7、BC＝OA＝＝2，
而MC2＝d2＋2，
所以25＝＋5，
解得m＝5或m＝－15.
故直線l的方程為2x－y＋5＝0或2x－y－15＝0.
(3)設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)．
因?yàn)锳(2,4)，T(t,0)，＋＝，
所以①
因?yàn)辄c(diǎn)Q在圓M上，所以(x2－6)2＋(y2－7)2＝25.②
將①代入②，得(x1－t－4)2＋(y1－3)2＝25.
于是點(diǎn)P(x1，y1)既在圓M上，又在圓[x－(t＋4)]2＋(y－3)2＝25上，
從而圓(x－6)2＋(y－7)2＝25與圓[x－(t＋4)]2＋(y－3)2＝25有公共點(diǎn)，
所以5－5≤≤5＋5，
解得2－2≤
8、t≤2＋2.
因此，實(shí)數(shù)t的取值范圍是[2－2，2＋2]．
[命題規(guī)律]
(1)題量穩(wěn)定：解析幾何在高考試卷中試題大約出現(xiàn)3個(gè)題目左右，其中填空題占兩道，解答題占一道；其所占平均分值為22分左右，所占平均分值比例約為14%.
(2)整體平衡，重點(diǎn)突出：重點(diǎn)內(nèi)容重點(diǎn)考，直線與圓的方程，圓錐曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何性質(zhì)等是高考命題的重點(diǎn)．
主要集中在如下幾個(gè)類型：
①求曲線方程(類型確定，甚至給出曲線方程)；
②直線、圓和圓錐曲線間的交點(diǎn)問題(含切線問題)；
③與圓錐曲線定義有關(guān)的問題(涉及焦半徑、焦點(diǎn)弦、焦點(diǎn)三角形和準(zhǔn)線，利用余弦定理等)；
④與曲線有關(guān)的最值問題(含三角形和
9、四邊形面積)；
⑤與曲線有關(guān)的幾何證明(圓線相切、四點(diǎn)共圓、對稱性或求對稱曲線、平行、垂直等)；
⑥探求曲線方程中幾何量及參數(shù)間的數(shù)量特征(很少)．
———————主干整合·歸納拓展———————
(對應(yīng)學(xué)生用書第45頁)
[第1步▕ 核心知識再整合]
1．直線的方程
點(diǎn)斜式：y－y1＝k(x－x1); 截距式：y＝kx＋b；兩點(diǎn)式：＝； 截距式：＋＝1；一般式：Ax＋By＋C＝0，其中A、B不同時(shí)為0.
2．兩條直線的位置關(guān)系
(1)兩直線平行?兩直線的斜率相等或兩直線斜率都不存在；
(2)兩直線垂直?兩直線的斜率之積為－1或一直線斜率不存在，另一直線斜率為零；
(
10、3)與已知直線Ax＋By＋C＝0(A≠0，B≠0)平行的直線系方程為Ax＋By＋m＝0(C≠m)；
(4)若給定的方程是一般式，即l1：A1x＋B1y＋C1＝0和l2：A2x＋B2y＋C2＝0，則有下列結(jié)論：
l1∥l2?A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0；l1⊥l2?A1A2＋B1B2＝0.
(5)兩平行直線間距離公式：
Ax＋By＋C1＝0(A≠0，B≠0)與Ax＋By＋C2＝0(A≠0，B≠0，C1≠C2)的距離d＝.
3．圓的方程
(1)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，圓心為(a，b)，半徑為r.
(2)圓的一般方程：x2＋y2＋Dx
11、＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)，圓心為，半徑為r＝.
4．直線與圓相關(guān)問題的兩個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)
(1)三個(gè)定理：切線的性質(zhì)定理，切線長定理，垂徑定理．
(2)兩個(gè)公式：點(diǎn)到直線的距離公式d＝，弦長公式|AB|＝2(弦心距d)．
5．圓錐曲線的定義
(1)橢圓：|MF1|＋|MF2|＝2a(2a＞|F1F2|)；
(2)雙曲線：||MF1|－|MF2||＝2a(2a＜|F1F2|)；
(3)拋物線：|MF|＝d(d為M點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離)．
6．圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程
(1)橢圓：＋＝1(a＞b＞0)(焦點(diǎn)在x軸上)或＋＝1(a＞b＞0)(焦點(diǎn)在y軸上)；
(2)雙曲線：－＝1(a＞
12、0，b＞0)(焦點(diǎn)在x軸上)或－＝1(a＞0，b＞0)(焦點(diǎn)在y軸上)；
(3)拋物線：y2＝2px，y2＝－2px，x2＝2py，x2＝－2py(p＞0)．
7．圓錐曲線的幾何性質(zhì)
(1)橢圓：e＝＝.
(2)雙曲線：①e＝＝；
②漸近線方程：y＝±x或y＝±x；
(3)拋物線：設(shè)y2＝2px(p＞0)，C(x1，y1)，D(x2，y2)為拋物線上的點(diǎn)，F(xiàn)為其焦點(diǎn)．
①焦半徑|CF|＝x1＋；
②過焦點(diǎn)的弦長|CD|＝x1＋x2＋p；
③若直線CD過焦點(diǎn)，則x1x2＝，y1y2＝－p2.
8．直線與圓錐曲線的位置關(guān)系
(1)直線與橢圓的位置關(guān)系的判定方法：
將直線方程
13、與橢圓方程聯(lián)立，消去一個(gè)未知數(shù)，得到一個(gè)一元二次方程．若Δ＞0，則直線與橢圓相交；若Δ＝0，則直線與橢圓相切；若Δ＜0，則直線與橢圓相離．
(2)直線與雙曲線的位置關(guān)系的判定方法：
將直線方程與雙曲線方程聯(lián)立，消去y(或x)，得到一個(gè)一元方程ax2＋bx＋c＝0(或ay2＋by＋c＝0)．
①若a≠0，當(dāng)Δ＞0時(shí)，直線與雙曲線相交；當(dāng)Δ＝0時(shí)，直線與雙曲線相切；當(dāng)Δ＜0時(shí)，直線與雙曲線相離 .
②若a＝0時(shí)，直線與漸近線平行，與雙曲線有一個(gè)交點(diǎn)．
(3)直線與拋物線的位置關(guān)系的判定方法：
將直線方程與拋物線的方程聯(lián)立，消去y(或x)，得到一個(gè)一元方程ax2＋bx＋c＝0(或ay2＋
14、by＋c＝0)．
①當(dāng)a≠0時(shí)，用Δ判定，方法同上．
②當(dāng)a＝0時(shí)，直線與拋物線的對稱軸平行，只有一個(gè)交點(diǎn)．
9．有關(guān)弦長問題
有關(guān)弦長問題，應(yīng)注意運(yùn)用弦長公式及根與系數(shù)的關(guān)系，“設(shè)而不求”；有關(guān)焦點(diǎn)弦長問題，要重視圓錐曲線定義的運(yùn)用，以簡化運(yùn)算．
(1)斜率為k的直線與圓錐曲線交于兩點(diǎn)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，則所得弦長|P1P2|＝|x2－x1|或|P1P2|＝|y2－y1|，其中求|x2－x1|與|y2－y1|時(shí)通常使用根與系數(shù)的關(guān)系，即作如下變形：
|x2－x1|＝，
|y2－y1|＝.
(2)當(dāng)斜率k不存在時(shí)，可求出交點(diǎn)坐標(biāo)，直接運(yùn)算(利用兩點(diǎn)間距離公式
15、)．
10．弦的中點(diǎn)問題
有關(guān)弦的中點(diǎn)問題，應(yīng)靈活運(yùn)用“點(diǎn)差法”，“設(shè)而不求法”來簡化運(yùn)算．
[第2步▕ 高頻考點(diǎn)細(xì)突破]
直線方程
【例1】 已知直線3x＋4y－3＝0與直線6x＋my＋14＝0平行，則它們之間的距離是________．
[解析] 由題意＝，m＝8，所以直線方程為6x＋8y＋14＝0，即3x＋4y＋7＝0，d＝＝2.
[答案] 2
[規(guī)律方法] (1)若給定的方程是一般式，即l1：A1x＋B1y＋C1＝0和l2：A2x＋B2y＋C2＝0，則有下列結(jié)論：l1∥l2?A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0；l1⊥l2?A1A2＋B1B2＝0. 給定兩條
16、直線l1：y＝k1x＋b1和l2：y＝k2x＋b2，則有下列結(jié)論：l1∥l2?k1＝k2且b1≠b2；l1⊥l2?k1k2＝－1；
(2)求直線方程就是求出確定直線的幾何要素，即直線經(jīng)過的點(diǎn)和直線的傾斜角，當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，只需求出直線的斜率和直線經(jīng)過的點(diǎn)即可．對于直線的點(diǎn)斜式方程和兩點(diǎn)式方程，前者是直線的斜率和直線經(jīng)過的一點(diǎn)確定直線，后者是兩點(diǎn)確定直線．
[舉一反三]
已知直線l1：ax＋(a＋2)y＋1＝0，l2：x＋ay＋2＝0.若l1⊥l2，則實(shí)數(shù)a的值是________．
0或－3 [由題意得：a＋a(a＋2)＝0?a＝0或a＝－3.]
圓的方程及應(yīng)用
【例2】 (
17、江蘇省如東高級中學(xué)2017屆高三上學(xué)期第二次學(xué)情調(diào)研) 如圖10－3所示，已知圓A的圓心在直線y＝－2x上，且該圓存在兩點(diǎn)關(guān)于直線x＋y－1＝0對稱，又圓A與直線l1：x＋2y＋7＝0相切，過點(diǎn)B(－2,0)的動直線l與圓A相交于M，N兩點(diǎn)，Q是MN的中點(diǎn)，直線l與l1相交于點(diǎn)P.
圖10－3
(1)求圓A的方程；
(2)當(dāng)|MN|＝2時(shí)，求直線l的方程；
(3)(＋)·是否為定值？如果是，求出其定值；如果不是，請說明理由.
【導(dǎo)學(xué)號：56394070】
[解] (1)由圓存在兩點(diǎn)關(guān)于直線x＋y－1＝0對稱知圓心A在直線x＋y－1＝0上，
由得A(－1,2)，
設(shè)圓A的半
18、徑為R，因?yàn)閳AA與直線l1：x＋2y＋7＝0相切，
所以R＝＝2，
所以圓A的方程為(x＋1)2＋(y－2)2＝20.
(2)當(dāng)直線l與x軸垂直時(shí)，易知x＝－2符合題意，
當(dāng)直線l與x軸不垂直時(shí)，設(shè)直線l的方程為y＝k(x＋2)，
即kx－y＋2k＝0，連接AQ(圖略)，則AQ⊥MN，
∵|MN|＝2，
∴|AQ|＝＝1，
由|AQ|＝＝1，得k＝，
∴直線l的方程為3x－4y＋6＝0，
∴所求直線l的方程為x＝－2或3x－4y＋6＝0.
(3)∵AQ⊥BP，
∴·＝0，
∴(＋)·＝2·＝2(＋)·＝2(·＋·)＝2·，
當(dāng)直線l與x軸垂直時(shí)，得P，則＝，又＝(1
19、,2)，
∴(＋)·＝2·＝2·＝－10.
當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為y＝k(x＋2)，
由解得P，
∴＝，
∴(＋)·＝2·＝2·
＝2＝－10，
綜上所述，(＋)·是定值，且為－10.
[規(guī)律方法] 求圓的方程一般有兩類方法：
(1)幾何法，通過研究圓的性質(zhì)、直線和圓、圓與圓的位置關(guān)系，進(jìn)而求得圓的基本量和方程；
(2)代數(shù)法，即用待定系數(shù)法先設(shè)出圓的方程，再由條件求得各系數(shù)．其一般步驟：①根據(jù)題意選擇方程的形式：標(biāo)準(zhǔn)方程或一般方程；②利用條件列出關(guān)于a，b，R，或D，E，F(xiàn)的方程組；③解出a，b，R，或D，E，F(xiàn)的值，代入標(biāo)準(zhǔn)方程或一般方程，此外，根據(jù)條件
20、要盡量減少參數(shù)設(shè)方程，這樣可減少運(yùn)算量．
[舉一反三]
(2017·江蘇省淮安市高考數(shù)學(xué)二模)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓C1：(x－4)2＋(y－8)2＝1，圓C2：(x－6)2＋(y＋6)2＝9.若圓心在x軸上的圓C同時(shí)平分圓C1和圓C2的圓周，則圓C的方程是________．
x2＋y2＝81 [由題意，圓C與圓C1和圓C2的公共弦分別為圓C1和圓C2的直徑，
設(shè)C(x,0)，則(x－4)2＋(0－8)2＋1＝(x－6)2＋(0＋6)2＋9，∴x＝0，
∴圓C的方程是x2＋y2＝81.]
直線與圓的位置關(guān)系
【例3】 (江蘇省泰州中學(xué)2017屆高三上學(xué)期第二次月考)
21、直線y＝kx＋3與圓(x－2)2＋(y－3)2＝4相交于M，N兩點(diǎn)，若|MN|≥2，則k的取值范圍是________．
[解析] 由圓的方程得：圓心(2,3)，半徑r＝2，
∵圓心到直線y＝kx＋3的距離d＝，|MN|≥2，
∴2＝2≥2，
變形得：4－≥3，即4k2＋4－4k2≥3k2＋3，解得：－≤k≤，
則k的取值范圍是.
[答案]
[規(guī)律方法] 直線與圓的位置關(guān)系由圓心到直線的距離d與半徑r的關(guān)系確定，d＝r相切；dr時(shí)相離．解有關(guān)直線與圓的相交問題要靈活運(yùn)用圓的幾何性質(zhì)，特別是半弦長、弦心距、半徑構(gòu)成直角三角形，滿
22、足勾股定理．圓的切線問題一般利用d＝r求解，但要注意切線斜率不存在的情形，與圓有關(guān)的最值，范圍問題要注意數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用．直線與圓中常見的最值問題：①圓外一點(diǎn)與圓上任一點(diǎn)的距離的最值．②直線與圓相離，圓上任一點(diǎn)到直線的距離的最值．③過圓內(nèi)一定點(diǎn)的直線被圓截得的弦長的最值．④直線與圓相離，過直線上一點(diǎn)作圓的切線，切線長的最小值問題．⑤兩圓相離，兩圓上點(diǎn)的距離的最值．
[舉一反三]
(2017·江蘇省無錫市高考數(shù)學(xué)一模)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，過點(diǎn)M(1,0)的直線l與圓x2＋y2＝5交于A，B兩點(diǎn)，其中A點(diǎn)在第一象限，且＝2，則直線l的方程為________.
【導(dǎo)學(xué)號：563940
23、71】
x－y－1＝0 [由題意，設(shè)直線x＝my＋1與圓x2＋y2＝5聯(lián)立，可得(m2＋1)y2＋2my－4＝0，
設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則y2＝－2y1，y1＋y2＝－，y1y2＝－，
聯(lián)立解得m＝1，∴直線l的方程為x－y－1＝0.]
圓錐曲線的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程
【例4】 (江蘇省蘇州市2017屆高三暑假自主學(xué)習(xí)測試)如圖10－4，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C：
圖10－4
＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P(3,1)在橢圓上，△PF1F2的面積為2.
(1)①求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
②若∠F1QF2＝，求QF1·QF2的值．
24、
(2)直線y＝x＋k與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)，若以AB為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，求實(shí)數(shù)k的值．
[解] (1)①由條件
可知＋＝1，c＝2，
又a2＝b2＋c2，
所以a2＝12，b2＝4，
所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1.
②當(dāng)θ＝時(shí)，有
所以QF1·QF2＝.
(2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由，得4x2＋6kx＋3k2－12＝0，
由根與系數(shù)的關(guān)系及直線方程可知：
x1＋x2＝－，x1x2＝，y1y2＝，
因?yàn)橐訟B為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，則·＝x1x2＋y1y2＝k2－6＝0，
解得k＝±，此時(shí)Δ＝120＞0，滿足條件，
因此k＝±.
[規(guī)律方法]
25、(1)對于圓錐曲線的定義不僅要熟記，還要深入理解細(xì)節(jié)部分：比如橢圓的定義中要求＋>，雙曲線的定義中要求<.
(2)求圓錐曲線標(biāo)準(zhǔn)方程常用的方法：(1)定義法；(2)待定系數(shù)法，①頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對稱軸為坐標(biāo)軸的拋物線，可設(shè)為y2＝2ax或x2＝2ay (a≠0)，避開對焦點(diǎn)在哪個(gè)半軸上的分類討論，此時(shí)a不具有p的幾何意義．②橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可設(shè)為＋＝1(m>0，n>0)，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程可設(shè)為－＝1(mn>0)，這樣可以避免討論和繁瑣的計(jì)算．
[舉一反三]
(江蘇省如東高級中學(xué)2017屆高三上學(xué)期第二次學(xué)情調(diào)研)已知橢圓C：＋＝1的左焦點(diǎn)為F，點(diǎn)M是橢圓C上一點(diǎn)，點(diǎn)N是MF的中點(diǎn)，O是橢圓的中
26、點(diǎn)，ON＝4，則點(diǎn)M到橢圓C的左準(zhǔn)線的距離為________．
[設(shè)點(diǎn)M到右焦點(diǎn)的距離為MF′，則MF′＝2×4＝8，由定義可知該點(diǎn)到左焦點(diǎn)的距離MF＝10－8＝2，由圓錐曲線的統(tǒng)一定義可得點(diǎn)M到橢圓C的左準(zhǔn)線的距離為d＝＝＝.]
圓錐曲線的幾何性質(zhì)
【例5】 (江蘇省揚(yáng)州市2017屆高三上學(xué)期期末)已知拋物線y2＝16x的焦點(diǎn)恰好是雙曲線－＝1的右焦點(diǎn)，則雙曲線的漸近線方程為________．
[解析] 根據(jù)題意，拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程：y2＝16x，其焦點(diǎn)坐標(biāo)為(4,0)，
則雙曲線－＝1的右焦點(diǎn)坐標(biāo)為(4,0)，則c＝4，
有12＋b2＝16，解可得b＝2，
則雙曲線的方程
27、為－＝1，
則該雙曲線的漸近線方程y＝±x.
[答案] y＝±x
[規(guī)律方法] 求橢圓、雙曲線的離心率，關(guān)鍵是根據(jù)已知條件確定a，b，c的等量關(guān)系，然后把b用a，c代換，求的值；在雙曲線中由于e2＝1＋2，故雙曲線的漸近線與離心率密切相關(guān)，求離心率的范圍問題關(guān)鍵是確立一個(gè)關(guān)于a，b，c的不等式，再根據(jù)a，b，c的關(guān)系消掉b得到關(guān)于a，c的不等式，由這個(gè)不等式確定a，c的關(guān)系．
[舉一反三]
(蘇北四市(淮安、宿遷、連云港、徐州)2017屆高三上學(xué)期期中)如圖10－5，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知A，B1，B2分別為橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)的右、下、上頂點(diǎn)，F(xiàn)是橢圓C的右焦點(diǎn)．若
28、B2F⊥AB1，則橢圓C的離心率是________．
圖10－5
[由題意得－×＝－1?b2＝ac?a2－c2＝ac?1－e2＝e,0＜e＜1?e＝.]
直線與圓錐曲線的位置關(guān)系
【例6】 (江蘇省揚(yáng)州市2017屆高三上學(xué)期期末)如圖10－6，橢圓C：
圖10－6
＋＝1(a＞b＞0)，圓O：x2＋y2＝b2，過橢圓C的上頂點(diǎn)A的直線l：y＝kx＋b分別交圓O、橢圓C于不同的兩點(diǎn)P、Q，設(shè)＝λ.
(1)若點(diǎn)P(－3,0)，點(diǎn)Q(－4，－1)，求橢圓C的方程；
(2)若λ＝3，求橢圓C的離心率e的取值范圍．
【導(dǎo)學(xué)號：56394072】
[解] (1)由P(－
29、3,0)在圓O：x2＋y2＝b2上，可得b＝3.
又點(diǎn)Q在橢圓C上，得＋＝1，解得a2＝18.
∴橢圓C的方程為＋＝1；
(2)聯(lián)立得x＝0或xP＝－，
聯(lián)立得x＝0或xQ＝－.
∵＝λ，λ＝3，∴＝，
∴·＝，即k2＝＝4e2－1.
∵k2＞0，∴4e2＞1，得e＞或e＜－.
又0＜e＜1，∴＜e＜1.
[規(guī)律方法] (1)直線與橢圓的位置關(guān)系的判定方法
將直線方程與橢圓方程聯(lián)立，消去一個(gè)未知數(shù)，得到一個(gè)一元二次方程．若Δ>0，則直線與橢圓相交；若Δ＝0，則直線與橢圓相切；若Δ<0，則直線與橢圓相離．
(2)直線與雙曲線的位置關(guān)系的判定方法
將直線方程與雙曲線方程聯(lián)立
30、，消去y或x，得到一個(gè)一元方程ax2＋bx＋c＝0，或ay2＋by＋c＝0，若a≠0，當(dāng)Δ>0時(shí)，直線與雙曲線相交；當(dāng)Δ＝0時(shí)，直線與雙曲線相切；當(dāng)Δ<0時(shí)，直線與雙曲線相離；若a＝0，直線與漸近線平行，與雙曲線有一個(gè)交點(diǎn)．
(3)直線與拋物線的位置關(guān)系的判定方法
將直線方程與拋物線方程聯(lián)立，消去y或x，得到一個(gè)一元方程ax2＋bx＋c＝0，或ay2＋by＋c＝0，當(dāng)a≠0時(shí)，用Δ判定，方法同上；當(dāng)a＝0時(shí)，直線與拋物線的對稱軸平行，與拋物線有一個(gè)交點(diǎn)．
拋物線y2＝2px(p>0)的過焦點(diǎn)F的弦AB，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1x2＝，y1y2＝－p2，弦長|AB|＝x
31、1＋x2＋p.同樣可得拋物線y2＝－2px，x2＝2py，x2＝－2py類似的性質(zhì)．
(4)解決直線與圓錐曲線相交時(shí)的弦長問題方法是：設(shè)而不求，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，進(jìn)行整體代入．即當(dāng)直線與圓錐曲線交于點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)時(shí)，|AB|＝|x1－x2|＝|y1－y2|，而|x1－x2|＝.
[舉一反三]
(2017·江蘇省泰州市高考數(shù)學(xué)一模)如圖10－7，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓＋＝1(a＞b＞0)的離心率為，焦點(diǎn)到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離為1.
圖10－7
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)若P為橢圓上的一點(diǎn)，過點(diǎn)O作OP的垂線交直線y＝于點(diǎn)Q，求＋的值．
[解]
32、 (1)由題意得，＝，－c＝1，
解得a＝，c＝1，b＝1.
所以橢圓的方程為＋y2＝1.
(2)由題意知OP的斜率存在．
當(dāng)OP的斜率為0時(shí)，OP＝，OQ＝，所以＋＝1.
當(dāng)OP的斜率不為0時(shí)，設(shè)直線OP方程為y＝kx.
由得(2k2＋1)x2＝2，解得x2＝，所以y2＝，
所以O(shè)P2＝.
因?yàn)镺P⊥OQ，所以直線OQ的方程為y＝－x.
由得x＝－k，所以O(shè)Q2＝2k2＋2.
所以＋＝＋＝1.
綜上，可知＋＝1.
圓錐曲線中的范圍問題
【例7】 (江蘇省南京市2017屆高三上學(xué)期學(xué)情調(diào)研)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦點(diǎn)分
33、別為F1，F(xiàn)2，P為橢圓上一點(diǎn)(在x軸上方)，連接PF1并延長交橢圓于另一點(diǎn)Q，設(shè)＝λ.
(1)若點(diǎn)P的坐標(biāo)為，且△PQF2的周長為8，求橢圓C的方程；
(2)若PF2垂直于x軸，且橢圓C的離心率e∈，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍．
[解] (1) 因?yàn)镕1，F(xiàn)2為橢圓C的兩焦點(diǎn)，且P，Q為橢圓上的點(diǎn)，
所以PF1＋PF2＝QF1＋QF2＝2a，從而△PQF2的周長為4a.
由題意，得4a＝8，解得a＝2.
因?yàn)辄c(diǎn)P的坐標(biāo)為，所以＋＝1，
解得b2＝3.
所以橢圓C的方程為＋＝1.
(2)法一：因?yàn)镻F2⊥x軸，且P在x軸上方，故設(shè)P(c，y0)，y0＞0.
設(shè)Q(x1，y1
34、)．
因?yàn)镻在橢圓上，所以＋＝1，解得y0＝，即P.
因?yàn)镕1(－c,0)，所以＝，＝(x1＋c，y1)．
由＝λ，得－2c＝λ(x1＋c)，－＝λy1，
解得x1＝－c，y1＝－，所以Q.
因?yàn)辄c(diǎn)Q在橢圓上，所以2e2＋＝1，
即(λ＋2)2e2＋(1－e2)＝λ2，(λ2＋4λ＋3)e2＝λ2－1，
因?yàn)棣耍?≠0，
所以(λ＋3)e2＝λ－1，從而λ＝＝－3.
因?yàn)閑∈，所以≤e2≤，即≤λ≤5.
所以λ的取值范圍為.
法二 因?yàn)镻F2⊥x軸，且P在x軸上方，故設(shè)P(c，y0)，y0＞0.
因?yàn)镻在橢圓上，所以＋＝1，解得y0＝，即P.
因?yàn)镕1(－c,0)，故
35、直線PF1的方程為y＝(x＋c)．
由得(4c2＋b2)x2＋2b2cx＋c2(b2－4a2)＝0.
因?yàn)橹本€PF1與橢圓有一個(gè)交點(diǎn)為P.設(shè)Q(x1，y1)，
則x1＋c＝－，即－c－x1＝.
因?yàn)椋溅耍?
所以λ＝＝＝＝＝＝－3.
因?yàn)閑∈，所以≤e2≤，即≤λ≤5.
所以λ的取值范圍為.
[規(guī)律方法] (1)求范圍問題的關(guān)鍵是建立求解關(guān)于某個(gè)變量的目標(biāo)函數(shù)，通過求這個(gè)函數(shù)的值域確定目標(biāo)的范圍．在建立函數(shù)的過程中要根據(jù)題目的其他已知條件，把需要的量都用我們選用的變量表示，有時(shí)為了運(yùn)算的方便，在建立關(guān)系的過程中也可以采用多個(gè)變量，只要在最后結(jié)果中把多變量歸結(jié)為單變量即可，同時(shí)要特
36、別注意變量的取值范圍．
(2)求解特定字母取值范圍問題的常用方法：①構(gòu)造不等式法：根據(jù)題設(shè)條件以及曲線的幾何性質(zhì)(如：曲線的范圍、對稱性、位置關(guān)系等)，建立關(guān)于特定字母的不等式(或不等式組)，然后解不等式(或不等式組)，求得特定字母的取值范圍．②構(gòu)造函數(shù)法：根據(jù)題設(shè)條件，用其他的變量或參數(shù)表示欲求范圍的特定字母，即建立關(guān)于特定字母的目標(biāo)函數(shù)，然后研究該函數(shù)的值域或最值情況，從而得到特定字母的取值范圍．③數(shù)形結(jié)合法：研究特定字母所對應(yīng)的幾何意義，然后根據(jù)相關(guān)曲線的定義、幾何性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解．
[舉一反三]
(2017·江蘇省蘇、錫、常、鎮(zhèn)四市高考數(shù)學(xué)二模)已知橢圓C：＋＝1(a
37、＞0，b＞0)的左焦點(diǎn)為F(－1,0)，左準(zhǔn)線為x＝－2.
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)已知直線l交橢圓C于A，B兩點(diǎn)．
①若直線l經(jīng)過橢圓C的左焦點(diǎn)F，交y軸于點(diǎn)P，且滿足＝λ，＝μ，求證：λ＋μ為常數(shù)；
②若OA⊥OB(O為原點(diǎn))，求△AOB的面積的取值范圍．
[解] (1) ∵橢圓C：＋＝1(a＞0，b＞0)的左焦點(diǎn)為F(－1,0)，
左準(zhǔn)線為x＝－2，
∴由題設(shè)知c＝1，＝2，a2＝2c，
∴a2＝2，b2＝a2－c2＝1，
∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋y2＝1.
(2)①由題設(shè)知直線l的斜率存在，設(shè)直線l的方程為y＝k(x＋1)，則P(0，k)，設(shè)A(x1
38、，y1)，B(x2，y2)，直線l代入橢圓得x2＋2k2(x＋1)2＝2，
整理，得(1＋2k2)x2＋4k2x＋2k2－2＝0，
∴x1＋x2＝，x1x2＝，
由＝λ，＝μ，知λ＝，μ＝，
∴λ＋μ＝－
＝－
＝－＝－4(定值)．
∴λ＋μ為常數(shù)－4.
②當(dāng)直線OA，OB分別與坐標(biāo)軸重合時(shí)，△AOB的面積S△AOB＝，當(dāng)直線OA，OB的斜率均存在且不為零時(shí)，設(shè)OA：y＝kx，OB：y＝－x，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，將y＝kx代入橢圓C，得到x2＋2k2x2＝2，
∴x＝，y＝，
同理，x＝，y＝，
△AOB的面積S△AOB＝＝，
令t＝k2＋1∈[1，＋
39、∞)，則S△AOB＝＝，
令μ＝∈(0,1]，則S△AOB＝＝∈.
綜上所述，△AOB的面積的取值范圍是.
圓錐曲線中的存在性問題
【例8】 (淮安市2014－2015學(xué)年度第二學(xué)期高二調(diào)查測試)已知橢圓M：＋＝1(a＞b＞0)，點(diǎn)F1(－1,0)、C(－2,0)分別是橢圓M的左焦點(diǎn)、左頂點(diǎn)，過點(diǎn)F1的直線l(不與x軸重合)交M于A，B兩點(diǎn)．
(1)求橢圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)若A(0，)，求△AOB的面積；
(3)是否存在直線l，使得點(diǎn)B在以線段F1C為直徑的圓上，若存在，求出直線l的方程；若不存在，說明理由．
[解] (1)由F1(－1,0)、C(－2,0)得：a＝2，
40、b＝，
所以橢圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1；
(2)因?yàn)锳(0，)，F(xiàn)1(－1,0)，所以過A，F(xiàn)1的直線l的方程為：＋＝1，
即x－y＋＝0，
解方程組得y1＝，y2＝－，
S△ABC＝×1×|y1－y2|＝；
(3)設(shè)B(x0，y0)(－2＜x0＜2)，則＋＝1.因?yàn)镃(－2,0)，F(xiàn)1(－1,0)，
所以·＝(－1－x0，－y0)·(－2－x0，－y0)＝2＋3x0＋x＋y
＝x＋3x0＋5＝0，
解得：x0＝－2或－10，
又因?yàn)椋?＜x0＜2，所以點(diǎn)B不在以F1C為直徑的圓上，
即不存在直線l，使得點(diǎn)B在以F1C為直徑的圓上．
[規(guī)律方法] (1)求解存在性問題時(shí)，
41、通常的方法是首先假設(shè)滿足條件的幾何元素或參數(shù)值存在，然后利用這些條件并結(jié)合題目的其他已知條件進(jìn)行推理與計(jì)算，若不出現(xiàn)矛盾，并且得到了相應(yīng)的幾何元素或參數(shù)值，就說明滿足條件的幾何元素或參數(shù)值存在；若在推理與計(jì)算中出現(xiàn)了矛盾，則說明滿足條件的幾何元素或參數(shù)值不存在，同時(shí)推理與計(jì)算的過程就是說明理由的過程．
(2)解決存在性問題應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：①當(dāng)條件和結(jié)論不唯一時(shí)要分類討論；②當(dāng)給出結(jié)論而要推導(dǎo)出存在的條件時(shí)，先假設(shè)成立，再推出條件；③當(dāng)條件和結(jié)論都不知，按常規(guī)方法解題很難時(shí)，要思維開放，采取另外的途徑．
(3)解決存在性問題的解題步驟：第一步：先假設(shè)存在，引入?yún)⒆兞?，根?jù)題目條件列出關(guān)于參變
42、量的方程(組)或不等式(組)；第二步：解此方程(組)或不等式(組)，若有解則存在，若無解則不存在；第三步：得出結(jié)論．
[舉一反三]
(江蘇省南通市如東高中2017屆高三上學(xué)期第二次調(diào)研)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A(－1,1)，P是動點(diǎn)，且△POA的三邊所在直線的斜率滿足kOP＋kOA＝kPA.
圖10－8
(1)求點(diǎn)P的軌跡C的方程；
(2)若Q是軌跡C上異于點(diǎn)P的一個(gè)點(diǎn)，且＝λ，直線OP與QA交于點(diǎn)M.
問：是否存在點(diǎn)P，使得△PQA和△PAM的面積滿足SPQA＝2S△PAM？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由.
【導(dǎo)學(xué)號：56394073】
[解] (
43、1)設(shè)點(diǎn)P(x，y)．∵kOP＋kOA＝kPA，∴＋(－1)＝，化為y＝x2(x≠0且x≠－1)．
即為點(diǎn)P的軌跡方程．
(2)假設(shè)存在點(diǎn)P(x1，x)，Q(x2，x)，使得△PQA和△PAM的面積滿足S△PQA＝2S△PAM，
①如圖所示，點(diǎn)M為線段AQ的中點(diǎn)．
∵＝λ，∴PQ∥OA，得kPQ＝kAO＝－1.
∴
解得
此時(shí)P(－1,1)，Q(0,0)分別與A，O重合，因此不符合題意．
故假設(shè)不成立，此時(shí)不存在滿足條件的點(diǎn)P.
②如圖所示，當(dāng)點(diǎn)M在QA的延長線時(shí)，由S△PQA＝2S△PAM，可得＝2，
∵＝λ，∴＝2，PQ∥OA.
由PQ∥OA，可得kPQ＝kA
44、O＝－1.
設(shè)M(m，n)．
由＝2，＝2，
可得：－1－x2＝2(m＋1)，－x1＝2m，
化為x1－x2＝3.
聯(lián)立
解得
此時(shí)，P(1,1)滿足條件．
綜上可知：P(1,1)滿足條件.
圓錐曲線中的定值問題
【例9】 (2017·江蘇省無錫市高考數(shù)學(xué)一模)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓＋＝1(a＞b＞0)的焦距為2，離心率為，橢圓的右頂點(diǎn)為A.
圖10－9
(1)求該橢圓的方程；
(2)過點(diǎn)D(，－)作直線PQ交橢圓于兩個(gè)不同點(diǎn)P，Q，求證：直線AP，AQ的斜率之和為定值．
[解] (1)由題意可知：橢圓＋＝1(a＞b＞0)，焦點(diǎn)在x軸上，2c＝1
45、，c＝1，
橢圓的離心率e＝＝，則a＝，b2＝a2－c2＝1，
則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋y2＝1；
(2)證明：設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，A(，0)，
由題意PQ的方程：y＝k(x－)－，
則整理得：(2k2＋1)x2－(4k2＋4k)x＋4k2＋8k＋2＝0，
由根與系數(shù)的關(guān)系可知：x1＋x2＝，x1x2＝，
則y1＋y2＝k(x1＋x2)－2k－2
＝，
則kAP＋kAQ＝＋
＝，
由y1x2＋y2x1＝[k(x1－)－]x2＋[k(x2－)－]x1＝2kx1x2－(k＋)(x1＋x2)＝－，
kAP＋kAQ＝
＝＝1，
∴直線AP，AQ的斜率之和為定值
46、1.
[規(guī)律方法] (1)解析幾何中的定值問題是指某些幾何量線段的長度、圖形的面積、角的度數(shù)、直線的斜率等的大小或某些代數(shù)表達(dá)式的值等和題目中的參數(shù)無關(guān)，不依參數(shù)的變化而變化，而始終是一個(gè)確定的值．
(2)求定值問題常見的方法有兩種：①從特殊入手，求出定值，再證明這個(gè)值與變量無關(guān)；②直接推理、計(jì)算，并在計(jì)算推理的過程中消去變量，從而得到定值．
(3)定點(diǎn)、定值問題必然是在變化中所表現(xiàn)出來的不變的量，那么就可以用變化的量表示問題的直線方程、數(shù)量積、比例關(guān)系等，這些直線方程、數(shù)量積、比例關(guān)系不受變化的量所影響的一個(gè)點(diǎn)、一個(gè)值，就是要求的定點(diǎn)、定值．化解這類問題的關(guān)鍵就是引進(jìn)變化的參數(shù)表示直線
47、方程、數(shù)量積、比例關(guān)系等，根據(jù)等式的恒成立、數(shù)式變換等尋找不受參數(shù)影響的量．
[舉一反三]
(江蘇省南京市2017屆高考三模)如圖10－10，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓＋＝1(a＞b＞0)的右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)分別為點(diǎn)A，B，M是線段AB的中點(diǎn)，且·＝－b2.
圖10－10
(1)求橢圓的離心率；
(2)若a＝2，四邊形ABCD內(nèi)接于橢圓，AB∥CD，記直線AD，BC的斜率分別為k1，k2，求證：k1·k2為定值．
[解] (1)A(a,0)，B(0，b)，線段AB的中點(diǎn)M.
＝(－a，b)，＝.
∵·＝－b2.
∴－＋b2＝－b2，化為：a＝2b.
∴橢圓的離心率e＝＝
48、＝.
(2)證明：由a＝2，可得b＝1，
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋y2＝1，A(2,0)，B(0,1)．
設(shè)直線BC的方程為y＝k2x＋1，聯(lián)立化為：(1＋4k)x2＋8k2x＝0，
解得xC＝，∴yC＝.即C.
直線AD的方程為y＝k1(x－2)，聯(lián)立化為(1＋4k)x2－16kx＋16k－4＝0，
∴2xD＝，解得xD＝，yD＝，可得D，
∴kCD＝＝－，化為：1－16kk＋2k1－2k2＋8k1k－8k2k＝0.
∴(4k1k2＋4k1－4k2＋1)＝0，
∴k1k2＝.
圓錐曲線中的最值問題
【例10】 如圖10－11，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C：＋＝1
49、(a＞b＞0)的左，右頂點(diǎn)分別為A1(－，0)，A2(，0)，若直線3x＋4y＋5＝0上有且僅有一個(gè)點(diǎn)M，使得∠F1MF2＝90°.
圖10－11
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)設(shè)圓T的圓心T(0，t)在x軸上方，且圓T經(jīng)過橢圓C兩焦點(diǎn)．點(diǎn)P，Q分別為橢圓C和圓T上的一動點(diǎn)．若·＝0時(shí)，PQ取得最大值為，求實(shí)數(shù)t的值．
【導(dǎo)學(xué)號：56394074】
[解] (1)因?yàn)闄E圓C：＋＝1(a＞b＞0)左，右頂點(diǎn)分別為A1(－，0)，A2(，0)，所以a2＝2.
又因?yàn)橹本€3x＋4y＋5＝0上恰存在一個(gè)點(diǎn)M，使得∠F1MF2＝90°，
即以原點(diǎn)O為圓心，半徑為r＝OF1＝c作圓
50、O，使得圓O與直線3x＋4y＋5＝0相切即可(圖略)．
又圓心O到直線3x＋4y＋5＝0的距離d＝＝1，
所以c＝1，b2＝a2－c2＝1，所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋y2＝1；
(2)設(shè)P(x0，y0)，因?yàn)辄c(diǎn)P在橢圓上，所以有＋y＝1，因?yàn)閳AT的圓心T(0，t)在x軸上方，且圓T經(jīng)過橢圓C兩焦點(diǎn)，所以圓T的方程為x2＋(y－t)2＝t2＋1(t＞0)，由·＝0得PQ2＝PT2－QT2＝x＋(y0－t)2－(t2＋1)，又＋y＝1，所以PQ2＝－(y0＋t)2＋t2＋1，
①當(dāng)－t≤－1即t≥1時(shí)，當(dāng)y0＝－1時(shí)，PQ取得最大值，因?yàn)镻Q的最大值為，所以＝，解得t＝，又t≥1，故舍去．
51、
②當(dāng)－t＞－1即0＜t＜1時(shí)，當(dāng)y0＝－t時(shí)，PQ取最大值，
所以＝，解得t2＝，又0＜t＜1，所以t＝.
綜上，當(dāng)t＝時(shí)，PQ的最大值為.
[規(guī)律方法] (1)圓錐曲線中的最值問題類型較多，解法靈活多變，但總體上主要有兩種方法：一是利用幾何方法，即通過利用曲線的定義、幾何性質(zhì)以及平面幾何中的定理、性質(zhì)等進(jìn)行求解；二是利用代數(shù)方法，即把要求最值的幾何量或代數(shù)表達(dá)式表示為某個(gè)(些)參數(shù)的函數(shù)(解析式)，然后利用函數(shù)方法、不等式方法等進(jìn)行求解．
(2)常見的幾何方法有：①直線外一定點(diǎn)P到直線上各點(diǎn)距離的最小值為該點(diǎn)P到直線的垂線段的長度；②圓C外一定點(diǎn)P到圓上各點(diǎn)距離的最大值為|PC|＋
52、R，最小值為|PC|－R(R為圓C半徑)；③過圓C內(nèi)一定點(diǎn)P的圓的最長的弦即為經(jīng)過P點(diǎn)的直徑，最短的弦為過P點(diǎn)且與經(jīng)過P點(diǎn)直徑垂直的弦；④圓錐曲線上本身存在最值問題，如a.橢圓上兩點(diǎn)間最大距離為2a(長軸長)；b.雙曲線上兩點(diǎn)間最小距離為2a(實(shí)軸長)；c.橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離的取值范圍為[a－c，a＋c]，a－c與a＋c分別表示橢圓焦點(diǎn)到橢圓上點(diǎn)的最小與最大距離；d.拋物線中頂點(diǎn)與拋物線的準(zhǔn)線距離最近．
(3)常用的代數(shù)方法有：a.利用二次函數(shù)求最值；b.通過三角換元，利用正、余弦函數(shù)的有界性求最值；c.利用基本不等式求最值；d.利用導(dǎo)數(shù)法求最值；e.利用函數(shù)單調(diào)性求最值．
[舉一反三
53、]
已知圓M：x2＋(y－4)2＝4，點(diǎn)P是直線l：x－2y＝0上的一動點(diǎn)，過點(diǎn)P作圓M的切線PA、PB，切點(diǎn)為A、B.
(1)當(dāng)切線PA的長度為2時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
(2)若△PAM的外接圓為圓N，試問：當(dāng)P運(yùn)動時(shí)，圓N是否過定點(diǎn)？若存在，求出所有的定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說明理由；
(3)求線段AB長度的最小值．
[解] (1)由題可知，圓M的半徑r＝2，設(shè)P(2b，b)，
因?yàn)镻A是圓M的一條切線，所以∠MAP＝90°，
所以MP＝＝＝4，解得b＝0或b＝，
所以P(0,0)或P.
(2)設(shè)P(2b，b)，因?yàn)椤螹AP＝90°，所以經(jīng)過A、P、M三點(diǎn)的圓N以MP為直徑，
54、
其方程為：(x－b)2＋2＝，
即(2x＋y－4)b－(x2＋y2－4y)＝0，
由
解得或
所以圓過定點(diǎn)(0,4)，.
(3)因?yàn)閳AN方程為(x－b)2＋2＝，
即x2＋y2－2bx－(b＋4)y＋4b＝0.
圓M：x2＋(y－4)2＝4，即x2＋y2－8y＋12＝0.
②－①得圓M方程與圓N相交弦AB所在直線方程為
2bx＋(b－4)y＋12－4b＝0，
點(diǎn)M到直線AB的距離d＝.
相交弦長即：AB＝2＝4＝4，b＝時(shí)，AB有最小值.
[第3步▕ 高考易錯明辨析]
1．忽視直線斜率不存在的情況
已知圓C的方程為x2＋y2＝4，直線l過點(diǎn)P(1,2)，且與圓
55、C交于A、B兩點(diǎn)．若|AB|＝2，求直線l的方程．
[錯解] 方程可設(shè)為y－2＝k(x－1)，又設(shè)圓心到直線l的距離為d.
由d2＝r2－2，得k＝，
代入y－2＝k(x－1)，得y－2＝(x－1)，
即3x－4y＋5＝0.所以直線l的方程為3x－4y＋5＝0.
[錯解分析] 在利用直線的點(diǎn)斜式與斜截式解題時(shí)，要防止由于“無斜率”而漏解，本題就是忽略斜率不存在導(dǎo)致圓的切線方程只有一條．
[正解] (1)當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，畫出圖象可知，直線x＝1也符合題意．
(2)當(dāng)直線l的斜率k存在時(shí)，其方程可設(shè)為y－2＝k(x－1)，又設(shè)圓心到直線l的距離為d.
由d2＝r2－2，得k
56、＝，代入y－2＝k(x－1)，得y－2＝(x－1)，
即3x－4y＋5＝0.所以直線l的方程為3x－4y＋5＝0和x＝1.
2．忽略對直線與圓錐曲線位置關(guān)系的判斷的情況
已知雙曲線x2－＝1，問過點(diǎn)A(1,1)能否作直線l，使l與雙曲線交于P、Q兩點(diǎn)，并且A為線段PQ的中點(diǎn)？若存在，求出直線l的方程，若不存在，說明理由．
[錯解] 設(shè)符合題意的直線l存在，并設(shè)P(x1，y1)、Q(x2，y2)，
則
①－②得(x1－x2)(x1＋x2)＝(y1－y2)(y1＋y2)，③
因?yàn)锳(1,1)為線段PQ的中點(diǎn)，所以
將④⑤代入③得x1－x2＝(y1－y2)，若x1≠x2，則直線l的斜
57、率k＝＝2，
所以符合題設(shè)條件的直線l存在，其方程為2x－y－1＝0.
[錯解分析] 由于點(diǎn)A(1,1)在雙曲線外，過點(diǎn)A(1,1)的直線，不一定都與雙曲線相交，故應(yīng)對所求直線進(jìn)行檢驗(yàn)，上述錯解沒有做到這一點(diǎn)，故是錯誤的．
[正解] 設(shè)符合題意的直線l存在，并設(shè)P(x1，y1)、Q(x2，y2)，則
①－②得(x1－x2)(x1＋x2)＝(y1－y2)(y1＋y2)，③
因?yàn)锳(1,1)為線段PQ的中點(diǎn)，所以
將④⑤代入③得x1－x2＝(y1－y2)，
若x1≠x2，則直線l的斜率k＝＝2，
再由得2x2－4x＋3＝0，
根據(jù)Δ＝－8＜0，說明所求直線不存在．
3．忽略對定
58、義的理解的情況
已知圓O1：x2＋y2＝1，圓O2：x2＋y2－10x＋9＝0都內(nèi)切于動圓，試求動圓圓心的軌跡方程．
[錯解] 圓O2：x2＋y2－10x＋9＝0，即為(x－5)2＋y2＝16，
所以圓O2的圓心為O2(5,0)，半徑r2＝4，而圓O1：x2＋y2＝1的圓心為O1(0,0)，半徑r1＝1，
設(shè)所求動圓圓心M的坐標(biāo)為(x，y)，半徑為r，則r＝|O1M|＋1且r＝|O2M|＋4，所以|O1M|－|O2M|＝3，
即－＝3，化簡得16x2－80x－9y2＋64＝0，
即－＝1為所求動圓圓心的軌跡方程．
[錯解分析] 上述解法將|O1M|－|O2M|＝3看成||O1M|
59、－|O2M||＝3，誤認(rèn)為動圓圓心的軌跡為雙曲線，這是雙曲線的概念不清所致．
[正解] 圓O2：x2＋y2－10x＋9＝0，即為(x－5)2＋y2＝16，
所以圓O2的圓心為O2(5,0)，半徑r2＝4，而圓O1：x2＋y2＝1的圓心為O1(0,0)，半徑r1＝1，
設(shè)所求動圓圓心M的坐標(biāo)為(x，y)，半徑為r，則r＝|O1M|＋1且r＝|O2M|＋4，所以|O1M|－|O2M|＝3，即－＝3，化簡得16x2－80x－9y2＋64＝0，又因?yàn)閨O1M|－|O2M|＝3，表示動點(diǎn)M到定點(diǎn)O1及O2的距離差為常數(shù)3.
且|O1O2|＝5＞3，點(diǎn)M的軌跡為雙曲線右支，方程為－＝1(x≥4)．
60、
4．忽略直線與雙曲線的漸進(jìn)線平行只有一個(gè)交點(diǎn)
過點(diǎn)(0,3)作直線l，如果它與雙曲線－＝1只有一個(gè)公共點(diǎn)，則直線l的條數(shù)是________．
[錯解] 2
[錯解分析] 在探討直線與雙曲線的位置關(guān)系時(shí)，可以考慮直線方程與雙曲線方程的解的情況，但容易忽視直線與漸進(jìn)線平行的特殊情況，這時(shí)構(gòu)成的方程是一次的．
直線與雙曲線的位置關(guān)系分為：相交、相離、相切三種．其判定方法有兩種：一是將直線方程與雙曲線的方程聯(lián)立消去一個(gè)未知數(shù)，得到一個(gè)一元二次方程ax2＋bx＋c＝0.
若a≠0，Δ＞0，直線與雙曲線相交，有兩個(gè)交點(diǎn)；若a＝0，直線與漸進(jìn)線平行，有一個(gè)交點(diǎn)．
若a≠0，Δ＝0，直線與雙曲
61、線相切，有且只有一個(gè)公共點(diǎn)．
若a≠0，Δ＜0，直線與雙曲線相離，沒有公共點(diǎn)．
二是可以利用數(shù)形結(jié)合的思想．
[正解] 用數(shù)形結(jié)合的方法：過點(diǎn)(0,3)與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線分兩類．一類是平行于漸進(jìn)線的，有兩條；一類是與雙曲線相切的有兩條．如圖所示：
故填4.
———————專家預(yù)測·鞏固提升———————
(對應(yīng)學(xué)生用書第53頁)
1．(改編題)已知拋物線y2＝4x與雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)有相同的焦點(diǎn)F，點(diǎn)A，B是兩曲線的交點(diǎn)，若(＋)·＝0，則雙曲線的離心率為________．
＋1 [因?yàn)閽佄锞€y2＝4x與雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)有相同的焦點(diǎn)F，點(diǎn)
62、A，B是兩曲線的交點(diǎn)，且(＋)·＝0，由二次曲線對稱性可得，AF⊥x軸，所以F(1,0)，AF＝2，A(1,2)，則
解得a＝－1，所以e＝＝＝＋1.]
2．(改編題)已知拋物線y2＝2px(p＞0)，過其焦點(diǎn)且傾斜角為135°的直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)，若線段AB的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為6，則該拋物線的準(zhǔn)線方程為________．
x＝－2 [因?yàn)橹本€傾斜角為135°，故它的斜率為－1，又∵焦點(diǎn)為，
∴設(shè)直線為y＝－，
∵直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)，∴∴消參得4x2－12px＋p2＝0，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，∴x1＋x2＝3p，
∵線段AB的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為6，
∴＝6，∴
63、p＝4，
∴拋物線的準(zhǔn)線方程為x＝－2.]
3．(改編題)已知橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)的一個(gè)焦點(diǎn)是(1,0)，兩個(gè)焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)端點(diǎn)構(gòu)成等邊三角形．
(1)求橢圓C的方程；
(2)如圖10－12，動直線l：y＝kx＋m與橢圓C有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，點(diǎn)M，N是直線l上的兩點(diǎn)，且F1M⊥l，F(xiàn)2N⊥l.求四邊形F1MNF2面積S的最大值．
【導(dǎo)學(xué)號：56394075】
圖10－12
[解] (1)橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)的一個(gè)焦點(diǎn)是(1,0)，所以半焦距c＝1，又因?yàn)闄E圓兩個(gè)焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)端點(diǎn)構(gòu)成等邊三角形，所以＝，解得a＝2，b＝，所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1； 4分
64、
(2)將直線l的方程y＝kx＋m代入橢圓C的方程3x2＋4y2＝12中，得(4k2＋3)x2＋8kmx＋4m2－12＝0，由直線l與橢圓C僅有一個(gè)公共點(diǎn)知，
Δ＝64k2m2－4(4k2＋3)(4m2－12)＝0，化簡得：m2＝4k2＋3. 6分
設(shè)d1＝|F1M|＝，d2＝|F2N|＝，
法一：當(dāng)k≠0時(shí)，設(shè)直線l的傾斜角為θ，則|d1－d2|＝|MN|×|tan θ|，
∴|MN|＝，S＝(d1＋d2)＝＝＝＝，
8分
∵m2＝4k2＋3，∴當(dāng)k≠0時(shí)，|m|＞，|m|＋＞＋＝，S＜2.
當(dāng)k＝0時(shí)，四邊形F1MNF2是矩形，S＝2.
所以四邊形F1MNF2面積S的最
65、大值為2. 12分
法二：∵d＋d＝2＋2＝＝，
d1d2＝·＝＝＝3.
∴|MN|＝
＝＝. 8分
四邊形F1MNF2的面積
S＝|MN|(d1＋d2)＝(d1＋d2)，
S2＝(d＋d＋2d1d2)＝＝16－42≤12.
當(dāng)且僅當(dāng)k＝0時(shí)，S2＝12，S＝2，故Smax＝2.
所以四邊形F1MNF2的面積S的最大值為2. 12分
4．(改編題)設(shè)定圓M：(x＋)2＋y2＝16，動圓N過點(diǎn)F(，0)且與圓M相切，記動圓N圓心N的軌跡為N.過曲線N上任一點(diǎn)P作PQ⊥x軸，垂足為Q，點(diǎn)C在QP的延長線上，且|QP|＝|PC|.
(1)求動圓N圓心N的軌跡N與動點(diǎn)C的軌跡E的
66、方程；
(2)設(shè)橢圓的左右頂點(diǎn)分別為A，B，直線AC(C點(diǎn)不同于A，B)與直線x＝2交于點(diǎn)R，D為線段RB的中點(diǎn)．試判斷直線CD與曲線E的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論．
[解] (1)∵點(diǎn)F(，0)在圓M：(x＋)2＋y2＝16內(nèi)，∴圓N內(nèi)切于圓M，
∴|NM|＋|NF|＝4＞|FM|，
∴點(diǎn)N的軌跡N的方程為＋y2＝1.
設(shè)C(x，y)，P(x0，y0)，由題意得
即又＋y＝1，
代入得＋2＝1，
即x2＋y2＝4.
即動點(diǎn)C的軌跡E的方程為x2＋y2＝4.6分
(2)設(shè)C(m，n)，點(diǎn)R的坐標(biāo)為(2，t)，
∵A，C，R三點(diǎn)共線，∴∥，而＝(m＋2，n)，＝(4，t)，則4n＝t(m＋2)，∴t＝，8分
∴點(diǎn)R的坐標(biāo)為，點(diǎn)D的坐標(biāo)為，
∴直線CD的斜率為k＝＝＝，而m2＋n2＝4，
∴m2－4＝－n2，∴k＝＝－，10分
∴直線CD的方程為y－n＝－(x－m)，化簡得mx＋ny－4＝0，
∴圓心O到直線CD的距離d＝＝＝2＝r，所以直線CD與圓O相切.
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（江蘇專版）2018年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第1部分 知識專題突破 專題10 平面解析幾何學(xué)案
