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2022年高中物理教科版必修2教學(xué)案:第三章 第2節(jié) 萬有引力定律(含解析)

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1、2022年高中物理教科版必修2教學(xué)案:第三章 第2節(jié) 萬有引力定律(含解析) 1.牛頓認(rèn)為所有物體之間存在萬有引力,太陽與行星間的引力使得行星繞太陽運(yùn)動(dòng)。 2.任何兩個(gè)物體間都存在相互作用的引力,引力的大小與這兩個(gè)物體的質(zhì)量的乘積成正比,與這兩個(gè)物體之間的距離的平方成反比。 3.萬有引力定律公式F=G,其中G為引力常量,G=6.67×10-11 N·m2/ kg2。r指兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)之間的距離;對于質(zhì)量分布均勻的球體,指的是兩個(gè)球心之間的距離。 4.在不考慮地球自轉(zhuǎn)的情況下,在地球表面上的物體所受的重力近似等于地球?qū)ξ矬w的萬有引力,mg=G。即:GM=gR2。

2、一、與引力有關(guān)現(xiàn)象的思考 1.牛頓的思考 蘋果由于受到地球的吸引力落向地面;月球不沿直線運(yùn)動(dòng)而是繞地球做圓周運(yùn)動(dòng),表明月球受到方向指向地心的向心力作用。 2.思考的結(jié)論 (1)月球必定受到地球?qū)λ囊ψ饔谩? (2)蘋果落地中蘋果與月球在運(yùn)動(dòng)中受到的都是地球?qū)λ鼈兊囊Α? (3)行星圍繞太陽運(yùn)動(dòng)的向心力由太陽對行星的引力提供。 二、太陽與行星間引力的推導(dǎo) 1.模型簡化:行星以太陽為圓心做勻速圓周運(yùn)動(dòng),太陽對行星的引力提供了行星做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的向心力。 2.推導(dǎo)過程: (1)太陽對行星的引力 ?F∝ (2)行星對太陽的引力 根據(jù)牛頓第三定律,行星對太陽的引力F′的大小也

3、存在與上述關(guān)系類似的結(jié)果,即F′∝。 (3)太陽與行星間的引力 由于F∝、F′∝,且F=F′,則有F∝,寫成等式F=G,式中G為比例系數(shù)。 三、萬有引力定律 1.內(nèi)容 任何兩個(gè)物體之間都存在相互作用的引力,引力的大小與這兩個(gè)物體的質(zhì)量的乘積成正比,與這兩個(gè)物體之間的距離的平方成反比。 2.公式 F=G。 3.引力常量 (1)數(shù)值:英國物理學(xué)家卡文迪許較準(zhǔn)確地得出了G的數(shù)值,G=6.67×10-11 N·m2/kg2,是一個(gè)與物質(zhì)種類無關(guān)的普適常量。 (2)物理意義:引力常量在數(shù)值上等于兩個(gè)質(zhì)量為1 kg的質(zhì)點(diǎn)相距1 m時(shí)的吸引力。 1.自主思考——判一判 (1)月球

4、繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)是因?yàn)樵虑蚴芰ζ胶狻?×) (2)行星繞太陽的運(yùn)動(dòng)不需要力的作用。(×) (3)勻速圓周運(yùn)動(dòng)的規(guī)律同樣適用于行星運(yùn)動(dòng)。(√) (4)太陽與行星間作用力的公式F=G也適用于行星與它的衛(wèi)星之間。(√) (5)萬有引力定律適用于兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)間的相互作用力的計(jì)算。(√) (6)萬有引力不僅存在于天體之間,也存在于普通物體之間。(√) 2.合作探究——議一議 (1)蘋果由于受地球的吸引力落向地面,月球受地球的引力作用,為何不落向地面? 提示:月球受地球的引力作用,而這種作用恰好提供月球繞地球做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力,故月球能維持這種運(yùn)動(dòng)而不落向地面。 (2)把行星的運(yùn)動(dòng)看作是

5、勻速圓周運(yùn)動(dòng),是否違背客觀事實(shí)? 提示:由于太陽系中行星繞太陽做橢圓運(yùn)動(dòng)的軌跡的兩個(gè)焦點(diǎn)靠得很近,行星的運(yùn)動(dòng)軌跡非常接近圓,為了降低分析問題的難度,可以把行星的運(yùn)動(dòng)理想化為勻速的圓周運(yùn)動(dòng)。 (3)萬有引力定律告訴我們,任何兩個(gè)物體都是相互吸引的,但為什么通常的兩個(gè)物體間感受不到萬有引力?兩個(gè)質(zhì)量都為100 kg的大胖子相距1 m時(shí),它們間萬有引力多大? 提示:萬有引力太??;F=G=6.67×10-11× N=6.67×10-7 N。 對萬有引力定律的理解 1.公式的適用條件:嚴(yán)格說F=G只適用于計(jì)算兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)間的萬有引力,但對于下述幾種情況,也可用該公式計(jì)算。 (

6、1)兩質(zhì)量分布均勻的球體間的萬有引力,可用公式計(jì)算,此時(shí)r是兩個(gè)球體球心的距離。 (2)一個(gè)質(zhì)量分布均勻球體與球外一個(gè)質(zhì)點(diǎn)間的萬有引力,可用公式計(jì)算,r為球心到質(zhì)點(diǎn)間的距離。 (3)兩個(gè)物體間的距離遠(yuǎn)大于物體本身的大小時(shí),公式也適用。 2.萬有引力的特性 特點(diǎn) 內(nèi)容 普遍性 萬有引力是普遍存在于宇宙中任何有質(zhì)量的物體(大到天體小到微觀粒子)間的相互吸引力,它是自然界中物體間的基本相互作用之一 相互性 兩個(gè)物體相互作用的引力是一對作用力與反作用力,符合牛頓第三定律 宏觀性 通常情況下,萬有引力非常小,只有在質(zhì)量巨大的天體間或天體與物體間,它的存在才有宏觀的物理意義。在微觀世

7、界中,粒子的質(zhì)量都非常小,粒子間的萬有引力可以忽略不計(jì) 特殊性 兩個(gè)物體間的萬有引力,只與它們本身的質(zhì)量、它們之間的距離有關(guān),和所在空間的性質(zhì)無關(guān),和周圍有無其他物體的存在無關(guān) [典例] 一個(gè)質(zhì)量為M的均質(zhì)實(shí)心球,半徑為R。如果通過球心挖去一個(gè)直徑為R的小實(shí)心球,然后置于相距為d的地方,如圖3-2-1所示,試計(jì)算空心球與小實(shí)心球之間的萬有引力。 圖3-2-1 [思路點(diǎn)撥] (1)萬有引力定律只適用于計(jì)算質(zhì)點(diǎn)間的引力大小。 (2)球體剩余部分對小實(shí)心球的萬有引力等于原球?qū)π?shí)心球的萬有引力減去挖去的球體對小實(shí)心球的萬有引力。 [解析] 假設(shè)把挖去的小實(shí)心球填補(bǔ)上,則大

8、、小實(shí)心球之間的萬有引力F=G?、?,小實(shí)心球的質(zhì)量m=ρ·π3=ρ·πR3=M?、冢散佗诘肍=。填入的小實(shí)心球與挖去的小實(shí)心球之間的萬有引力F1=G=·。因此,空心球與小實(shí)心球之間的萬有引力F2=F-F1=-。 [答案] - 若在球心處挖去,重心還在球心,可以通過萬有引力定律公式直接求解,若不在球心處挖去,不能運(yùn)用公式直接去計(jì)算剩余部分的引力,因?yàn)槟鞘且粋€(gè)質(zhì)量分布不均勻的球體?!   ? 1.(多選)對于萬有引力定律的表達(dá)式F=G,下列說法中正確的是(  ) A.公式中G為引力常量,與兩個(gè)物體的質(zhì)量無關(guān) B.當(dāng)r趨近于零時(shí),萬有引力趨近于無窮大 C.m1與m2受到的引力大小

9、總是相等的,方向相反,是一對平衡力 D.m1與m2受到的引力大小總是相等的,而與m1、m2是否相等無關(guān) 解析:選AD 公式中的G為比例系數(shù),稱作引力常量,與兩個(gè)物體的質(zhì)量無關(guān),A對;當(dāng)兩物體表面距離r越來越小,直至趨近于零時(shí),物體不能再看作質(zhì)點(diǎn),表達(dá)式F=G已不再適用于計(jì)算它們之間的萬有引力,B錯(cuò);m1與m2受到彼此的引力為作用力與反作用力,此二力總是大小相等、方向相反,與m1、m2是否相等無關(guān),C錯(cuò),D對。 2.某物體在地球表面,受到地球的萬有引力為F。若此物體受到的引力減小為,則其距離地面的高度應(yīng)為(R為地球半徑)(  ) A.R           B.2R C.4R D.

10、8R 解析:選A 根據(jù)萬有引力定律表達(dá)式得:F=,其中r為物體到地球中心的距離。某物體在地球表面,受到地球的萬有引力為F,此時(shí)r=R,若此物體受到的引力減小為,根據(jù)F=得出此時(shí)物體到地球中心的距離r′=2R,所以物體距離地面的高度應(yīng)為R,A正確。 3.如圖3-2-2所示,一個(gè)質(zhì)量均勻分布的半徑為R的球體對球外質(zhì)點(diǎn)P的萬有引力為F。如果在球體中央挖去半徑為r的一部分球體,且r=,則原球體剩余部分對質(zhì)點(diǎn)P的萬有引力變?yōu)?  ) 圖3-2-2 A. B. C. D. 解析:選C 利用填補(bǔ)法來分析此題,原來物體間的萬有引力為F,挖去半徑為的球的質(zhì)量為原來球的質(zhì)量的,其他條件不

11、變,故剩余部分對質(zhì)點(diǎn)P的引力為F-=F,選項(xiàng)C正確。 萬有引力與重力的關(guān)系 1.萬有引力與重力的關(guān)系 如圖3-2-3所示,設(shè)地球的質(zhì)量為M,半徑為R,A處物體的質(zhì)量為m,則物體受到地球的吸引力為F,方向指向地心O,由萬有引力公式得F=G。 圖3-2-3 圖中F1為物體隨地球自轉(zhuǎn)做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力,F(xiàn)2就是物體的重力mg,故一般情況下mg

12、G。 (3)其他位置物體的重力大小介于以上兩式之間,且隨緯度的增加而增大。 3.重力、重力加速度與高度的關(guān)系 (1)在地球表面:mg=G,g=,g為常數(shù)。 (2)在距地面高h(yuǎn)處:mg′=G,g′=,高度h越大,重力加速度g′越小。 [典例] 一物體在地面受到的重力為160 N,將它放置在航天飛機(jī)中,當(dāng)航天飛機(jī)以a=的加速度隨火箭向上加速升空的過程中,某一時(shí)刻測得物體與航天飛機(jī)中的支持物的相互壓力為90 N,求此時(shí)航天飛機(jī)距地面的高度。(地球半徑取6.4×106 m,g表示重力加速度,取10 m/s2) [審題指導(dǎo)] (1)題中g(shù)是地面處的重力加速度,航天飛機(jī)向上以的加速度做勻加

13、速直線運(yùn)動(dòng)。 (2)運(yùn)動(dòng)過程中,航天飛機(jī)所處位置的重力加速度是變化的。 [解析] 設(shè)物體離地面的距離為h,這時(shí)受到地球的萬有引力F=G 在地球表面有G=mg?、? 在升至離地面h時(shí),N-G=ma?、? 由①②式得= 則h=R地?、? 由mg=160 N,得m=16 kg,N=90 N,a=g=5 m/s2,R地=6.4×103 km,g=10 m/s2代入③式得h=1.92×104 km。 [答案] 1.92×104 km 萬有引力定律可以與牛頓第二定律、勻變速運(yùn)動(dòng)規(guī)律、運(yùn)動(dòng)的合成與分解等結(jié)合起來考查地球或其他星球上物體的運(yùn)動(dòng),在這類問題中,重力加速度往往是解題的關(guān)鍵點(diǎn)?! ?

14、    1.宇航員王亞平在“天宮1號”飛船內(nèi)進(jìn)行了我國首次太空授課,演示了一些完全失重狀態(tài)下的物理現(xiàn)象。若飛船質(zhì)量為m,距地面高度為h,地球質(zhì)量為M,半徑為R,引力常量為G,則飛船所在處的重力加速度大小為(  ) A.0         B. C. D. 解析:選B 飛船受的萬有引力等于在該處所受的重力,即G=mg,得g=,選項(xiàng)B正確。 2.火星和地球質(zhì)量的比值為P,火星和地球的半徑的比值為q,則火星表面處和地球表面處的重力加速度之比為(  ) A. B.Pq2 C. D.Pq 解析:選A 星體表面的重力加速度g=∝,所以火星表面和地球表面的重力加速度之比為=

15、·=,A正確。 3.若在某行星和地球上相對于各自的水平地面附近相同的高度處、以相同的速率平拋一物體,它們在水平方向運(yùn)動(dòng)的距離之比為2∶。已知該行星質(zhì)量約為地球的7倍,地球的半徑為R。由此可知,該行星的半徑約為(  ) A.R B.R C.2R D.R 解析:選C 平拋運(yùn)動(dòng)在水平方向上做勻速直線運(yùn)動(dòng),即x=v0t,在豎直方向上做自由落體運(yùn)動(dòng),即h=gt2,所以x=v0 ,兩種情況下,拋出的速度相同,高度相同,所以=,根據(jù)公式G=mg可得g=,故==,解得R行=2R,故C正確。 1.發(fā)現(xiàn)萬有引力定律和測出引力常量的科學(xué)家分別是(  ) A.牛頓、卡文迪許     B.伽利

16、略、卡文迪許 C.開普勒、牛頓 D.第谷、伽利略 解析:選A 牛頓根據(jù)行星的運(yùn)動(dòng)規(guī)律推導(dǎo)出了萬有引力定律,經(jīng)過100多年后,由英國物理學(xué)家卡文迪許利用扭秤裝置巧妙的測量出了兩個(gè)鐵球間的引力,從而第一次較為準(zhǔn)確的得到萬有引力常量,故A正確,B、C、D錯(cuò)誤。 2.設(shè)想把質(zhì)量為m的物體(可視為質(zhì)點(diǎn))放到地球的中心,地球質(zhì)量為M、半徑為R。則物體與地球間的萬有引力是(  ) A.零 B.無窮大 C. D.無法確定 解析:選A 把物體放到地球的中心時(shí)r=0,此時(shí)萬有引力定律不再適用。由于地球關(guān)于球心對稱,所以吸引力相互抵消,整體而言,萬有引力為零。 3.在某次測定引力常量的實(shí)驗(yàn)

17、中,兩金屬球的質(zhì)量分別為m1和m2,球心間的距離為r,若測得兩金屬球間的萬有引力大小為F,則此次實(shí)驗(yàn)得到的引力常量為(  ) A. B. C. D. 解析:選B 由萬有引力定律公式F=G得G=,所以B項(xiàng)正確。 4.假如地球自轉(zhuǎn)速度增大,關(guān)于物體所受的重力,下列說法正確的是(  ) A.放在赤道地面上物體的萬有引力變大 B.放在兩極地面上的物體的重力不變 C.放在赤道地面上物體的重力不變 D.放在兩極地面上物體的重力增加 解析:選B 地球自轉(zhuǎn)速度增大,物體受到的萬有引力不變,選項(xiàng)A錯(cuò)誤;在兩極,物體受到的萬有引力等于其重力,則其重力不變,選項(xiàng)B正確,D錯(cuò)誤;而對于放在

18、赤道地面上的物體,F(xiàn)萬=G重+mω2R,由于ω增大,則G重減小,選項(xiàng)C錯(cuò)誤。 5.要使可視為質(zhì)點(diǎn)的兩物體間萬有引力減小到原來的,可采取的方法是(  ) A.兩物體間距離保持不變,兩物體的質(zhì)量均減為原來的 B.兩物體間距離保持不變,僅一個(gè)物體質(zhì)量減為原來的 C.兩物體質(zhì)量均不變,兩物體間的距離變?yōu)樵瓉淼? D.兩物體質(zhì)量均不變,兩物體間的距離變?yōu)樵瓉淼?倍 解析:選B 根據(jù)F=G知,兩物體間距離保持不變,兩物體的質(zhì)量均減為原來的,則萬有引力減小為原來的,故A錯(cuò)誤;根據(jù)F=G知,兩物體間距離保持不變,僅一個(gè)物體質(zhì)量減為原來的,則萬有引力減小為原來的,故B正確;根據(jù)F=G知,兩物體質(zhì)量均不

19、變,兩物體間的距離變?yōu)樵瓉淼模瑒t萬有引力變?yōu)樵瓉淼?倍,故C錯(cuò)誤;根據(jù)F=G知,兩物體質(zhì)量均不變,兩物體間的距離變?yōu)樵瓉淼?倍,則萬有引力變?yōu)樵瓉淼?,故D錯(cuò)誤。 6.甲、乙兩星球的平均密度相等,半徑之比是R甲∶R乙=4∶1,則同一物體在這兩個(gè)星球表面受到的重力之比是(  ) A.1∶1 B.4∶1 C.1∶16 D.1∶64 解析:選B 由G=mg得g甲∶g乙=M甲R乙2∶M乙R甲2,而M=ρ·πR3??梢酝频肎甲∶G乙=g甲∶g乙=R甲∶R乙=4∶1,故選B。 7.兩個(gè)質(zhì)量均為M的星體,其連線的垂直平分線為AB,O為兩星體連線的中點(diǎn),如圖1所示,一質(zhì)量為m的物體從O沿O

20、A方向運(yùn)動(dòng),設(shè)A離O足夠遠(yuǎn),則物體在運(yùn)動(dòng)過程中受到兩個(gè)星球萬有引力的合力大小變化情況是(  ) 圖1 A.一直增大 B.一直減小 C.先減小后增大 D.先增大后減小 解析:選D 在O點(diǎn)兩星球?qū)ξ矬wm的萬有引力大小相等、方向相反,合力為零;在離O很遠(yuǎn)的A點(diǎn),由于距離太大,星球?qū)ξ矬w的萬有引力非常小,也可以近似認(rèn)為等于零。由此可見,物體在運(yùn)動(dòng)過程中受到兩個(gè)星球萬有引力的合力先增大后減小,D正確。 8.(多選)如圖2所示,P、Q為質(zhì)量均為m的兩個(gè)質(zhì)點(diǎn),分別置于地球表面上的不同緯度上,如果把地球看成一個(gè)均勻球體,P、Q兩質(zhì)點(diǎn)隨地球自轉(zhuǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng),則下列說法正確的是(  )

21、 圖2 A.P、Q受地球引力大小相等 B.P、Q做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力大小相等 C.P、Q做圓周運(yùn)動(dòng)的角速度大小相等 D.P受地球引力大于Q所受地球引力 解析:選AC 計(jì)算均勻球體與質(zhì)點(diǎn)間的萬有引力時(shí),r為球心到質(zhì)點(diǎn)的距離,因?yàn)镻、Q到地球球心的距離相同,根據(jù)F=G,P、Q受地球引力大小相等。P、Q隨地球自轉(zhuǎn),角速度相同,但軌道半徑不同,根據(jù)F=mrω2,P、Q做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力大小不同。綜上所述,選項(xiàng)A、C正確。 9.兩大小相同的實(shí)心小鐵球緊靠在一起時(shí),它們之間的萬有引力為F。若兩個(gè)半徑為實(shí)心小鐵球2倍的實(shí)心大鐵球緊靠在一起,則它們之間的萬有引力為(  ) A.2F B.

22、4F C.8F D.16F 解析:選D 小鐵球之間的引力F=G=G,大鐵球半徑是小鐵球2倍,對小鐵球有m=ρV=ρ,對大鐵球有M=ρV′=ρ=8ρ=8m,兩大鐵球間的萬有引力F′=G=G=16G=16F,故選D。 10.設(shè)地球自轉(zhuǎn)周期為T,質(zhì)量為M,引力常量為G。假設(shè)地球可視為質(zhì)量均勻分布的球體,半徑為R。同一物體在南極和赤道水平面上靜止時(shí)所受到的支持力之比為(  ) A. B. C. D. 解析:選A 物體在南極地面所受的支持力等于萬有引力,F(xiàn)=①, 在赤道處,F(xiàn)萬-F′=F向,得F′=F萬-F向,又F向=mR,則F′=-mR②, 由①、②式,可得,選項(xiàng)A正確。

23、 11.火星半徑是地球半徑的一半,火星質(zhì)量約為地球質(zhì)量的,那么地球表面質(zhì)量為m的人受到地球的吸引力約為火星表面同質(zhì)量的人受到火星引力的多少倍? 解析:設(shè)火星半徑為R,質(zhì)量為M,則地球半徑為2R,質(zhì)量為9M。 在地球表面人受到的引力F=G 在火星表面人受到的引力F′=G; 所以=,即同質(zhì)量的人在地球表面受到的引力是在火星表面受到的引力的倍。 答案:倍 12.宇航員在地球表面以一定初速度豎直上拋一小球,經(jīng)過時(shí)間t小球落回原處;若他在某星球表面以相同的初速度豎直上拋同一小球,需經(jīng)過時(shí)間5t小球落回原處。(取地球表面重力加速度g=10 m/s2,空氣阻力不計(jì)) (1)求該星球表面附近的重力加速度g′的大??; (2)已知該星球的半徑與地球半徑之比為=,求該星球的質(zhì)量與地球質(zhì)量之比。 解析:(1)在地球表面以一定的初速度v0豎直上拋一小球,經(jīng)過時(shí)間t小球落回原處,根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式可有 t=。同理,在某星球表面以相同的初速度豎直上拋同一小球,經(jīng)過時(shí)間5t小球落回原處,則5t= 根據(jù)以上兩式,解得g′=g=2 m/s2。 (2)在天體表面時(shí),物體的重力近似等于萬有引力,即 mg=,所以M= 由此可得,=·=×=。 答案:(1)2 m/s2 (2)1∶80

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