《（新課標）2021版高考數(shù)學一輪總復習 第四章 三角函數(shù) 第20講 兩角和與差的正弦、余弦和正切公式、二倍角公式導學案 新人教A版》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《（新課標）2021版高考數(shù)學一輪總復習 第四章 三角函數(shù) 第20講 兩角和與差的正弦、余弦和正切公式、二倍角公式導學案 新人教A版（9頁珍藏版）》請在裝配圖網上搜索。

1、第20講　兩角和與差的正弦、余弦和正切公式、二倍角公式 【課程要求】 1．掌握兩角和與差的正弦、余弦和正切公式、二倍角公式． 2．會應用兩角和與差的正弦、余弦和正切公式、二倍角公式進行求值，化簡，證明等． 對應學生用書p56 【基礎檢測】 1．判斷下列結論是否正確(請在括號中打“√”或“×”) (1)存在實數(shù)α，β，使等式sin(α＋β)＝sinα＋sinβ成立．(　　) (2)對任意角α都有1＋sinα＝.(　　) (3)y＝3sinx＋4cosx的最大值是7.(　　) (4)公式tan(α＋β)＝可以變形為tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanαtan

2、β)，且對任意角α，β都成立．(　　) [答案] (1)√　(2)√　(3)×　(4)× 2．[必修4p127T2]若cosα＝－，α是第三象限的角，則sin等于(　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A．－B.C．－D. [解析]∵α是第三象限角， ∴sinα＝－＝－， ∴sin＝－×＋×＝－. [答案]C 3．[必修4p147T2]已知cosα＋cosβ＝，sinα＋sinβ＝，則cos(α－β)＝________． [解析]因為(cosα＋cosβ)2＝cos2α＋cos2β＋2cosαcosβ＝， (sinα＋sinβ)2＝sin2α＋sin2β＋

3、2sinαsinβ＝， 兩式相加得2＋2cos(α－β)＝， 所以cos(α－β)＝－. [答案]－ 4．[必修4p146T4]tan10°＋tan50°＋tan10°tan50°＝________． [解析]∵tan60°＝tan(10°＋50°)＝， ∴tan10°＋tan50°＝tan60°(1－tan10°tan50°) ＝－tan10°tan50°， ∴原式＝－tan10°tan50°＋tan10°tan50°＝. [答案] 5．化簡：＝________． [解析]原式＝ ＝＝＝. [答案] 6．已知θ∈，且sin＝，則tan2θ＝________．

4、 [解析]法一：sin＝，得sinθ－cosθ＝，① θ∈，①平方得2sinθcosθ＝， 可求得sinθ＋cosθ＝，∴sinθ＝，cosθ＝， ∴tanθ＝，tan2θ＝＝－. 法二：∵θ∈且sin＝， ∴cos＝， ∴tan＝＝，∴tanθ＝. 故tan2θ＝＝－. [答案]－ 7．已知tanα，tanβ是方程x2＋3x＋4＝0的兩根，若α，β∈，則α＋β＝________． [解析]由題可得tanα＋tanβ＝－3，tanα·tanβ＝4， 所以tanα<0，tanβ<0， 因為α，β∈， 所以α，β∈，α＋β∈， 因為tan(α＋β)＝＝， 所以α＋β＝

5、－. [答案]－ 【知識要點】 1．兩角和與差的正弦、余弦和正切公式 sin(α±β)＝sin__αcos__β±cos__αsin__β； cos(α?β)＝cos__αcos__β±sin__αsin__β； tan(α±β)＝. 2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 sin2α＝2sin__αcos__α； cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α； tan2α＝. 3．公式的常用變形 (1)tanα±tanβ＝tan(α±β)(1?tanαtanβ)； (2)cos2α＝，sin2α＝； (3)1＋sin2α＝(sinα＋cosα)

6、2， 1－sin2α＝(sinα－cosα)2， sinα±cosα＝sin. 對應學生用書p56 三角函數(shù)公式的基本應用 例1　(1)若α∈，tan＝，則sinα等于(　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.B.C．－D．－ [解析] (1)∵tan＝＝， ∴tanα＝－＝， ∴cosα＝－sinα. 又∵sin2α＋cos2α＝1， ∴sin2α＝. 又∵α∈，∴sinα＝. [答案]A (2)已知α∈，sinα＝，則cos的值為________． [解析]因為α∈，sinα＝， 所以cosα＝－＝－. sin2α＝2sinαcosα＝

7、2××＝－， cos2α＝1－2sin2α＝1－2×＝， 所以cos＝coscos2α＋sinsin2α ＝×＋× ＝－. [答案]－ [小結]觀察分析角和三角函數(shù)名稱之間的關系，實現(xiàn)非特殊角向特殊角的轉化是求解此類題的關鍵． (1)使用兩角和與差的三角函數(shù)公式，首先要記住公式的結構特征． (2)使用公式求值，應先求出相關角的函數(shù)值，再代入公式求值． 1．計算的值等于__________． [解析]由sin47°＝sin＝sin30°cos17°＋sin17°cos30°知，原式＝＝. [答案] 三角函數(shù)公式的逆用與變形用 例2　(1)設a＝cos2°－sin2°

8、，b＝，c＝，則有(　　) A．a＜c＜bB．a＜b＜c C．b＜c＜aD．c＜a＜b [解析]由題意可知，a＝sin28°，b＝tan28°，c＝sin25°， ∴c＜a＜b. [答案]D (2)在△ABC中，若tanAtanB＝tanA＋tanB＋1，則cosC的值為(　　) A．－B.C.D．－ [解析]由tanAtanB＝tanA＋tanB＋1， 可得＝－1，即tan(A＋B)＝－1，又A＋B∈(0，π)， 所以A＋B＝，則C＝，cosC＝. [答案]B [小結](1)逆用公式應準確找出所給式子與公式的異同，創(chuàng)造條件逆用公式． (2)tanαtanβ，tanα

9、＋tanβ(或tanα－tanβ)，tan(α＋β)(或tan(α－β))三者中可以知二求一，注意公式的正用、逆用和變形使用． 2．化簡＝__________． [解析]＝＝＝－1. [答案]－1 三角函數(shù)公式的綜合應用 例3　已知函數(shù)f(α)＝sinα(cosα－sinα)＋. (1)化簡f(α)； (2)若α∈，f＝，求f(α)的值． [解析] (1)f(α)＝sinαcosα－sin2α＋ ＝sin2α－×＋ ＝sin2α＋cos2α＝sin. (2)∵f＝－sinα＝，∴sinα＝－， ∵α∈，∴cosα＝. ∴sin2α＝2sinαcosα＝－，cos2

10、α＝2cos2α－1＝， ∴f(α)＝sin2α＋cos2α＝. 3．已知sin＝，x∈，則tan2x等于(　　) A.B．－ C.D．4 [解析]因為sin(x－2021π)＝，所以sinx＝－， 又x∈，所以cosx＝－， 所以tanx＝， 所以tan2x＝＝，故選C. [答案]C 對應學生用書p57 1．(2019·全國卷Ⅱ理)已知a∈，2sin2α＝cos2α＋1，則sinα＝(　　) A.B.C．eq \f(\r(3),3) D. [解析]∵2sin2α＝cos2α＋1，∴4sinα·cosα＝2cos2α. ∵α∈，∴cosα>0，sinα>0

11、， ∴2sinα＝cosα，又sin2α＋cos2α＝1，∴5sin2α＝1，sin2α＝， 又sinα>0，∴sinα＝，故選B. [答案]B 2．(2018·全國卷Ⅱ理)已知sinα＋cosβ＝1，cosα＋sinβ＝0，則sin(α＋β)＝__________． [解析]因為sinα＋cosβ＝1，cosα＋sinβ＝0， 所以(1－sinα)2＋(－cosα)2＝1，∴sinα＝，cosβ＝， 因此sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ＝×－cos2α＝－1＋sin2α＝－1＋＝－. [答案]－eq \f(1,2) 3．(2019·江蘇)已知＝－，則sin的值是__________． [解析]由＝＝＝－，得3tan2α－5tanα－2＝0， 解得tanα＝2，或tanα＝－. sin＝sin2αcos＋cos2αsin ＝＝ ＝， 當tanα＝2時，上式＝×＝； 當tanα＝－時， 上式＝×＝. 綜上，sin＝. [答案] 9