（全國(guó)通用版）2022高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 板塊四 考前回扣 專題8 函數(shù)與導(dǎo)數(shù)學(xué)案 理 1．函數(shù)的定義域和值域 (1)求函數(shù)定義域的類型和相應(yīng)方法 ①若已知函數(shù)的解析式，則函數(shù)的定義域是使解析式有意義的自變量的取值范圍； ②若已知f(x)的定義域?yàn)閇a，b]，則f(g(x))的定義域?yàn)椴坏仁絘≤g(x)≤b的解集；反之，已知f(g(x))的定義域?yàn)閇a，b]，則f(x)的定義域?yàn)楹瘮?shù)y＝g(x)(x∈[a，b])的值域． (2)常見函數(shù)的值域 ①一次函數(shù)y＝kx＋b(k≠0)的值域?yàn)镽； ②二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)：當(dāng)a>0時(shí)，值域?yàn)椋?dāng)a<0時(shí)，值域?yàn)椋? ③反比例函數(shù)y＝(k≠0)的值域?yàn)閧y∈R|y≠0}． 2．函數(shù)的奇偶性、周期性 (1)奇偶性是函數(shù)在其定義域上的整體性質(zhì)，對(duì)于定義域內(nèi)的任意x(定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱)，都有f(－x)＝－f(x)成立，則f(x)為奇函數(shù)(都有f(－x)＝f(x)成立，則f(x)為偶函數(shù))． (2)周期性是函數(shù)在其定義域上的整體性質(zhì)，一般地，對(duì)于函數(shù)f(x)，如果對(duì)于定義域內(nèi)的任意一個(gè)x的值，若f(x＋T)＝f(x)(T≠0)，則f(x)是周期函數(shù)，T是它的一個(gè)周期． 3．關(guān)于函數(shù)周期性、對(duì)稱性的結(jié)論 (1)函數(shù)的周期性 ①若函數(shù)f(x)滿足f(x＋a)＝f(x－a)，則f(x)為周期函數(shù)，2a是它的一個(gè)周期； ②設(shè)f(x)是R上的偶函數(shù)，且圖象關(guān)于直線x＝a(a≠0)對(duì)稱，則f(x)是周期函數(shù)，2a是它的一個(gè)周期； ③設(shè)f(x)是R上的奇函數(shù)，且圖象關(guān)于直線x＝a(a≠0)對(duì)稱，則f(x)是周期函數(shù)，4a是它的一個(gè)周期． (2)函數(shù)圖象的對(duì)稱性 ①若函數(shù)y＝f(x)滿足f(a＋x)＝f(a－x)， 即f(x)＝f(2a－x)， 則f(x)的圖象關(guān)于直線x＝a對(duì)稱； ②若函數(shù)y＝f(x)滿足f(a＋x)＝－f(a－x)， 即f(x)＝－f(2a－x)， 則f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(a,0)對(duì)稱； ③若函數(shù)y＝f(x)滿足f(a＋x)＝f(b－x)， 則函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x＝對(duì)稱． 4．函數(shù)的單調(diào)性 函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)在其定義域上的局部性質(zhì)． ①單調(diào)性的定義的等價(jià)形式：設(shè)任意x1，x2∈[a，b]， 那么(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0?>0?f(x)在[a，b]上是增函數(shù)； (x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0?<0?f(x)在[a，b]上是減函數(shù)． ②若函數(shù)f(x)和g(x)都是減函數(shù)，則在公共定義域內(nèi)，f(x)＋g(x)是減函數(shù)；若函數(shù)f(x)和g(x)都是增函數(shù)，則在公共定義域內(nèi)，f(x)＋g(x)是增函數(shù)；根據(jù)同增異減判斷復(fù)合函數(shù)y＝f(g(x))的單調(diào)性． 5．函數(shù)圖象的基本變換 (1)平移變換 y＝f(x)y＝f(x－h(huán))， y＝f(x)y＝f(x)＋k. (2)伸縮變換 y＝f(x)y＝f(ωx)， y＝f(x)y＝Af(x)． (3)對(duì)稱變換 y＝f(x)y＝－f(x)， y＝f(x)y＝f(－x)， y＝f(x)y＝－f(－x)． 6．準(zhǔn)確記憶指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的基本性質(zhì) (1)定點(diǎn)：y＝ax(a>0，且a≠1)恒過(guò)(0,1)點(diǎn)； y＝logax(a>0，且a≠1)恒過(guò)(1,0)點(diǎn)． (2)單調(diào)性：當(dāng)a>1時(shí)，y＝ax在R上單調(diào)遞增；y＝logax在(0，＋∞)上單調(diào)遞增； 當(dāng)0<a<1時(shí)，y＝ax在R上單調(diào)遞減；y＝logax在(0，＋∞)上單調(diào)遞減． 7．函數(shù)與方程 (1)零點(diǎn)定義：x0為函數(shù)f(x)的零點(diǎn)?f(x0)＝0?(x0,0)為f(x)的圖象與x軸的交點(diǎn)． (2)確定函數(shù)零點(diǎn)的三種常用方法 ①解方程判定法：解方程f(x)＝0； ②零點(diǎn)定理法：根據(jù)連續(xù)函數(shù)y＝f(x)滿足f(a)f(b)<0，判斷函數(shù)在區(qū)間(a，b)內(nèi)存在零點(diǎn)； ③數(shù)形結(jié)合法：尤其是方程兩端對(duì)應(yīng)的函數(shù)類型不同時(shí)多用此法求解． 8．導(dǎo)數(shù)的幾何意義 (1)f′(x0)的幾何意義：曲線y＝f(x)在點(diǎn)(x0，f(x0))處的切線的斜率，該切線的方程為y－f(x0)＝f′(x0)·(x－x0)． (2)切點(diǎn)的兩大特征：①在曲線y＝f(x)上；②在切線上． 9．利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性 (1)求可導(dǎo)函數(shù)單調(diào)區(qū)間的一般步驟 ①求函數(shù)f(x)的定義域； ②求導(dǎo)函數(shù)f′(x)； ③由f′(x)>0的解集確定函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間，由f′(x)<0的解集確定函數(shù)f(x)的單調(diào)減區(qū)間． (2)由函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍 ①若可導(dǎo)函數(shù)f(x)在區(qū)間M上單調(diào)遞增，則f′(x)≥0(x∈M)恒成立；若可導(dǎo)函數(shù)f(x)在區(qū)間M上單調(diào)遞減，則f′(x)≤0(x∈M)恒成立； ②若可導(dǎo)函數(shù)在某區(qū)間上存在單調(diào)遞增(減)區(qū)間，f′(x)>0(或f′(x)<0)在該區(qū)間上存在解集； ③若已知f(x)在區(qū)間I上的單調(diào)性，區(qū)間I中含有參數(shù)時(shí)，可先求出f(x)的單調(diào)區(qū)間，則I是其單調(diào)區(qū)間的子集． 10．利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值與最值 (1)求函數(shù)的極值的一般步驟 ①確定函數(shù)的定義域； ②解方程f′(x)＝0； ③判斷f′(x)在方程f′(x)＝0的根x0兩側(cè)的符號(hào)變化： 若左正右負(fù)，則x0為極大值點(diǎn)； 若左負(fù)右正，則x0為極小值點(diǎn)； 若不變號(hào)，則x0不是極值點(diǎn)． (2)求函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上的最值的一般步驟 ①求函數(shù)y＝f(x)在[a，b]內(nèi)的極值； ②比較函數(shù)y＝f(x)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值f(a)，f(b)的大小，最大的一個(gè)是最大值，最小的一個(gè)是最小值． 11．定積分的三個(gè)公式與一個(gè)定理 (1)定積分的性質(zhì) ①?kf(x)dx＝k?f(x)dx； ②?[f1(x)±f2(x)]dx＝?f1(x)dx±?f2(x)dx； ③?f(x)dx＝?f(x)dx＋?f(x)dx(其中a<c<b)． (2)微積分基本定理 一般地，如果f(x)是區(qū)間[a，b]上的連續(xù)函數(shù)，并且F′(x)＝f(x)，那么?f(x)dx＝F(b)－F(a)． 1．解決函數(shù)問(wèn)題時(shí)要注意函數(shù)的定義域，要樹立定義域優(yōu)先原則． 2．解決分段函數(shù)問(wèn)題時(shí)，要注意與解析式對(duì)應(yīng)的自變量的取值范圍． 3．求函數(shù)單調(diào)區(qū)間時(shí)，多個(gè)單調(diào)區(qū)間之間不能用符號(hào)“∪”和“或”連接，可用“及”連接或用“，”隔開．單調(diào)區(qū)間必須是“區(qū)間”，而不能用集合或不等式代替． 4．判斷函數(shù)的奇偶性，要注意定義域必須關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，有時(shí)還要對(duì)函數(shù)式化簡(jiǎn)整理，但必須注意使定義域不受影響． 5．準(zhǔn)確理解基本初等函數(shù)的定義和性質(zhì)．如函數(shù)y＝ax(a>0，a≠1)的單調(diào)性容易忽視字母a的取值討論，忽視ax>0；對(duì)數(shù)函數(shù)y＝logax(a>0，a≠1)容易忽視真數(shù)與底數(shù)的限制條件． 6．易混淆函數(shù)的零點(diǎn)和函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)，不能把函數(shù)零點(diǎn)、方程的解、不等式解集的端點(diǎn)值進(jìn)行準(zhǔn)確互化． 7．已知可導(dǎo)函數(shù)f(x)在(a，b)上單調(diào)遞增(減)，則f′(x)≥0(≤0)對(duì)?x∈(a，b)恒成立，不能漏掉“＝”，且需驗(yàn)證“＝”不能恒成立；已知可導(dǎo)函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增(減)區(qū)間為(a，b)，則f′(x)>0(<0)的解集為(a，b)． 8．f′(x)＝0的解不一定是函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)．一定要檢驗(yàn)在x＝x0的兩側(cè)f′(x)的符號(hào)是否發(fā)生變化，若變化，則為極值點(diǎn)；若不變化，則不是極值點(diǎn)． 1．若曲線f(x)＝x4－4x在點(diǎn)A處的切線平行于x軸，則點(diǎn)A的坐標(biāo)為(　　) A．(－1,2) B．(1，－3) C．(1,0) D．(1,5) 答案　B 解析　對(duì)f(x)＝x4－4x，求導(dǎo)得f′(x)＝4x3－4，由在點(diǎn)A處的切線平行于x軸，可得4x3－4＝0，解得x＝1，即點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1，－3)． 2．若函數(shù)f(x)＝則f(－3)的值為(　　) A．5 B．－1 C．－7 D．2 答案　D 解析　依題意，f(－3)＝f(－3＋2)＝f(－1) ＝f(－1＋2)＝f(1)＝1＋1＝2，故選D. 3．若函數(shù)y＝f(x)的導(dǎo)函數(shù)y＝f′(x)的圖象如圖所示，則y＝f(x)的圖象可能為(　　) 答案　C 解析　根據(jù)f′(x)的符號(hào)，f(x)圖象應(yīng)該是先下降后上升，最后下降，排除A，D；從適合f′(x)＝0的點(diǎn)可以排除B，故選C. 4．(2016·全國(guó)Ⅰ)函數(shù)y＝2x2－e|x|在[－2,2]的圖象大致為(　　) 答案　D 解析　f(2)＝8－e2>8－2.82>0，排除A；f(2)＝8－e2<8－2.72<1，排除B；當(dāng)x>0時(shí)，f(x)＝2x2－ex，f′(x)＝4x－ex，當(dāng)x∈時(shí)，f′(x)<×4－e0＝0，因此f(x)在上單調(diào)遞減，排除C，故選D. 5．a(chǎn)，b，c依次表示函數(shù)f(x)＝2x＋x－2，g(x)＝3x＋x－2，h(x)＝ln x＋x－2的零點(diǎn)，則a，b，c的大小順序?yàn)?　　) A．c<b<a B．a(chǎn)<b<c C．a(chǎn)<c<b D．b<a<c 答案　D 解析　a，b，c為直線y＝2－x分別與曲線y＝2x，y＝3x，y＝ln x的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，從圖象可知，b<a<c，故選D. 6．已知函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，且在[0,2]上單調(diào)遞增，若f(log2m)<f(log4(m＋2))成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是(　　) A.≤m<2 B.≤m≤2 C．2<m≤4 D．2≤m≤4 答案　A 解析　因?yàn)楹瘮?shù)f(x)是奇函數(shù)，且在[0,2]上單調(diào)遞增，所以函數(shù)f(x)在[－2,2]上單調(diào)遞增． 由f(log2m)<f(log4(m＋2))， 可得即 解得≤m<2. 綜上可知，m的取值范圍是≤m<2. 7．(2016·全國(guó)Ⅰ)若函數(shù)f(x)＝x－sin 2x＋asin x在(－∞，＋∞)上單調(diào)遞增，則a的取值范圍是(　　) A．[－1,1] B. C. D. 答案　C 解析　方法一　(特殊值法) 不妨取a＝－1，則f(x)＝x－sin 2x－sin x， f′(x)＝1－cos 2x－cos x，但f′(0)＝1－－1＝－<0，不具備在(－∞，＋∞)上單調(diào)遞增，排除A，B，D.故選C. 方法二　(綜合法) ∵函數(shù)f(x)＝x－sin 2x＋asin x在(－∞，＋∞)上單調(diào)遞增， ∴f′(x)＝1－cos 2x＋acos x ＝1－(2cos2x－1)＋acos x ＝－cos2x＋acos x＋≥0， 即acos x≥cos2x－在(－∞，＋∞)上恒成立． 當(dāng)cos x＝0時(shí)，恒有0≥－，得a∈R； 當(dāng)0<cos x≤1時(shí)，得a≥cos x－，令t＝cos x，g(t)＝t－在(0,1]上為增函數(shù)，得a≥g(1)＝－； 當(dāng)－1≤cos x<0時(shí)，得a≤cos x－，令t＝cos x，g(t)＝t－在[－1,0)上為增函數(shù)，得a≤g(－1)＝. 綜上，可得a的取值范圍是，故選C. 8．(2016·山東)已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，當(dāng)x<0時(shí)，f(x)＝x3－1；當(dāng)－1≤x≤1時(shí)，f(－x)＝－f(x)；當(dāng)x>時(shí)，f＝f，則f(6)等于(　　) A．－2 B．－1 C．0 D．2 答案　D 解析　當(dāng)x>時(shí)，f＝f，即f(x)＝f(x＋1)，∴T＝1，∴f(6)＝f(1)．當(dāng)x<0時(shí)，f(x)＝x3－1且當(dāng)－1≤x≤1時(shí)，f(－x)＝－f(x)，∴f(6)＝f(1)＝－f(－1)＝2，故選D. 9．已知函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1處有極值10，則f(2)等于(　　) A．11或18 B．11 C．18 D．17或18 答案　C 解析　∵函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1處有極值10， 又f′(x)＝3x2＋2ax＋b，∴f(1)＝10，且f′(1)＝0， 即解得或 而當(dāng)時(shí)，函數(shù)在x＝1處無(wú)極值，故舍去． ∴f(x)＝x3＋4x2－11x＋16， ∴f(2)＝18. 10．已知奇函數(shù)f(x)是定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為f′(x)，當(dāng)x>0時(shí)，有2f(x)＋xf′(x)>x2，則不等式(x＋2 018)2f(x＋2 018)＋4f(－2)<0的解集為(　　) A．(－∞，－2 016) B．(－2 016，－2 012) C．(－∞，－2 018) D．(－2 016,0) 答案　A 解析　由題意觀察聯(lián)想可設(shè)g(x)＝x2f(x)，g′(x)＝2xf(x)＋x2f′(x)，結(jié)合條件x>0,2f(x)＋xf′(x)>x2，得g′(x)＝2xf(x)＋x2f′(x)>0，g(x)＝x2f(x)在(0，＋∞)上為增函數(shù)． 又f(x)為R上的奇函數(shù)，所以g(x)為奇函數(shù)， 所以g(x)在(－∞，0)上為增函數(shù)． 由(x＋2 018)2f(x＋2 018)＋4f(－2)<0， 可得(x＋2 018)2f(x＋2 018)<4f(2)， 即g(x＋2 018)<g(2)， 所以x＋2 018<2，故x<－2 016，故選A. 11．?(＋x＋x3)dx＝________. 答案　 解析　因?yàn)?(＋x＋x3)dx ＝?dx＋?(x＋x3)dx， ?(x＋x3)dx＝＝， ?dx等于以原點(diǎn)為圓心，以1為半徑的圓的面積的四分之一，即為， 所以?(＋x＋x3)dx＝. 12．某駕駛員喝了m升酒后，血液中的酒精含量f(x)(毫克/毫升)隨時(shí)間x(小時(shí))變化的規(guī)律近似滿足表達(dá)式f(x)＝《酒后駕車與醉酒駕車的標(biāo)準(zhǔn)及相應(yīng)的處罰》規(guī)定：駕駛員血液中酒精含量不超過(guò)0.02毫克/毫升．此駕駛員至少要過(guò)________小時(shí)后才能開車．(不足1小時(shí)部分算1小時(shí)，結(jié)果精確到1小時(shí)) 答案　4 解析　因?yàn)?≤x≤1，所以－2≤x－2≤－1， 所以5－2≤5x－2≤5－1，而5－2>0.02， 所以0≤x≤1不合題意， 又由x>1，得·x≤， 得x≤，所以x≥4， 故至少要過(guò)4小時(shí)后才能開車． 13．偶函數(shù)f(x)滿足f(1－x)＝f(1＋x)，且當(dāng)x∈[0,1]時(shí)，f(x)＝，若直線kx－y＋k＝0(k>0)與函數(shù)f(x)的圖象有且僅有三個(gè)交點(diǎn)，則k的取值范圍是________． 答案　 解析　由f(1－x)＝f(1＋x)可知，函數(shù)關(guān)于x＝1對(duì)稱，因?yàn)閒(x)是偶函數(shù)，所以f(1－x)＝f(1＋x)＝f(x－1)，即f(x＋2)＝f(x)，所以函數(shù)的周期是2，由y＝f(x)＝，得(x－1)2＋y2＝1(y≥0，x∈[0,1])， 作出函數(shù)y＝f(x)和直線y＝k(x＋1)的圖象， 要使直線kx－y＋k＝0(k>0)與函數(shù)f(x)的圖象有且僅有三個(gè)交點(diǎn)，則由圖象可知，<k<. 14．函數(shù)f(x)＝x3－3a2x＋a(a>0)的極大值是正數(shù)，極小值是負(fù)數(shù)，則a的取值范圍是________． 答案　 解析　f′(x)＝3x2－3a2＝3(x＋a)(x－a)， 由f′(x)＝0，得x＝±a， 當(dāng)－a<x<a時(shí)，f′(x)<0，函數(shù)單調(diào)遞減； 當(dāng)x>a或x<－a時(shí)，f′(x)>0，函數(shù)單調(diào)遞增． ∴f(－a)＝－a3＋3a3＋a>0且f(a)＝a3－3a3＋a<0， 解得a>.∴a的取值范圍是. 15．已知函數(shù)f(x)＝. (1)若f(x)在區(qū)間(－∞，2)上為單調(diào)遞增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍； (2)若a＝0，x0<1，設(shè)直線y＝g(x)為函數(shù)f(x)的圖象在x＝x0處的切線，求證：f(x)≤g(x)． (1)解　易得f′(x)＝－， 由已知f′(x)≥0對(duì)x∈(－∞，2)恒成立， 故x≤1－a對(duì)x∈(－∞，2)恒成立， ∴1－a≥2，∴a≤－1. 故實(shí)數(shù)a的取值范圍為(－∞，－1]． (2)證明　若a＝0，則f(x)＝. 函數(shù)f(x)的圖象在x＝x0處的切線方程為 y＝g(x)＝f′(x0)(x－x0)＋f(x0)． 令h(x)＝f(x)－g(x)＝f(x)－f′(x0)(x－x0)－f(x0)，x∈R， 則h′(x)＝f′(x)－f′(x0) ＝－＝. 設(shè)φ(x)＝(1－x)－(1－x0)ex，x∈R， 則φ′(x)＝－－(1－x0)ex，∵x0<1，∴φ′(x)<0， ∴φ(x)在R上單調(diào)遞減，又φ(x0)＝0， ∴當(dāng)x<x0時(shí)，φ(x)>0，當(dāng)x>x0時(shí)，φ(x)<0， ∴當(dāng)x<x0時(shí)，h′(x)>0，當(dāng)x>x0時(shí)，h′(x)<0， ∴h(x)在區(qū)間(－∞，x0)上為增函數(shù)，在區(qū)間(x0，＋∞)上為減函數(shù)，∴當(dāng)x∈R時(shí)，h(x)≤h(x0)＝0， ∴f(x)≤g(x)． 16．已知函數(shù)f(x)＝，其中a>0，且函數(shù)f(x)的最大值是(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))． (1)求實(shí)數(shù)a的值； (2)若函數(shù)g(x)＝ln f(x)－b有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)b的取值范圍； (3)若對(duì)任意的x∈(0,2)，都有f(x)<成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍． 解　(1)由題意得f′(x)＝， 因?yàn)閍>0，所以當(dāng)x∈(－∞，1)時(shí)，f′(x)>0， f(x)在(－∞，1)上單調(diào)遞增； 當(dāng)x∈(1，＋∞)時(shí)，f′(x)<0，f(x)在(1，＋∞)上單調(diào)遞減， 則f(x)max＝f(1)＝＝，所以a＝1. (2)由題意知，函數(shù)g(x)＝ln f(x)－b＝ln x－x－b(x>0)，所以g′(x)＝－1＝， 易得函數(shù)g(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1，＋∞)上單調(diào)遞減，所以g(x)max＝g(1)＝－1－b， 依題意知，－1－b>0，則b<－1， 所以實(shí)數(shù)b的取值范圍是(－∞，－1)． (3)由題意知，f(x)＝<對(duì)任意x∈(0,2)都成立， 所以k＋2x－x2>0，即k>x2－2x對(duì)任意x∈(0,2)都成立，從而k≥0. 由不等式整理可得k<＋x2－2x， 設(shè)h(x)＝＋x2－2x， 令h′(x)＝＋2(x－1) ＝(x－1)＝0，得x＝1， 當(dāng)x∈(1,2)時(shí)，h′(x)>0，函數(shù)h(x)在(1,2)上單調(diào)遞增， 同理，函數(shù)h(x)在(0,1)上單調(diào)遞減， h(x)min＝h(1)＝e－1. 依題意得k<h(x)min＝h(1)＝e－1， 綜上所述，實(shí)數(shù)k的取值范圍是[0，e－1)．