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1、二年級(jí)數(shù)學(xué) 奧數(shù)講座 找規(guī)律(一)
例1 觀察下面由點(diǎn)組成的圖形(點(diǎn)群),請(qǐng)回答:
?。?)方框內(nèi)的點(diǎn)群包含多少個(gè)點(diǎn)?
?。?)第(10)個(gè)點(diǎn)群中包含多少個(gè)點(diǎn)?
(3)前十個(gè)點(diǎn)群中,所有點(diǎn)的總數(shù)是多少?
解:數(shù)一數(shù)可知:前四個(gè)點(diǎn)群中包含的點(diǎn)數(shù)分別是:
1,4,7,10。
可見(jiàn),這是一個(gè)等差數(shù)列,在每相鄰的兩個(gè)數(shù)中,后一個(gè)數(shù)都比前一個(gè)數(shù)大3(即公差是3)。
(1)因?yàn)榉娇騼?nèi)應(yīng)是第(5)個(gè)點(diǎn)群,它的點(diǎn)數(shù)應(yīng)該是10+3=13(個(gè))。
?。?)列表,依次寫(xiě)出各點(diǎn)群的點(diǎn)數(shù),
可知第(10)個(gè)點(diǎn)群包含有28個(gè)點(diǎn)。
?。?)前十個(gè)點(diǎn)群
2、,所有點(diǎn)的總數(shù)是:
1+4+7+10+13+16+19+22+25+28=145(個(gè))
例2 圖6—2表示“寶塔”,它們的層數(shù)不同,但都是由一樣大的小三角形擺成的。仔細(xì)觀察后,請(qǐng)你回答:
?。?)五層的“寶塔”的最下層包含多少個(gè)小三角形?
?。?)整個(gè)五層“寶塔”一共包含多少個(gè)小三角形?
?。?) 從第(1)到第(10)的十個(gè)“寶塔”,共包含多少個(gè)小三角形?
解:(1)數(shù)一數(shù)“寶塔”每層包含的小三角形數(shù):
可見(jiàn)1,3,5,7是個(gè)奇數(shù)列,所以由這個(gè)規(guī)律猜出第五層應(yīng)包含的小三角形是9個(gè)。
?。?)整個(gè)五層塔共包含的小三角形個(gè)數(shù)是:
1+
3、3+5+7+9=25(個(gè))。
?。?)每個(gè)“寶塔”所包含的小三角形數(shù)可列表如下:
由此發(fā)現(xiàn)從第(1)到第(10)共十個(gè)“寶塔”所包含的小三角形數(shù)是從1開(kāi)始的自然數(shù)平方數(shù)列前十項(xiàng)之和:
例3 下面的圖形表示由一些方磚堆起來(lái)的“寶塔”。仔細(xì)觀察后,請(qǐng)你回答:
?。?)從上往下數(shù),第五層包含幾塊磚?
(2)整個(gè)五層的“寶塔”共包含多少塊磚?
?。?)若另有一座這樣的十層寶塔,共包含多少塊磚?
解:(1)數(shù)一數(shù),“寶塔”每層包含的方磚塊數(shù):
可見(jiàn)各層的方磚塊數(shù)組成自然數(shù)平方數(shù)列,按此規(guī)律,第五層應(yīng)包含的方磚塊數(shù)是:
5×5=25(塊)。
4、
?。?)整個(gè)五層“寶塔”共包含的方磚塊數(shù)應(yīng)是從1開(kāi)始的前五個(gè)自然數(shù)的平方數(shù)相加之和,即:
1+4+9+16+25=55(塊)。
?。?)根據(jù)上面得到的規(guī)律,可求出十層寶塔所包含的方磚的塊數(shù):
附送:
2019-2020年二年級(jí)數(shù)學(xué) 奧數(shù)講座 找規(guī)律(三)
數(shù)學(xué)家看問(wèn)題,總想找規(guī)律.我們學(xué)數(shù)學(xué),也要向他們學(xué)習(xí)。找規(guī)律,要從簡(jiǎn)單的情況著手,仔細(xì)觀察,得到啟示,大膽猜想,找出一般規(guī)律,還要進(jìn)行驗(yàn)證,最后還需要證明(在小學(xué)階段不要求同學(xué)們進(jìn)行證明)。
例1 沿直尺的邊緣把紙上的兩個(gè)點(diǎn)連起來(lái),這個(gè)圖形就叫做線(xiàn)段。這兩個(gè)點(diǎn)就叫線(xiàn)段的端點(diǎn),如圖8—1—1所示。不難看出
5、,線(xiàn)段也可以看成是直線(xiàn)上兩點(diǎn)間的部分。如果一條直線(xiàn)上標(biāo)出11個(gè)點(diǎn),如圖8—1—2所示,任何兩點(diǎn)間的部分都是一條線(xiàn)段,問(wèn)共有多少條線(xiàn)段。
解:先從簡(jiǎn)單的情況著手。
?。?)畫(huà)一畫(huà),數(shù)一數(shù):(見(jiàn)圖8—1—3)
?。?)試著分析:
2個(gè)點(diǎn),線(xiàn)段條數(shù):1=1
3個(gè)點(diǎn),線(xiàn)段條數(shù):3=2+1
4個(gè)點(diǎn),線(xiàn)段條數(shù):6=3+2+1
5個(gè)點(diǎn),線(xiàn)段條數(shù):10=4+3+2+1
?。?)大膽猜想:一條直線(xiàn)上有若干點(diǎn)時(shí)線(xiàn)段的條數(shù)總是從1開(kāi)始的一串自然數(shù)相加之和,其中最大的自然數(shù)比點(diǎn)數(shù)小1。
(4)進(jìn)行驗(yàn)證:對(duì)于更多點(diǎn)的情況,對(duì)猜想進(jìn)行驗(yàn)證,看猜想是否正確,如果正確,
6、就增加了對(duì)猜想的信心。如:
6個(gè)點(diǎn)時(shí):對(duì)不對(duì)?
——對(duì)。見(jiàn)圖 8—1—4。
線(xiàn)段條數(shù):5+4+3+2+1=15(條)。
?。?)應(yīng)用規(guī)律:應(yīng)用猜想到的規(guī)律解決更復(fù)雜的問(wèn)題。
當(dāng)直線(xiàn)上有11個(gè)點(diǎn)時(shí),線(xiàn)段的條數(shù)應(yīng)是:
10+9+8+7+6+5+4+3+2+1=55(條)。
例2 如圖8—2中(1)~(5)所示兩條直線(xiàn)相交只有1個(gè)交點(diǎn),3條直線(xiàn)相交最多有3個(gè)交點(diǎn),4條直線(xiàn)相交最多有6個(gè)交點(diǎn),……那么,11條直線(xiàn)相交最多有多少交點(diǎn)?
解:從簡(jiǎn)單情況著手研究:
?。?)畫(huà)一畫(huà)、數(shù)一數(shù)
圖8-2
?。?)試著分析:
7、直線(xiàn)條數(shù) 最多交點(diǎn)數(shù)
1 0
2 1=1
3 3=2+1
4 6=3+2+1
5 10=4+3+2+1
?。?)大膽猜想:若干條直線(xiàn)相交時(shí),最多的交點(diǎn)數(shù)是從1開(kāi)始的一串自然數(shù)相加之和,其中最大的自然數(shù)比直線(xiàn)條數(shù)小1。
?。?)進(jìn)行驗(yàn)證:見(jiàn)圖8—3。取6條直線(xiàn)相交,畫(huà)一畫(huà),數(shù)一數(shù),看一看最多交點(diǎn)個(gè)數(shù)與猜想的是否一致,若相符,則更增強(qiáng)了對(duì)猜想的信心。
用猜想的算法進(jìn)行計(jì)算:最多交點(diǎn)數(shù)應(yīng)是
5+4+3+2+1=15(個(gè))。
?。?)應(yīng)用規(guī)律:應(yīng)用猜想到的規(guī)律解決更復(fù)雜的問(wèn)題。當(dāng)有11條直線(xiàn)相交時(shí),最多的交點(diǎn)數(shù)應(yīng)是:
10+9+8+7+6
8、+5+4+3+2+1=55(個(gè))。
例3 如圖8—4所示,一張大餅,切1刀最多切成2塊,切2刀最多切成4塊,切3刀最多切成7塊,……問(wèn)切10刀最多切成多少塊?
解:從最簡(jiǎn)單情況著手研究。
?。?)畫(huà)一畫(huà)、數(shù)一數(shù)
(2)試著分析:
所切刀數(shù) 切出的塊數(shù)
0 1
1 2=1+1
2 4=1+1+2
3 7=1+1+2+3
4 11=1+1+2+3+4
?。?)大膽猜想:把一張大餅切若干刀時(shí),切成的最多塊數(shù)等于從1開(kāi)始的一串自然數(shù)相加之和加1。其中最大的自然數(shù)等于切的刀數(shù)。
?。?)進(jìn)行驗(yàn)證:見(jiàn)圖8—5對(duì)大餅切5刀的情況用兩種方法求解,看結(jié)果是否一致,若一致則更增強(qiáng)了對(duì)猜想的信心。
?、贁?shù)一數(shù):16塊。
?、谒阋凰悖?+1+2+3+4+5=16(塊)。
?。?)應(yīng)用規(guī)律:把大餅切10刀時(shí),最多切成的塊數(shù)是:
1+1+2+3+4+5+6+7+8+9+10
=1+55
=56(塊)。