《（贛豫陜）2022-2023學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第一章 集合 2 集合的基本關(guān)系學(xué)案 北師大版必修1》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《（贛豫陜）2022-2023學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第一章 集合 2 集合的基本關(guān)系學(xué)案 北師大版必修1（11頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、（贛豫陜）2022-2023學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第一章 集合 2 集合的基本關(guān)系學(xué)案 北師大版必修1 學(xué)習(xí)目標(biāo)　1.理解子集、集合相等、真子集的概念.2.能用符號和Venn圖表達集合間的關(guān)系. 3.掌握列舉有限集的所有子集的方法． 知識點一　子集 思考　如果把“馬”和“白馬”視為兩個集合，則這兩個集合中的元素有什么關(guān)系？ 答案　所有的白馬都是馬，馬不一定是白馬． 梳理　一般地，對于兩個集合A與B，如果集合A中的任何一個元素都是集合B中的元素，即若a∈A，則a∈B，我們就說集合A包含于集合B，或集合B包含集合A，稱集合A為集合B的子集，記作A?B(或B?A)，讀作“A包含于B”(或“B

2、包含A”)． 子集的有關(guān)性質(zhì)： (1)?是任何集合A的子集，即??A. (2)任何一個集合是它本身的子集，即A?A. (3)對于集合A，B，C，如果A?B，且B?C，那么A?C. (4)若A?B，B?A，則稱集合A與集合B相等，記作A＝B. 知識點二　真子集 思考　在知識點一里，我們知道集合A是它本身的子集，那么如何刻畫至少比A少一個元素的A的子集？ 答案　用真子集． 梳理　如果集合A?B，但A≠B，稱集合A是集合B的真子集，記作：AB(或BA)，讀作：A真包含于B(或B真包含A)． 知識點三　Venn圖 思考　圖中集合A，B，C的關(guān)系用符號可表示為_____

3、_____． 答案　A?B?C 梳理　一般地，用平面上封閉曲線的內(nèi)部代表集合，這種圖稱為Venn圖．Venn圖可以直觀地表達集合間的關(guān)系． 1．若用“≤”類比“?”，則“”相當(dāng)于“<”．(　√　) 2．空集可以用表示．(　×　) 3．若a∈A，則?A.(　√　) 4．若a∈A，則A.(　×　) 類型一　求集合的子集 例1　(1)寫出集合{a，b，c，d}的所有子集； (2)若一個集合有n(n∈N)個元素，則它有多少個子集？多少個真子集？驗證你的結(jié)論． 考點　子集及其運算 題點　求集合的子集 解　(1)?，{a}，，{c}，mzebxcnn0，{a，b}，{a，

4、c}，{a，d}，{b，c}，{b，d}，{c，d}，{a，b，c}，{a，b，d}，{a，c，d}，{b，c，d}，{a，b，c，d}． (2)若一個集合有n(n∈N)個元素，則它有2n個子集，2n－1個真子集．如?，有1個子集，0個真子集． 反思與感悟　為了羅列時不重不漏，要講究列舉順序，這個順序有點類似于從1到100數(shù)數(shù)：先是一位數(shù)，然后是兩位數(shù)，在兩位數(shù)中，先數(shù)首位是1的等等． 跟蹤訓(xùn)練1　適合條件{1}?A{1,2,3,4,5}的集合A的個數(shù)是(　　) A．15 B．16 C．31 D．32 考點　與兩個已知集合有包含關(guān)系的集合個數(shù) 題點　與兩個已知集合有包含關(guān)系

5、的集合個數(shù) 答案　A 解析　這樣的集合A有{1}，{1,2}，{1,3}，{1,4}，{1,5}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}，{1,3,4}，{1,3,5}，{1,4,5}，{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5}，{1,3,4,5}共15個． 類型二　判斷集合間的關(guān)系 命題角度1　概念間的包含關(guān)系 例2　設(shè)集合M＝{菱形}，N＝{平行四邊形}，P＝{四邊形}，Q＝{正方形}，則這些集合之間的關(guān)系為(　　) A．P?N?M?Q B．Q?M?N?P C．P?M?N?Q D．Q?N?M?P 考點　集合的包含關(guān)系 題點　集合包含關(guān)系的判

6、定 答案　B 解析　正方形都是菱形，菱形都是平行四邊形，平行四邊形都是四邊形，故選B. 反思與感悟　一個概念通常就是一個集合，要判斷概念間的關(guān)系首先要準確理解概念的定義． 跟蹤訓(xùn)練2　我們已經(jīng)知道自然數(shù)集、整數(shù)集、有理數(shù)集、實數(shù)集可以分別用N，Z，Q，R表示，用符號表示N，Z，Q，R的關(guān)系為______________． 考點　集合的包含關(guān)系 題點　集合包含關(guān)系的判定 答案　NZQR 命題角度2　數(shù)集間的包含關(guān)系 例3　設(shè)集合A＝{0,1}，集合B＝{x|x<2或x>3}，則A與B的關(guān)系為(　　) A．A∈B B．B∈A C．A?B D．B?A 考點　

7、集合的包含關(guān)系 題點　集合包含關(guān)系的判定 答案　C 解析　∵0<2，∴0∈B. 又∵1<2，∴1∈B.∴A?B. 反思與感悟　判斷集合關(guān)系的方法 (1)觀察法：一一列舉觀察． (2)元素特征法：首先確定集合的元素是什么，弄清集合元素的特征，再利用集合元素的特征判斷關(guān)系． (3)數(shù)形結(jié)合法：利用數(shù)軸或Venn圖． 跟蹤訓(xùn)練3　已知集合A＝{x|－1

8、故有AB. 類型三　由集合間的關(guān)系求參數(shù)(或參數(shù)范圍) 例4　已知集合A＝{x|x2－x＝0}，B＝{x|ax＝1}，且A?B，求實數(shù)a的值． 考點　子集及其運算 題點　根據(jù)子集關(guān)系求參數(shù)的值 解　A＝{x|x2－x＝0}＝{0,1}． (1)當(dāng)a＝0時，B＝??A，符合題意． (2)當(dāng)a≠0時，B＝{x|ax＝1}＝， ∵≠0，要使A?B，只有＝1，即a＝1. 綜上，a＝0或a＝1. 反思與感悟　集合A的子集可分三類：?，A本身，A的非空真子集，解題中易忽略?. 跟蹤訓(xùn)練4　已知集合A＝{x|1

9、取值范圍． 考點　子集及其運算 題點　根據(jù)子集關(guān)系求參數(shù)的取值范圍 解　(1)當(dāng)2a－3≥a－2，即a≥1時，B＝??A，符合題意． (2)當(dāng)a<1時，要使A?B，需滿足這樣的實數(shù)a不存在． 綜上，實數(shù)a的取值范圍是{a|a≥1}. 1．下列說法： ①空集沒有子集； ②任何集合至少有兩個子集； ③空集是任何集合的真子集； ④若?A，則A≠?. 其中正確的個數(shù)是(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 考點　空集的定義、性質(zhì)及運算 題點　空集的定義 答案　B 解析　只有④正確． 2．集合P＝{x|x2－1＝0}，T＝{－1,0,1}，則P與T的關(guān)系為

10、(　　) A．PT B．P∈T C．P＝T D．P?T 考點　集合的包含關(guān)系 題點　集合包含關(guān)系的判定 答案　A 3．若A＝{1}，則下列關(guān)系錯誤的是(　　) A．??? B．A?A C．??A D．?∈A 考點　空集的定義、性質(zhì)及運算 題點　空集的性質(zhì) 答案　D 4．下列正確表示集合M＝{－1,0,1}和N＝{x|x2＋x＝0}關(guān)系的Venn圖是(　　) 考點　集合的包含關(guān)系 題點　集合包含關(guān)系的判定 答案　B 5．已知集合A＝，B＝，則集合A，B之間的關(guān)系為________． 考點　集合的關(guān)系 題點　集合關(guān)系的判定 答案　A＝

11、B 解析　A＝ ＝， B＝ ＝，故A＝B. 1．對子集、真子集有關(guān)概念的理解 (1)集合A中的任何一個元素都是集合B中的元素，即由x∈A，能推出x∈B，這是判斷A?B的常用方法． (2)不能簡單地把“A?B”理解成“A是B中部分元素組成的集合”，因為若A＝?時，則A中不含任何元素；若A＝B，則A中含有B中的所有元素． (3)在真子集的定義中，AB首先要滿足A?B，其次至少有一個x∈B，但x?A. 2．集合子集的個數(shù) 求集合的子集問題時，一般可以按照子集元素個數(shù)分類，再依次寫出符合要求的子集． 集合的子集、真子集個數(shù)的規(guī)律為：含n個元素的集合有2n個子集，有2n－1個

12、真子集，有2n－2個非空真子集．寫集合的子集時，空集和集合本身易漏掉． 3．由集合間的關(guān)系求參數(shù)問題的注意點及常用方法 (1)注意點：①不能忽視集合為?的情形； ②當(dāng)集合中含有字母參數(shù)時，一般需要分類討論． (2)常用方法：對于用不等式給出的集合，已知集合的包含關(guān)系求相關(guān)參數(shù)的范圍(值)時，常采用數(shù)形結(jié)合的思想，借助數(shù)軸解答. 一、選擇題 1．在下列關(guān)系中錯誤的個數(shù)是(　　) ①1∈{0,1,2}； ②{1}∈{0,1,2}； ③{0,1,2}?{0,1,2}； ④{0,1,2}＝{2,0,1}； ⑤{0,1}?{(0,1)}． A．1 B．2 C．3 D．4

13、 考點　集合的包含關(guān)系 題點　集合包含關(guān)系的判定 答案　B 解析?、僬_；因為集合{1}是集合{0,1,2}的真子集，而不能用符號∈來表示，所以②錯誤；③正確，因為任何集合都是它本身的子集；④正確，因為集合元素具有無序性；因為集合{0,1}表示數(shù)集，它有兩個元素，而集合{(0,1)}表示點集，它只有一個元素，所以⑤錯誤，所以錯誤的個數(shù)是2.故選B. 2．已知集合M＝{(x，y)|x＋y<0，xy>0}和P＝{(x，y)|x<0，y<0}，那么(　　) A．PM B．MP C．M＝P D．M?P 考點　集合的包含關(guān)系 題點　集合包含關(guān)系的判定 答案　C 解析　由

14、得故M＝P. 3．已知集合U，S，T，F(xiàn)的關(guān)系如圖所示，則下列關(guān)系正確的是(　　) ①S∈U；②F?T；③S?T；④S?F；⑤S∈F；⑥F?U. A．①③ B．②③ C．③④ D．③⑥ 考點　集合的包含關(guān)系 題點　集合包含關(guān)系的判定 答案　D 解析　元素與集合之間的關(guān)系才用∈，故①⑤錯；子集的區(qū)域要被全部涵蓋，故②④錯． 4．已知集合A＝{x|x是三角形}，B＝{x|x是等腰三角形}，C＝{x|x是等腰直角三角形}，D＝{x|x是等邊三角形}，則(　　) A．A?B B．C?B C．D?C D．A?D 考點　集合的包含關(guān)系 題點　集合包含關(guān)系的判定

15、 答案　B 解析　∵等腰三角形包括等腰直角三角形，∴C?B. 5．若M?P，M?Q，P＝{0,1,2}，Q＝{0,2,4}，則滿足上述條件的集合M的個數(shù)是(　　) A．1 B．2 C．4 D．8 考點　子集個數(shù) 題點　求集合的子集個數(shù) 答案　C 解析　P，Q中的公共元素組成集合C＝{0,2}，M?C，這樣的集合M共有22＝4個． 6．設(shè)集合A＝{－1,1}，集合B＝{x|x2－2ax＋b＝0}，若B≠?，B?A，則(a，b)不能是(　　) A．(－1,1) B．(－1,0) C．(0，－1) D．(1,1) 考點　子集及其運算 題點　根據(jù)子集關(guān)系求參數(shù)的

16、值 答案　B 解析　當(dāng)a＝－1，b＝1時，B＝{x|x2＋2x＋1＝0}＝{－1}，符合； 當(dāng)a＝b＝1時，B＝{x|x2－2x＋1＝0}＝{1}，符合； 當(dāng)a＝0，b＝－1時，B＝{x|x2－1＝0}＝{－1,1}，符合； 當(dāng)a＝－1，b＝0時，B＝{x|x2＋2x＝0}＝{0，－2}，不符合． 7．已知集合A?，且集合A中至少含有一個偶數(shù)，則這樣的集合A的個數(shù)為(　　) A．6 B．5 C．4 D．3 考點　子集及其運算 題點　求集合的子集 答案　A 解析　方法一　集合的子集為?，，，，，，，，其中含有偶數(shù)的集合有6個． 方法二　共有23＝8(個)子集，其中不

17、含偶數(shù)的有?，. 故符合題意的A共有8－2＝6(個)． 二、填空題 8．已知{0,1}A?{－1,0,1}，則集合A的個數(shù)為________． 考點　與兩個已知集合有包含關(guān)系的集合個數(shù) 題點　與兩個已知集合有包含關(guān)系的集合個數(shù) 答案　1 解析　由題意知集合A中一定含有元素0,1，并且A中至少含三個元素，又因為A?{－1,0,1}，所以A＝{－1,0,1}，滿足題意的集合A有1個． 9．已知集合A＝，B＝，則集合A，B滿足的關(guān)系是________．(用?，，＝連接A，B) 考點　集合的包含關(guān)系 題點　集合包含關(guān)系的判定 答案　AB 解析　若x0∈A，即x0＝＋＝＋－

18、 ＝＋，k0∈Z. ∵2k0－1∈Z，∴x0∈B，即A?B， 又∈B，但?A，即A≠B， ∴AB. 10．已知集合＝{x|x∈R|ax2－4x＋1＝0}(a，b∈R)，則a＋b＝________. 考點　子集及其運算 題點　根據(jù)子集關(guān)系求參數(shù)的值 答案　或 解析　由題意知方程ax2－4x＋1＝0有唯一解，當(dāng)a＝0時，x＝，此時b＝，則a＋b＝；當(dāng)a≠0時，由Δ＝(－4)2－4a＝0，得a＝4，方程ax2－4x＋1＝0的解為x＝，此時b＝，則a＋b＝. 三、解答題 11．已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0

19、?B的集合C有多少個？ 考點　與兩個已知集合有包含關(guān)系的集合個數(shù) 題點　與兩個已知集合有包含關(guān)系的集合個數(shù) 解　先用列舉法表示集合A，B. 由x2－3x＋2＝0得x＝1或x＝2，∴A＝{1,2}． 由題意知B＝{1,2,3,4}，∴滿足條件的C可為{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}． 綜上，滿足題意的集合C共有4個． 12．設(shè)A＝{x|x2＋4x＝0}，B＝{x|x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0}，其中x∈R，如果B?A，求實數(shù)a的取值范圍． 考點　子集及其運算 題點　根據(jù)子集關(guān)系求參數(shù)的取值范圍 解　由于A＝{0，－4}，又B?A，則 ①當(dāng)

20、B＝A時，即0，－4是方程x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0的兩根，代入方程解得a＝1. ②當(dāng)B≠A時， (ⅰ)當(dāng)B＝?時，則Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)<0， 解得a<－1； (ⅱ)當(dāng)B＝{0}或B＝{－4}時，方程x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0應(yīng)有兩相等實數(shù)根0或－4，則Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)＝0，解得a＝－1，此時B＝{0}，滿足條件． 綜上，可知a＝1或a≤－1. 13．已知集合A＝{1,3，－x3}，B＝{x＋2,1}，是否存在實數(shù)x，使得B是A的子集？若存在，求出集合A，B；若不存在，請說明理由． 考點　子集及其運算 題點　求集合的子集 解　

21、因為B是A的子集， 所以B中元素必是A中的元素， 若x＋2＝3，則x＝1，符合題意． 若x＋2＝－x3，則x3＋x＋2＝0， 所以(x＋1)(x2－x＋2)＝0. 因為x2－x＋2≠0，所以x＋1＝0，所以x＝－1， 此時x＋2＝1，集合B中的元素不滿足互異性． 綜上所述，存在實數(shù)x＝1，使得B是A的子集， 此時A＝{1,3，－1}，B＝{1,3}． 四、探究與拓展 14．給定集合U，若非空集合A，B滿足A?U，B?U，且集合A中的最大元素小于B中的最小元素，則稱(A，B)為U的一個有序子集對，若U＝{1,2,3,4}，則U的有序子集對的個數(shù)為(　　) A．16 B．1

22、7 C．18 D．19 考點　子集及其運算 題點　求集合的子集 答案　B 解析　當(dāng)A＝{1}時，集合B為集合{2,3,4}的非空子集，有7個； 當(dāng)A＝{2}時，集合B為集合{3,4}的非空子集，有3個； 當(dāng)A＝{3}時，集合B＝{4}，有1個； 當(dāng)A＝{1,2}時，集合B為集合{3,4}的非空子集，有3個； 當(dāng)A＝{1,3}時，集合B＝{4}，有1個； 當(dāng)A＝{2,3}時，集合B＝{4}，有1個； 當(dāng)A＝{1,2,3}時，集合B＝{4}，有1個． 所以符合條件的有序子集對有17個． 15．已知集合A＝{x|x2－4mx＋2m＋6＝0}，B＝{x|x<0}，若A?B，求實數(shù)m的取值集合． 考點　子集及其運算 題點　根據(jù)子集關(guān)系求參數(shù)的取值范圍 解　∵A?B， ∴當(dāng)A＝?時，即方程x2－4mx＋2m＋6＝0無實根， 故Δ＝16m2－8(m＋3)<0，解得－1