（全國通用版）2022-2023高中數(shù)學(xué) 第二章 函數(shù) 2.1.3 函數(shù)的單調(diào)性練習(xí) 新人教B版必修1
（全國通用版）2022-2023高中數(shù)學(xué) 第二章 函數(shù) 2.1.3 函數(shù)的單調(diào)性練習(xí) 新人教B版必修1
課時(shí)過關(guān)·能力提升
1函數(shù)f(x)= +1的單調(diào)遞減區(qū)間是( )
A.(-∞,0)
B.(0,+∞)
C.(-∞,0)和(0,+∞)
D.(-∞,1)和(1,+∞)
解析由反比例函數(shù)的圖象可知f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(-∞,0)和(0,+∞).
答案C
2下列結(jié)論正確的是( )
A.函數(shù)y=-x在R上是增函數(shù)
B.函數(shù)y=x2在R上是增函數(shù)
C.y=|x|是減函數(shù)
D.y=-在區(qū)間(-∞,0)內(nèi)是增函數(shù)
答案D
3若f(x)在(-∞,+∞)內(nèi)是減函數(shù),則有( )
A.f(a)>f(2a) B.f(a)>f(a2)
C.f(a+2)<f(a) D.f(a2+1)<f(1)
解析當(dāng)a∈R時(shí),總有a+2>a.因?yàn)閒(x)在(-∞,+∞)內(nèi)是減函數(shù),所以f(a+2)<f(a).
答案C
4函數(shù)f(x)在定義域M內(nèi)為增函數(shù),且f(x)>0,則下列函數(shù)在M內(nèi)不是增函數(shù)的是( )
A.y=4+3f(x) B.y=[f(x)]2
C.y=3+ D.y=2-
解析易知函數(shù)y=在M內(nèi)為減函數(shù),故y=3+也為減函數(shù).
答案C
5若函數(shù)f(x)是定義在(0,+∞)內(nèi)的增函數(shù),且f(2m)>f(9-m),則實(shí)數(shù)m的取值范圍是( )
A.(3,+∞) B.(0,3)
C.(3,9) D.(9,+∞)
解析依題意有
所以3<m<9.
答案C
6已知函數(shù)f(x)=則函數(shù)f(x)( )
A.在(0,+∞)內(nèi)是減函數(shù)
B.在(-∞,0)內(nèi)是增函數(shù),在(0,+∞)內(nèi)是減函數(shù)
C.不能判斷單調(diào)性
D.在(-∞,+∞)內(nèi)是增函數(shù)
解析畫出函數(shù)f(x)的圖象(如圖所示),可知f(x)在(-∞,+∞)內(nèi)是增函數(shù).
答案D
7函數(shù)f(x)=|x-2|的單調(diào)遞增區(qū)間是 .
解析由圖象可知,f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是[2,+∞).
答案[2,+∞)
8設(shè)函數(shù)f(x)滿足對任意的x1,x2∈R,都有(x1-x2)·[f(x1)-f(x2)]>0,則f(-3)與f(-π)的大小關(guān)系是 .
解析由題意,知f(x)是R上的增函數(shù).
又因?yàn)?3>-π,所以f(-3)>f(-π).
答案f(-3)>f(-π)
9函數(shù)y=-(x-5)|x|的單調(diào)遞增區(qū)間是 .
解析由題意,得y=-(x-5)|x|=
作出圖象如圖所示.
由圖象可知,函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是.
答案
10已知f(x)=在區(qū)間(-2,+∞)內(nèi)是增函數(shù),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 .
解析設(shè)x1,x2是(-2,+∞)內(nèi)的任意兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù),且-2<x1<x2,
則f(x1)-f(x2)=.
因?yàn)?2<x1<x2,
所以x1-x2<0,(x1+2)(x2+2)>0.
所以<0.
又因?yàn)閒(x)在(-2,+∞)內(nèi)是增函數(shù),
所以f(x1)-f(x2)<0,所以2a-1>0,
所以a>.
故實(shí)數(shù)a的取值范圍是.
答案
11已知函數(shù)f(x)=a-.
(1)若2f(1)=f(2),求實(shí)數(shù)a的值;
(2)判斷f(x)在(-∞,0)內(nèi)的單調(diào)性,并用定義證明.
解(1)∵2f(1)=f(2),
∴2(a-2)=a-1,∴a=3.
(2)f(x)在(-∞,0)內(nèi)是增函數(shù).
證明如下:
設(shè)x1,x2∈(-∞,0),且x1<x2,
則f(x1)-f(x2)=.
∵x1,x2∈(-∞,0),∴x1x2>0.
又∵x1<x2,∴x1-x2<0.
∴f(x1)-f(x2)< 0,
即f(x1)<f(x2).
∴f(x)=a-在(-∞,0)內(nèi)是增函數(shù).
★12函數(shù)f(x)是[0,+∞)內(nèi)的減函數(shù),f(x)≠0,且f(2)=1,證明函數(shù)F(x)= f(x)+在[0,2]上是減函數(shù).
分析函數(shù)f(x)沒有給出解析式,因此對F(x)的函數(shù)值作差后,需由f(x)的單調(diào)性確定作差后的符號.
證明設(shè)x1,x2是[0,2]上的任意兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù),
且0≤x1<x2≤2,則Δx=x2-x1>0,
F(x1)-F(x2)=f(x1)+-f(x2)-
=f(x1)-f(x2)+
=[f(x1)-f(x2)].
∵0≤x1<x2≤2,且f(x)是[0,+∞)內(nèi)的減函數(shù),
∴f(x1)>f(x2)≥f(2)=1.
∴f(x1)-f(x2)>0,f(x1)·f (x2)>1.
∴0<<1.
∴1->0.
∴F(x1)-F(x2)>0.
故F(x)在[0,2]上是減函數(shù).
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