《（新高考）2020版高考數(shù)學二輪復習 第二部分 講重點 選填題專練 第5講 數(shù)列教學案 理》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《（新高考）2020版高考數(shù)學二輪復習 第二部分 講重點 選填題專練 第5講 數(shù)列教學案 理（11頁珍藏版）》請在裝配圖網上搜索。

1、第5講　數(shù)列 調研一　等差數(shù)列與等比數(shù)列 ■備考工具—————————————— 1．an與Sn的關系 若數(shù)列{an}的前n項和為Sn，則 an＝ 2．已知Sn求an時應注意的問題 (1)應重視分類討論思想的應用，分n＝1和n≥2兩種情況討論，特別注意an＝Sn－Sn－1中需n≥2. (2)由Sn－Sn－1＝an推得an，當n＝1時，a1也適合“an式”，則需統(tǒng)一“合寫”． (3)由Sn－Sn－1＝an推得an，當n＝1時，a1不適合“an式”，則數(shù)列的通項公式應分段表示(“分寫”)，即an＝ 3．遞增數(shù)列：an＋1>an，遞減數(shù)列：an＋1

2、式及前n項和的公式 (1)an＝a1＋(n－1)d； (2)Sn＝na1＋＝. 5．等差數(shù)列的常用性質 (1)通項公式的推廣：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)． (2)若{an}是等差數(shù)列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，則ak＋al＝am＋an. (3)若{an}是等差數(shù)列，公差為d，則{a2n}也是等差數(shù)列，公差為2d. (4)若{an}，{bn}是等差數(shù)列，則{pan＋qbn}(p，q∈N*)也是等差數(shù)列． (5)若{an}是等差數(shù)列，則ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)組成公差為md的等差數(shù)列． (6)若{an}是等差數(shù)列，則也成等差數(shù)列

3、，其首項與{an}首項相同，公差是{an}公差的. (7)若{an}是等差數(shù)列，Sm，S2m，S3m分別為{an}的前m項，前2m項，前3m項的和，則Sm，S2m－Sm，S3m－S2m成等差數(shù)列． (8)S2n－1＝(2n－1)·an. (9)兩個等差數(shù)列{an}，{bn}的前n項和Sn，Tn之間的關系為＝. 6．等比數(shù)列的相關公式 (1)通項公式 通項公式 通項公式的推廣 an＝a1qn－1 (揭示首末兩項的關系) an＝amqn－m (揭示任意兩項之間的關系) (2)前n項和公式 Sn＝或Sn＝ 7．等比數(shù)列的性質 若{an}為等比數(shù)列，則 (1){a}，

4、，{c·an}(c≠0)都是等比數(shù)列． (2)各項及公比都不為0. 8．等比數(shù)列項的運算性質 若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，則am·an＝ap·aq. (1)特別地，當m＋n＝2k(m，n，k∈N*)時，am·an＝a. (2)對有窮等比數(shù)列，與首末兩項“等距離”的兩項之積等于首末兩項的積，即a1·an＝a2·an－1＝…＝ak·an－k＋1＝…. 9．等比數(shù)列前n項和的性質 若Sn是等比數(shù)列的前n項和，則當q≠－1時，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…成等比數(shù)列． ■自測自評—————————————— 1．[2019·全國卷Ⅰ]記Sn為等差數(shù)列{an}的前

5、n項和．已知S4＝0，a5＝5，則(　　) A．an＝2n－5　　　 B．an＝3n－10 C．Sn＝2n2－8n D．Sn＝n2－2n 解析：解法一：設等差數(shù)列{an}的公差為d， ∵∴解得 ∴an＝a1＋(n－1)d＝－3＋2(n－1)＝2n－5，Sn＝na1＋d＝n2－4n.故選A. 解法二：設等差數(shù)列{an}的公差為d，∵ ∴解得選項A，a1＝2×1－5＝－3；選項B，a1＝3×1－10＝－7，排除B；選項C，S1＝2－8＝－6，排除C；選項D，S1＝－2＝－，排除D.故選A. 答案：A 2．[2019·全國卷Ⅲ]已知各項均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}的前4項和為15，且

6、a5＝3a3＋4a1，則a3＝(　　) A．16 B．8 C．4 D．2 解析：設等比數(shù)列{an}的公比為q，由a5＝3a3＋4a1得q4＝3q2＋4，得q2＝4，因為數(shù)列{an}的各項均為正數(shù)，所以q＝2，又a1＋a2＋a3＋a4＝a1(1＋q＋q2＋q3)＝a1(1＋2＋4＋8)＝15，所以a1＝1，所以a3＝a1q2＝4. 答案：C 3．[2019·太原一模]已知等比數(shù)列{an}滿足a5＋a8＝2，a6·a7＝－8，則a2＋a11＝(　　) A．5 B．－5 C．7 D．－7 解析：設{an}的公比為q，由等比數(shù)列的性質可得a5·a8＝a6·a7＝－8，所以a5，a8是方

7、程y2－2y－8＝0的兩根，得或.若，則＝q3＝－，所以q6＝2＝，q9＝3＝－.由a5＋a8＝a1q4＋a1q7＝a1q(q3＋q6)＝a1q＝2，得a1q＝－8，故a2＋a11＝a1q(1＋q9)＝a1q＝(－8)×＝－7.若，則＝q3＝－2，所以q6＝(－2)2＝4，q9＝(－2)3＝－8.由a5＋a8＝a1q4＋a1q7＝a1q(q3＋q6)＝a1q(－2＋4)＝2，得a1q＝1，故a2＋a11＝a1q(1＋q9)＝a1q(1－8)＝1×(－7)＝－7.故選D. 答案：D 4．[2019·福州質檢]等比數(shù)列{an}的各項均為正實數(shù)，其前n項和為Sn.若a3＝4，a2a6＝64，則S

8、5＝(　　) A．32 B．31 C．64 D．63 解析：通解：設首項為a1，公比為q，因為an>0，所以q>0，由條件得，解得，所以S5＝31，故選B. 優(yōu)解：設首項為a1，公比為q，因為an>0，所以q>0，由a2a6＝a＝64，a3＝4，得q＝2，a1＝1，所以S5＝31，故選B. 答案：B 5．[2019·廣州綜合測試一]設Sn是等差數(shù)列{an}的前n項和，若m為大于1的正整數(shù)，且am－1－a＋am＋1＝1，S2m－1＝11，則m＝(　　) A．11 B．10 C．6 D．5 解析：由am－1－a＋am＋1＝1可得2am－a＝1，即a－2am＋1＝0，解得am＝1，

9、由S2m－1＝＝am×(2m－1)＝11，可得2m－1＝11，得m＝6，選C. 答案：C 6．[2019·惠州調研]已知各項均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}中，a1＝1,2a3，a5,3a4成等差數(shù)列，則數(shù)列{an}的前n項和Sn＝(　　) A．2n－1 B．2n－1－1 C．2n－1 D．2n 解析：通解：設{an}的公比為q(q>0)，由題意知2a5＝2a3＋3a4，∴2a3q2＝2a3＋3a3q，∴2q2＝2＋3q，∴q＝2或q＝－(舍去)，所以an＝2n－1， ∴Sn＝a1＋a2＋…＋an＝1＋2＋…＋2n－1＝2n－1. 優(yōu)解：當n＝1時，21－1－1＝0≠a1,21＝2≠a

10、1，排除B，D；若Sn＝2n－1，則S2＝22－1＝2，得到a2＝2－1＝1，這時a1＝a2＝a3＝a4＝a5＝1，不滿足2a3，a5,3a4成等差數(shù)列，排除C，選A. 答案：A 7．[2019·福建寧德模擬]等差數(shù)列{an}中，a4＝9，a7＝15，則數(shù)列{(－1)nan}的前20項和等于(　　) A．－10 B．－20 C．10 D．20 解析：設等差數(shù)列{an}的公差為d，由a4＝9，a7＝15，得a1＋3d＝9，a1＋6d＝15，解得a1＝3，d＝2，則an＝3＋2(n－1)＝2n＋1，數(shù)列{(－1)nan}的前20項和為－3＋5－7＋9－11＋13－…－39＋41＝2＋2＋

11、…＋2＝2×10＝20.故選D. 答案：D 8．[2019·江蘇卷]已知數(shù)列{an}(n∈N*)是等差數(shù)列，Sn是其前n項和．若a2a5＋a8＝0，S9＝27，則S8的值是________． 解析：通解：設等差數(shù)列{an}的公差為d，則a2a5＋a8＝(a1＋d)(a1＋4d)＋a1＋7d＝a＋4d2＋5a1d＋a1＋7d＝0，S9＝9a1＋36d＝27，解得a1＝－5，d＝2，則S8＝8a1＋28d＝－40＋56＝16. 優(yōu)解：設等差數(shù)列{an}的公差為d.S9＝＝9a5＝27，a5＝3，又a2a5＋a8＝0，則3(3－3d)＋3＋3d＝0，得d＝2，則S8＝＝4(a4＋a5)＝4(

12、1＋3)＝16. 答案：16 9．[2019·北京卷]設等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn.若a2＝－3，S5＝－10，則a5＝________，Sn的最小值為________． 解析：設等差數(shù)列{an}的公差為d， ∵即 ∴可得∴a5＝a1＋4d＝0. ∵Sn＝na1＋d＝(n2－9n)，∴當n＝4或n＝5時，Sn取得最小值，最小值為－10. 答案：0?。?0 10．[2019·全國卷Ⅰ]記Sn為等比數(shù)列{an}的前n項和．若a1＝，a＝a6，則S5＝__________. 解析：通解：設等比數(shù)列{an}的公比為q，因為a＝a6，所以(a1q3)2＝a1q5，所以a1q＝1，

13、又a1＝，所以q＝3，所以S5＝＝＝. 優(yōu)解：設等比數(shù)列{an}的公比為q，因為a＝a6，所以a2a6＝a6，所以a2＝1，又a1＝，所以q＝3，所以S5＝＝＝. 答案： 調研二　數(shù)列求和 ■備考工具—————————————— 1．求數(shù)列的前n項和的方法 (1)公式法 ①等差數(shù)列的前n項和公式 Sn＝＝na1＋. ②等比數(shù)列的前n項和公式 a．當q＝1時，Sn＝na1； b．當q≠1時，Sn＝＝. (2)分組求和：把一個數(shù)列分成幾個可以直接求和的數(shù)列． (3)裂項相消：把一個數(shù)列的通項分成兩項差的形式，相加過程中消去中間項，只剩有限項再求和． (4)錯位相減：適用

14、于一個等差數(shù)列和一個等比數(shù)列對應項相乘構成的數(shù)列求和． (5)倒序相加：把數(shù)列正著寫和倒著寫再相加，例如等差數(shù)列前n項和公式的推導方法． (6)并項求和：將某些具有某種特殊性質的項放在一起先求和，再求整體的和． 2．常見的拆項公式 (1)若{an}為各項都不為0的等差數(shù)列，公差為d(d≠0)，則＝； (2)＝； (3)＝－； (4)loga＝loga(n＋1)－logan(a>0且a≠1)． 3．常見數(shù)列的前n項和 (1)1＋2＋3＋…＋n＝； (2)2＋4＋6＋…＋2n＝n2＋n； (3)1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2； (4)12＋22＋32＋…＋n2＝； (

15、5)13＋23＋33＋…＋n3＝2. ■自測自評—————————————— 1．[2019·太原一模]已知數(shù)列{an}的前n項和Sn滿足Sn－(－1)nan＝2n－6＋(n∈N*)，則S100＝(　　) A．196　　　　　　 B．200 C．194＋ D．198＋ 解析：令n＝102，則S102－a102＝2×102－6＋，所以S102－(S102－S101)＝198＋，得S101＝198＋?、?， 令n＝101，則S101＋a101＝2×101－6＋，所以S101＋(S101－S100)＝196＋，得2S101－S100＝196＋　②， 將①代入②得S100＝2×－196－＝

16、396＋－196－＝200，選B. 答案：B 2．[2019·南昌一模]楊輝三角，是二項式系數(shù)在三角形中的一種幾何排列．在歐洲，這個表叫做帕斯卡三角形，帕斯卡(1623～1662)是在1654年發(fā)現(xiàn)這一規(guī)律的．我國南宋數(shù)學家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》一書里出現(xiàn)了如圖所示的表，這是我國數(shù)學史上的一個偉大成就．如圖所示，在“楊輝三角”中，去除所有為1的項，依次構成數(shù)列2,3,3,4,6,4,5,10,10,5…，則此數(shù)列前135項的和為(　　) A．218－53 B．218－52 C．217－53 D．217－52 解析：n次的二項式系數(shù)對應“楊輝三角”中的第n＋1行．例如

17、(x＋1)2＝x2＋2x＋1，系數(shù)分別為1,2,1，對應“楊輝三角”的第3行．再令二項式中的x＝1，就可以求得該行系數(shù)之和．第1行為20，第2行為21，第3行為22，以此類推，可發(fā)現(xiàn)，每一行數(shù)除1外，第3行和為22－2，第4行和為23－2，第5行和為24－2，…，第18行和為217－2.若去除所有為1的項，則剩下的，從第3行開始，每一行的個數(shù)為1,2,3,4，…，可以看出構成一個首項為1，公差為1的等差數(shù)列，設等差數(shù)列的前n項和為Tn，則Tn＝，可算得當n＝16時，T16＝136，前135項到第18行倒數(shù)第3個數(shù)，而第18行最后兩個數(shù)為17,1，所以所求前135項的和為22－2＋23－2＋…＋

18、217－2－17＝－32－17＝218－53，故選A. 答案：A 3．[2019·廣東六校聯(lián)考一]已知數(shù)列{an}滿足a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝(2n－1)·3n.設bn＝，Sn為數(shù)列{bn}的前n項和，若Sn<λ(λ為常數(shù)，n∈N*)，則λ的最小值是(　　) A.　　　 B. C.　　　 D. 解析：a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝(2n－1)·3n，① 當n≥2時，a1＋2a2＋3a3＋…＋(n－1)an－1＝(2n－3)·3n－1，② ①－②得，nan＝4n·3n－1，即an＝4·3n－1(n≥2)． 當n＝1時，a1＝3≠4， 所以an＝，bn＝. 所以S

19、n＝＋＋＋…＋＝＋＋＋＋…＋，③ Sn＝＋＋＋＋…＋＋，④ ③－④得，Sn＝＋＋＋＋…＋－＝＋－， 所以Sn＝－<，所以λ的最小值是，故選C. 答案：C 4．[2019·武漢調研]已知數(shù)列{an}的前n項和Sn滿足Sn＝3Sn－1＋2n－3(n≥2)，a1＝－1，則a4＝________. 解析：解法一：由Sn＝3Sn－1＋2n－3(n≥2)可得S2＝3S1＋1＝3a1＋1，即a2＝2a1＋1＝－1.根據(jù)Sn＝3Sn－1＋2n－3(n≥2)　①， 知Sn＋1＝3Sn＋2n＋1－3　②， ②－①可得，an＋1＝3an＋2n(n≥2)． 兩邊同時除以2n＋1可得＝·＋(n≥2)，

20、令bn＝，可得bn＋1＝·bn＋(n≥2)．∴bn＋1＋1＝(bn＋1)(n≥2)，數(shù)列{bn＋1}是以b2＋1＝為首項，為公比的等比數(shù)列． ∴bn＋1＝n－2·(n≥2)， ∴bn＝·n－1－1(n≥2)． 又b1＝－也滿足上式， ∴bn＝n－1·－1(n∈N*)，又bn＝， ∴an＝2nbn，即an＝3n－1－2n. ∴a4＝33－24＝11. 解法二：由Sn＝3Sn－1＋2n－3(n≥2)，a1＝－1， 知S2＝3S1＋4－3，∴a2＝－1. S3＝3S2＋8－3， ∴a3＝1.S4＝3S3＋16－3，∴a4＝11. 解法三：設Sn＋a·2n＋b＝3(Sn－1＋a·

21、2n－1＋b)(b≥2)，則，∴. ∴Sn＋2n＋1－＝3(Sn－1＋2n－)(n≥2)， ∴為等比數(shù)列，首項為S1＋4－＝，公比為3. ∴Sn＋2n＋1－＝·3n－1， ∴Sn＝·3n－1－2n＋1＋，∴a4＝S4－S3＝11. 答案：11 5．[2019·石家莊一模]已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且Sn＋1＋Sn＝(n∈N*)，若a2<－4，則Sn取最小值時n＝________. 解析：∵Sn＋1＋Sn＝，∴a2＋2a1＝－9，又n≥2時，Sn＋Sn－1＝，∴an＋1＋an＝n－10， ∴a4＋a3＝－7，a6＋a5＝－5，a8＋a7＝－3，a10＋a9＝－1，a12＋

22、a11＝1，∴n≥11且n為奇數(shù)時，an＋1＋an>0，且S10＋a1＝－25<0，S2＋a1>S4＋a1>…>S10＋a1，S10＋a1S4>…>S10，S100，S3－a1>S5－a1>…>S9－a1＝S11－a1，S11－a1S5>…>S9＝S11，S11

23、－S10＝2a1＋5， ∵a2<－4，a2＋2a1＝－9， ∴2a1>－5，∴S11－S10>0，∴S11>S10，∴Sn取得最小值時n＝10. 答案：10 6．[2019·長沙、南昌聯(lián)考]已知各項均為正數(shù)的數(shù)列{an}滿足a1＝8，an＋1＝2an＋2n＋3，cn＝，bn＝，且數(shù)列{bn}的前n項和為Tn，則使Tn>10的n的最小值為________． 解析：由an＋1＝2an＋2n＋3，得an＋1＝2an＋4·2n＋1，所以＝＋4，即－＝4，即cn＋1－cn＝4，所以數(shù)列{cn}是首項為c1＝＝4，公差為4的等差數(shù)列，故cn＝4＋4(n－1)＝4n.所以bn＝＝－，于是Tn＝b1

24、＋b2＋…＋bn＝(－1)＋(－)＋…＋(－)＝－1.則由－1>10，解得n>120，故使Tn>10的n的最小值為121. 答案：121 7．[2019·安徽五校質檢二]設數(shù)列{an}滿足a1＝5，且對任意正整數(shù)n，總有(an＋1＋3)(an＋3)＝4an＋4成立，則數(shù)列{an}的前2 018項的和為________． 解析：由(an＋1＋3)(an＋3)＝4an＋4，得an＋1＝－3＝，因為a1＝5，所以a2＝0，a3＝－，a4＝－5，a5＝5，則數(shù)列{an}是以4為周期的周期數(shù)列，因為2 018＝504×4＋2，且a1＋a2＋a3＋a4＝－，即一個周期的和為－，所以數(shù)列{an}的前2 018項的和為－×504＋5＋0＝－835. 答案：－835 8．[2019·江西五校聯(lián)考]在數(shù)列{an}中，a1＝1，an＝an－1(n≥2)．記Sn為數(shù)列的前n項和，若Sn＝，則n＝________. 解析：由an＝an－1(n≥2)得，＝＝?、?，令bn＝，則＝bn－1(n≥2)，所以①式變形為bn＝bn－1(n≥2)，即＝(n≥2)，則當n＝1時，b1＝a1＝1， 當n≥2時，bn＝b1×××××…×＝1×××××…×＝.所以bn＝，即＝＝2， 所以Sn＝2＝ 2＝，解得n＝49. 答案：49 11