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1、2022年高考數(shù)學大一輪復習 熱點聚焦與擴展 專題62 幾何概型 縱觀近幾年的高考試題，概率是高考熱點之一，以實際問題為背景，考查幾何概型的計算以及分析、推理能力.難度控制在中等以下． 本專題在分析研究近幾年高考題及各地模擬題的基礎上，舉例說明. 1．幾何概型的定義 如果每個事件發(fā)生的概率只與構成該事件區(qū)域的長度(面積或體積)成比例，則稱這樣的概率模型為幾何概率模型，簡稱幾何概型． 2．幾何概型的兩個基本特點 (1)無限性：在一次試驗中可能出現(xiàn)的結果有無限多個； (2)等可能性：每個試驗結果的發(fā)生具有等可能性． 3．幾何概型的概率公式 P(A)＝. 4.幾何概型常見的類型，

2、可分為三個層次： （1）以幾何圖形為基礎的題目：可直接尋找事件所表示的幾何區(qū)域和總體的區(qū)域，從而求出比例即可得到概率. （2）以數(shù)軸，坐標系為基礎的題目：可將所求事件轉化為數(shù)軸上的線段（或坐標平面的可行域），從而可通過計算長度（或面積）的比例求的概率（將問題轉化為第（1）類問題） （3）在題目敘述中，判斷是否運用幾何概型處理，并確定題目中所用變量個數(shù).從而可依據(jù)變量個數(shù)確定幾何模型：通常變量的個數(shù)與幾何模型的維度相等：一個變量→數(shù)軸，兩個變量→平面直角坐標系，三個變量→空間直角坐標系.從而將問題轉化成為第（2）類問題求解 5.與長度有關的幾何概型 如果試驗的結果構成的區(qū)域的幾何度量可

3、用長度表示，可直接用概率的計算公式求解． 6．與角度有關的幾何概型 當涉及射線的轉動，扇形中有關落點區(qū)域問題時，應以角的大小作為區(qū)域度量來計算概率，且不可用線段的長度代替，這是兩種不同的度量手段． 7. 求解與面積有關的幾何概型的關鍵點 求解與面積有關的幾何概型時，關鍵是弄清某事件對應的面積，必要時可根據(jù)題意構造兩個變量，把變量看成點的坐標，找到試驗全部結果構成的平面圖形，以便求解． 8. 求解與體積有關的幾何概型的關鍵點 對于與體積有關的幾何概型問題，關鍵是計算問題的總體積(總空間)以及事件的體積(事件空間)，對于某些較復雜的也可利用其對立事件去求． 【經典例題】 例1.【

4、2018年全國卷I理】下圖來自古希臘數(shù)學家希波克拉底所研究的幾何圖形．此圖由三個半圓構成，三個半圓的直徑分別為直角三角形ABC的斜邊BC，直角邊AB，AC．△ABC的三邊所圍成的區(qū)域記為I，黑色部分記為II，其余部分記為III．在整個圖形中隨機取一點，此點取自I，II，III的概率分別記為p1，p2，p3，則 A. p1=p2 B. p1=p3 C. p2=p3 D. p1=p2+p3 【答案】A 黑色部分的面積為 ， 其余部分的面積為，所以有， 根據(jù)面積型幾何概型的概率公式，可以得到，故選A. 點睛：該題考查的是面積型幾何概型的有關問題，題中需要解決的是概

5、率的大小，根據(jù)面積型幾何概型的概率公式，將比較概率的大小問題轉化為比較區(qū)域的面積的大小，利用相關圖形的面積公式求得結果. 例2.【2017課標1，理】如圖，正方形ABCD內的圖形來自中國古代的太極圖.正方形內切圓中的黑色部分和白色部分關于正方形的中心成中心對稱.在正方形內隨機取一點，則此點取自黑色部分的概率是 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 【考點】幾何概型 【名師點睛】對于幾何概型的計算，首先確定事件類型為幾何概型并確定其幾何區(qū)域（長度、面積、體積或時間），其次計算基本事件區(qū)域的幾何度量和事件A區(qū)域的幾何度量，最后計算. 例3.【20

6、18屆江西省臨川一中模擬】已知三地在同一水平面內，地在正東方向處，地在地正北方向處，某測繪隊員在之間的直線公路上任選一點作為測繪點，用測繪儀進行測繪，地為一磁場，距離其不超過的范圍內會對測繪儀等電子儀等電子儀器形成干擾，使測量結果不準確，則該測繪隊員能夠得到準確數(shù)據(jù)的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 例4.【2018屆山東省實驗中學二模】《九章算術》勾股章有一“引葭 [jiā] 赴岸”問題：“今有池方一丈， 葭生其中央，出水兩尺，引葭赴岸，適與岸齊.問水深、葭長各幾何.”其意思是：有一水池一丈見方，池中心生有一顆類似

7、蘆葦?shù)闹参?，露出水面兩尺，若把它引向岸邊，正好與岸邊齊（如圖所示），問水有多深，該植物有多長？其中一丈為十尺.若從該葭上隨機取一點，則該點取自水下的概率為（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】試題分析：設水深為x尺，利用勾股定理求出水深，結合葭長13尺，代入幾何概型概率計算公式，可得答案． 詳解： 設水深為x尺， 則（x+2）2=x2+52， 解得x=， 即水深尺． 又葭長尺， 則所求概率為. 故選：A． 例5.【2018屆河南省最后一次模擬】如圖,在正六邊形內隨機取一點,則此點取自陰影部分的概率是（ ） A.

8、 B. C. D. 【答案】D 所以,所求的概率為. 本題選擇D選項. 例6.【2018屆河北省武邑中學四?！吭谄矫鎱^(qū)域內隨機取一點，則點在圓內部的概率（ ） A. B. C. D. 【答案】B 其中滿足的點為陰影部分對應的點，其面積為，不等組對應的平面區(qū)域的面積為，故所求概率為，故選B． 例7.【2018屆安徽省淮南市二?！恳阎沁呴L為2的正三角形，在內任取一點，則該點落在內切圓內的概率是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】分析：根據(jù)題意求出△ABC內切圓

9、的面積與三角形的面積比即可． 詳解：如圖所示，△ABC是邊長為2的正三角形， 則AD=，OD=， ∴△ABC內切圓的半徑為r=， 所求的概率是P=． 故答案為：D 例8.【2018屆安徽省安慶市第一中學熱身】在上任取一個個實數(shù)，則事件“直線與圓”相交的概率為( ) A. B. C. D. 【答案】C 故選C． 例9.【2018屆四川省梓潼中學校高考模擬（二）】已知圓柱的底面半徑為，高為，若區(qū)域表示圓柱及其內部，區(qū)域表示圓柱內到下底面的距離大于的點組成的集合，若向區(qū)域中隨機投一點，則所投的點落入區(qū)域中的概率為（ ） A.

10、B. C. D. 【答案】C 根據(jù)幾何概型，得所投入的點落在區(qū)域N中的概率為，故選C. 例10.【2018屆江西師范大學附屬中學三?！吭趨^(qū)間上任取一個數(shù)，則函數(shù)在上的最大值是的概率為（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】分析：設函數(shù)y=x2﹣4x+3，求出x∈[0，4]時y的取值范圍，再根據(jù)a∈[﹣2，2]討論a的取值范圍，判斷f（x）是否能取得最大值3，從而求出對應的概率值． 詳解：在區(qū)間[﹣2，2]上任取一個數(shù)a，基本事件空間對應區(qū)間的長度是4， 由y=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1，x∈[0，4]，得y∈

11、[﹣1，3]， ∴﹣1﹣a≤x2﹣4x+3﹣a≤3﹣a， ∴|x2﹣4x+3﹣a|的最大值是|3﹣a|或|﹣1﹣a|， 即最大值是|3﹣a|或|1+a|； 令|3﹣a|≥|1+a|，得（3﹣a）2≥（1+a）2，解得a≤1； 又a∈[﹣2，2]，∴﹣2≤a≤1； 故答案為：A 點睛：（1）本題主要考查幾何概型和函數(shù)的最值的計算，意在考查學生對這些基礎知識的掌握能力和分析推理能力. (2)解答本題的關鍵是通過函數(shù)在上的最大值是分析得到a∈[﹣2，1]. 【精選精練】 1．【2018屆廣東省東莞市考前演練】如圖1，風車起源于周，是一種用紙折成的玩具.它用高粱稈，膠泥瓣兒和彩紙

12、扎成，是老北京的象征，百姓稱它吉祥輪.風車現(xiàn)已成為北京春節(jié)廟會和節(jié)俗活動的文化標志物之一.圖2是用8個等腰直角三角形組成的風車平面示意圖，若在示意圖內隨機取一點，則此點取自黑色部分的概率為（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】分析：由幾何概型及概率的計算可知，用黑色部分的面積比總面積，即可求解概率. 詳解：設白色部分的等腰直角三角形的斜邊長為，則直角邊的長為， 所以所有白色部分的面積為， 則黑色部分的等腰直角三角形的腰長為1，所有黑色部分的面積為， 由幾何概型可得其概率為，故選B. 2．【2018屆安徽省江南十校沖刺聯(lián)考（二模）

13、】已知實數(shù)，則函數(shù)在定義域內單調遞減的概率為（ ） A. B. C. D. 【答案】C ∴所求概率為． 故選． 點睛：本題考查幾何概型，考查導數(shù)與函數(shù)的單調性，解題關鍵是由不等式在恒成立求得參數(shù)的取值范圍，求取值范圍的方法是分離參數(shù)法轉化為求函數(shù)的最值，這可由導數(shù)求得也可由基本不等式求得． 3．【2018屆河南省鄭州外國語學校第十五次調研】已知在矩形中，，現(xiàn)在矩形內任意取一點，則的概率為（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】分析：以為圓心，為半徑作弧交于，以為圓心，為半徑作弧交于， 則在兩弧區(qū)間，

14、求出兩弧之間曲邊形面積，利用幾何概型概率公式可得結果. 扇形面積為， 兩弧之間曲邊形面積為 ， 的概率為，故選B. 4．【2018屆山東省濰坊市三?！咳龂鴷r期吳國的數(shù)學家趙爽曾創(chuàng)制了一幅“勾股圓方圖”，用數(shù)形結合的方法給出了勾股定理的詳細證明.如圖所示的“勾股圓方圖”中，四個全等的直角三角形與中間的小正方形拼成一個大正方形，其中一個直角三角形中較小的銳角滿足，現(xiàn)向大正方形內隨機投擲一枚飛鏢，則飛鏢落在小正方形內的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 所以打正方形的面積為，小正方形的面積為， 所以滿足條件的概率為，故選D

15、. 5．【2018屆四川省成都市模擬（一）】把一根長為6米的細繩任意做成兩段，則稍短的一根細繩的長度大于2米的概率是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】分析：根據(jù)題意確定為幾何概型中的長度類型，將長度為6米的繩子分成相等的三段，在中間一段任意位置剪斷符合要求，從而找出中間2米處的兩個界點，再求出其比值． 詳解：記“稍短的一根細繩的長度大于2米”為事件， 則只能在距離兩段超過2米的繩子上剪斷， 即在中間的2米的繩子上剪斷，才使得稍短的一根細繩的長度大于2米， 所以由幾何概型的公式得到事件 發(fā)生的概率 故選D. 6．【2018屆安

16、徽省江南十校沖刺聯(lián)考（二模）】不等式所表示的區(qū)域為，函數(shù)的圖象與軸所圍成的區(qū)域為.向內隨機投一個點，則該點落到內概率為（ ） A. B. C. D. 【答案】A 概率為． 7．【2018屆山東省名校聯(lián)盟一?！科咔砂迨俏覀冏嫦鹊囊豁梽?chuàng)造，被譽為“東方魔板”，它是由五塊等腰直角三角形（兩塊全等的小三角形，一塊中三角形和兩塊全等的大三角形），一塊正方形和一塊平行四邊形組成的．如圖是一個用七巧板拼成的正方形，若向正方形內隨機拋擲2000顆米粒（大小忽略不計），則落在圖中陰影部分內米粒數(shù)大約為（ ） A. 750 B. 500 C. 3

17、75 D. 250 【答案】C 6．【2018屆山西省運城市康杰中學高考模擬（一）】在圓的一條直徑上，任取一點作與該直徑垂直的弦，則其弦長超過該圓的內接等邊三角形的邊長的概率為 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】分析：先利用直線和圓的位置關系得到弦長等于該圓內接三角形的邊長的直線的位置，再利用幾何概型的概率公式進行求解. 詳解：設圓的半徑為，則， 則其弦長超過該圓的內接等邊三角形的邊長的概率為.故選C. 點睛：本題考查幾何概型的概率問題，幾何概型的幾何模型主要是長度、面積與體積，其關鍵是選擇合適的模型，如本題中雖然涉及直線和圓的

18、位置關系，但要注意點在圓的直徑上運動，即該概率為線段的長度之比. 7．【2018屆河南省鞏義市市直高中下學期模擬】已知點，在：上隨機取一點，則的概率為__________． 【答案】 8．【2018屆寧夏回族自治區(qū)銀川一中高考前訓練】如圖，一銅錢的直徑為32毫米，穿徑（即銅錢內的正方形小孔邊長）為8毫米，現(xiàn)向該銅錢內隨機地投入一粒米（米的大小忽略不計），則該粒米落在銅錢的正方形小孔內的概率為________． 【答案】. 【解析】分析：先分別計算圓與正方形面積，再根據(jù)幾何概型概率公式求結果. 詳解：因為圓與正方形面積分別為，所以該粒米落在銅錢的正方形小孔內的概率為.

19、9．【2018屆山東省濰坊市青州市三?！恳阎矫嫦蛄?，則事件“”的概率為__________． 【答案】 10．【2018屆湖北省華中師范大學第一附屬中學5月押題】已知平面區(qū)域，現(xiàn)向該區(qū)域內任意擲點，則點落在曲線下方的概率為__________． 【答案】 點睛：（1）本題考查定積分和幾何概型的計算，意在考查學生對這些基礎知識的掌握能力和數(shù)形結合的思想方法. (2)解答本題的關鍵是求點落在曲線下方的面積. 11．【2018屆江西省南昌市三?！恐袊鴶?shù)學家劉徽在《九章算術注》中提出“割圓”之說：“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體，而無所失矣”.意思是“圓內接正多邊形的邊數(shù)無限增多的時候，它的周長的極限是圓的周長，它的面積的極限是圓的面積”.如圖，若在圓內任取一點，則此點取自其內接正六邊形的概率____． 【答案】 【解析】分析：根據(jù)幾何概型的概率公式分別求出正六邊形的面積和圓的面積即可 詳解：設圓心為O，圓的半徑為1，則正六邊形的面積S=則對應的概率P=，故答案為. 12．【2018屆山東省威海市二模】在中，在邊上任取一點，滿足的概率為_______. 【答案】.