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1、四川省成都市高中數(shù)學(xué) 第一章 簡易邏輯綜合檢測 新人教A版選修1 -1 一、選擇題 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1.命題“若x2<4,則-22或x<-2,則x2>4 D.若x≥2或x≤-2,則x2≥4 【解析】命題“若p,則q”的逆否命題為“若?q,則?p”.故選D. 【答案】D 2.設(shè)p:log2x<0,q:2x≥2,則p是?q的(　　). A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件 【解析】p:log

2、2x<0,即0β”是“sin α>sin β”成立的(　　 ). A.充分不必要條件 B.必要不充分條件　 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件 【解析】取α=180°,β=30°,則α>β,但sin 30°>sin 180°,所以充分性不成立;反過來,取α=30°,β=180°,可以得出必要性也不成立.故選D. 【答案】D 4.下列結(jié)論正確的是(　　). A.若向量a∥b,則存在唯一實數(shù)λ使a=λb B.已知向量a,b為非零向量,則“a,b的夾角為鈍角”的充

3、要條件是“a·b<0” C.“若θ=,則cos θ=”的否命題為“若θ≠,則cos θ≠” D.若命題p:?x∈R,x2-x+1<0,則?p:?x∈R,x2-x+1>0 【解析】選項A中,若b為零向量,a為非零向量,則不存在實數(shù)λ,使a=λb;選項B中,當(dāng)a,b的夾角為180°時,也有a·b<0;選項D中,?p應(yīng)為“?x∈R,x2-x+1≥0”.故選C. 【答案】C 5.已知命題p:?x∈R,2x<3x;命題q:?x∈R,x3=1-x2,則下列命題中為真命題的是(　　). A.p∧q B.(?p)∧q C.p∧(?q) D.(?p)∧(?q) 【解析】因為當(dāng)x=-1時,2-1>

4、3-1,所以命題p:?x∈R,2x<3x為假命題,則?p為真命題. 令f(x)=x3+x2-1,因為f(0)=-1<0,f(1)=1>0,所以函數(shù)f(x)=x3+x2-1在(0,1)上存在零點,即命題q:?x∈R,x3=1-x2為真命題. 所以(?p)∧q為真命題. 故選B. 【答案】B 6.已知命題p:若不等式x2+x+m>0恒成立,則m>;命題q:在△ABC中,“A>B”是“sin A>sin B”的充要條件,則(　　). A.p假q真 B.“p∧q”為真 C.“p∨q”為假 D.?p假?q真 【解析】易判斷出命題p為真命題,命題q為真命題,所以?p為假命題,?q為假命題,

5、結(jié)合各選項知B正確. 【答案】B 7.給定兩個命題p,q,若?p是?q的充分不必要條件,則q是p的(　　). A.充要條件 B.必要不充分條件 C.充分不必要條件 D.既不充分也不必要條件 【解析】因為?p是?q的充分不必要條件,所以?p??q,?q?/ ?p,所以q?p,p?/ q,所以q是p的充分不必要條件. 【答案】C 8.下列有關(guān)命題的敘述,錯誤的個數(shù)為(　　). ①若p∨q為真命題,則p∧q為真命題; ②“x>5”是“x2-4x-5>0”的充分不必要條件; ③若命題p:?x0∈R,使得+x0-1<0,則?p:?x∈R,使得x2+x-1≥0; ④命題“若x2-3x

6、+2=0,則x=1或x=2”的逆否命題為“若x≠1或x≠2,則x2-3x+2≠0”. A.1 B.2 C.3 D.4 【解析】若p∨q為真命題,則p,q中至少有一個為真,所以p∧q不一定為真,所以①錯誤.由x2-4x-5>0得x>5或x<-1,所以“x>5”是“x2-4x-5>0”的充分不必要條件,所以②正確.由特稱命題的否定是全稱命題知③正確.“若x2-3x+2=0,則x=1或x=2”的逆否命題為“若x≠1且x≠2,則x2-3x+2≠0”,故④錯誤. 【答案】B 9.下列說法正確的個數(shù)是(　　). ①若命題p:?x∈R,使得x2+x-1<0,則?p:?x∈R,均有x2+x-1>

7、0; ②若p是q的必要不充分條件,則?p是?q的充分不必要條件; ③命題“若x=y,則sin x=sin y”的逆否命題為真命題; ④“m=-1”是“直線l1:mx+(2m-1)y+1=0與直線l2:3x+my+3=0垂直”的充要條件. A.1 B.2　 C.3　 D.4 【解析】①若命題p:?x∈R,使得x2+x-1<0,則?p:?x∈R,均有x2+x-1≥0,因此①不正確. ②若p是q的必要不充分條件,則?p是?q的充分不必要條件,因此②正確. ③因為命題“若x=y,則sin x=sin y”是真命題,所以其逆否命題也為真命題,因此③正確. ④當(dāng)m=0時,直線l1:mx+(

8、2m-1)y+1=0與直線l2:3x+my+3=0垂直;當(dāng)m≠0時,若兩條直線垂直,則-×=-1,解得m=-1.所以“m=-1”是“直線l1:mx+(2m-1)y+1=0與直線l2:3x+my+3=0垂直”的充分不必要條件,因此④不正確. 綜上可得,正確說法的個數(shù)為2. 【答案】B 10.已知命題p:函數(shù)f(x)=x2-2mx+4在[2,+∞)上單調(diào)遞增;命題q:關(guān)于x的不等式mx2+2(m-2)x+1>0對任意的x∈R恒成立.若p∨q為真命題,p∧q為假命題,則實數(shù)m的取值范圍為(　　). A.(1,4) B.[-2,4] C.(-∞,1]∪(2,4) D.(-∞,1)∪(2,

9、4) 【解析】當(dāng)命題p為真命題時,∵函數(shù)f(x)圖象的對稱軸為直線x=m,∴m≤2. 當(dāng)命題q為真命題時,若m=0,則原不等式為-4x+1>0,該不等式的解集不為R,不符合條件; 若m≠0,則有解得11; ③“φ=+kπ(k∈Z)”是“

10、函數(shù)y=sin(2x+φ)為偶函數(shù)”的充要條件; ④命題p:?x0∈R,使sin x0+cos x0=;命題q:若sin α>sin β,則α>β,那么(?p)∧q為真命題. 其中正確的個數(shù)是(　　 ). A.4　　 B.3　　　　　 C.2　　　　 D.1 【解析】因為①中的原命題為真,所以其逆否命題也為真,所以①錯誤.由全稱命題的否定是特稱命題知②正確.當(dāng)函數(shù)為偶函數(shù)時,有φ=+kπ(k∈Z),所以其為充要條件,所以③正確.因為sin x+cos x=sin的最大值為<,所以命題p為假命題,?p為真命題,又因為三角函數(shù)在定義域內(nèi)不單調(diào),所以q為假命題,所以(?p)∧q為假命題,所

11、以④錯誤.所以正確的個數(shù)為2. 【答案】C 12.已知a>0,則x0滿足關(guān)于x的方程ax=b的充要條件是(　　). A.?x0∈R,ax2-bx≤a-bx0 B.?x0∈R,ax2-bx≥a-bx0 C.?x∈R,ax2-bx≤a-bx0 D.?x∈R,ax2-bx≥a-bx0 【解析】因為x0滿足方程ax=b,所以x0=. 而ax2-bx-=ax2-bx-a·+b·=ax2-bx+, 令h(x)=ax2-bx+,則其對應(yīng)的一元二次方程ax2-bx+=0的判別式Δ=b2-4·a·=0.又a>0,故對?x∈R,有h(x)≥0恒成立,即對?x∈R,ax2-bx≥a-bx0恒成立.

12、 【答案】D 二、填空題 13.已知命題p:函數(shù)f(x)=log0.5(3-x)的定義域為(-∞,3);命題q:若k<0,則函數(shù)h(x)=在(0,+∞)上是減函數(shù).給出下列結(jié)論:①命題“p∧q”為真;②命題“p∨(?q)”為假;③命題“p∨q”為假;④命題“(?p)∧(?q)”為假.其中錯誤的是　　 　.(填序號)? 【解析】由3-x>0,得x<3,故命題p為真,?p為假.又由k<0,得函數(shù)h(x)=在(0,+∞)上是增函數(shù),故命題q為假,?q為真.所以命題“p∧q”為假,命題“p∨(?q)”為真,命題“p∨q”為真,命題“(?p)∧(?q)”為假. 【答案】①②③ 14.已知p:

13、-40,若?p是?q的充分條件,則實數(shù)a的取值范圍是　　　　.? 【解析】p:a-4b+d”是“a>b且c>d”的必要不充分條件. 【解析】①當(dāng)x=1時,x2=x成立,反之,不一

14、定, 所以“x=1”是“x2=x”的充分不必要條件,所以①正確. ②函數(shù)y=cos2kx-sin2kx=cos 2kx,其最小正周期T==,當(dāng)k=1時,T=π;當(dāng)=π時,k=±1.所以②不正確. ③轉(zhuǎn)化為等價命題,即判斷“x2=1”是“x=1”的充分不必要條件,由于x2=1時,x=±1,不一定有x=1,所以充分條件不成立,所以③不正確. ④a+c>b+d不一定有a>b且c>d,但a>b且c>d時,必有a+c>b+d,所以④正確. 綜上可知,正確結(jié)論的序號為①④. 【答案】①④ 16.命題“對于正數(shù)a,若a>1,則lg a>0”以及它的逆命題、否命題、逆否命題中,真命題的個數(shù)為m.

15、命題“n∈N*,一元二次方程x2-4x+n=0有整數(shù)根”是真命題,則logmn的值為　　　　.? 【解析】原命題“對于正數(shù)a,若a>1,則lg a>0”是真命題,逆命題“對于正數(shù)a,若lg a>0,則a>1”是真命題,所以其否命題與逆否命題都是真命題.所以m=4. 因為一元二次方程x2-4x+n=0有整數(shù)根,所以由Δ=16-4n≥0得n≤4,又因為n∈N*,所以n=1,2,3,4,驗證可知n=3,4符合題意. 因此,logmn=log43或logmn=log44=1. 【答案】log43或1 三、解答題 17.π為圓周率,a,b,c,d∈Q,已知命題p:若aπ+b=cπ+d,則a=

16、c且b=d. (1)寫出?p并判斷真假; (2)寫出p的逆命題、否命題及逆否命題并判斷真假. 【解析】(1)?p:若aπ+b=cπ+d,則a≠c或b≠d. 因為a,b,c,d∈Q,由aπ+b=cπ+d, 得π(a-c)=d-b∈Q,所以a=c且b=d. 故p是真命題,?p是假命題. (2)逆命題:若a=c且b=d,則aπ+b=cπ+d.它是真命題. 否命題:若aπ+b≠cπ+d,則a≠c或b≠d.它是真命題. 逆否命題:若a≠c或b≠d,則aπ+b≠cπ+d.它是真命題. 18.給出下列兩個命題: 命題甲:關(guān)于x的不等式x2+(a-1)x+a2≤0的解集為?;命題乙:函數(shù)

17、y=(2a2-a)x為增函數(shù). 分別求出符合下列條件的實數(shù)a的取值范圍. (1)甲、乙至少有一個是真命題; (2)甲、乙中有且只有一個是真命題. 【解析】當(dāng)命題甲為真時,Δ=(a-1)2-4a2<0,解得a>或a<-1. 當(dāng)命題乙為真時,2a2-a>1,解得a>1或a<-. (1)當(dāng)甲、乙至少有一個是真命題時,即上面兩個范圍取并集, 所以a的取值范圍是. (2)甲、乙中有且只有一個是真命題,有兩種情況: 當(dāng)甲真乙假時,

18、x2-2x-3>0的充分條件? (2)是否存在實數(shù)m,使得2x+m<0是x2-2x-3>0的必要條件? 【解析】(1)欲使得2x+m<0是x2-2x-3>0的充分條件,則只要?{x|x<-1或x>3},則只要滿足-≤-1,即m≥2.故存在實數(shù)m≥2,使得2x+m<0是x2-2x-3>0的充分條件. (2)欲使得2x+m<0是x2-2x-3>0的必要條件,則只要?{x|x<-1或x>3}.而這是不可能的,故不存在實數(shù)m,使得2x+m<0是x2-2x-3>0的必要條件. 20.設(shè)a,b,c為△ABC的三邊,求證:方程x2+2ax+b2=0與x2+2cx-b2=0有公共根的充要條件是∠A=9

19、0°. 【解析】充分性:因為∠A=90°,所以a2=b2+c2. 于是方程x2+2ax+b2=0可化為x2+2ax+a2-c2=0, 所以x2+2ax+(a+c)(a-c)=0. 所以[x+(a+c)][x+(a-c)]=0. 所以該方程有兩根x1=-(a+c),x2=-(a-c), 同樣,方程x2+2cx-b2=0也可化為x2+2cx-(a2-c2)=0,即[x+(c+a)][x+(c-a)]=0, 所以該方程有兩根x3=-(a+c),x4=-(c-a). 可以發(fā)現(xiàn),x1=x3,所以這兩個方程有公共根. 必要性:設(shè)x是這兩個方程的公共根, 則 由①+②,得x=-(a+c

20、)或x=0(舍去). 代入①并整理得a2=b2+c2.所以∠A=90°.所以結(jié)論成立. 21.已知a∈R,命題p:對于x∈[1,2],不等式x2+2ax-2>0恒成立;命題q:關(guān)于x的不等式(a2-1)x2+(a-1)x-2>0的解集為空集.當(dāng)p,q中有且僅有一個為真命題時,求實數(shù)a的取值范圍. 【解析】因為對于x∈[1,2],不等式x2+2ax-2>0恒成立,所以2a>=-x在x∈[1,2]上恒成立. 　　令g(x)=-x,則g(x)在[1,2]上是減函數(shù), 所以g(x)max=g(1)=1,所以2a>1, 所以若命題p為真,則a>. 當(dāng)命題q為真時,a應(yīng)滿足a=1或 解

21、得-≤a≤1. 所以當(dāng)p,q中有且僅有一個為真命題時, 有或 所以a∈∪(1,+∞). 22.命題p:x2-4mx+1=0有實數(shù)解,命題q:?x0∈R,使得m-2x0-1>0成立. (1)若命題p為真命題,求實數(shù)m的取值范圍; (2)若命題q為真命題,求實數(shù)m的取值范圍; (3)若命題(?p)∨(?q)為真命題,且命題p∨q為真命題,求實數(shù)m的取值范圍. 【解析】(1)因為方程x2-4mx+1=0有實根, 所以Δ=16m2-4≥0,解得m≤-或m≥. 所以實數(shù)m的取值范圍是∪. (2)設(shè)f(x)=mx2-2x-1. 當(dāng)m=0時,f(x)=-2x-1,q為真命題; 當(dāng)m>0時,q為真命題; 當(dāng)m<0時,需有Δ=4+4m>0,解得-1