2022年高二數(shù)學(xué)《空間距離》教案 【教學(xué)目標】 1.掌握空間兩條直線的距離的概念，能在給出公垂線的條件下求出兩異面直線的距離. 2.掌握點與直線，點與平面，直線與平面間距離的概念. 3.計算空間距離時要熟練進行各距離間的相互轉(zhuǎn)化.以點線距離，點面距離為主，在計算前關(guān)鍵是確定垂足，作出輔助圖形再應(yīng)用解三角形知識. 4.能借助向量求點面、線面、面面距離 【知識梳理】 1.點與它在平面上的射影間的距離叫做該點到這個平面的距離. 2.直線與平面平行，那么直線上任一點到平面的距離叫做這條直線與平面的距離. 3.兩個平面平行，它們的公垂線段的長度叫做這兩個平面的距離. 4.兩條異面直線的公垂線段的長度叫做這兩條異面直線的距離. 5.借助向量求距離 （1）點面距離的向量公式 平面α的法向量為n，點P是平面α外一點，點M為平面α內(nèi)任意一點，則點P到平面α的距離d就是在向量n方向射影的絕對值，即d=. （2）線面、面面距離的向量公式 平面α∥直線l，平面α的法向量為n，點M∈α、P∈l，平面α與直線l間的距離d就是在向量n方向射影的絕對值，即d=. 平面α∥β，平面α的法向量為n，點M∈α、P∈β，平面α與平面β的距離d就是在向量n方向射影的絕對值，即d=. （3）異面直線的距離的向量公式 設(shè)向量n與兩異面直線a、b都垂直，M∈a、P∈b，則兩異面直線a、b間的距離d就是在向量n方向射影的絕對值，即d=. 【點擊雙基】 1.ABCD是邊長為2的正方形，以BD為棱把它折成直二面角A—BD—C，E是CD的中點，則異面直線AE、BC的距離為 A. B. C. D.1 解析：易證CE是異面直線AE與BC的公垂線段，其長為所求.易證CE=1.∴選D. 答案：D 2.在△ABC中，AB=15，∠BCA=120°，若△ABC所在平面α外一點P到A、B、C的距離都是14，則P到α的距離是 A.13 B.11 C.9 D.7 解析：作PO⊥α于點O，連結(jié)OA、OB、OC， ∵PA=PB=PC， ∴OA=OB=OC. ∴O是△ABC的外心. ∴OA===5. ∴PO==11為所求.∴選B. 答案：B 3.在棱長為a的正方體ABCD—A1B1C1D1中，M是AA1的中點，則點A1到平面MBD的距離是 A. a B. a C. a D. a 解析：A到面MBD的距離由等積變形可得. VA—MBD=VB—AMD.易求d=a. 答案：D 4.A、B是直線l上的兩點，AB=4，AC⊥l于A，BD⊥l于B，AC=BD=3，又AC與BD成60°的角，則C、D兩點間的距離是_______. 解析：CD=. 答案： 【典例剖析】 【例1書】設(shè)A(2,3,1),B(4,1,2),C(6, 3,7),D(-5,-4,8).求D到平面ABC的距離。 【例2書】如圖，在棱長為a的正方體ABCD-A1B1C1D1中，M、O、O1分別是A1B、AC、A1C1的中點，且OH⊥O1B，垂足為H。 （1） 求證：MO∥平面BB1C1C； （2） 分別求MO與OH的長； （3） MO與OH是否為異面直線A1B與AC的公垂線？為什么？求這兩條異面直線的距離。 【例3書】如圖所示，已知四邊形ABCD、EADM都是邊長為a的正方形，點P、Q分別是ED與AC的中點， 求：（1）PM與FQ所成的角； （2）P點到平面EFB的距離； （3）異面直線PM與FQ的距離。 【例4】如圖，已知二面角a-l -b的大小為1200，點AÎa， BÎb，AC^l 于點C，BD^l 于點D，且AC=CD=DB=1.求： A B C D a b l （1）A、B兩點間的距離； （2）AB與CD所成角的大?。? （3）AB與CD的距離. 解：設(shè)則 （1）， \ A、B兩點間的距離為2. （2）， \AB與CD所成角為600為. （3）設(shè)與AB、CD都垂直的非零向量為， 由得①； 由得②， 令x=1，則由①、②可得z=-1，\，由法則四可知，AB與CD的距離為 . 【說明】對于圖形是“斜”的，求夾角與距離的問題，雖然不便于建立空間直角坐標系，同樣也可以利用平面的法向量轉(zhuǎn)化為向量的計算問題. 【例5書】如圖，已知二面角α—PQ—β為60°，點A和點B分別在平面α和平面β內(nèi)，點C在棱PQ上，∠ACP=∠BCP=30°，CA=CB=a. （1）求證：AB⊥PQ； （2）求點B到平面α的距離； （3）設(shè)R是線段CA上的一點，直線BR與平面α所成的角為45°，求線段CR的長度. 【知識方法總結(jié)】 【作業(yè)】