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(浙江專(zhuān)用版)2022-2023學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第一章 三角函數(shù) 1.4.1 正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象學(xué)案 新人教A版必修2

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《(浙江專(zhuān)用版)2022-2023學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第一章 三角函數(shù) 1.4.1 正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象學(xué)案 新人教A版必修2》由會(huì)員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《(浙江專(zhuān)用版)2022-2023學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第一章 三角函數(shù) 1.4.1 正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象學(xué)案 新人教A版必修2(13頁(yè)珍藏版)》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、(浙江專(zhuān)用版)2022-2023學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第一章 三角函數(shù) 1.4.1 正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象學(xué)案 新人教A版必修2 學(xué)習(xí)目標(biāo) 1.了解利用單位圓中的正弦線畫(huà)正弦曲線的方法.2.掌握“五點(diǎn)法”畫(huà)正弦曲線和余弦曲線的步驟和方法,能用“五點(diǎn)法”作出簡(jiǎn)單的正弦、余弦曲線.3.理解正弦曲線與余弦曲線之間的聯(lián)系. 知識(shí)點(diǎn)一 正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的概念 思考 從對(duì)應(yīng)的角度如何理解正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的概念? 答案 實(shí)數(shù)集與角的集合之間可以建立一一對(duì)應(yīng)關(guān)系,而一個(gè)確定的角又對(duì)應(yīng)著唯一確定的正弦(或余弦)值.這樣,任意給定一個(gè)實(shí)數(shù)x,有唯一確定的值sin x(或cos x)與之對(duì)應(yīng).由這個(gè)對(duì)應(yīng)法

2、則所確定的函數(shù)y=sin x(或y=cos x)叫做正弦函數(shù)(或余弦函數(shù)),其定義域是R. 知識(shí)點(diǎn)二 幾何法作正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象 思考1 課本上是利用什么來(lái)比較精確的畫(huà)出正弦函數(shù)的圖象的?其基本步驟是什么? 答案 利用正弦線,這種作圖方法稱(chēng)為“幾何法”,其基本步驟如下: ①作出單位圓:作平面直角坐標(biāo)系,并在直角坐標(biāo)系中y軸左側(cè)的x軸上取一點(diǎn)O1,作出以O(shè)1為圓心的單位圓; ②等分單位圓,作正弦線:從⊙O1與x軸的交點(diǎn)A起,把⊙O1分成12等份.過(guò)⊙O1上各分點(diǎn)作x軸的垂線,得到對(duì)應(yīng)于0,,,,…,2π等角的正弦線; ③找橫坐標(biāo):把x軸上從0到2π這一段分成12等份; ④

3、找縱坐標(biāo):把角x的正弦線向右平移,使它的起點(diǎn)與x軸上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)x重合,從而得到12條正弦線的12個(gè)終點(diǎn); ⑤連線:用光滑的曲線將12個(gè)終點(diǎn)依次從左至右連接起來(lái),即得到函數(shù)y=sin x,x∈[0,2π]的圖象,如圖. 因?yàn)榻K邊相同的角有相同的三角函數(shù)值,所以函數(shù)y=sin x,x∈[2kπ,2(k+1)π),k∈Z且k≠0的圖象與函數(shù)y=sin x,x∈[0,2π)的圖象的形狀完全一致.于是只要將函數(shù)y=sin x,x∈[0,2π)的圖象向左、向右平行移動(dòng)(每次2π個(gè)單位長(zhǎng)度),就可以得到正弦函數(shù)y=sin x,x∈R的圖象,如圖. 思考2 如何由正弦函數(shù)的圖象通過(guò)圖形變換得到余弦

4、函數(shù)的圖象? 答案 把y=sin x,x∈R的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度,即可得到y(tǒng)=cos x,x∈R的圖象. 梳理 正弦函數(shù)的圖象和余弦函數(shù)的圖象分別叫做正弦曲線和余弦曲線. 知識(shí)點(diǎn)三 “五點(diǎn)法”作正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象 思考1 描點(diǎn)法作函數(shù)圖象有哪幾個(gè)步驟? 答案 列表、描點(diǎn)、連線. 思考2 “五點(diǎn)法”作正弦函數(shù)、余弦函數(shù)在x∈[0,2π]上的圖象時(shí)是哪五個(gè)點(diǎn)? 答案  畫(huà)正弦函數(shù)圖象的五點(diǎn) (0,0) (π,0) (2π,0) 畫(huà)余弦函數(shù)圖象的五點(diǎn) (0,1) (π,-1) (2π,1) 梳理 “五點(diǎn)法”作正弦函數(shù)y=sin x(x

5、∈[0,2π])、余弦函數(shù)y=cos x,x∈[0,2π]圖象的步驟 (1)列表 x 0 π 2π sin x 0 1 0 -1 0 cos x 1 0 -1 0 1 (2)描點(diǎn) 畫(huà)正弦函數(shù)y=sin x,x∈[0,2π]的圖象,五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)是 (0,0),,(π,0),,(2π,0); 畫(huà)余弦函數(shù)y=cos x,x∈[0,2π]的圖象,五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)是 (0,1),,(π,-1),,(2π,1). (3)用光滑曲線順次連接這五個(gè)點(diǎn),得到正弦函數(shù)y=sin x(x∈[0,2π])、余弦函數(shù)y=cos x(x∈[0,2π])的簡(jiǎn)圖.

6、1.正弦函數(shù)y=sin x的圖象向左、右和上、下無(wú)限伸展.( × ) 提示 正弦函數(shù)y=sin x的圖象向左、右無(wú)限伸展,但上、下限定在直線y=1和y=-1之間. 2.函數(shù)y=sin x與y=sin(-x)的圖象完全相同.( × ) 提示 二者圖象不同,而是關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng). 3.余弦函數(shù)y=cos x的圖象與x軸有無(wú)數(shù)個(gè)交點(diǎn).( √ ) 4.余弦函數(shù)y=cos x的圖象與y=sin x的圖象形狀和位置都不一樣.( × ) 提示 函數(shù)y=cos x的圖象與y=sin x的圖象形狀一樣,只是位置不同. 類(lèi)型一 “五點(diǎn)法”作圖的應(yīng)用 例1 利用“五點(diǎn)法”作出函數(shù)y=1-sin x(

7、0≤x≤2π)的簡(jiǎn)圖. 考點(diǎn) 正弦函數(shù)的圖象 題點(diǎn) 五點(diǎn)法作正弦函數(shù)的圖象 解 取值列表: x 0 π 2π sin x 0 1 0 -1 0 1-sin x 1 0 1 2 1 描點(diǎn)連線,如圖所示. 反思與感悟 作正弦曲線要理解幾何法作圖,掌握五點(diǎn)法作圖.“五點(diǎn)”即y=sin x或y=cos x的圖象在[0,2π]內(nèi)的最高點(diǎn)、最低點(diǎn)和與x軸的交點(diǎn).“五點(diǎn)法”是作簡(jiǎn)圖的常用方法. 跟蹤訓(xùn)練1 (1)用“五點(diǎn)法”作出函數(shù)y=1-cos x(0≤x≤2π)的簡(jiǎn)圖. 考點(diǎn) 余弦函數(shù)的圖象 題點(diǎn) 五點(diǎn)法作余弦函數(shù)的圖象 解 列表如下:

8、 x 0 π 2π cos x 1 0 -1 0 1 1-cos x 0 1 2 1 0 描點(diǎn)并用光滑的曲線連接起來(lái),如圖. (2)(2017·長(zhǎng)沙檢測(cè))利用正弦或余弦函數(shù)圖象作出y=的圖象. 考點(diǎn) 余弦函數(shù)的圖象 題點(diǎn) 五點(diǎn)法作余弦函數(shù)的圖象 解 由于y==|cos x|,因此只需作出y=|cos x|的圖象即可,而y=|cos x|可由y=cos x將x軸下方的圖象折到x軸上方,圖象如下: 類(lèi)型二 利用正、余弦函數(shù)圖象解不等式 命題角度1 利用正、余弦函數(shù)圖象解不等式 例2 利用正弦曲線,求滿足

9、 考點(diǎn) 正弦函數(shù)的圖象 題點(diǎn) 正弦函數(shù)圖象的簡(jiǎn)單應(yīng)用 解 首先作出y=sin x在[0,2π]上的圖象,如圖所示,作直線y=,根據(jù)特殊角的正弦值,可知該直線與y=sin x,x∈[0,2π]的交點(diǎn)橫坐標(biāo)為和. 作直線y=,該直線與y=sin x,x∈[0,2π]的交點(diǎn)橫坐標(biāo)為和. 觀察圖象可知,在[0,2π]上,當(dāng)

10、集. 跟蹤訓(xùn)練2 使不等式-2sin x≥0成立的x的取值集合是(  ) A. B. C. D. 考點(diǎn) 正弦函數(shù)的圖象 題點(diǎn) 正弦函數(shù)圖象的簡(jiǎn)單應(yīng)用 答案 C 解析 不等式可化為sin x≤. 方法一 作圖,正弦曲線及直線y=如圖所示. 由圖知,不等式的解集為. 方法二 如圖所示,不等式的解集為. 命題角度2 利用正、余弦函數(shù)圖象求定義域 例3 求函數(shù)f(x)=lg sin x+的定義域. 考點(diǎn) 正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的定義域、值域 題點(diǎn) 正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的定義域 解 由題意,得x滿足不等式組 即 作出y=sin x的圖象,如圖所示. 結(jié)合圖象

11、可得x∈[-4,-π)∪(0,π). 反思與感悟 一些三角函數(shù)的定義域可以借助函數(shù)圖象直觀地觀察得到,同時(shí)要注意區(qū)間端點(diǎn)的取舍. 跟蹤訓(xùn)練3 求函數(shù)y=的定義域. 考點(diǎn) 正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的定義域、值域 題點(diǎn) 正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的定義域 解 為使函數(shù)有意義,需滿足 即0

12、正弦函數(shù)的圖象 答案 B 解析 “五點(diǎn)法”作圖是當(dāng)2x=0,,π,,2π時(shí)的x的值,此時(shí)x=0,,,,π,故選B. 2.下列圖象中,y=-sin x在[0,2π]上的圖象是(  ) 考點(diǎn) 正弦函數(shù)的圖象 題點(diǎn) 正弦函數(shù)圖象的簡(jiǎn)單應(yīng)用 答案 D 解析 由y=sin x在[0,2π]上的圖象作關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)圖形,應(yīng)為D項(xiàng). 3.不等式cos x<0,x∈[0,2π]的解集為_(kāi)_______. 考點(diǎn) 余弦函數(shù)的圖象 題點(diǎn) 余弦函數(shù)圖象的簡(jiǎn)單應(yīng)用 答案  解析 由函數(shù)y=cos x的圖象可知,不等式cos x<0的解集為. 4.請(qǐng)用“五點(diǎn)法”畫(huà)出函數(shù)y=sin的圖象.

13、考點(diǎn) 正弦函數(shù)的圖象 題點(diǎn) 五點(diǎn)法作正弦函數(shù)的圖象 解 令X=2x-,則當(dāng)x變化時(shí),y的值如下表: X 0 π 2π x y 0 0 - 0 描點(diǎn)畫(huà)圖: 將函數(shù)在上的圖象向左、向右平移即得y=sin的圖象. 5.若函數(shù)f(x)=sin x-2m-1,x∈[0,2π]有兩個(gè)零點(diǎn),求m的取值范圍. 考點(diǎn) 正弦函數(shù)的圖象 題點(diǎn) 正弦函數(shù)圖象的簡(jiǎn)單應(yīng)用 解 由題意可知,sin x-2m-1=0在[0,2π]上有2個(gè)根,即sin x=2m+1有兩個(gè)根, 可轉(zhuǎn)化為y=sin x與y=2m+1兩函數(shù)的圖象在[0,2π]上有2個(gè)交點(diǎn)

14、. 由y=sin x圖象可知, -1<2m+1<1,且2m+1≠0, 解得-1<m<0,且m≠-. ∴m∈∪. 1.對(duì)“五點(diǎn)法”畫(huà)正弦函數(shù)圖象的理解 (1)與前面學(xué)習(xí)函數(shù)圖象的畫(huà)法類(lèi)似,在用描點(diǎn)法探究函數(shù)圖象特征的前提下,若要求精度不高,只要描出函數(shù)圖象的“關(guān)鍵點(diǎn)”,就可以根據(jù)函數(shù)圖象的變化趨勢(shì)畫(huà)出函數(shù)圖象的草圖. (2)正弦型函數(shù)圖象的關(guān)鍵點(diǎn)是函數(shù)圖象中最高點(diǎn)、最低點(diǎn)以及與x軸的交點(diǎn). 2.作函數(shù)y=asin x+b的圖象的步驟 3.用“五點(diǎn)法”畫(huà)的正弦型函數(shù)在一個(gè)周期[0,2π]內(nèi)的圖象,如果要畫(huà)出在其他區(qū)間上的圖象,可依據(jù)圖象的變化趨勢(shì)和周期性畫(huà)出. 一、

15、選擇題 1.用五點(diǎn)法畫(huà)y=sin x,x∈[0,2π]的圖象時(shí),下列哪個(gè)點(diǎn)不是關(guān)鍵點(diǎn)(  ) A. B. C.(π,0) D.(2π,0) 考點(diǎn) 正弦函數(shù)的圖象 題點(diǎn) 五點(diǎn)法作正弦函數(shù)的圖象 答案 A 解析 易知不是關(guān)鍵點(diǎn). 2.用“五點(diǎn)法”作函數(shù)y=2sin x-1的圖象時(shí),首先應(yīng)描出的五點(diǎn)的橫坐標(biāo)可以是(  ) A.0,,π,,2π B.0,,,,π C.0,π,2π,3π,4π D.0,,,, 考點(diǎn) 正弦函數(shù)的圖象 題點(diǎn) 五點(diǎn)法作正弦函數(shù)的圖象 答案 A 解析 由“五點(diǎn)法”可知選A. 3.對(duì)于正弦函數(shù)y=sin x的圖象,下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是(  )

16、 A.向左右無(wú)限伸展 B.與y=cos x的圖象形狀相同,只是位置不同 C.與x軸有無(wú)數(shù)個(gè)交點(diǎn) D.關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng) 考點(diǎn) 正弦函數(shù)的圖象 題點(diǎn) 正弦函數(shù)圖象的簡(jiǎn)單應(yīng)用 答案 D 解析 由正弦曲線知,A,B,C均正確,D不正確. 4.(2017·紹興柯橋區(qū)期末)函數(shù)y=xcos x(-π≤x≤π)的圖象可能是(  ) 考點(diǎn) 余弦函數(shù)的圖象 題點(diǎn) 余弦函數(shù)圖象的簡(jiǎn)單應(yīng)用 答案 D 解析 當(dāng)x∈時(shí),x<0,cos x<0,則xcos x>0; 當(dāng)x∈時(shí),x<0,cos x>0,則xcos x<0; 當(dāng)x∈時(shí),x>0,cos x>0,則xcos x>0; 當(dāng)x∈時(shí)

17、,x>0,cos x<0,則xcos x<0,故選D. 5.下列各組函數(shù)中圖象相同的是(  ) ①y=cos x與y=cos(π+x) ②y=sin與y=sin ③y=sin x與y=sin(-x) ④y=sin(2π+x)與y=sin x A.①③ B.①② C.③④ D.④ 考點(diǎn) 正弦函數(shù)與余弦函數(shù)圖象的綜合應(yīng)用 題點(diǎn) 正弦函數(shù)與余弦函數(shù)圖象的綜合應(yīng)用 答案 D 解析 由誘導(dǎo)公式知,只有④中,y=sin(2π+x)=sin x. 6.若sin θ=1-log2x,則實(shí)數(shù)x的取值范圍是(  ) A.[1,4] B. C.[2,4] D. 考點(diǎn) 正弦函

18、數(shù)的圖象 題點(diǎn) 正弦函數(shù)圖象的簡(jiǎn)單應(yīng)用 答案 A 解析 由正弦函數(shù)的圖象,可知-1≤sin θ≤1, 所以-1≤1-log2x≤1,整理得0≤log2x≤2, 解得1≤x≤4,故選A. 7.方程sin x=的根的個(gè)數(shù)是(  ) A.7 B.8 C.9 D.10 考點(diǎn) 正弦函數(shù)的圖象 題點(diǎn) 正弦函數(shù)圖象的簡(jiǎn)單應(yīng)用 答案 A 解析 在同一坐標(biāo)系內(nèi)畫(huà)出y=和y=sin x的圖象如圖所示. 根據(jù)圖象可知方程有7個(gè)根. 二、填空題 8.函數(shù)f(x)=lg cos x+的定義域?yàn)開(kāi)_______. 考點(diǎn) 正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的定義域、值域 題點(diǎn) 正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的

19、定義域 答案 ∪∪ 解析 由題意,得x滿足不等式組 即作出y=cos x的圖象,如圖所示. 結(jié)合圖象可得x∈∪∪. 9.函數(shù)f(x)=則不等式f(x)>的解集是______________________. 考點(diǎn) 正弦函數(shù)的圖象 題點(diǎn) 正弦函數(shù)圖象的簡(jiǎn)單應(yīng)用 答案  解析 在同一平面直角坐標(biāo)系中畫(huà)出函數(shù)f(x)和y=的圖象(圖略),由圖易得-<x<0或+2kπ<x<+2kπ,k∈N. 10.若動(dòng)直線x=a與函數(shù)f(x)=sin x和g(x)=cos x的圖象分別交于M,N兩點(diǎn),則|MN|的最大值為_(kāi)_______. 考點(diǎn) 正弦函數(shù)與余弦函數(shù)圖象的綜合應(yīng)用 題點(diǎn) 正弦

20、函數(shù)與余弦函數(shù)圖象的綜合應(yīng)用 答案  解析 在同一坐標(biāo)系中作出函數(shù)f(x)和g(x)的圖象, 如圖所示, 易知當(dāng)x=a=kπ-(k∈Z)時(shí),|MN|取得最大值=. 11.(2017·長(zhǎng)沙瀏陽(yáng)一中期末)有下列命題: ①y=sin |x|的圖象與y=sin x的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng); ②y=cos(-x)的圖象與y=cos|x|的圖象相同; ③y=|sin x|的圖象與y=sin(-x)的圖象關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng); ④y=cos x的圖象與y=cos(-x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng). 其中正確命題的序號(hào)是________. 考點(diǎn) 正弦函數(shù)與余弦函數(shù)圖象的綜合應(yīng)用 題點(diǎn) 正弦函數(shù)與余弦函數(shù)

21、圖象的綜合應(yīng)用 答案 ②④ 解析 對(duì)于②,y=cos(-x)=cos x,y=cos|x|=cos x,故其圖象相同;對(duì)于④,y=cos(-x)=cos x,故這兩個(gè)函數(shù)圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng),作圖(圖略)可知①③均不正確. 三、解答題 12.用“五點(diǎn)法”畫(huà)出函數(shù)y=+sin x,x∈[0,2π]的簡(jiǎn)圖. 考點(diǎn) 正弦函數(shù)的圖象 題點(diǎn) 五點(diǎn)法作正弦函數(shù)的圖象 解 (1)取值列表如下: x 0 π 2π sin x 0 1 0 -1 0 +sin x - (2)描點(diǎn)、連線,如圖所示. 13.根據(jù)y=cos x的圖象解不等式:-≤c

22、os x≤,x∈[0,2π]. 考點(diǎn) 余弦函數(shù)的圖象 題點(diǎn) 余弦函數(shù)圖象的綜合應(yīng)用 解 函數(shù)y=cos x,x∈[0,2π]的圖象如圖所示: 根據(jù)圖象可得不等式的解集為. 四、探究與拓展 14.已知函數(shù)y=2sin x的圖象與直線y=2圍成一個(gè)封閉的平面圖形,那么此封閉圖形的面積為(  ) A.4 B.8 C.4π D.2π 考點(diǎn) 正弦函數(shù)的圖象 題點(diǎn) 正弦函數(shù)圖象的簡(jiǎn)單應(yīng)用 答案 C 解析 數(shù)形結(jié)合,如圖所示. y=2sin x,x∈的圖象與直線y=2圍成的封閉平面圖形的面積相當(dāng)于由x=,x=,y=0,y=2圍成的矩形面積,即S=×2=4π. 15.函數(shù)f(x)=sin x+2|sin x|,x∈[0,2π]的圖象與直線y=k有且僅有兩個(gè)不同的交點(diǎn),求k的取值范圍. 考點(diǎn) 正弦函數(shù)的圖象 題點(diǎn) 正弦函數(shù)圖象的簡(jiǎn)單應(yīng)用 解 f(x)=sin x+2|sin x|= 圖象如圖所示, 若使f(x)的圖象與直線y=k有且僅有兩個(gè)不同的交點(diǎn),根據(jù)圖象可得k的取值范圍是(1,3).

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