《（新課標(biāo)）2021版高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 第四章 三角函數(shù) 第19講 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系與誘導(dǎo)公式導(dǎo)學(xué)案 新人教A版》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《（新課標(biāo)）2021版高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 第四章 三角函數(shù) 第19講 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系與誘導(dǎo)公式導(dǎo)學(xué)案 新人教A版（9頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、第19講　同角三角函數(shù)的基本關(guān)系與誘導(dǎo)公式 【課程要求】 1．能利用單位圓中的三角函數(shù)線推導(dǎo)出誘導(dǎo)公式． 2．理解同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式． 對應(yīng)學(xué)生用書p53 【基礎(chǔ)檢測】 1．判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“√”或“×”) (1)若α，β為銳角，則sin2α＋cos2β＝1.(　　) (2)若α∈R，則tanα＝恒成立．(　　) (3)sin(π＋α)＝－sinα成立的條件是α為銳角．(　　) (4)若sin(kπ－α)＝(k∈Z)，則sinα＝.(　　) [答案] (1)×　(2)×　(3)×　(4)× 2．[必修4p19例6]若sinα＝，<α<

2、π，則tanα＝________． [解析]∵<α<π， ∴cosα＝－＝－， ∴tanα＝＝－. [答案]－ 3．[必修4p22B組T3]已知tanα＝2，則的值為________． [解析]原式＝＝5. [答案]5 4．[必修4p28T7]化簡·sin(α－π)·cos(2π－α)的結(jié)果為______________． [解析]原式＝·(－sinα)·cosα＝－sin2α. [答案]－sin2α 5．已知sinαcosα＝，且<α<，則cosα－sinα的值為(　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A．－B.C．－D. [解析]∵<α<， ∴

3、cosα<0，sinα<0且|cosα|<|sinα|， ∴cosα－sinα>0. 又(cosα－sinα)2＝1－2sinαcosα＝1－2×＝， ∴cosα－sinα＝. [答案]B 6．已知cosα＝，－<α<0，則的值為______________． [解析]∵－<α<0， ∴sinα＝－＝－， ∴tanα＝－2. 則＝＝－＝＝. [答案] 7．已知sinα＝，則tan(α＋π)＋＝________． [解析]∵sinα＝＞0， ∴α為第一或第二象限角． tan(α＋π)＋＝tanα＋＝＋＝. ①當(dāng)α是第一象限角時，cosα＝＝， 原式＝＝； ②當(dāng)α

4、是第二象限角時，cosα＝－＝－， 原式＝＝－. 綜合①②知，原式＝或－. [答案]或－ 【知識要點】 1．同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式 (1)平方關(guān)系 sin2α＋cos2α＝__1__； (2)商數(shù)關(guān)系 tanα＝. 2．誘導(dǎo)公式 組數(shù) 一 二 三 四 五 六 角 2kπ＋α (k∈Z) π＋α －α π－α －α ＋α 正弦 sinα －sin__α －sinα sinα cosα cos__α 余弦 cosα －cosα cosα －cos__α sin__α －sinα 正切 tan

5、α tanα －tan__α －tan__α 口訣 函數(shù)名不變 符號看象限 函數(shù)名改變 符號看象限 記憶 規(guī)律 奇變偶不變，符號看象限 3.sinα＋cosα，sinαcosα，sinα－cosα三者之間的聯(lián)系 ＝1＋2sinαcosα， ＝__1－2sin__αcos__α__， ＋＝2， －＝__2sin__2α__． 對應(yīng)學(xué)生用書p54 例1　(1)已知α∈R，sinα＋2cosα＝，則tanα＝________． [解析]已知

6、等式兩邊平方得： (sinα＋2cosα)2＝sin2α＋4sinαcosα＋4cos2α＝， 變形得：＝＝， 整理得：3tan2α－8tanα－3＝0， 即(3tanα＋1)(tanα－3)＝0， 解得：tanα＝－或tanα＝3. [答案]－或3 (2)已知tanα＝－，則sinα·(sinα－cosα)等于(　　) A.B.C.D. [解析]sinα·(sinα－cosα)＝sin2α－sinα·cosα ＝＝， 將tanα＝－代入， 得原式＝＝. [答案]A [小結(jié)]主要利用公式tanθ＝化成正弦、余弦，或者當(dāng)表達(dá)式中含有sinθ，cosθ的分式時利用公式＝

7、tanθ化成正切． 例2　已知sinθ，cosθ是方程4x2－4mx＋2m－1＝0的兩個根，且<θ<2π，求θ的大小． [解析]因為sinθ，cosθ是方程4x2－4mx＋2m－1＝0的兩個根，所以 由(sinθ＋cosθ)2＝1＋2sinθcosθ，得m2＝1＋2×，解得m＝. 又因為<θ<2π，所以sinθcosθ＝<0，所以m＝， 所以所以 又因為<θ<2π，所以θ＝. [小結(jié)]當(dāng)表達(dá)式中含有sinθ±cosθ或sinθcosθ時，利用(sinθ±cosθ)2＝1±2sinθcosθ的關(guān)系進行變形、轉(zhuǎn)化． 1．已知α是三角形的內(nèi)角，且sinα＋cosα＝，則tanα＝

8、________. [解析]由消去cosα，整理得 25sin2α－5sinα－12＝0， 解得sinα＝或sinα＝－. 因為α是三角形的內(nèi)角，所以sinα＝， 又由sinα＋cosα＝，得cosα＝－， 所以tanα＝－. [答案]－ 誘導(dǎo)公式的應(yīng)用 例3　已知α是第三象限角，且 f(α)＝. (1)化簡f(α)； (2)若cos＝，求f(α)的值； (3)若α＝－1920°，求f(α)的值． [解析] (1)f(α)＝ ＝＝cosα. (2)∵cos＝，∴sinα＝－. 又α是第三象限角，∴cosα＝－，∴f(α)＝cosα＝－. (3)∵α＝－192

9、0°＝－360°×5－120°， ∴cosα＝cos(－1920°)＝cos(－120°)＝cos120°＝－， ∴f(α)＝－. [小結(jié)]應(yīng)用誘導(dǎo)公式時，注意符號的確定原則是視α為銳角，符號是變形前的原三角函數(shù)值的符號． 2．已知角θ的頂點在坐標(biāo)原點，始邊與x軸正半軸重合，終邊在直線3x－y＝0上，則＝______________． [解析]由已知得tanθ＝3， ∴＝＝＝3. [答案]3 例4　在△ABC中，sinA＋cosA＝. (1)求sin·cos的值； (2)判斷△ABC是銳角三角形還是鈍角三角形； (3)求tanA的值． [解析] (1)∵sinA

10、＋cosA＝，?、? ∴(sinA＋cosA)2＝， 即1＋2sinAcosA＝，∴sinAcosA＝－. 則sin·cos＝(－cosA)·(－sinA) ＝sinAcosA＝－. (2)∵sinAcosA＝－<0且00，cosA<0，∴sinA－cosA>0， ∴sinA－cosA＝，?、? ∴由①、②可得sinA＝，cosA＝－， ∴tanA＝＝＝－. [小結(jié)]對于sinα＋cosα，sinαcosα，sinα－cosα這三個式子，若已知其

11、中某一個式子的值，便可利用平方關(guān)系“sin2α＋cos2α＝1”，并靈活地運用方程思想，求出另兩個式子的值，即(sinα＋cosα)2＝1＋2sinαcosα；(sinα－cosα)2＝1－2sinαcosα；(sinα＋cosα)2＋(sinα－cosα)2＝2.因此，我們把“sinα＋cosα”，“sinαcosα”，“sinα－cosα”稱為三角函數(shù)中的“三劍客”，若出現(xiàn)某一個，則必須挖掘出另兩個，方能順利地解題． 3．已知－π

12、平方得sin2x＋2sinxcosx＋cos2x＝， 整理得2sinxcosx＝－. ∵(sinx－cosx)2＝1－2sinxcosx＝， 由－π0，∴sinx－cosx<0， 故sinx－cosx＝－. (2)＝ ＝ ＝＝－. 對應(yīng)學(xué)生用書p55 1．(2016·全國卷Ⅲ理)若tanα＝，則cos2α＋2sin2α＝(　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.B.C．1D. [解析]由tanα＝，得sinα＝，cosα＝或sinα＝－，cosα＝－，所以cos2α＋2sin2α＝＋4×＝. [答案]A 2．(2018·浙江)已知角α的頂點與原點O重合，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，它的終邊過點P. 求sin(α＋π)的值． [解析]由角α的終邊過點P得sinα＝－， 所以sin(α＋π)＝－sinα＝. 9