________. 答案:12 (4)已知{an}為等差數(shù)列,Sn為其前n項和.若a1=6,a3+a5=0,則S6=________. 答案:6 等差數(shù)列基本量的計算 [典例] (1)(2017·全國卷Ⅰ)記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和.若a4+a5=24,S6=48,則{a

42、n}的公差為(  ) A.1 B.2 C.4 D.8 (2)(2018·安徽江南十校模擬)《九章算術(shù)》是我國古代的數(shù)學(xué)名著,書中《均屬章》有如下問題:“今有五人分五錢,令上二人所得與下三人等.問各得幾何.”其意思為“已知A,B,C,D,E五人分5錢,A,B兩人所得與C,D,E三人所得相同,且A,B,C,D,E每人所得依次成等差數(shù)列.問五人各得多少錢?”(“錢”是古代的一種重量單位).在這個問題中,E所得為(  ) A.錢 B.錢 C.錢 D.錢 (3)(2018·南昌模擬)已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且a1=1,S3+S4=S5. ①求數(shù)列{an}的通項公式; ②

43、令bn=(-1)n-1an,求數(shù)列{bn}的前2n項和T2n. [解析] (1)設(shè)等差數(shù)列{an}的首項為a1,公差為d, 則由得 即解得故選C. (2)由題意,設(shè)A所得為a-4d,B所得為a-3d,C所得為a-2d,D所得為a-d,E所得為a,則解得a=,故E所得為錢.故選A. (3)①設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d, 由S3+S4=S5,可得a1+a2+a3=a5,即3a2=a5, 所以3(1+d)=1+4d,解得d=2. ∴an=1+(n-1)×2=2n-1. ②由①,可得bn=(-1)n-1·(2n-1). ∴T2n=1-3+5-7+…+(4n-3)-(4n-1)

44、=(-2)×n =-2n. [答案] (1)C (2)A [方法技巧] 解決等差數(shù)列基本量計算問題的思路 (1)在等差數(shù)列{an}中,a1與d是最基本的兩個量,一般可設(shè)出a1和d,利用等差數(shù)列的通項公式和前n項和公式列方程(組)求解即可. (2)與等差數(shù)列有關(guān)的基本運算問題,主要圍繞著通項公式an=a1+(n-1)d和前n項和公式Sn==na1+d,在兩個公式中共涉及五個量:a1,d,n,an,Sn,已知其中三個量,選用恰當?shù)墓?,利用方?組)可求出剩余的兩個量. 1.(2018·武漢調(diào)研)已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列,a1+a7=-8,a2=2,則數(shù)列{an}的公差

45、d等于(  ) A.-1 B.-2 C.-3 D.-4 解析:選C 法一:由題意可得 解得d=-3. 法二:a1+a7=2a4=-8,∴a4=-4, ∴a4-a2=-4-2=2d,∴d=-3. 2.設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,Sm-1=-2,Sm=0,Sm+1=3,則正整數(shù)m的值為________. 解析:因為等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,Sm-1=-2,Sm=0,Sm+1=3,所以am=Sm-Sm-1=2,am+1=Sm+1-Sm=3,數(shù)列的公差d=1,am+am+1=Sm+1-Sm-1=5, 即2a1+2m-1=5,所以a1=3-m. 由Sm=(3-m)m+

46、×1=0, 解得正整數(shù)m的值為5. 答案:5 3.(2018·福州模擬)已知等差數(shù)列{an}的各項均為正數(shù),其公差為2,a2a4=4a3+1. (1)求{an}的通項公式; (2)求a1+a3+a9+…+a3n. 解:(1)依題意知,an=a1+2(n-1),an>0. 因為a2a4=4a3+1,所以(a1+2)(a1+6)=4(a1+4)+1, 所以a+4a1-5=0,解得a1=1或a1=-5(舍去), 所以an=2n-1. (2)a1+a3+a9+…+a3n =(2×1-1)+(2×3-1)+(2×32-1)+…+(2×3n-1) =2×(1+3+32+…+3n)-

47、(n+1) =2×-(n+1) =3n+1-n-2. 突破點(二) 等差數(shù)列的基本性質(zhì)及應(yīng)用  等差數(shù)列的常用性質(zhì) (1)通項公式的推廣:an=am+(n-m)d(n,m∈N*). (2)若{an}為等差數(shù)列,且m+n=p+q,則am+an=ap+aq(m,n,p,q∈N*). (3)若{an}是等差數(shù)列,公差為d,則ak,ak+m,ak+2m,…(k,m∈N*)是公差為md的等差數(shù)列. (4)數(shù)列Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…(m∈N*)也是等差數(shù)列,公差為m2d. (5)S2n-1=(2n-1)an,S2n=n(a1+a2n)=n(an+an+1),

48、遇見S奇,S偶時可分別運用性質(zhì)及有關(guān)公式求解. (6){an},{bn}均為等差數(shù)列且其前n項和為Sn,Tn,則=. (7)若{an}是等差數(shù)列,則也是等差數(shù)列,其首項與{an}的首項相同,公差是{an}的公差的. (1)(2018·岳陽模擬)在等差數(shù)列{an}中,如果a1+a2=40,a3+a4=60,那么a7+a8=________. 答案:100 (2)設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,等差數(shù)列{bn}的前n項和為Tn,若=,則=________. 答案: (3)(2018·天水模擬)已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且S10=10,S20=30,則S30=___

49、_____. 答案:60 (4)等差數(shù)列{an}中,已知a5>0,a4+a7<0,則{an}的前n項和Sn的最大值為________. 解析:∵∴∴Sn的最大值為S5. 答案:S5 等差數(shù)列的性質(zhì)                        [例1] (1)(2018·銀川模擬)已知等差數(shù)列{an}的公差為d(d≠0),且a3+a6+a10+a13=32,若am=8,則m的值為(  ) A.8 B.12 C.6 D.4 (2)(2018·山西太原模擬)在等差數(shù)列{an}中,2(a1+a3+a5)+3(a8+a10)=36,則a6=(  ) A.8 B

50、.6 C.4 D.3 (3)(2018·湖北武漢調(diào)研)若等差數(shù)列{an}的前n項和Sn滿足S4=4,S6=12,則S2=(  ) A.-1 B.0 C.1 D.3 [解析] (1)由a3+a6+a10+a13=32,得(a3+a13)+(a6+a10)=32,得4a8=32,∴a8=8,∴m=8.故選A. (2)由等差數(shù)列的性質(zhì)可知2(a1+a3+a5)+3(a8+a10)=2×3a3+3×2a9=6×2a6=36,得a6=3,故選D. (3)根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì),可得S2,S4-S2,S6-S4成等差數(shù)列,即2(S4-S2)=S2+S6-S4,因此S2=0. [答案] 

51、(1)A (2)D (3)B [方法技巧] 利用等差數(shù)列性質(zhì)求解問題的注意點 (1)如果{an}為等差數(shù)列,m+n=p+q,則am+an=ap+aq(m,n,p,q∈N*).因此,若出現(xiàn)am-n,am,am+n等項時,可以利用此性質(zhì)將已知條件轉(zhuǎn)化為與am(或其他項)有關(guān)的條件;若求am項,可由am=(am-n+am+n)轉(zhuǎn)化為求am-n,am+n或am+n+am-n的值. (2)要注意等差數(shù)列通項公式及前n項和公式的靈活應(yīng)用,如an=am+(n-m)d,d=,S2n-1=(2n-1)an,Sn==(n,m∈N*)等. [提醒] 一般地,am+an≠am+n,等號左、右兩邊必須是兩

52、項相加,當然也可以是am-n+am+n=2am.   等差數(shù)列前n項和最值問題 等差數(shù)列的通項an及前n項和Sn均為n的函數(shù),通常利用函數(shù)法或通項變號法解決等差數(shù)列前n項和Sn的最值問題. [例2] 等差數(shù)列{an}的首項a1>0,設(shè)其前n項和為Sn,且S5=S12,則當n為何值時,Sn有最大值? [解] 設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,由S5=S12得5a1+10d=12a1+66d,d=-a1<0. 法一(函數(shù)法): Sn=na1+d=na1+· =-a1(n2-17n)=-a12+a1, 因為a1>0,n∈N*,所以當n=8或n=9時,Sn有最大值. 法二(通項變

53、號法): 設(shè)此數(shù)列的前n項和最大,則即解得即8≤n≤9, 又n∈N*,所以當n=8或n=9時,Sn有最大值. [方法技巧] 求等差數(shù)列前n項和Sn最值的兩種方法 (1)函數(shù)法 利用等差數(shù)列前n項和的函數(shù)表達式Sn=an2+bn,通過配方或借助圖象求二次函數(shù)最值的方法求解. (2)通項變號法 ①a1>0,d<0時,滿足的項數(shù)m使得Sn取得最大值為Sm; ②當a1<0,d>0時,滿足的項數(shù)m使得Sn取得最小值為Sm.   1.(2018·陜西咸陽模擬)設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,若S9=54,則a2+a4+a9=(  ) A.9 B.15 C.1

54、8 D.36 解析:選C 由等差數(shù)列的通項公式及性質(zhì),可得S9==9a5=54,a5=6,則a2+a4+a9=a1+a5+a9=3a5=18.故選C. 2.(2018·遼寧鞍山一中期末)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,若m>1,且am-1+am+1-a=0,S2m-1=38,則m等于(  ) A.38 B.20 C.10 D.9 解析:選C 因為am-1+am+1-a=0,所以am-1+am+1=2am=a,顯然am≠0,所以am=2.又因為S2m-1==(2m-1)am=38.所以將am=2代入可得(2m-1)×2=38,解得m=10,故選C. 3.(2018·成都模擬)已

55、知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,a4+a7+a10=9,S14-S3=77,則使Sn取得最小值時n的值為(  ) A.4 B.5 C.6 D.7 解析:選B 根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可得a4+a7+a10=3a7=9,得a7=3.S14-S3=11a9=77,解得a9=7,所以等差數(shù)列的通項公式為an=2n-11.當n=6時,an>0;當n=5時,an<0,所以使Sn取得最小值的n的值為5. 4.(2018·吉林長春外國語學(xué)校期末)已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,若S13<0,S12>0,則在數(shù)列中絕對值最小的項為(  ) A.第5項 B.第6項 C.第7項 D.第8項

56、解析:選C 根據(jù)等差數(shù)列{an}的前n項和公式Sn=,因為所以由得 所以數(shù)列{an}中絕對值最小的項為第7項. 突破點(三) 等差數(shù)列的判定與證明  等差數(shù)列的判定與證明 [典例] (2018·湖北華中師大一附中期中)已知數(shù)列{an}滿足a1=2,n(an+1-n-1)=(n+1)(an+n)(n∈N*). (1)求證數(shù)列是等差數(shù)列,并求其通項公式; (2)設(shè)bn=-15,求數(shù)列{|bn|}的前n項和Tn. [解] (1)∵n(an+1-n-1)=(n+1)(an+n)(n∈N*), ∴nan+1-(n+1)an=2n(n+1),∴-=2, ∴數(shù)列是等差數(shù)列,其

57、公差為2,首項為2, ∴=2+2(n-1)=2n. (2)由(1)知an=2n2,∴bn=-15=2n-15, 則數(shù)列{bn}的前n項和Sn==n2-14n. 令bn=2n-15≤0,解得n≤7.5. ∴當n≤7時,數(shù)列{|bn|}的前n項和Tn=-b1-b2-…-bn=-Sn=-n2+14n. 當n≥8時,數(shù)列{|bn|}的前n項和Tn=-b1-b2-…-b7+b8+…+bn=-2S7+Sn=-2×(72-14×7)+n2-14n=n2-14n+98. ∴Tn= [方法技巧]  等差數(shù)列的判定與證明方法 方法 解讀 適合題型 定義法 對于數(shù)列{an},an-an-1

58、(n≥2,n∈N*)為同一常數(shù)?{an}是等差數(shù)列 解答題中的證明問題 等差中項法 2an-1=an+an-2(n≥3,n∈N*)成立?{an}是等差數(shù)列 通項公式法 an=pn+q(p,q為常數(shù))對任意的正整數(shù)n都成立?{an}是等差數(shù)列 選擇、填空題中的判定問題 前n項和公式法 驗證Sn=An2+Bn(A,B是常數(shù))對任意的正整數(shù)n都成立?{an}是等差數(shù)列 [提醒] 判斷時易忽視定義中從第2項起,以后每項與前一項的差是同一常數(shù),即易忽視驗證a2-a1=d這一關(guān)鍵條件. 1.(2016·浙江高考)如圖,點列{An},{Bn}分別在某銳角的兩邊上,且|AnAn

59、+1|=|An+1An+2|,An≠An+2,n∈N*,|BnBn+1|=|Bn+1Bn+2|,Bn≠Bn+2,n∈N*(P≠Q(mào)表示點P與Q不重合).若dn=|AnBn|,Sn為△AnBnBn+1的面積,則(  )                  A.{Sn}是等差數(shù)列 B.{S}是等差數(shù)列 C.{dn}是等差數(shù)列 D.mzebxcnn0是等差數(shù)列 解析:選A 由題意,過點A1,A2,A3,…,An,An+1,…分別作直線B1Bn+1的垂線(圖略),高分別記為h1,h2,h3,…,hn,hn+1,…,根據(jù)平行線的性質(zhì),得h1,h2,h3,…,hn,hn+1,…成等差數(shù)列,又Sn=×|BnBn

60、+1|×hn,|BnBn+1|為定值,所以{Sn}是等差數(shù)列.故選A. 2.(2018·岳陽模擬)若數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且滿足an+2SnSn-1=0(n≥2),a1=. (1)求證:成等差數(shù)列; (2)求數(shù)列{an}的通項公式. 解:(1)證明:當n≥2時,由an+2SnSn-1=0, 得Sn-Sn-1=-2SnSn-1,所以-=2, 又==2,故是首項為2,公差為2的等差數(shù)列. (2)由(1)可得=2n,∴Sn=. 當n≥2時,an=Sn-Sn-1=-==-. 當n=1時,a1=不適合上式. 故an= [全國卷5年真題集中演練——明規(guī)律]     

61、           1.(2017·全國卷Ⅲ)等差數(shù)列{an}的首項為1,公差不為0.若a2,a3,a6成等比數(shù)列,則{an}前6項的和為(  ) A.-24 B.-3 C.3 D.8 解析:選A 設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,因為a2,a3,a6成等比數(shù)列,所以a2a6=a,即(a1+d)(a1+5d)=(a1+2d)2.又a1=1,所以d2+2d=0.又d≠0,則d=-2,所以{an}前6項的和S6=6×1+×(-2)=-24. 2.(2016·全國卷Ⅰ)已知等差數(shù)列{an}前9項的和為27,a10=8,則a100=(  ) A.100 B.99 C.98 D.9

62、7 解析:選C 法一:∵{an}是等差數(shù)列,設(shè)其公差為d, ∴S9=(a1+a9)=9a5=27,∴a5=3. 又∵a10=8,∴∴ ∴a100=a1+99d=-1+99×1=98.故選C. 法二:∵{an}是等差數(shù)列,∴S9=(a1+a9)=9a5=27,∴a5=3.在等差數(shù)列{an}中,a5,a10,a15,…,a100成等差數(shù)列,且公差d′=a10-a5=8-3=5.故a100=a5+(20-1)×5=98.故選C. 3.(2013·全國卷Ⅱ)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn ,已知S10=0,S15=25,則nSn 的最小值為________. 解析:由已知解得a1=-3

63、,d=,那么nSn=n2a1+d=-.由于函數(shù)f(x)=-在x=處取得極小值,因而檢驗n=6時,6S6=-48,而n=7時,7S7=-49.∴nSn 的最小值為-49. 答案:-49 4.(2014·全國卷Ⅰ)已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn,a1=1,an≠0,anan+1=λSn-1,其中λ為常數(shù). (1)證明:an+2-an=λ; (2)是否存在λ,使得{an}為等差數(shù)列?并說明理由. 解:(1)由題設(shè),anan+1=λSn-1,an+1an+2=λSn+1-1. 兩式相減得an+1(an+2-an)=λan+1. 由于an+1≠0,所以an+2-an=λ. (2)由題設(shè)

64、,a1=1,a1a2=λS1-1,可得a2=λ-1.由(1)知,a3=λ+1.令2a2=a1+a3,解得λ=4.故an+2-an=4,由此可得{a2n-1}是首項為1,公差為4的等差數(shù)列,a2n-1=4n-3;{a2n}是首項為3,公差為4的等差數(shù)列,a2n=4n-1.所以an=2n-1,an+1-an=2.因此存在λ=4,使得數(shù)列{an}為等差數(shù)列. [課時達標檢測] [小題對點練——點點落實] 對點練(一) 等差數(shù)列基本量的計算 1.設(shè)Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和,若a1=1

65、,公差d=2,Sn+2-Sn=36,則n=(  ) A.5 B.6 C.7 D.8 解析:選D 由題意知Sn+2-Sn=an+1+an+2=2a1+(2n+1)d=2+2(2n+1)=36,解得n=8. 2.在等差數(shù)列{an}中,a1=0,公差d≠0,若am=a1+a2+…+a9,則m的值為(  ) A.37 B.36 C.20 D.19 解析:選A am=a1+a2+…+a9=9a1+d=36d=a37,∴m=37.故選A. 3.在數(shù)列{an}中,若a1=2,且對任意正整數(shù)m,k,總有am+k=am+ak,則{an}的前n項和Sn=(  ) A.n(3n-1) B.

66、 C.n(n+1) D. 解析:選C 依題意得an+1=an+a1,即an+1-an=a1=2,所以數(shù)列{an}是以2為首項、2為公差的等差數(shù)列,an=2+2(n-1)=2n,Sn==n(n+1),故選C. 4.(2018·太原一模)在單調(diào)遞增的等差數(shù)列{an}中,若a3=1,a2a4=,則a1=(  ) A.-1 B.0 C. D. 解析:選B 由題知,a2+a4=2a3=2,又∵a2a4=,數(shù)列{an}單調(diào)遞增,∴a2=,a4=.∴公差d==.∴a1=a2-d=0. 對點練(二) 等差數(shù)列的基本性質(zhì)及應(yīng)用 1.設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且S9=18,an-4=30(n>9),若Sn=336,則n的值為(  ) A.18 B.19 C.20 D.21 解析:選D 因為{an}是等差數(shù)列,所以S9=9a5=18,a5=2,Sn===×32=16n=336,解得n=21,故選D. 2.(2018·南陽質(zhì)檢)設(shè)數(shù)列{an}是公差d<0的等差數(shù)列,Sn為其前n項和,若S6=5a1+10d,則Sn取最大值時,n等于(  ) A.5 B.6 C.5或6

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