《（新課標）2021版高考數學一輪總復習 第三章 導數及其應用 第14講 導數的概念及運算導學案 新人教A版》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《（新課標）2021版高考數學一輪總復習 第三章 導數及其應用 第14講 導數的概念及運算導學案 新人教A版（13頁珍藏版）》請在裝配圖網上搜索。

1、 第三章 導數及其應用 [知識體系p37] 第14講　導數的概念及運算 【課程要求】 1．了解導數概念的實際背景． 2．理解導數的意義及幾何意義． 3．能根據導數定義求函數y＝C(C為常數)，y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝的導數． 4．能利用基本初等函數的導數公式及導數運算法則進行某些函數的求導． 對應學生用書p37 【基礎檢測】 1．判斷下面結論是否正確(請在括號中打“√”或“×”) (1)f′(x0)與[f(x0)]′表示的意義相同．(　　) (2)f′(x0)是導函數f′(x)在x＝x0處的函數值．(　　) (3)曲線的切線不一定與曲線只

2、有一個公共點．(　　) (4)因為(lnx)′＝，所以′＝lnx．(　　) (5)y＝cos3x由函數y＝cosu，u＝3x復合而成．(　　) [答案] (1)×　(2)√　(3)√　(4)×　(5)√ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 2．[選修2－2p11B組T1]—個物體的運動方程為s＝1－t＋t2，其中s的單位是米，t的單位是秒，那么物體在5秒末的瞬時速度是(　　) A．6米/秒B．7米/秒C．8米/秒D．9米/秒 [解析]物體的運動方程為s＝1－t＋t2, s′＝－1＋2t，s′|t＝5＝9. [答案]D 3．[選修2－2p18練習T2]下列求導運算正確

3、的是(　　) A.′＝1＋B．(log2x)′＝ C．(3x)′＝3xlog3eD．(x2cosx)′＝－2sinx [解析]′＝x′＋′＝1－；(3x)′＝3xln3；(x2cosx)′＝(x2)′cosx＋x2(cosx)′＝2xcosx－x2sinx. [答案]B 4．[選修2－2p18A組T7]曲線y＝在點M處的切線方程為__________． [解析]由已知y′＝＝－，所以曲線y＝在點M處的切線方程為y＝－，即x＋πy－π＝0. [答案]x＋πy－π＝0 5．已知直線y＝－x＋1是函數f(x)＝－·ex圖象的切線，則實數a＝__________． [解析]設切點

4、為(x0，y0)，則f′(x0)＝－·ex0＝－1， ∴ex0＝a，又－·ex0＝－x0＋1， ∴x0＝2，a＝e2. [答案]e2 6．若函數f(x)＝f′(1)ex－1－f(0)x＋x2，則f′(1)＝________． [解析]f′(x)＝f′(1)ex－1－f(0)＋2x，則f′(1)＝f′(1)－f(0)＋2，所以f(0)＝2，故f(x)＝f′(1)ex－1－2x＋x2，則有f(0)＝f′(1)e－1，解得f′(1)＝2e. [答案]2e 【知識要點】 1．平均變化率及瞬時變化率及導數的概念 (1)函數y＝f(x)從x1到x2的平均變化率用____表示，且＝. (

5、2)函數y＝f(x)在x＝x0處的瞬時變化率＝為函數y＝f(x)在x＝x0處的導數，記作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝＝. (3)函數f(x)的導函數： 稱函數f′(x)＝__lim____為f(x)的導函數． (4)導數的幾何意義和物理意義 幾何意義：函數y＝f(x)在x＝x0處的導數就是曲線y＝f(x)上__點(x0，f(x0))處切線__的斜率k，即k＝__f′(x0)__；切線方程為__y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)__． 物理意義：若物體位移隨時間變化的關系為s＝f(t)，則f′(t0)是物體運動在t＝t0時刻的__瞬時速度__． 2．基本初等函

6、數的導數公式 原函數 導函數 f(x)＝xn(n∈Q*) f′(x)＝__n·xn－1__ f(x)＝sinx f′(x)＝__cos__x__ f(x)＝cosx f′(x)＝__－sin__x__ f(x)＝ax(a>0) f′(x)＝__axln__a__ f(x)＝ex f′(x)＝__ex__ f(x)＝logax(a>0，且a≠1) f′(x)＝____ f(x)＝lnx f′(x)＝____ 3.導數的運算法則 (1)[f(x)±g(x)]′＝__f′(x)±g′(x)__； (2)[f(x)·g(x)]′＝__f′(x)·g(x)＋f(x)

7、·g′(x)__； (3)′＝__(g(x)≠0)__． 4．復合函數的導數 (1)對于兩個函數y＝f(u)和u＝g(x)，如果通過變量u，y可以表示成x的函數，那么稱這兩個函數(函數y＝f(u)和u＝g(x))的復合函數為y＝f(g(x))． (2)復合函數y＝f(g(x))的導數和函數y＝f(u)，u＝g(x)的導數間的關系為__y′x＝y(tǒng)′u·u′x__，即y對x的導數等于y對u的導數與u對x的導數的乘積． 對應學生用書p38 導數的運算法則及應用 例1　求下列函數的導數： (1)y＝(3x2－4x)(2x＋1)； (2)y＝3xex－2x＋e； (3)y＝.

8、[解析] (1)∵y＝(3x2－4x)(2x＋1)＝6x3＋3x2－8x2－4x＝6x3－5x2－4x， ∴y′＝18x2－10x－4. (2)y′＝(3xex)′－(2x)′＋e′＝(3x)′ex＋3x(ex)′－(2x)′ ＝3xexln3＋3xex－2xln2 ＝(ln3＋1)·(3e)x－2xln2. (3)y′＝＝ ＝. [小結]1.應用基本初等函數的導數公式進行導數計算時應注意：①公式(xn)′＝nxn－1中，n為有理數；②公式(ax)′＝axlna，(logax)′＝與(ex)′＝ex，(lnx)′＝，清楚地區(qū)分和熟記． 2．求導之前，應利用代數、三角恒等式等變形

9、對函數進行化簡，然后求導，這樣可以減少運算量，提高運算速度，減少差錯；遇到函數的商的形式時，如能化簡則化簡，這樣可避免使用商的求導法則，減少運算量． 1．求下列函數的導數： (1)y＝x2sinx； (2)y＝. [解析] (1)y′＝(x2)′sinx＋x2(sinx)′＝2xsinx＋x2cosx. (2)y′＝′＝＝－. 復合函數的導數 例2　求下列函數的導數： (1)y＝； (2)y＝xsincos； (3)y＝x. [解析] (1)設u＝1－3x，則y＝u－4， ∴y′x＝y(tǒng)′u·u′x＝(u－4)′u·(1－3x)′x＝－4u－5·(－3)＝12u－5＝

10、. (2)∵y＝xsincos＝xsin(4x＋π)＝－xsin4x， ∴y′＝－sin4x－x·4cos4x＝－sin4x－2xcos4x. (3)y′＝(x)′＝x′·＋x·()′＝＋＝. [小結]1.掌握求復合函數的導數一般步驟：(1)分清復合關系，適當選定中間變量，正確分解關系；(2)分層求導，弄清每一步中是哪個變量對哪個變量求導數． 2．復合函數的導數計算關鍵是聯(lián)想基本初等函數，準確地通過中間量對復合函數進行分拆，同時最后結果是關于x的函數解析式． 2．求下列函數的導數： (1)y＝(2x＋1)5； (2)y＝sin2. [解析] (1)設u＝2x＋1，則y＝u

11、5， ∴y′＝y(tǒng)′u·u′x＝(u5)′u·(2x＋1)′x＝5u4·2＝5(2x＋1)4·2＝10(2x＋1)4. (2)y′＝′＝2sin·′＝2sin·cos·′ ＝2sin·cos·2＝2sin. 導數運算的應用 例3　(1)若函數f(x)在R上可導，f(x)＝exlnx＋x3f′(1)，則f′(1)＝__________． [解析]由已知可得f′(x)＝ex＋3x2f′(1)， 故f′(1)＝e＋3f′(1)，解得f′(1)＝－. [答案]－ (2)已知f(x)＝x2＋sin，f′(x)為f(x)的導函數，則f′(x)的圖象是(　　) [解析]∵f(x)＝

12、x2＋sin＝x2＋cosx，∴f′(x)＝x－sinx，它是一個奇函數，其圖象關于原點對稱，故排除B，D.又f″(x)＝－cosx，當－＜x＜時，cosx＞， ∴f″(x)＜0，故函數y＝f′(x)在區(qū)間上單調遞減，故排除C，選A. [答案]A [小結]導數的運算是所有導數問題的基礎，高考中直接考查導數運算的題目較少，但凡是涉及導數的問題不用計算導數的也極其罕見．因此，必須牢牢掌握導數的運算法則． 3．已知函數f(x)＝(x2＋2)(ax2＋b)，且f′(1)＝2，則f′(－1)＝(　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A．－1B．－2 C．2D．0 [解析]

13、f(x)＝(x2＋2)(ax2＋b)＝ax4＋(2a＋b)x2＋2b，f′(x)＝4ax3＋2(2a＋b)x為奇函數，所以f′(－1)＝－f′(1)＝－2. [答案]B 4．已知f′(x)是函數f(x)的導函數，且對任意的實數x都有f′(x)＝ex(2x－2)＋f(x)，f(0)＝1，則(　　) A．f(x)＝ex(x＋1) B．f(x)＝ex(x－1) C．f(x)＝ex(x＋1)2D．f(x)＝ex(x－1)2 [解析]令G(x)＝，則G′(x)＝＝2x－2， 可設G(x)＝x2－2x＋c， ∵G(0)＝f(0)＝1.∴c＝1. ∴f(x)＝(x2－2x＋1)ex＝ex(

14、x－1)2. [答案]D 導數的幾何意義 例4　(1)曲線f(x)＝x3－x＋3在點P處的切線平行于直線y＝2x－1，則P點的坐標為(　　) A．(1，3) B．(－1，3) C．(1，3)和(－1，3) D．(1，－3) [解析]f′(x)＝3x2－1，令f′(x)＝2，則3x2－1＝2，解得x＝1或x＝－1，∴P(1，3)或(－1，3)，經檢驗，點(1，3)，(－1，3)均不在直線y＝2x－1上，故選C. [答案]C (2)已知f(x)＝lnx，g(x)＝x2＋mx＋(m<0)，直線l與函數f(x)，g(x)的圖象都相切，且與f(x)圖象的切點為(1，f(1))，則m的

15、值為(　　) A．－1B．－3C．－4D．－2 [解析]∵f′(x)＝，∴直線l的斜率為k＝f′(1)＝1， 又f(1)＝0，∴切線l的方程為y＝x－1. ∵g′(x)＝x＋m，設直線l與g(x)的圖象的切點為(x0，y0)， 則有解得m＝－2. [答案]D [小結]1.導數幾何意義基本題型：(1)是求曲線的切線方程，其關鍵是理解導數的幾何意義，并能準確求導；(2)是求切點坐標，其思路是先求函數的導數，然后讓導數值等于切線的斜率，從而得出切線方程或求出切點坐標； (3)是求參數的值(范圍)，其關鍵是列出函數的導數等于切線斜率的方程． 2．解決此類問題的先決條件是應先正確求導，再

16、根據其他條件求解，求曲線的切線應注意： (1)“過點A的曲線的切線方程”與“在點A處的切線方程”是不相同的，后者A必為切點，前者未必是切點； (2)曲線在某點處的切線若有則只有一條，曲線過某點的切線往往不止一條；切線與曲線的公共點不一定只有一個． 5．設曲線y＝在點處的切線與直線x－ay＋1＝0平行，則實數a＝__________． [解析]因為y′＝，所以y′|x＝＝－1，由條件知＝－1，所以a＝－1. [答案]－1 6．函數g(x)＝x3＋x2＋3lnx＋b(b∈R)在x＝1處的切線過點(0，－5)，則b的值為(　　) A.B.C.D. [解析]當x＝1時，g(1)＝1＋

17、＋b＝＋b，又g′(x)＝3x2＋5x＋， 所以切線斜率k＝g′(1)＝3＋5＋3＝11，從而切線方程為y＝11x－5， 由于點在切線上，所以＋b＝11－5，解得b＝.故選B. [答案]B 導數的幾何意義的綜合應用 例5　已知f＝ln(x＋m)，g＝ex. (1)m＝2時，證明：f

18、(x)在(－2，a)上單調遞減，在(a，＋∞)上單調遞增，從而F(x)的最小值為F＝ea－ln＝＋a＝>0. 所以F(x)≥F(a)>0，即g(x)>f(x)． 法二：ex≥x＋1≥ln(x＋2)，注意兩個等號成立條件不一致； (2)f′＝，故f′＝， 故切線l的方程為y＝－＋ln(x0＋m)，① 設直線l與g(x)相切于點(x1，ex1)，注意到g′＝ex，從而切線斜率為ex1＝，因此x1＝－ln(x0＋m)， 而g＝ex1＝，從而直線l的方程也為y＝＋＋，② 由①②可知＋＝＋ln(x0＋m)， 故ln＝x0＋1，由m為正整數可知，x0＋m－1>0，因此解得ln＝，0

19、1， 構造函數h＝ln－(00， 當m＝1時，h＝ln－為單調遞增函數，且h＝ln2－2<0，從而h(x)在(0，1)上無零點； 當m>1時，要使得h在(0，1)上存在零點，則只需h＝lnm－<0，h＝ln－>0， 由h1＝lnm－為單調遞增函數，且h1＝ln3－>0，因此m<3； 由h2(m)＝ln－為單調遞增函數，且h2＝ln2－2<0，因此m>1； 由于m為正整數，且1

20、上． 7．已知函數f＝e2x，a∈R. (1)當a＝4時，求證：過點P有三條直線與曲線y＝f相切； (2)當x≤0時，f＋1≥0，求實數a的取值范圍． [解析] (1)當a＝4時，f＝e2x，f′＝4e2x. 設過點P的直線與曲線y＝f相切于點， 則切線方程為y－f＝f′， 將點P代入得－f＝f′， 即－e2x0＝4e2x0， 又e2x0>0，得8x－14x0＋1＝0，令g＝8x3－14x＋1， g′＝24x2－14＝24， 所以函數g在區(qū)間上單調遞增， 在區(qū)間上單調遞減， 在區(qū)間上單調遞增， 且g＝－35<0，g＝1>0，g＝－5<0，g＝37>0， 所以g

21、＝8x3－14x＋1在區(qū)間，，上均有一個零點， 故過點P有三條直線與曲線y＝f相切． (2)因為當x≤0時，f＋1≥0， 即當x≤0時，e2x≥－1， 所以當x≤0時，ax2＋2x－1＋≥0， 設h＝ax2＋2x－1＋， 則h′＝2ax＋2－＝2， 設m＝ax＋1－，則m′＝a＋. ①當a≥－2時，由x≤0得≥2，從而m′≥0，(當且僅當x＝0時等號成立)，所以m＝ax＋1－在區(qū)間上單調遞增，又m＝0，所以當x≤0時，m≤0，從而當x≤0時，h′≤0，所以h＝ax2＋2x－1＋在區(qū)間上單調遞減，又h＝0，所以當x≤0時，h≥0，即ax2＋2x－1＋≥0， 所以當x≤0時，f＋

22、1≥0； ②當a<－2時，令m′＝0，得a＋＝0， ∴x＝ln<0， 故當x∈時，m′＝<0， ∴m＝ax＋1－在上單調遞減， 又∵m＝0，∴當x∈時，m≥0， 從而當x∈時，h′≥0， ∴h＝ax2＋2x－1＋在上單調遞增，又∵h＝0， 從而當x∈時，h<0，即ax2＋2x－1＋<0， 于是當x∈時，f＋1<0， 綜合得a的取值范圍是. 對應學生用書p40 1．(2019·全國卷Ⅰ理)曲線y＝3(x2＋x)ex在點(0，0)處的切線方程為________________． [解析]y′＝3(2x＋1)ex＋3(x2＋x)ex＝3(x2＋3x＋1)ex， 所以切

23、線的斜率k＝y(tǒng)′|x＝0＝3， 則曲線y＝3(x2＋x)ex在點(0，0)處的切線方程為y＝3x，即3x－y＝0. [答案]3x－y＝0 2．(2019·全國卷Ⅱ理)已知函數f＝lnx－. (1)討論f(x)的單調性，并證明f(x)有且僅有兩個零點； (2)設x0是f(x)的一個零點，證明曲線y＝lnx在點A(x0，lnx0)處的切線也是曲線y＝ex的切線． [解析] (1)f(x)的定義域為(0，1)∪(1，＋∞)． 因為f′(x)＝＋>0， 所以f(x)在(0，1)，(1，＋∞)單調遞增． 因為f(e)＝1－<0，f(e2)＝2－＝>0， 所以f(x)在(1，＋∞)有唯一零點x1，即f(x1)＝0. 又0<<1，f＝－lnx1＋＝－f(x1)＝0， 故f(x)在(0，1)有唯一零點. 綜上，f(x)有且僅有兩個零點． (2)因為＝e－lnx0，故點B在曲線y＝ex上． 由題設知f(x0)＝0，即lnx0＝， 故直線AB的斜率k＝＝＝. 曲線y＝ex在點B處切線的斜率是，曲線y＝lnx在點A(x0，lnx0)處切線的斜率也是， 所以曲線y＝lnx在點A(x0，lnx0)處的切線也是曲線y＝ex的切線． 13