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1、三年級數學 奧數講座 數陣圖（二） 　　上一講我們講了僅有一個“重疊數”的輻射型數陣圖的填數問題，這一講我們講有多個“重疊數”的封閉型數陣圖。 例1 將1～8這八個數分別填入右圖的○中，使兩個大圓上的五個數之和都等于21。 分析與解：中間兩個數是重疊數，重疊次數都是1次，所以兩個重疊數之和為 　　21×2-(1+2+…+8)=6。 　　在已知的八個數中，兩個數之和為6的只有1與5，2與4。每個大圓上另外三個數之和為21-6=15。 　　如果兩個重疊數為1與5，那么剩下的六個數2，3，4，6，7，8平分為兩組，每組三數之和為15的只有 　　2+6+7=15和3+4+8=15，

2、 　　故有左下圖的填法。 　 　　如果兩個重疊數為2與4，那么同理可得上頁右下圖的填法。 例2 將1～6這六個自然數分別填入右圖的六個○內，使得三角形每條邊上的三個數之和都等于11。 分析與解：本題有三個重疊數，即三角形三個頂點○內的數都是重疊數，并且各重疊一次。所以三個重疊數之和等于 　　11×3-(1+2+…+6)=12。 　　1～6中三個數之和等于12的有1，5，6；2，4，6；3，4，5。 　　如果三個重疊數是1，5，6，那么根據每條邊上的三個數之和等于11，可得左下圖的填法。容易發(fā)現，所填數不是1～6，不合題意。 　　同理，三個重疊數也不能是3，4，5。 　

3、　經試驗，當重疊數是2，4，6時，可以得到符合題意的填法(見右上圖)。 例3 將1～6這六個自然數分別填入右圖的六個○中，使得三角形每條邊上的三個數之和都相等。 分析與解：與例2不同的是不知道每邊的三數之和等于幾。因為三個重疊數都重疊了一次，由(1+2+…+6)+重疊數之和=每邊三數之和×3，得到每邊的三數之和等于 　　[(1+2+…+6)+重疊數之和]÷3 　　=(21+重疊數之和)÷3 　　=7+重疊數之和÷3。 　　因為每邊的三數之和是整數，所以重疊數之和應是3的倍數。考慮到重疊數是1～6中的數，所以三個重疊數之和只能是6，9，12或15，對應的每條邊上的三數之和就是9，

4、10，11或12。 　　與例2的方法類似，可得下圖的四種填法： 　　每邊三數之和=9 每邊三數之和=10 每邊三數之和=11 每邊三數之和=12 例4將2～9這八個數分別填入右圖的○里，使每條邊上的三個數之和都等于18。 分析與解：四個角上的數是重疊數，重疊次數都是1次。所以四個重疊數之和等于 　　18×4-(2+3+…+9)=28。 　　而在已知的八個數中，四數之和為28的只有： 　　4+7+8+9=28或5+6+8+9=28。 　　又由于18-9-8=1，1不是已知的八個數之一，所以，8和9只能填對角處。由此得到左下圖所示的重疊數的兩種填法： 　　“試填”的結

5、果，只有右上圖的填法符合題意。 　　以上例題都是封閉型數陣圖。 　　一般地，在m邊形中，每條邊上有n個數的形如下圖的圖形稱為封閉型m-n圖。 　　與“輻射型m-n圖只有一個重疊數，重疊次數是m-1”不同的是，封閉型m-n圖有m個重疊數，重疊次數都是1次。 　　對于封閉型數陣圖，因為重疊數只重疊一次，所以 　　已知各數之和+重疊數之和 　　=每邊各數之和×邊數。 　　由這個關系式，就可以分析解決封閉型數陣圖的問題。 　　前面我們講了輻射型數陣圖和封閉型數陣圖，雖然大多數數陣問題要比它們復雜些，但只要緊緊抓住“重疊數”進行分析，就能解決很多數陣問題。 例5把1～7分別填入左下

6、圖中的七個空塊里，使每個圓圈里的四個數之和都等于13。 分析與解：這道題的“重疊數”很多。有重疊2次的(中心數，記為a)；有重疊1次的(三個數，分別記為b，c，d)。根據題意應有 　　(1+2+…+7)+a+a+b+c+d=13×3， 　　即 a+a+b+c+d=11。 　　因為1+2+3+4=10，11-10=1，所以只有a=1，b，c，d分別為2，3，4才符合題意，填法見右上圖。 ? 練習 　　1.把1～8填入下頁左上圖的八個○里，使每個圓圈上的五個數之和都等于20。 　　2.把1～6這六個數填入右上圖的○里，使每個圓圈上的四個數之和都相等。 　　3.將1～

7、8填入左下圖的八個○中，使得每條邊上的三個數之和都等于15。 　　4.將1～8填入右上圖的八個○中，使得每條直線上的四個數之和與每個圓周上的四個數之和都相等。 　　5.將1～7填入右圖的七個○，使得每條直線上的各數之和都相等。 　　6.把1，3，5，7，9，11，13分別填入左圖中的七個空塊中，使得每個圓內的四個數之和都等于34。 附送： 2019-2020年三年級數學 奧數講座 文字算式謎 專題簡析： 一般說來，算式都是由一些數字和運算符號組成的，可有些算式卻由漢字或英文字母組成，我們稱它為文字算式。 文字算式是一種數字謎，解答時要注意在同一道題中，相同的

8、文字或英文字母應表示相同的數字，不同的文字或英文字母應表示不同的數字。 通過本周的學習，我們可以發(fā)現解文字算式謎與添運算符號、填豎式的步驟與方法基本是一樣的，都要仔細觀察算式的特征，認真分析，正確選擇解題的突破口，最后通過嘗試找尋正確答案。 例題1 下式中，每個字各代表一個不同的數字，其中“心”代表9，請問其他漢字分別代表哪個數字？ 思路導航：乘數個位與被乘數個位相乘，“心”ד心”=9×9=81，所以“少”=1，乘積就是111111111。根據積，用乘數“心”去逐一乘被乘數，9ד中”的積個位數應該是3，所以“中”=7，往前一位進7；9ד樂”的積的個位數應是4，

9、“樂”=6，往前一位進6；9ד俱”的積個位數應是5，“俱”=5，往前一位進5；9ד球”積個位數字應是6，“球”=4，往前一位進4；9ד足”的積個位數是7，所以“足”=3，往前一位進3；9ד年”的積的個位數是8，“年”=2，往前一位進2；9×1＋2=11，即： 12345679×9=111111111 練 習 一 1．下面每個字代表不同的數字，這些漢字分別代表幾？ 2．如果A、B滿足下面算式，它們各代表幾？ 3．下面各個漢字分別代表幾？ 例題2 下面不同的漢字代表不同的數字，相同的漢字代表相同的數字。它們各表示幾？ 思

10、路導航：由積的個位是2，乘數是3，可推出被乘數個位上“學”是4，4×3=12，在積的個位上寫2，向十位進1；因為積的十位上“學”為4，所以“數”×3應為3，推出“數”為1；因為“數”為1，百位上“庚”×3末位應為1，因而“庚”為7，千位上5×3＋2=17，在千位上寫7，向萬位進1，因而“羅”為5，萬位上8×3＋1=25，在千位上寫5，向前一位進2，因而“華”為8。 練 習 二 下面各個豎式中的漢字分別代表幾？ 例題3 在下面的豎式中，a、b、c、d各代表什么數字？ 思路導航：仔細審題發(fā)現千位a×9的結果是一位數，于是就可以確定a只能是1。接著思

11、考個位d×9=1是不可能的，所以應該是d×9等于幾十一，于是確定d=9。或者想千位上1×9=9，所以d一定是9。最后確定剩下的c為8。只有8×9=72，72＋8=80，積中才會有0。 練 習 三 1．下面豎式中的字母各代表幾？ 2． A＋B＋C=（ ） 例題4 下面算式里，相同的漢字代表同一個數字，不同的漢字代表不同的數字。如果以下3個等式成立： 小小×朋朋=友小小友 愛愛×科科=愛學學愛 朋朋×朋朋=小小學學 那么，小=（ ） 朋=（ ） 友=（ ） 愛=（

12、 ） 科=（ ） 學=（ ） 思路導航：通過觀察，我們發(fā)現第三個等式最特殊，它是相同的兩位數相乘得到千位和百位、十位和個位分別相同的積，逐步試驗，11×11，22×22得不到四位數，然后從33×33試，我們發(fā)現88×88=7744，這樣可以得出：朋=8，小=7，學=4。將朋=8、小=7代入第一個算式中得出77×88=6776，確定友=6。這樣，0——9中，只剩下9，5，3，2，1，0這幾個數字，其中0、1不考慮，試后發(fā)現55×99=5445，所以愛=5，科=9。 練 習 四 例題5 下面算式中四個字分別代表四個數，你能求出來嗎？

13、 新=（ ） 年=（ ） 快=（ ） 樂=（ ） 思路導航：從千位上看，千位上得數是2，假設新=2，那么百位上，“新＋年”不可能等于0，因而“新”不可能是2，只能是“新=1”。從百位上看，新＋年＋進來的數=10，我們可判斷“年”=7或8。而“新＋年=8”，即使個位進來2，十位上也不可能向百位進2，因而“年”=8，十位上“新＋年”=1＋8=9，而個位上已向十位進了1，因而“快”=0，最后從“新＋年＋快＋樂”=11中可推出“樂”=1。即： 新=（ 1 ） 年=（ 8 ） 快=（ 0 ） 樂=（ 1 ） 練 習 五 1．下面算式中相同的漢字代表相同的數字，不同的漢字代表不同的數字，請問這些漢字各代表幾？ 2．下面各字母分別代表幾？ 3．下面豎式中每個字母代表不同的數字，想想下面的算式怎樣寫？