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2022屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第四章 三角函數(shù) 解三角形 課時(shí)跟蹤訓(xùn)練20 三角恒等變換 文

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1、2022屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第四章 三角函數(shù) 解三角形 課時(shí)跟蹤訓(xùn)練20 三角恒等變換 文 一、選擇題 1.已知α為第二象限角,sinα+cosα=,則cos2α=(  ) A.- B.- C. D. [解析] 由(sinα+cosα)2=得2sinαcosα=-, ∵α在第二象限, ∴cosα-sinα=- =-, 故cos2α=cos2α-sin2α=(cosα+sinα)(cosα-sinα)=×=-,選A. [答案] A 2.已知sin2α=,則cos2=(  ) A. B. C. D. [解析] cos2== ==. [答案] 

2、C 3.已知tan=,tan=,則tan(α+β)的值為(  ) A. B. C. D.1 [解析] tan(α+β)=tan = ==1,故選D. [答案] D 4.等于(  ) A.- B.- C. D. [解析] 原式= = ==sin30°=. [答案] C 5.已知cos-sinα=,則sin 的值是(  ) A.- B.- C. D. [解析] cos-sinα=?cosα-sinα=?=?sin=, ∴sin=sin=sin =-sin=-. [答案] B 6.cos·cos·cos=(  ) A.

3、- B.- C. D. [解析] cos·cos·cos=cos20°·cos40°·cos100°=-cos20°·cos40°·cos80° =- =- =- =-=-=-. [答案] A 二、填空題 7.=__________. [解析] 原式= ==2. [答案] 2 8.=________. [解析] 原式= = = ===-4. [答案]?。? 9.已知方程x2+3ax+3a+1=0(a>1)的兩根分別為tanα,tanβ,且α,β∈,則α+β=________. [解析] 由已知得tanα+tanβ=-3a, tanαtanβ

4、=3a+1,∴tan(α+β)=1. 又∵α,β∈,tanα+tanβ=-3a<0,tanαtanβ=3a+1>0,∴tanα<0,tanβ<0,∴α,β∈. ∴α+β∈(-π,0),∴α+β=-. [答案] - 三、解答題 10.(2017·北京西城區(qū)5月模擬)已知函數(shù)f(x)=tan. (1)求f(x)的定義域; (2)設(shè)β∈(0,π),且f(β)=2cos,求β的值. [解] (1)由x+≠kπ+,得x≠kπ+,k∈Z. 所以函數(shù)f(x)的定義域是{x|x≠kπ+,k∈Z}. (2)依題意,得tan=2cos, 所以=2sin,整理得sin·=0, 所以sin=0

5、,或cos=. 因?yàn)棣隆?0,π),所以β+∈. 由sin=0,得β+=π,即β=; 由cos=,得β+=,即β=. 所以β=,或β=. [能力提升] 11.設(shè)α∈,β∈,且tanα=,則(  ) A.3α-β= B.3α+β= C.2α-β= D.2α+β= [解析] 由已知,得=, ∴sinαcosβ=cosα+cosαsinβ. ∴sinαcosβ-cosαsinβ=cosα. ∴sin(α-β)=cosα,∴sin(α-β)=sin. ∵α∈,β∈, ∴-<α-β<,0<-α<, ∴α-β=-α,∴2α-β=.故選C. [答案] C 12.(2

6、017·河南百校聯(lián)盟4月聯(lián)考)已知α為第二象限角,且tanα+tan=2tanαtan-2,則sin等于(  ) A.- B. C.- D. [解析] tanα+tan=2tanαtan-2?=-2?tan=-2<0, ∵α為第二象限角,∴sin=,cos=-,則sin=-sin=-sin=cossin-sincos=-. [答案] C 13.(2017·湖南長(zhǎng)沙一模)化簡(jiǎn):=________. [解析]  ===4sinα. [答案] 4sinα 14.(2018·河南統(tǒng)考)已知tanα,tanβ是lg(6x2-5x+2)=0的兩個(gè)實(shí)根,則tan(α+β)=_

7、_______. [解析] 由lg(6x2-5x+2)=0,得6x2-5x+1=0,由題意知tanα+tanβ=,tanα·tanβ=,∴tan(α+β)===1. [答案] 1 15.已知sin(2α+β)=2sinβ,求證:tan(α+β)=3tanα. [證明] ∵sin(2α+β)=2sinβ, ∴sin[(α+β)+α]=2sin[(α+β)-α]. ∴sin(α+β)cosα+cos(α+β)sinα =2sin(α+β)cosα-2cos(α+β)sinα. ∴3cos(α+β)sinα=sin(α+β)cosα. ∴tan(α+β)=3tanα. 16.已知

8、cos·cos=-,α∈. (1)求sin2α的值; (2)求tanα-的值. [解] (1)cos·cos=cos·sin=sin=-, 即sin=-, 因?yàn)棣痢剩?α+∈,所以cos=-. 所以sin2α=sin=sincos-cossin=. (2)由(1)知tanα-=-====2. [延伸拓展]  (2018·安徽皖江名校聯(lián)考)已知在銳角△ABC中,角α+的終邊過(guò)點(diǎn)P(sinB-cosA,cosB-sinA),且cos=,則cos2α的值為(  ) A. B.-- C.- D.-- [解析] ∵△ABC是銳角三角形,∴A+B>,A、B<,∴>B>-A>0,則sinB>sin=cosA,cosB0,cosB-sinA<0,∴角α+為第四象限角,∴sin=-,∴cosα=cos=coscos+sin·sin=-,∴cos2α=2cos2α-1=--,故選D. [答案] D

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