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陜西省周至縣高中數(shù)學(xué) 第一章 推理與證明 1.4 數(shù)學(xué)歸納法(1)教案 北師大版選修2-2

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1、陜西省周至縣高中數(shù)學(xué) 第一章 推理與證明 1.4 數(shù)學(xué)歸納法(1)教案 北師大版選修2-2 【教學(xué)目標(biāo)】 知識(shí)與技能: (1)初步理解數(shù)學(xué)歸納法的原理; (2)掌握用數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)學(xué)命題的兩個(gè)步驟; (3)會(huì)用數(shù)學(xué)證明一些與正整數(shù)相關(guān)的簡(jiǎn)單恒等式。 過程與方法 親歷知識(shí)的構(gòu)建過程----發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、解決問題;體會(huì)類比的數(shù)學(xué)思想;感受無限的問題用有限的步驟來解決的思想方法。 情感目標(biāo) 體會(huì)數(shù)學(xué)源于實(shí)際,高于實(shí)際的科學(xué)價(jià)值與文化價(jià)值;培養(yǎng)學(xué)生大膽猜想,小心求證的思維素質(zhì)和科學(xué)精神;通過發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、解決問題、合作交流等環(huán)

2、節(jié)培養(yǎng)數(shù)學(xué)交流能力和合作精神。 【教學(xué)重點(diǎn)】 借助具體實(shí)例了解數(shù)學(xué)歸納法的基本思想,掌握它的基本步驟,運(yùn)用它證明一些與正整數(shù)有關(guān)的簡(jiǎn)單恒等式,特別要注意遞推步驟中歸納假設(shè)的運(yùn)用。 【教學(xué)難點(diǎn)】 (1)理解數(shù)學(xué)歸納法整體的嚴(yán)密性和有效性。 (2)遞推步驟中如何利用歸納假設(shè),即如何利用假設(shè)證明當(dāng)n=k+1時(shí)結(jié)論正確。 【教學(xué)過程設(shè)計(jì)】 教學(xué)環(huán) 節(jié) 教學(xué)內(nèi)容 設(shè)計(jì)意圖 提出問題,激發(fā)興趣 情境1如何證明盒中的球都是黃色的?(逐一驗(yàn)證) 情境2 數(shù)列{an},已知,猜想其通項(xiàng)公式. 情境2中的猜想無法逐一驗(yàn)證,則提出問題:如何證明這類

3、有關(guān)正整數(shù)的命題呢? 從提出問題,到分析問題、解決問題,感受數(shù)學(xué)自然發(fā)生、發(fā)展的過程。從實(shí)例中感受數(shù)學(xué)歸納法產(chǎn)生的必要性,我們需要將無限步驟的問題轉(zhuǎn)化為有限步驟來解決。 創(chuàng)設(shè)情境,啟動(dòng)思維 1. 多媒體演示一排自行車的圖片和多米諾骨牌游戲的視頻。 引導(dǎo)學(xué)生探討多米諾骨牌全部依次倒下的條件: (1)第一塊要倒下; (2)當(dāng)前面一塊倒下時(shí),后面一塊必須被第一塊砸倒; 強(qiáng)調(diào)條件(2)的作用:是一種遞推關(guān)系(第k塊倒下,使第k+1塊倒下)。 播放視頻活躍課堂氛圍,激發(fā)學(xué)生的興趣。 通過對(duì)生活實(shí)例的分析,使抽象的原理寓于簡(jiǎn)單的事例當(dāng)中,通俗易懂,為深刻理解數(shù)學(xué)歸

4、納法原理打好基礎(chǔ)。 通過探討骨牌全部倒下的條件,為類比得出數(shù)學(xué)歸納法做鋪墊 。 培養(yǎng)學(xué)生合作交流和歸納抽象的能力。 類比聯(lián)想,形成概念 (引導(dǎo)學(xué)生分組討論后,由小組代表歸納) 證明一個(gè)與正整數(shù)有關(guān)的命題關(guān)鍵步驟如下 (1) 證明當(dāng)n取第一個(gè)值時(shí)結(jié)論正確;(歸納奠基) (2) 假設(shè)當(dāng)n=k (k∈,k≥) 時(shí)結(jié)論正確, 證明當(dāng)n=k+1時(shí)結(jié)論也正確.(歸納遞推) 完成這兩個(gè)步驟后, 就可以斷定命題對(duì)從開始的所有正整數(shù)n都正確. 這種證明方法叫做數(shù)學(xué)歸納法. 辯證說理,理解升華 思考:為什么這兩個(gè)步驟可以證明原命題對(duì)所有正整數(shù)n成立?

5、讓學(xué)生對(duì)以上邏輯推理進(jìn)行充分置疑師生共同探討數(shù)學(xué)歸納法的合理性。 師生共同探討數(shù)學(xué)歸納法的原理,理解他的嚴(yán)密性、合理性。從而由感性認(rèn)識(shí)上升為理性認(rèn)識(shí)。 實(shí)例分析,具體應(yīng)用 試用數(shù)學(xué)歸納法證明問題2的猜想。 體現(xiàn)“歸納---猜想---證明”的整個(gè)過程,教師可通過投影,糾正學(xué)生在證明過程中暴露出來的問題,最后板演證明過程,幫助學(xué)生規(guī)范步驟。 【慧眼識(shí)對(duì)錯(cuò)】 1.下面的證明過程有沒錯(cuò)? (缺少歸納奠基) (3)分析下列證明的過程是否正確? 用數(shù)學(xué)歸納法證明: 其中第二步的過程如下:設(shè)n=k時(shí)等式成立,即 則當(dāng)n=k+1時(shí),有 即n=k+1時(shí)等式

6、也成立。 (沒用歸納假設(shè)) 如果缺少歸納奠基或歸納遞推,那么即使是錯(cuò)誤的結(jié)論也能驗(yàn)證。讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)歸納法的兩個(gè)步驟缺一不可。 學(xué)生易錯(cuò)點(diǎn)和理解上的難點(diǎn),通過此題與多米諾骨牌的實(shí)例進(jìn)行類比,讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到:步驟(2)中必須用到歸納假設(shè)。   反饋練習(xí),深化認(rèn)識(shí) 練習(xí)用數(shù)學(xué)歸納法證明 證明:(1)當(dāng)n=1時(shí),左邊, 右邊,等式成立。 (2) 假設(shè)當(dāng)n=k時(shí),等式成立, 即 則當(dāng)n=k+1時(shí), 左邊= =右邊 即當(dāng)n=k+1時(shí)等式也成立。 由(1)、(2)可知,n∈時(shí),等式成立。 學(xué)生自主練習(xí),個(gè)別同學(xué)板演 ,對(duì)出現(xiàn)的問題暢所欲言,最

7、后由教師總結(jié)反饋,充分暴露學(xué)生的思維盲區(qū),檢驗(yàn)本節(jié)課難點(diǎn)是否突破。 總結(jié)歸納,提煉思想 學(xué)完本節(jié)課,你有哪些收獲? 知識(shí)上:數(shù)學(xué)歸納法:兩個(gè)步驟、一個(gè)結(jié)論; 注意:遞推基礎(chǔ)不可少,    歸納假設(shè)要用到,    結(jié)論寫明莫忘掉。 方法上:類比,歸納---猜想---證明 其他:數(shù)學(xué)源于生活;嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)精神…… 鍛煉學(xué)生歸納總結(jié)的能力,鞏固學(xué)習(xí)效果,加深理解和記憶,激發(fā)成就感,體味探索的艱辛和成功的快樂。 布置作業(yè),及時(shí)檢測(cè) 選做:平面內(nèi)有n條直線,其中任意兩條不平行,任意三條不共點(diǎn),設(shè)f(n)為n條直線的交點(diǎn)個(gè)數(shù),求證: 鞏固本節(jié)課的學(xué)習(xí)效果,讓不同層次的學(xué)生都學(xué)有所獲,為下節(jié)課的內(nèi)容作鋪墊。 附:板書設(shè)計(jì) §4數(shù)學(xué)歸納法 引例1 數(shù)學(xué)歸納法 練習(xí):(學(xué)生展示) 小結(jié)

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