（全國通用版）2022-2023高中數(shù)學(xué) 第二章 平面解析幾何初步檢測A 新人教B版必修2 一、選擇題(本大題共10小題,每小題5分,共50分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的) 1圓心為(1,-1),半徑為2的圓的方程是(　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　 A.(x-1)2+(y+1)2=2 B.(x+1)2+(y-1)2=4 C.(x+1)2+(y-1)2=2 D.(x-1)2+(y+1)2=4 答案：D 2已知點(diǎn)A(1,2),B(-2,3),C(4,t)在同一條直線上,則t的值為(　　) A. B. C.1 D.-1 解析：因?yàn)辄c(diǎn)A,B,C共線, 所以kAB=kBC,即,解得t=1. 答案：C 3直線ax+2y-1=0與直線x+(a-1)y+2=0平行,則a等于(　　) A. B.2 C.-1 D.2或-1 解析：由a(a-1)-2=0得a=2或a=-1. 經(jīng)檢驗(yàn)a=2或a=-1均符合題意. 答案：D 4在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中,點(diǎn)M的坐標(biāo)是(1,3,5),則其關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)是(　　) A.(-1,-3, -5) B.(-1,-3,5) C.(1,-3,-5) D.(1,3,-5) 解析：點(diǎn)M關(guān)于x軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo),x坐標(biāo)不變,y,z的新坐標(biāo)與原來的坐標(biāo)互為相反數(shù). 答案：C 5若方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0表示圓,則a的取值范圍是(　　) A.(-∞,-2) B. C.(-2,0) D. 解析：由a2+(2a)2-4(2a2+a-1)>0,即(3a-2)(a+2)<0,解得-2<a<. 答案：D 6過點(diǎn)A(2,3)且垂直于直線2x+y-5=0的直線方程為 (　　) A.x-2y+4=0 B.2x+y-7=0 C.x-2y+3=0 D.x-2y+5=0 解析：由題意可設(shè)所求的直線方程為x-2y+m=0,將A(2,3)代入上式得2-2×3+m=0,即m=4,故所求的直線方程為x-2y+4=0. 答案：A 7過點(diǎn)P(5,4)作圓C:x2+y2-2x-2y-3=0的切線,切點(diǎn)分別為A,B,則四邊形PACB的面積是(　　) A.5 B.10 C.15 D.20 解析：圓C的方程可化為(x-1)2+(y-1)2=5,因此圓心C(1,1),半徑r=,從而PC==5,在Rt△PAC中,PA==2,于是S四邊形PACB=2S△PAC=2··2=10. 答案：B 8圓+y2=4與圓(x-1)2+(y-3)2=m2的公切線的條數(shù)為4,則m的取值范圍是(　　) A. B. C. D. 解析：因?yàn)閮蓤A有4條公切線,所以兩圓相離,而兩圓圓心距為,半徑分別為2和|m|,于是|m|+2<,|m|<-2,故2-<m<-2,且m≠0. 答案：D 9若圓心在x軸上、半徑為的圓O位于y軸左側(cè),且與直線x+2y=0相切,則圓O的方程是(　　) A.(x-)2+y2=5 B.(x+)2+y2=5 C.(x-5)2+y2=5 D.(x+5)2+y2=5 解析：設(shè)圓O的方程為(x-a)2+y2=5(a<0), 則O到直線x+2y=0的距離d=,得a=-5. 所以圓O的方程是(x+5)2+y2=5. 答案：D 10已知集合A={(x,y)|y=},B={(x,y)|y=x+m},且A∩B≠?,則m的取值范圍是(　　) A.-7≤m≤7 B.-7≤m≤7 C.-7≤m≤7 D.0≤m≤7 解析：∵A∩B≠?, ∴半圓弧y=與直線y=x+m有公共點(diǎn). 如圖,當(dāng)直線與半圓相切時(shí)m=7, 當(dāng)直線過點(diǎn)(7,0)時(shí),m=-7, ∴m∈[-7,7]. 答案：A 二、填空題(本大題共5小題,每小題5分,共25分.把答案：填在題中的橫線上) 11點(diǎn)P(-1,3)在直線l上的射影為Q(1,-1),則直線l的方程是　　　　　　.  解析：設(shè)直線l的斜率為k,因?yàn)镻Q⊥l, 所以kPQk=-1, 所以k=, 所以直線l的方程是y+1=(x-1), 即x-2y-3=0. 答案：x-2y-3=0 12圓x2+y2-2x-6y+6=0與圓x2+y2-6x-10y+30=0的公共弦所在的直線方程是　　　　　　　.  解析：兩圓的方程相減得4x+4y-24=0,即公共弦所在的直線方程為x+y-6=0. 答案：x+y-6=0 13直線3ax-y-1=0與直線x+y+1=0垂直,則a的值是　　　　　.  解析：由3a+(-1)×1=0,得a=-或a=1. 答案：-或1 14過點(diǎn)A(1,-1),B(-1,1),且圓心在直線x+y-2=0上的圓的方程是　　　　　.  解析：易求得AB的中點(diǎn)為(0,0),直線AB的斜率為-1,從而其垂直平分線為直線y=x,根據(jù)圓的幾何性質(zhì),這條直線應(yīng)該過圓心,將它與直線x+y-2=0聯(lián)立得到圓心O(1,1),半徑r=|OA|=2,故圓的方程為(x-1)2+(y-1)2=4. 答案：(x-1)2+(y-1)2=4 15已知圓x2+y2+2x-4y+a=0關(guān)于直線y=2x+b成軸對稱,則a-b的取值范圍是　　　　　.  解析：因?yàn)閳A方程化為(x+1)2+(y-2)2=5-a, 所以圓心為(-1,2),且5-a>0,即a<5. 又因?yàn)閳A關(guān)于y=2x+b成軸對稱, 所以點(diǎn)(-1,2)在直線y=2x+b上, 所以b=4,所以a-b<1. 答案：(-∞,1) 三、解答題 (本大題共5小題,共45分.解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟) 16(本小題滿分8分)已知△ABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(-1,5),B(-2,-1),C(4,3),M是BC邊上的中點(diǎn). (1)求AB邊所在直線的方程; (2)求中線AM的長. 解(1)(方法一)由兩點(diǎn)式得AB邊所在直線的方程為,即6x-y+11=0. (方法二)由題意可求得直線AB的斜率為k==6,則直線AB的方程為y-5=6(x+1),即6x-y+11=0. (2)設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x0,y0), 因?yàn)橛芍悬c(diǎn)坐標(biāo)公式得 x0==1,y0==1, 所以M(1,1). 所以|AM|==2. 即中線AM的長為2. 17(本小題滿分8分)三角形ABC的邊AC,AB上的高所在直線的方程分別為2x-3y+1=0,x+y=0,頂點(diǎn)A(1,2),求BC邊所在直線的方程. 解因?yàn)锳C邊上的高線為2x-3y+1=0, 所以kAC=-. 所以AC的方程為y-2=-(x-1), 即3x+2y-7=0,同理可求直線AB的方程為x-y+1=0. 下面求直線BC的方程, 由得頂點(diǎn)C(7,-7), 由得頂點(diǎn)B(-2,-1). 所以kBC=-,直線BC:y+1=-(x+2), 即2x+3y+7=0. 18(本小題滿分9分)已知圓C的方程為x2+y2-4mx-2y+8m-7=0(m∈R). (1)試求m的值,使圓C的面積最小; (2)求與滿足(1)中條件的圓C相切,且過點(diǎn)(4,-3)的直線方程. 解配方得圓的方程為(x-2m)2+(y-1)2=4(m-1)2+4. (1)當(dāng)m=1時(shí),圓的半徑最小,此時(shí)圓的面積最小. (2)當(dāng)m=1時(shí),圓的方程為(x-2)2+(y-1)2=4. 當(dāng)斜率存在時(shí)設(shè)所求直線的方程為y+3=k(x-4),即kx-y-4k-3=0. 由直線與圓相切,得=2, 解得k=-. 所以切線方程為y+3=-(x-4), 即3x+4y=0. 又經(jīng)過點(diǎn)(4,-3),且與x軸垂直的直線方程為x=4,此時(shí),直線也與圓相切. 所以所求直線方程為3x+4y=0或x=4. 19(本小題滿分10分)已知圓C經(jīng)過P(4,-2),Q(-1,3)兩點(diǎn),且在y軸上截得的線段長為4,半徑小于5. 求:(1)直線PQ與圓C的方程; (2)求過點(diǎn)(0,5)且與圓C相切的直線方程. 解(1)直線PQ的方程為y-3=×(x+1), 即x+y-2=0, 由題意圓心C在PQ的中垂線y-=1×,即y=x-1上, 設(shè)C(n,n-1),則r2=|CQ|2=(n+1)2+(n-4)2, 由題意,有r2=(2)2+|n|2, 所以n2+12=2n2-6n+17, 解得n=1或n=5, 所以r2=13或r2=37(舍), 故圓C的方程為(x-1)2+y2=13. (2)當(dāng)切線斜率存在時(shí),設(shè)其方程為y=kx+5, 則,解得k=或k=-, 所以方程為3x-2y+10=0或2x+3y-15=0, 當(dāng)切線斜率不存在時(shí),不滿足題意, 故切線方程為3x-2y+10=0或2x+3y-15=0. 20(本小題滿分10分)如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,點(diǎn)A(0,3),直線l:y=2x-4.設(shè)圓C的半徑為1,圓心在l上. (1)若圓心C也在直線y=x-1上,過點(diǎn)A作圓C的切線,求切線的方程; (2)若圓C上存在點(diǎn)M,使|MA|=2|MO|,求圓心C的橫坐標(biāo)a的取值范圍. 解(1)由題設(shè),圓心C是直線y=2x-4和y=x-1的交點(diǎn),解得點(diǎn)C(3,2),于是切線的斜率必存在. 設(shè)過A(0,3)的圓C的切線方程為y=kx+3, 由題意,得=1,解得k=0或k=-, 故所求切線方程為y=3或3x+4y-12=0. (2)因?yàn)閳A心在直線y=2x-4上,所以圓C的方程為(x-a)2+[y-2(a-2)]2=1. 設(shè)點(diǎn)M(x,y),因?yàn)閨MA|=2|MO|, 所以=2,化簡得x2+y2+2y-3=0,即x2+(y+1)2=4,所以點(diǎn)M在以D(0,-1)為圓心,2為半徑的圓上. 由題意,點(diǎn)M(x,y)在圓C上,所以圓C與圓D有公共點(diǎn),則|2-1|≤|CD|≤2+1, 即1≤≤3. 由5a2-12a+8≥0,得a∈R; 由5a2-12a≤0,即a(5a-12)≤0, 得0≤a≤. 故點(diǎn)C的橫坐標(biāo)a的取值范圍為.