11、2+2mx+1=0有兩個(gè)不相等的正根,q:方程x2+2(m-2)x-3m+10=0無實(shí)根,則使p與q一真一假的實(shí)數(shù)m的取值范圍是________________.
答案 (-∞,-2]∪[-1,3)
解析 由題意知,p,q一真一假.
若方程x2+2mx+1=0有兩個(gè)不相等的正根,
則
∴m<-1.
若方程x2+2(m-2)x-3m+10=0無實(shí)根,
則Δ=4(m-2)2-4(-3m+10)<0,
∴-2<m<3.
綜上可知,若p真q假,則m≤-2;
若p假q真,則-1≤m<3.
故實(shí)數(shù)m的取值范圍是(-∞,-2]∪[-1,3).
三、解答題(本大題共6小題,共70分)
12、
17.(10分)判斷下列命題的真假,并寫出它們的否定.
(1)?α,β∈R,sin(α+β)≠sin α+sin β;
(2)?x0,y0∈Z,3x0-4y0=20;
(3)在實(shí)數(shù)范圍內(nèi),有些一元二次方程無解.
考點(diǎn) “非”的概念
題點(diǎn) 寫出命題p的否定綈p
解 (1)假命題,否定為?α0,β0∈R,sin(α0+β0)=sin α0+sin β0;
(2)真命題,否定為?x,y∈Z,3x-4y≠20;
(3)真命題,否定為在實(shí)數(shù)范圍內(nèi),所有的一元二次方程都有解.
18.(12分)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn=(n+1)2+c,n≥1,n∈N*,探究{an}是等差數(shù)列的
13、充要條件.
解 當(dāng){an}是等差數(shù)列時(shí),
∵Sn=(n+1)2+c,
∴當(dāng)n≥2時(shí),Sn-1=n2+c,
∴an=Sn-Sn-1=2n+1,
∴an+1-an=2為常數(shù).
又a1=S1=4+c,
∴a2-a1=5-(4+c)=1-c=2,
∴c=-1.
反之,當(dāng)c=-1時(shí),Sn=n2+2n,可得an=2n+1(n≥1,n∈N)*,
故{an}為等差數(shù)列,
∴{an}為等差數(shù)列的充要條件是c=-1.
19.(12分)已知p:x∈[-2,2],關(guān)于x的不等式x2+ax+3≥a恒成立,若p是真命題,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
解 設(shè)f(x)=x2+ax+3-a,則當(dāng)x∈[-2,2
14、]時(shí),
f(x)min≥0.
①當(dāng)-<-2,即a>4時(shí),
f(x)在[-2,2]上單調(diào)遞增,
f(x)min=f(-2)=7-3a≥0,
解得a≤,
又因?yàn)閍>4,所以a不存在.
②當(dāng)-2≤-≤2,即-4≤a≤4時(shí),
f(x)min=f=≥0,
解得-6≤a≤2,
又因?yàn)椋?≤a≤4,所以-4≤a≤2.
③當(dāng)->2,即a<-4時(shí),
f(x)在[-2,2]上單調(diào)遞減,
f(x)min=f(2)=7+a≥0,解得a≥-7,
又因?yàn)閍<-4,所以-7≤a<-4.
綜上所述,a的取值范圍是[-7,2].
20.(12分)已知函數(shù)f(x)=4sin2-2cos 2x-1,
15、且給定條件p:≤x≤.
(1)求f(x)的最大值及最小值;
(2)若給定條件q:|f(x)-m|<2,且p是q的充分條件,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
考點(diǎn) 充分條件的概念及判斷
題點(diǎn) 由充分條件求參數(shù)的取值范圍
解 (1)f(x)=2-2cos 2x-1
=2sin 2x-2cos 2x+1=4sin+1.
∵≤x≤,∴≤2x-≤.
∴3≤4sin+1≤5.
∴f(x)max=5,f(x)min=3.
(2)∵|f(x)-m|<2,∴m-2m
16、,s(x):x2+mx+1>0,如果對?x∈R,r(x)與s(x)有且僅有一個(gè)為真命題,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
考點(diǎn) 復(fù)合命題真假性的判斷
題點(diǎn) 由復(fù)合命題的真假求參數(shù)的取值范圍
解 ∵對?x∈R,sin x+cos x=sin(x+)≥-,
∴當(dāng)r(x)是真命題時(shí),m<-.
又∵對?x∈R,s(x)是真命題,即x2+mx+1>0恒成立,
有Δ=m2-4<0,∴-2
17、<2}.
22.(12分)已知p:x1和x2是方程x2-mx-2=0的兩個(gè)實(shí)根,不等式a2-5a-3≥|x1-x2|對任意的m∈[-1,1]恒成立,q:不等式ax2+2x-1>0有解,若p是真命題,q是假命題,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
解 ∵x1,x2是方程x2-mx-2=0的兩個(gè)實(shí)根,
∴
∴|x1-x2|==,
∴當(dāng)m∈[-1,1]時(shí),|x1-x2|max=3,
∴由不等式a2-5a-3≥|x1-x2|對任意的m∈[-1,1]恒成立,
得a2-5a-3≥3,∴a≥6或a≤-1.
∵不等式ax2+2x-1>0有解,
∴當(dāng)a>0時(shí),顯然有解;
當(dāng)a=0時(shí),2x-1>0有解;
當(dāng)a<0時(shí),Δ=4+4a>0,解得-1<a<0.
∴當(dāng)不等式ax2+2x-1>0有解時(shí),a>-1.
又q是假命題,∴a≤-1.
故當(dāng)p是真命題,q是假命題時(shí),a的取值范圍為(-∞,-1].