8、按逆時(shí)針?lè)较虬堰@4n個(gè)區(qū)域依次標(biāo)上1,2,3,4，…，4n，標(biāo)號(hào)為幾的區(qū)域，就是根據(jù)α所在第幾象限時(shí)，的終邊所落在的區(qū)域，如此，所在的象限就可以由標(biāo)號(hào)區(qū)域所在的象限直觀的看出．
跟蹤訓(xùn)練2 在0°～360°范圍內(nèi)，找出與下列各角終邊相同的角，并判定它們是第幾象限角．
(1)－150°；(2)650°；(3)－950°15′.
考點(diǎn) 象限角、軸線角
題點(diǎn) 象限角
解 (1)因?yàn)椋?50°＝－360°＋210°，所以在0°～360°范圍內(nèi)，與－150°角終邊相同的角是210°角，它是第三象限角．
(2)因?yàn)?50°＝360°＋290°，所以在0°～360°范圍內(nèi)，與650°角終邊相同的
9、角是290°角，它是第四象限角．
(3)因?yàn)椋?50°15′＝－3×360°＋129°45′，所以在0°～360°范圍內(nèi)，與－950°15′角終邊相同的角是129°45′角，它是第二象限角．
類(lèi)型三 終邊相同的角
命題角度1 求與已知角終邊相同的角
例3 在與角10 030°終邊相同的角中，求滿足下列條件的角．
(1)最大的負(fù)角；
(2)最小的正角；
(3)[360°，720°)的角．
考點(diǎn) 終邊相同的角
題點(diǎn) 終邊相同的角
解 與10 030°終邊相同的角的一般形式為β＝k·360°＋10 030°(k∈Z)，
(1)由－360°＜k·360°＋10 030°＜0°
10、，得－10 390°＜k·360°＜－10 030°，解得k＝－28，故所求的最大負(fù)角為β＝－50°.
(2)由0°＜k·360°＋10 030°＜360°，得－10 030°＜k·360°＜－9 670°，解得k＝－27，故所求的最小正角為β＝310°.
(3)由360°≤k·360°＋10 030°＜720°，得－9 670°≤k·360°＜－9 310°，解得k＝－26，故所求的角為β＝670°.
反思與感悟 求適合某種條件且與已知角終邊相同的角，其方法是先求出與已知角終邊相同的角的一般形式，再依條件構(gòu)建不等式求出k的值．
跟蹤訓(xùn)練3 寫(xiě)出與α＝－1 910°終邊相同的角的集合，
11、并把集合中適合不等式－720°≤β＜360°的元素β寫(xiě)出來(lái)．
考點(diǎn) 終邊相同的角
題點(diǎn) 終邊相同的角
解 由終邊相同的角的表示知，與角α＝－1 910°終邊相同的角的集合為{β|β＝k·360°－1 910°，k∈Z}．
∵－720°≤β＜360°，
即－720°≤k·360°－1 910°＜360°(k∈Z)，
∴3≤k＜6(k∈Z)，故取k＝4,5,6.
當(dāng)k＝4時(shí)，β＝4×360°－1 910°＝－470°；
當(dāng)k＝5時(shí)，β＝5×360°－1 910°＝－110°；
當(dāng)k＝6時(shí)，β＝6×360°－1 910°＝250°.
命題角度2 求終邊在給定直線上的角的集合
12、
例4 寫(xiě)出終邊在直線y＝－x上的角的集合．
考點(diǎn) 終邊相同的角
題點(diǎn) 終邊相同的角
解 終邊在y＝－x(x<0)上的角的集合是S1＝{α|α＝120°＋k·360°，k∈Z}；
終邊在y＝－x(x≥0)上的角的集合是S2＝{α|α＝300°＋k·360°，k∈Z}．
因此，終邊在直線y＝－x上的角的集合是S＝S1∪S2＝{α|α＝120°＋k·360°，k∈Z}∪{α|α＝300°＋k·360°，k∈Z}，
即S＝{α|α＝120°＋2k·180°，k∈Z}∪{α|α＝120°＋(2k＋1)·180°，k∈Z}＝{α|α＝120°＋n·180°，n∈Z}．
故終邊在直線y＝－x
13、上的角的集合是S＝{α|α＝120°＋n·180°，n∈Z}．
反思與感悟 求終邊在給定直線上的角的集合，常用分類(lèi)討論的思想，即分x≥0和x<0兩種情況討論，最后再進(jìn)行合并．
跟蹤訓(xùn)練4 寫(xiě)出終邊在直線y＝x上的角的集合．
考點(diǎn) 終邊相同的角
題點(diǎn) 終邊相同的角
解 終邊在y＝x(x≥0)上的角的集合是S1＝{α|α＝30°＋k·360°，k∈Z}；
終邊在y＝x(x<0)上的角的集合是S2＝{α|α＝210°＋k·360°，k∈Z}．
因此，終邊在直線y＝x上的角的集合是S＝S1∪S2＝{α|α＝30°＋k·360°，k∈Z}∪{α|α＝210°＋k·360°，k∈Z}，
即
14、S＝{α|α＝30°＋2k·180°，k∈Z}∪{α|α＝30°＋(2k＋1)·180°，k∈Z}＝{α|α＝30°＋n·180°，n∈Z}．
故終邊在直線y＝x上的角的集合是S＝{α|α＝30°＋n·180°，n∈Z}.
1．下列說(shuō)法正確的是( )
A．終邊相同的角一定相等
B．鈍角一定是第二象限角
C．第四象限角一定是負(fù)角
D．小于90°的角都是銳角
考點(diǎn) 終邊相同的角
題點(diǎn) 任意角的綜合應(yīng)用
答案 B
2．與－457°角終邊相同的角的集合是( )
A．{α|α＝k·360°＋457°，k∈Z}
B．{α|α＝k·360°＋97°，k∈Z}
C．{α|
15、α＝k·360°＋263°，k∈Z}
D．{α|α＝k·360°－263°，k∈Z}
考點(diǎn) 終邊相同的角
題點(diǎn) 終邊相同的角
答案 C
解析?。?57°＝－2×360°＋263°，故選C.
3．2 018°是( )
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
考點(diǎn) 象限角、軸線角
題點(diǎn) 象限角
答案 C
解析 2 018°＝5×360°＋218°，故2 018°是第三象限角．
4．已知α＝30°，將其終邊按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)三周后的角度數(shù)為_(kāi)_______．
考點(diǎn) 任意角的概念
題點(diǎn) 任意角的概念
答案 1 110°
解析 3×360
16、°＋30°＝1 110°.
5.如圖所示．
(1)寫(xiě)出終邊落在射線OA，OB上的角的集合；
(2)寫(xiě)出終邊落在陰影部分(包括邊界)的角的集合．
考點(diǎn) 終邊相同的角
題點(diǎn) 終邊相同的角
解 (1)終邊落在射線OA上的角的集合是{α|α＝k·360°＋210°，k∈Z}．
終邊落在射線OB上的角的集合是{α|α＝k·360°＋300°，k∈Z}．
(2)終邊落在陰影部分(含邊界)的角的集合是{α|k·360°＋210°≤α≤k·360°＋300°，k∈Z}．
1．對(duì)角的理解，初中階段是以“靜止”的眼光看，高中階段應(yīng)用“運(yùn)動(dòng)”的觀點(diǎn)下定義，理解這一概念時(shí)，要注意“旋轉(zhuǎn)方向”
17、決定角的“正負(fù)”，“旋轉(zhuǎn)幅度”決定角的“絕對(duì)值大小”．
2．關(guān)于終邊相同的角的認(rèn)識(shí)
一般地，所有與角α終邊相同的角，連同角α在內(nèi)，可構(gòu)成一個(gè)集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一與角α終邊相同的角，都可以表示成角α與整數(shù)個(gè)周角的和．
注意：(1)α為任意角；
(2)k·360°與α之間是“＋”號(hào)，k·360°－α可理解為k·360°＋(－α)；
(3)相等的角終邊一定相同；終邊相同的角不一定相等，終邊相同的角有無(wú)數(shù)多個(gè)，它們相差360°的整數(shù)倍；
(4)k∈Z這一條件不能少．
一、選擇題
1．(2017·甘肅蘭州一中期末)下列命題正確的是( )
A．終邊在
18、x軸非正半軸上的角是零角
B．第二象限角一定是鈍角
C．第四象限角一定是負(fù)角
D．若β＝α＋k·360°(k∈Z)，則α與β終邊相同
考點(diǎn) 終邊相同的角
題點(diǎn) 任意角的綜合應(yīng)用
答案 D
解析 終邊在x軸非正半軸上的角為k·360°＋180°，k∈Z，零角為0°，所以A錯(cuò)誤；480°角為第二象限角，但不是鈍角，所以B錯(cuò)誤；285°角為第四象限角，但不是負(fù)角，所以C錯(cuò)誤，故選D.
2．(2017·濟(jì)寧高一檢測(cè))下列各角中，與60°角終邊相同的角是( )
A．－300° B．－60°
C．600° D．1 380°
考點(diǎn) 終邊相同的角
題點(diǎn) 終邊相同的角
答案
19、A
解析 與60°角終邊相同的角α＝k·360°＋60°，k∈Z，
令k＝－1，則α＝－300°.
3．把－1 485°化成k·360°＋α(0°≤α＜360°，k∈Z)的形式是( )
A．315°－5×360° B．45°－4×360°
C．－315°－4×360° D．－45°－10×180°
考點(diǎn) 終邊相同的角
題點(diǎn) 終邊相同的角
答案 A
解析 可以估算－1 485°介于－5×360°與－4×360°之間．∵0°≤α＜360°，∴k＝－5，則α＝315°.
4．(2017·河北邯鄲一中月考)已知A＝{第一象限角}，B＝{銳角}，C＝{小于90°的角}，則A
20、，B，C關(guān)系正確的是( )
A．B＝A∩C B．B∪C＝C
C．AC D． A＝B＝C
考點(diǎn) 象限角、軸線角
題點(diǎn) 象限角
答案 B
解析 由題意得B(A∩C)，故A錯(cuò)誤；BC，所以B∪C＝C，故B正確；A與C互不包含，故C錯(cuò)誤；由以上分析可知D錯(cuò)誤．
5．若α是第四象限角，則180°－α是( )
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
考點(diǎn) 象限角、軸線角
題點(diǎn) 象限角
答案 C
解析 可以給α賦一特殊值－60°，
則180°－α＝240°，故180°－α是第三象限角．
6．時(shí)針走過(guò)了2小時(shí)40分，則分針轉(zhuǎn)過(guò)的角
21、度是( )
A．80° B．－80°
C．960° D．－960°
考點(diǎn) 任意角的概念
題點(diǎn) 任意角的概念
答案 D
解析 分針轉(zhuǎn)過(guò)的角是負(fù)角，且分針每轉(zhuǎn)一周是－360°，故共轉(zhuǎn)了－360°×＝－960°.
7．(2017·臨沂高一檢測(cè))角α與角β的終邊關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，則α與β的關(guān)系為( )
A．α＋β＝k·360°，k∈Z
B．α＋β＝k·360°＋180°，k∈Z
C．α－β＝k·360°＋180°，k∈Z
D．α－β＝k·360°，k∈Z
考點(diǎn) 終邊相同的角
題點(diǎn) 終邊相同的角
答案 B
解析 方法一 (特殊值法)令α＝30°，β＝150°，
則
22、α＋β＝180°.
方法二 (直接法)因?yàn)榻铅僚c角β的終邊關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，所以β＝180°－α＋k·360°，k∈Z，即α＋β＝k·360°＋180°，k∈Z.
8．設(shè)集合A＝{α|α＝45°＋k·180°，k∈Z}∪{α|α＝135°＋k·180°，k∈Z}，集合B＝{β|β＝45°＋k·90°，k∈Z}，則( )
A．A∩B＝? B．AB
C．BA D．A＝B
考點(diǎn) 終邊相同的角
題點(diǎn) 任意角的綜合應(yīng)用
答案 D
解析 對(duì)于集合A，
α＝45°＋k·180°＝45°＋2k·90°
或α＝135°＋k·180°＝45°＋90°＋2k·90°
＝45°＋(2k
23、＋1)·90°.
∵k∈Z，
∴2k表示所有的偶數(shù)，2k＋1表示所有的奇數(shù)，
∴集合A＝{α|α＝45°＋n·90°，n∈Z}，
又集合B＝{β|β＝45°＋k·90°，k∈Z}，
∴A＝B.故選D.
二、填空題
9．已知角α＝－3 000°，則與α終邊相同的最小正角是________．
考點(diǎn) 終邊相同的角
題點(diǎn) 終邊相同的角
答案 240°
解析 與α＝－3 000°終邊相同的角的集合為{θ|θ＝－3 000°＋k·360°，k∈Z}，
令－3 000°＋k·360°>0°，解得k>，
故當(dāng)k＝9時(shí)，θ＝240°滿足條件．
10．若α＝k·360°＋45°，k∈Z
24、，則是第________象限角．
考點(diǎn) 象限角、軸線角
題點(diǎn) 象限角
答案 一或三
解析 ∵α＝k·360°＋45°，k∈Z，
∴＝k·180°＋22.5°，k∈Z.
當(dāng)k為偶數(shù)，即k＝2n，n∈Z時(shí)，
＝n·360°＋22.5°，n∈Z，∴為第一象限角；
當(dāng)k為奇數(shù)，即k＝2n＋1，n∈Z時(shí)，
＝n·360°＋202.5°，n∈Z，∴為第三象限角．
綜上，是第一或第三象限角．
11.如圖，終邊落在OA的位置上的角的集合是________________；終邊落在OB的位置上，且在－360°～360°內(nèi)的角的集合是________；終邊落在陰影部分(含邊界)的角的集合是_
25、___________________．
考點(diǎn) 終邊相同的角
題點(diǎn) 任意角的綜合應(yīng)用
答案 {α|α＝120°＋k·360°，k∈Z} {315°，－45°}
{α|－45°＋k·360°≤α≤120°＋k·360°，k∈Z}
解析 終邊落在OA的位置上的角的集合是{α|α＝120°＋k·360°，k∈Z}．
終邊落在OB的位置上的角的集合是{α|α＝315°＋k·360°，k∈Z}，
取k＝0，－1得α＝315°，－45°.
故終邊落在OB的位置上，
且在－360°～360°內(nèi)的角的集合是{315°，－45°}．
終邊落在陰影部分的角的集合是{α|－45°＋k·360
26、°≤α≤120°＋k·360°，k∈Z}．
12．集合A＝{α|α＝k·90°－36°，k∈Z}，B＝{β|－180°<β<180°}，則A∩B＝________________.
考點(diǎn) 終邊相同的角
題點(diǎn) 任意角的綜合應(yīng)用
答案 {－126°，－36°，54°，144°}
解析 當(dāng)k＝－1時(shí)，α＝－126°；
當(dāng)k＝0時(shí)，α＝－36°；
當(dāng)k＝1時(shí)，α＝54°；
當(dāng)k＝2時(shí)，α＝144°.
∴A∩B＝{－126°，－36°，54°，144°}．
13．已知角β的終邊在直線x－y＝0上．則角β的集合S為_(kāi)_________．
考點(diǎn) 終邊相同的角
題點(diǎn) 任意角的綜合應(yīng)用
27、
答案 {β|β＝60°＋n·180°，n∈Z}
解析 如圖，直線x－y＝0過(guò)原點(diǎn)，傾斜角為60°，在0°～360°范圍內(nèi)，終邊落在射線OA上的角是60°，終邊落在射線OB上的角是240°，所以以射線OA，OB為終邊的角的集合分別為
S1＝{β|β＝60°＋k·360°，k∈Z}，
S2＝{β|β＝240°＋k·360°，k∈Z}，
所以，角β的集合S＝S1∪S2＝{β|β＝60°＋k·360°，k∈Z}∪{β|β＝60°＋180°＋k·360°，k∈Z}
＝{β|β＝60°＋2k·180°，k∈Z}∪{β|β＝60°＋(2k＋1)·180°，k∈Z}＝{β|β＝60°＋n·18
28、0°，n∈Z}．
14．(2017·山東臨沂一中月考)若角α滿足180°<α<360°，角5α與α有相同的始邊與終邊，則角α＝________.
考點(diǎn) 終邊相同的角
題點(diǎn) 終邊相同的角
答案 270°
解析 ∵角5α與α具有相同的始邊與終邊，
∴5α＝k·360°＋α，k∈Z，得4α＝k·360°，k∈Z，
∴α＝k·90°，k∈Z，
又180°<α<360°，∴當(dāng)k＝3時(shí)，α＝270°.
三、解答題
15．(2017·山西平遙一中月考)一只紅螞蟻與一只黑螞蟻在一個(gè)單位圓(半徑為1的圓)上爬動(dòng)，兩只螞蟻均從點(diǎn)A(1,0)同時(shí)逆時(shí)針勻速爬動(dòng)，紅螞蟻每秒爬過(guò)α角，黑螞蟻每秒
29、爬過(guò)β角(其中0°<α<β<180°)，如果兩只螞蟻都在第14 s時(shí)回到A點(diǎn)，并且在第2 s時(shí)均位于第二象限，求α，β的值．
考點(diǎn) 終邊相同的角
題點(diǎn) 任意角的綜合應(yīng)用
解 根據(jù)題意，可知14α，14β均為360°的整數(shù)倍，
故可設(shè)14α＝m·360°，m∈Z,14β＝n·360°，n∈Z，
則α＝·180°，m∈Z，β＝·180°，n∈Z.
由兩只螞蟻在第2 s時(shí)均位于第二象限，知2α，2β均為第二象限角．
團(tuán)為0°<α<β<180°，所以0°<2α<2β<360°，
所以2α，2β均為鈍角，即90°<2α<2β<180°，
于是45°<α<90°，45°<β<90°.
所以45°<·180°<90°，45°<·180°<90°，
即
（浙江專(zhuān)用版）2022-2023學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第一章 三角函數(shù) 1.1.1 任意角學(xué)案 新人教A版必修2
