5、答案:D
9若圓心在x軸上、半徑為的圓O位于y軸左側(cè),且與直線x+2y=0相切,則圓O的方程是( )
A.(x-)2+y2=5 B.(x+)2+y2=5
C.(x-5)2+y2=5 D.(x+5)2+y2=5
解析:設(shè)圓O的方程為(x-a)2+y2=5(a<0),
則O到直線x+2y=0的距離d=,得a=-5.
所以圓O的方程是(x+5)2+y2=5.
答案:D
10已知集合A={(x,y)|y=},B={(x,y)|y=x+m},且A∩B≠?,則m的取值范圍是( )
A.-7≤m≤7 B.-7≤m≤7
C.-7≤m≤7 D.0≤m≤7
解析:∵A∩B≠?,
∴半圓
6、弧y=與直線y=x+m有公共點(diǎn).
如圖,當(dāng)直線與半圓相切時(shí)m=7,
當(dāng)直線過點(diǎn)(7,0)時(shí),m=-7,
∴m∈[-7,7].
答案:A
二、填空題(本大題共5小題,每小題5分,共25分.把答案:填在題中的橫線上)
11點(diǎn)P(-1,3)在直線l上的射影為Q(1,-1),則直線l的方程是 .?
解析:設(shè)直線l的斜率為k,因?yàn)镻Q⊥l,
所以kPQk=-1,
所以k=,
所以直線l的方程是y+1=(x-1),
即x-2y-3=0.
答案:x-2y-3=0
12圓x2+y2-2x-6y+6=0與圓x2+y2-6x-10y+30=0的公共弦所在的直線方程是
7、 .?
解析:兩圓的方程相減得4x+4y-24=0,即公共弦所在的直線方程為x+y-6=0.
答案:x+y-6=0
13直線3ax-y-1=0與直線x+y+1=0垂直,則a的值是 .?
解析:由3a+(-1)×1=0,得a=-或a=1.
答案:-或1
14過點(diǎn)A(1,-1),B(-1,1),且圓心在直線x+y-2=0上的圓的方程是 .?
解析:易求得AB的中點(diǎn)為(0,0),直線AB的斜率為-1,從而其垂直平分線為直線y=x,根據(jù)圓的幾何性質(zhì),這條直線應(yīng)該過圓心,將它與直線x+y-2=0聯(lián)立得到圓心O(1,1),半徑r=|OA|=2,故圓的方程為(x-1)2+(
8、y-1)2=4.
答案:(x-1)2+(y-1)2=4
15已知圓x2+y2+2x-4y+a=0關(guān)于直線y=2x+b成軸對(duì)稱,則a-b的取值范圍是 .?
解析:因?yàn)閳A方程化為(x+1)2+(y-2)2=5-a,
所以圓心為(-1,2),且5-a>0,即a<5.
又因?yàn)閳A關(guān)于y=2x+b成軸對(duì)稱,
所以點(diǎn)(-1,2)在直線y=2x+b上,
所以b=4,所以a-b<1.
答案:(-∞,1)
三、解答題 (本大題共5小題,共45分.解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)
16(本小題滿分8分)已知△ABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(-1,5),B(-2,-1),C(4,3),
9、M是BC邊上的中點(diǎn).
(1)求AB邊所在直線的方程;
(2)求中線AM的長.
解(1)(方法一)由兩點(diǎn)式得AB邊所在直線的方程為,即6x-y+11=0.
(方法二)由題意可求得直線AB的斜率為k==6,則直線AB的方程為y-5=6(x+1),即6x-y+11=0.
(2)設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x0,y0),
因?yàn)橛芍悬c(diǎn)坐標(biāo)公式得
x0==1,y0==1,
所以M(1,1).
所以|AM|==2.
即中線AM的長為2.
17(本小題滿分8分)三角形ABC的邊AC,AB上的高所在直線的方程分別為2x-3y+1=0,x+y=0,頂點(diǎn)A(1,2),求BC邊所在直線的方程.
解因?yàn)锳C
10、邊上的高線為2x-3y+1=0,
所以kAC=-.
所以AC的方程為y-2=-(x-1),
即3x+2y-7=0,同理可求直線AB的方程為x-y+1=0.
下面求直線BC的方程,
由得頂點(diǎn)C(7,-7),
由得頂點(diǎn)B(-2,-1).
所以kBC=-,直線BC:y+1=-(x+2),
即2x+3y+7=0.
18(本小題滿分9分)已知圓C的方程為x2+y2-4mx-2y+8m-7=0(m∈R).
(1)試求m的值,使圓C的面積最小;
(2)求與滿足(1)中條件的圓C相切,且過點(diǎn)(4,-3)的直線方程.
解配方得圓的方程為(x-2m)2+(y-1)2=4(m-1)2+4.
11、
(1)當(dāng)m=1時(shí),圓的半徑最小,此時(shí)圓的面積最小.
(2)當(dāng)m=1時(shí),圓的方程為(x-2)2+(y-1)2=4.
當(dāng)斜率存在時(shí)設(shè)所求直線的方程為y+3=k(x-4),即kx-y-4k-3=0.
由直線與圓相切,得=2,
解得k=-.
所以切線方程為y+3=-(x-4),
即3x+4y=0.
又經(jīng)過點(diǎn)(4,-3),且與x軸垂直的直線方程為x=4,此時(shí),直線也與圓相切.
所以所求直線方程為3x+4y=0或x=4.
19(本小題滿分10分)已知圓C經(jīng)過P(4,-2),Q(-1,3)兩點(diǎn),且在y軸上截得的線段長為4,半徑小于5.
求:(1)直線PQ與圓C的方程;
(2)求過點(diǎn)(
12、0,5)且與圓C相切的直線方程.
解(1)直線PQ的方程為y-3=×(x+1),
即x+y-2=0,
由題意圓心C在PQ的中垂線y-=1×,即y=x-1上,
設(shè)C(n,n-1),則r2=|CQ|2=(n+1)2+(n-4)2,
由題意,有r2=(2)2+|n|2,
所以n2+12=2n2-6n+17,
解得n=1或n=5,
所以r2=13或r2=37(舍),
故圓C的方程為(x-1)2+y2=13.
(2)當(dāng)切線斜率存在時(shí),設(shè)其方程為y=kx+5,
則,解得k=或k=-,
所以方程為3x-2y+10=0或2x+3y-15=0,
當(dāng)切線斜率不存在時(shí),不滿足題意,
故切
13、線方程為3x-2y+10=0或2x+3y-15=0.
20(本小題滿分10分)如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,點(diǎn)A(0,3),直線l:y=2x-4.設(shè)圓C的半徑為1,圓心在l上.
(1)若圓心C也在直線y=x-1上,過點(diǎn)A作圓C的切線,求切線的方程;
(2)若圓C上存在點(diǎn)M,使|MA|=2|MO|,求圓心C的橫坐標(biāo)a的取值范圍.
解(1)由題設(shè),圓心C是直線y=2x-4和y=x-1的交點(diǎn),解得點(diǎn)C(3,2),于是切線的斜率必存在.
設(shè)過A(0,3)的圓C的切線方程為y=kx+3,
由題意,得=1,解得k=0或k=-,
故所求切線方程為y=3或3x+4y-12=0.
(2)因?yàn)閳A心在直線y=2x-4上,所以圓C的方程為(x-a)2+[y-2(a-2)]2=1.
設(shè)點(diǎn)M(x,y),因?yàn)閨MA|=2|MO|,
所以=2,化簡得x2+y2+2y-3=0,即x2+(y+1)2=4,所以點(diǎn)M在以D(0,-1)為圓心,2為半徑的圓上.
由題意,點(diǎn)M(x,y)在圓C上,所以圓C與圓D有公共點(diǎn),則|2-1|≤|CD|≤2+1,
即1≤≤3.
由5a2-12a+8≥0,得a∈R;
由5a2-12a≤0,即a(5a-12)≤0,
得0≤a≤.
故點(diǎn)C的橫坐標(biāo)a的取值范圍為.