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2019-2020學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第2章 統(tǒng)計(jì) 2-3 變量間的相關(guān)關(guān)系學(xué)案 新人教A版必修3

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2019-2020學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第2章 統(tǒng)計(jì) 2-3 變量間的相關(guān)關(guān)系學(xué)案 新人教A版必修3_第1頁(yè)
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1、2.3.1 變量之間的相關(guān)關(guān)系 2.3.2 兩個(gè)變量的線性相關(guān) 1.理解兩個(gè)變量的相關(guān)關(guān)系的概念. 2.會(huì)作散點(diǎn)圖,并利用散點(diǎn)圖判斷兩個(gè)變量之間是否具有相關(guān)關(guān)系. 3.會(huì)求線性回歸方程. 1.變量之間常見(jiàn)的關(guān)系 函數(shù)關(guān)系 變量之間的關(guān)系可以用函數(shù)表示 相關(guān)關(guān)系 變量之間有一定的聯(lián)系,但不能完全用函數(shù)表示 2.相關(guān)關(guān)系與函數(shù)關(guān)系的區(qū)別與聯(lián)系 3.散點(diǎn)圖 將樣本中n個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)(xi,yi)(i=1,2,…,n)描在平面直角坐標(biāo)系中,以表示具有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量的一組數(shù)據(jù)的圖形叫做散點(diǎn)圖. 4.正相關(guān)與負(fù)相關(guān) (1)正相關(guān):散點(diǎn)圖中的點(diǎn)散布在從左下角到右上角的

2、區(qū)域. (2)負(fù)相關(guān):散點(diǎn)圖中的點(diǎn)散布在從左上角到右下角的區(qū)域. 5.回歸直線與回歸方程 如果散點(diǎn)圖中點(diǎn)的分布從整體上看大致在一條直線附近,就稱這兩個(gè)變量之間具有線性相關(guān)關(guān)系,這條直線叫做回歸直線.回歸直線對(duì)應(yīng)的方程叫做回歸直線的方程,簡(jiǎn)稱回歸方程. 6.最小二乘法 求回歸直線方程=x+時(shí),使得樣本數(shù)據(jù)的點(diǎn)到回歸直線的距離的平方和最小的方法叫做最小二乘法. 7.用最小二乘法求回歸方程中的,有下面的公式 其中=i,=i. 這樣,回歸方程的斜率為,縱截距為,即回歸方程為=x+.  判斷正誤.(正確的打“√”,錯(cuò)誤的打“×”) (1)已知變量x的值,可由回歸方程=x+得到

3、變量y的精確值.(  ) (2)回歸方程=x+必經(jīng)過(guò)點(diǎn)(,).(  ) (3)由一組數(shù)據(jù)(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn)得到的回歸直線方程=x+至少經(jīng)過(guò)(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn)中的一個(gè)點(diǎn).(  ) (4)選取一組數(shù)據(jù)中的部分點(diǎn)得到的回歸方程與由整組數(shù)據(jù)得到的回歸方程是同一個(gè)方程.(  ) [提示] (1)× (2)√ (3)× (4)× 題型一相關(guān)關(guān)系的判定 【典例1】 (1)下列變量之間的關(guān)系不是相關(guān)關(guān)系的是(  ) A.二次函數(shù)y=ax2+bx+c中,a,c是已知常數(shù),取b為自變量,因變量是判別式Δ=b2-4ac B.光照時(shí)間

4、和果樹(shù)畝產(chǎn)量 C.降雪量和交通事故發(fā)生率 D.每畝田施肥量和糧食畝產(chǎn)量 (2)以下是在某地搜集到的不同樓盤(pán)房屋的銷(xiāo)售價(jià)格y(單位:萬(wàn)元)和房屋面積x(單位:m2)的數(shù)據(jù): 房屋面積x/m2 115 110 80 135 105 銷(xiāo)售價(jià)格y/萬(wàn)元 49.6 43.2 38.8 58.4 44 ①畫(huà)出數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的散點(diǎn)圖; ②判斷房屋的銷(xiāo)售價(jià)格和房屋面積之間是否具有相關(guān)關(guān)系,如果有相關(guān)關(guān)系,是正相關(guān)還是負(fù)相關(guān)? [解析] (1)在A中,若b確定,則a,b,c都是常數(shù),Δ=b2-4ac也就唯一確定了,因此,這兩者之間是確定性的函數(shù)關(guān)系;一般來(lái)說(shuō),光照時(shí)間越長(zhǎng),果樹(shù)畝產(chǎn)

5、量越高;降雪量越大,交通事故發(fā)生率越高;施肥量越多,糧食畝產(chǎn)量越高,所以B,C,D是相關(guān)關(guān)系.故選A. (2)①數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的散點(diǎn)圖如圖所示. ②通過(guò)以上數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的散點(diǎn)圖可以判斷,房屋的銷(xiāo)售價(jià)格和房屋面積之間具有相關(guān)關(guān)系,并且是正相關(guān). [答案] (1)A (2)見(jiàn)解析 判斷兩個(gè)變量的相關(guān)性的常用方法 (1)散點(diǎn)圖法:通過(guò)畫(huà)散點(diǎn)圖,觀察圖中點(diǎn)的分布特征,直觀給出判斷. (2)表格、關(guān)系式法:通過(guò)表格或關(guān)系式直接進(jìn)行判斷. [針對(duì)訓(xùn)練1] 在下列兩個(gè)變量的關(guān)系中,判斷是否具有相關(guān)關(guān)系? ①正方形邊長(zhǎng)與面積之間的關(guān)系; ②作文水平與課外閱讀量之間的關(guān)系; ③

6、人的身高與年齡之間的關(guān)系; [解] 兩變量之間的關(guān)系有三種:函數(shù)關(guān)系、相關(guān)關(guān)系和不相關(guān). ①正方形的邊長(zhǎng)與面積之間的關(guān)系是函數(shù)關(guān)系. ②作文水平與課外閱讀量之間的關(guān)系不是嚴(yán)格的函數(shù)關(guān)系,但是具有相關(guān)性,因而是相關(guān)關(guān)系. ③人的身高與年齡之間的關(guān)系既不是函數(shù)關(guān)系,也不是相關(guān)關(guān)系,因?yàn)槿说哪挲g達(dá)到一定時(shí)期身高就不發(fā)生明顯變化了,因而他們不具備相關(guān)關(guān)系. 題型二求回歸直線方程 【典例2】 某種產(chǎn)品的廣告費(fèi)支出x(單位:百萬(wàn)元)與銷(xiāo)售額y(單位:百萬(wàn)元)之間有如下對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù): x 2 4 5 6 8 y 30 40 60 50 70 (1)畫(huà)出散點(diǎn)圖; (2)求回

7、歸方程. [解] (1)散點(diǎn)圖如圖所示. (2)列出下表,并用科學(xué)計(jì)算器進(jìn)行有關(guān)計(jì)算. I 1 2 3 4 5 xi 2 4 5 6 8 yi 30 40 60 50 70 xiyi 60 160 300 300 560 x 4 16 25 36 64 =5,=50,=145,iyi=1380 于是可得,===6.5, =-=50-6.5×5=17.5. 于是所求的回歸方程是=6.5x+17.5. 引申探究1:若典例2的條件不變,利用例2中所求得的回歸方程,計(jì)算若廣告費(fèi)支出增加一個(gè)單位,銷(xiāo)售額增加多少? [解] 由

8、回歸方程=6.5x+17.5可知,當(dāng)x增加一個(gè)單位時(shí),y大約增加6.5. 引申探究2:若典例2的條件不變,要使銷(xiāo)售額提升到100(單位:百萬(wàn)元),則廣告費(fèi)至少要支出多少? [解] 由6.5x+17.5=100,解得x=12.7,即廣告費(fèi)至少要支出12.7(單位:百萬(wàn)元). (1)求線性回歸方程的步驟 第一步,計(jì)算平均數(shù),; 第二步,求和iyi,; 第三步,計(jì)算==, =-; 第四步,寫(xiě)出回歸直線方程=x+. (2)求線性回歸方程的注意事項(xiàng) ①利用散點(diǎn)圖判定兩個(gè)變量是否具有線性相關(guān)關(guān)系,注意不要受個(gè)別點(diǎn)的位置的影響. ②求回歸方程,關(guān)鍵在于正確求出系數(shù),,由

9、于,的計(jì)算量大,計(jì)算時(shí)應(yīng)仔細(xì)謹(jǐn)慎,分層進(jìn)行,避免因計(jì)算而產(chǎn)生的錯(cuò)誤. [針對(duì)訓(xùn)練2] 已知變量x,y有如下對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù): x 1 2 3 4 y 1 3 4 5 (1)作出散點(diǎn)圖; (2)用最小二乘法求關(guān)于x,y的回歸直線方程. [解] (1)散點(diǎn)圖如圖所示: (2)==,==, iyi=1+6+12+20=39. =1+4+9+16=30, ==,=-×=0, 所以=x為所求的回歸直線方程. 題型三利用回歸方程對(duì)總體進(jìn)行估計(jì) 【典例3】 某地最近十年糧食需求量逐年上升,下表是部分統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù): 年份 2008 2010 2012 201

10、4 2016 需求量/萬(wàn)噸 236 246 257 276 286 (1)利用所給數(shù)據(jù)求年需求量與年份之間的回歸直線方程=x+; (2)利用(1)中所求出的直線方程預(yù)測(cè)該地2020年的糧食需求量. [解] (1)由所給數(shù)據(jù)看出,年需求量與年份之間是近似直線上升的.對(duì)數(shù)據(jù)預(yù)處理如下: 年份-2012 -4 -2 0 2 4 需求量-257 -21 -11 0 19 29 對(duì)預(yù)處理后的數(shù)據(jù),容易算得=0,=3.2, ===6.5. =-=3.2. 由上述計(jì)算結(jié)果,知所求回歸直線方程為 -257=(x-2012)+=6.5(x-2012)+3.2

11、. 即=6.5(x-2012)+260.2.① (2)利用直線方程①,可預(yù)測(cè)2020年的糧食需求量為6.5×(2020-2012)+260.2=6.5×8+260.2=312.2(萬(wàn)噸). 用線性回歸方程估計(jì)總體的一般步驟 (1)作出散點(diǎn)圖,判斷散點(diǎn)是否在一條直線附近. (2)如果散點(diǎn)在一條直線附近,用公式求出,,并寫(xiě)出線性回歸方程. (3)根據(jù)線性回歸方程對(duì)總體進(jìn)行估計(jì). [針對(duì)訓(xùn)練3] 下圖是某地區(qū)2000年至2016年環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額y(單位:億元)的折線圖. 為了預(yù)測(cè)該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額,建立了y與時(shí)間變量t的兩個(gè)線性回歸模型.根

12、據(jù)2000年至2016年的數(shù)據(jù)(時(shí)間變量t的值依次為1,2,…,17)建立模型①:=-30.4+13.5t;根據(jù)2010年至2016年的數(shù)據(jù)(時(shí)間變量t的值依次為1,2,…,7)建立模型②:=99+17.5t. (1)分別利用這兩個(gè)模型,求該地區(qū)2020年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預(yù)測(cè)值. (2)你認(rèn)為用哪個(gè)模型得到的預(yù)測(cè)值更可靠?并說(shuō)明理由. [解] (1)利用模型①,可得該地區(qū)2020年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預(yù)測(cè)值為=-30.4+13.5×21=313.9(億元). 利用模型②,可得該地區(qū)2020年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預(yù)測(cè)值為=99+17.5×11=291.5(億元). (2)利用

13、模型②得到的預(yù)測(cè)值更可靠. 理由如下: (i)從折線圖可以看出,2000年至2016年的數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)沒(méi)有隨機(jī)散布在直線y=-30.4+13.5t上下,這說(shuō)明利用2000年至2016年的數(shù)據(jù)建立的線性模型①不能很好地描述環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的變化趨勢(shì).2010年相對(duì)2009年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額有明顯增加,2010年至2016年的數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于一條直線的附近,這說(shuō)明從2010年開(kāi)始環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的變化規(guī)律呈線性增長(zhǎng)趨勢(shì),利用2010年至2016年的數(shù)據(jù)建立的線性模型=99+17.5t可以較好地描述2010年以后的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的變化趨勢(shì),因此利用模型②得到的預(yù)測(cè)值更可靠. (ii)

14、從計(jì)算結(jié)果看,相對(duì)于2016年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額220億元,由模型①得到的預(yù)測(cè)值226.1億元的增幅明顯偏低,而利用模型②得到的預(yù)測(cè)值的增幅比較合理,說(shuō)明利用模型②得到的預(yù)測(cè)值更可靠. 課堂歸納小結(jié) 1.判斷變量之間有無(wú)相關(guān)關(guān)系,簡(jiǎn)便可行的方法就是繪制散點(diǎn)圖.根據(jù)散點(diǎn)圖,可看出兩個(gè)變量是否具有相關(guān)關(guān)系,是否線性相關(guān),是正相關(guān)還是負(fù)相關(guān). 2.求回歸直線的方程時(shí)應(yīng)注意的問(wèn)題 (1)知道x與y呈線性相關(guān)關(guān)系,無(wú)需進(jìn)行相關(guān)性檢驗(yàn),否則應(yīng)首先進(jìn)行相關(guān)性檢驗(yàn).如果兩個(gè)變量之間本身不具有相關(guān)關(guān)系,或者說(shuō),它們之間的相關(guān)關(guān)系不顯 著,即使求出回歸方程也是毫無(wú)意義的,而且用其估計(jì)和預(yù)

15、測(cè)的量也是不可信的. (2)用公式計(jì)算,的值時(shí),要先算出,然后才能算出. 3.利用回歸方程,我們可以進(jìn)行估計(jì)和預(yù)測(cè).若回歸方程為=x+,則x=x0處的估計(jì)值為0=x0+. 1.下列語(yǔ)句所表示的事件中的因素不具有相關(guān)關(guān)系的是(  ) A.瑞雪兆豐年 B.上梁不正下梁歪 C.吸煙有害健康 D.喜鵲叫喜,烏鴉叫喪 [解析] 選項(xiàng)A,B,C中描述的變量間都具有相關(guān)關(guān)系,而選項(xiàng)D是迷信說(shuō)法,沒(méi)有科學(xué)依據(jù). [答案] D 2.下列圖形中,兩個(gè)變量具有線性相關(guān)關(guān)系的是(  ) [解析] 線性相關(guān)關(guān)系要求兩個(gè)變量的散點(diǎn)圖大致在一條直線上,且不是函數(shù)關(guān)系

16、. [答案] B 3.已知x,y的取值如表所示: x 2 3 4 y 6 4 5 如果y與x線性相關(guān),且線性回歸方程為=x+,則等于(  ) A.- B. C.- D. [解析] ∵==3,==5, ∴回歸直線過(guò)點(diǎn)(3,5),∴5=3+, ∴=-,故選A. [答案] A 4.某旅行社為迎節(jié)日搞活動(dòng)旅游,經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查,某旅游線路銷(xiāo)量y(人)與旅游單價(jià)x(元/人)負(fù)相關(guān),則其回歸方程可能是(  ) A.=-80x+1600 B.=80x+1600 C.=-80x-1600 D.=80x-1600 [解析] y與x負(fù)相關(guān),排除B,D;而C中,x>0時(shí),

17、=-80x-1600<0,不符合題意,排除C. [答案] A 5.已知x與y之間的幾組數(shù)據(jù)如下表: x 1 2 3 4 5 6 y 0 2 1 3 3 4 假設(shè)根據(jù)上表數(shù)據(jù)所得線性回歸方程為=x+.若某同學(xué)根據(jù)上表中的前兩組數(shù)據(jù)(1,0)和(2,2)求得的直線方程為y=b′x+a′,則以下結(jié)論正確的是(  ) A.>b′,>a′ B.>b′,a′ D.

18、×=-, 所以a′. [答案] C 課后作業(yè)(十五) (時(shí)間45分鐘) 學(xué)業(yè)水平合格練(時(shí)間25分鐘) 1.如圖所示是具有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量的一組數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖,去掉哪個(gè)點(diǎn)后,兩個(gè)變量的相關(guān)關(guān)系更明顯(  ) A.D B.E C.F D.A [解析] A、B、C、D、E五點(diǎn)分布在一條直線附近且貼近該直線,而F點(diǎn)離得遠(yuǎn),故去掉點(diǎn)F. [答案] C 2.已知變量x和y滿足關(guān)系=-0.1x+1,變量y與z正相關(guān).下列結(jié)論中正確的是(  ) A.x與y正相關(guān),x與z負(fù)相關(guān) B.x與y正相關(guān),x與z正相關(guān) C.x與y負(fù)相關(guān),x與z負(fù)相關(guān) D.x與y負(fù)相關(guān),x與z

19、正相關(guān) [解析] 因?yàn)椋剑?.1x+1的斜率小于0,故x與y負(fù)相關(guān).因?yàn)閥與z正相關(guān),可設(shè)z=y(tǒng)+,>0,則z=y(tǒng)+=-0.1x++,故x與z負(fù)相關(guān). [答案] C 3.下列有關(guān)回歸方程=x+的敘述正確的是(  ) ①反映與x之間的函數(shù)關(guān)系; ②反映y與x之間的函數(shù)關(guān)系; ③表示與x之間的不確定關(guān)系; ④表示最接近y與x之間真實(shí)關(guān)系的一條直線. A.①② B.②③ C.③④ D.①④ [解析]?。絰+表示與x之間的函數(shù)關(guān)系,而不是y與x之間的函數(shù)關(guān)系,且它所反映的關(guān)系最接近y與x之間的真實(shí)關(guān)系.故選D. [答案] D 4.設(shè)有一個(gè)回歸方程為=-1.5x+2,則變量x

20、增加一個(gè)單位時(shí)(  ) A.y平均增加1.5個(gè)單位 B.y平均增加2個(gè)單位 C.y平均減少1.5個(gè)單位 D.y平均減少2個(gè)單位 [解析] ∵兩個(gè)變量線性負(fù)相關(guān),∴變量x增加一個(gè)單位,y平均減少1.5個(gè)單位. [答案] C 5.已知x與y之間的一組數(shù)據(jù): x 0 1 2 3 y 1 3 5 7 則y與x的線性回歸方程為=x+必過(guò)點(diǎn)(  ) A.(2,2) B.(1,2) C.(1.5,0) D.(1.5,4) [解析] 易得=1.5,=4,由于回歸直線過(guò)樣本點(diǎn)的中心(,),故選D. [答案] D 6.有五組變量: ①汽車(chē)的重量和汽車(chē)每消耗1

21、升汽油所行駛的平均路程; ②平均日學(xué)習(xí)時(shí)間和平均學(xué)習(xí)成績(jī); ③某人每日吸煙量和其身體健康情況; ④正方形的邊長(zhǎng)和面積; ⑤汽車(chē)的重量和百公里耗油量. 其中兩個(gè)變量成正相關(guān)的是________. [解析]?、倨?chē)的重量和汽車(chē)每消耗1升汽油所行駛的平均路程是負(fù)相關(guān)的關(guān)系;②平均日學(xué)習(xí)時(shí)間和平均學(xué)習(xí)成績(jī)的關(guān)系成正相關(guān);③某人每日吸煙量和其身體健康情況是負(fù)相關(guān)的關(guān)系;④正方形的邊長(zhǎng)和面積之間是函數(shù)關(guān)系;⑤汽車(chē)的重量和百公里耗油量是正相關(guān)的.故兩個(gè)變量成正相關(guān)的是②⑤. [答案]?、冖? 7.為了解某社區(qū)居民的家庭年收入與年支出的關(guān)系,隨機(jī)調(diào)查了該社區(qū)5戶家庭,得到如下統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)表: 收入

22、x(萬(wàn)元) 8.2 8.6 10.0 11.3 11.9 支出y(萬(wàn)元) 6.2 7.5 8.0 8.5 9.8 根據(jù)上表可得回歸直線方程=x+,其中=0.76,=-.據(jù)此估計(jì),該社區(qū)一戶年收入為15萬(wàn)元家庭的年支出為_(kāi)_______萬(wàn)元. [解析] 因?yàn)椋?0.0,=8.0,=0.76, 所以=8.0-0.76×10.0=0.4, 所以回歸直線方程為=0.76x+0.4,把x=15代入上式得,=0.76×15+0.4=11.8. [答案] 11.8 8.對(duì)某臺(tái)機(jī)器購(gòu)置后的運(yùn)營(yíng)年限x(x=1,2,3,…)與當(dāng)年利潤(rùn)y的統(tǒng)計(jì)分析知具備線性相關(guān)關(guān)系,線性回歸方程為

23、=10.47-1.3x,估計(jì)該臺(tái)機(jī)器使用________年最合算. [解析] 只要預(yù)計(jì)利潤(rùn)不為負(fù)數(shù),使用該機(jī)器就算合算,即≥0,所以10.47-1.3x≥0,解得x≤8.05,所以該臺(tái)機(jī)器使用8年最合算. [答案] 8 9.某班40名學(xué)生,按某課程的學(xué)習(xí)時(shí)數(shù)每8人為一組進(jìn)行分組,其對(duì)應(yīng)的學(xué)習(xí)成績(jī)?nèi)缦卤恚? 學(xué)習(xí)時(shí)數(shù)(x小時(shí)) 學(xué)習(xí)成績(jī)(y分) 10 40 14 50 20 60 25 70 36 90 試根據(jù)上述資料建立學(xué)習(xí)成績(jī)y與學(xué)習(xí)時(shí)間x的直線回歸方程(要求列表計(jì)算所需數(shù)據(jù)資料,寫(xiě)出公式和計(jì)算過(guò)程,結(jié)果保留兩位小數(shù)). [解] 根據(jù)已知數(shù)據(jù),可以計(jì)算出:==

24、21,==62. 根據(jù)資料列表計(jì)算如下表: 學(xué)生 xi yi xi2 xiyi A 10 40 100 400 B 14 50 196 700 C 20 60 400 1200 D 25 70 625 1750 E 36 90 1296 3240 合計(jì) 105 310 2617 7290 進(jìn)而,可以求得 ==≈1.89, =62-1.89×21=22.31,所以,學(xué)習(xí)成績(jī)y與學(xué)習(xí)時(shí)間x的直線回歸方程為=1.89x+22.31. 10.從某居民區(qū)隨機(jī)抽取10個(gè)家庭,獲得第i個(gè)家庭的月收入xi(單位:千元)與月儲(chǔ)蓄yi

25、(單位:千元)的數(shù)據(jù)資料,算得i=80,i=20,iyi=184,=720. (1)求家庭的月儲(chǔ)蓄y對(duì)月收入x的線性回歸方程=x+; (2)判斷變量x與y之間是正相關(guān)還是負(fù)相關(guān); (3)若該居民區(qū)某家庭月收入為7千元,預(yù)測(cè)該家庭的月儲(chǔ)蓄. 附:線性回歸方程=x+中, =,=-,其中,為樣本平均值 . [解] (1)由題意知n=10,=i==8, =i==2, ====0.3, =-=2-0.3×8=-0.4, 故所求回歸方程為=0.3x-0.4. (2)由于變量y的值隨x值的增加而增加(=0.3>0),故x與y之間是正相關(guān). (3)將x=7代入回歸方程可以預(yù)測(cè)該家庭的月

26、儲(chǔ)蓄為y=0.3×7-0.4=1.7(千元). 應(yīng)試能力等級(jí)練(時(shí)間20分鐘) 11.某學(xué)生課外活動(dòng)興趣小組對(duì)兩個(gè)相關(guān)變量收集到5組數(shù)據(jù)如下表: x 10 20 30 40 50 y 62 ▲ 75 81 89 由最小二乘法求得回歸方程為=0.67x+54.9,現(xiàn)發(fā)現(xiàn)表中有一個(gè)數(shù)據(jù)模糊不清,請(qǐng)推斷該數(shù)據(jù)的值為(  ) A.60 B.62 C.68 D.68.3 [解析] 由題意可得=30, 代入回歸方程得=75. 設(shè)看不清處的數(shù)為a, 則62+a+75+81+89=75×5,∴a=68. [答案] C 12.為了研究某班學(xué)生的腳長(zhǎng)x(單位:cm

27、)和身高y(單位:cm)的關(guān)系,從該班隨機(jī)抽取10名學(xué)生,根據(jù)測(cè)量數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖可以看出y與x之間有線性相關(guān)關(guān)系.設(shè)其回歸直線方程為=x+.已知i=225,i=1600,=4.該班某學(xué)生的腳長(zhǎng)為24,據(jù)此估計(jì)其身高為(  ) A.160 B.163 C.166 D.170 [解析] ∵i=225,∴=i=22.5. ∵i=1600,∴=i=160. 又=4,∴=-=160-4×22.5=70. ∴回歸直線方程為=4x+70. 將x=24代入上式得=4×24+70=166. 故選C. [答案] C 13.今年一輪又一輪的寒潮席卷全國(guó).某商場(chǎng)為了了解某品牌羽絨服的月銷(xiāo)售量y(

28、件)與月平均氣溫x(℃)之間的關(guān)系,隨機(jī)統(tǒng)計(jì)了某4個(gè)月的月銷(xiāo)售量與當(dāng)月平均氣溫,數(shù)據(jù)如下表: 月平均氣溫x/℃ 17 13 8 2 月銷(xiāo)售量y/件 24 33 40 55 由表中數(shù)據(jù)算出線性回歸方程=x+中的≈-2.氣象部門(mén)預(yù)測(cè)下個(gè)月的平均氣溫約為6℃,據(jù)此估計(jì)該商場(chǎng)下個(gè)月該品牌羽絨服的銷(xiāo)售量約為_(kāi)_______件. [解析] ==10, ==38, ∴38=10×(-2)+, ∴=58, ∴=-2x+58. 當(dāng)x=6時(shí),=-2×6+58=46. [答案] 46 14.2019年,我國(guó)政府加強(qiáng)了對(duì)高耗能企業(yè)的監(jiān)管,采取多種方式促進(jìn)企業(yè)向節(jié)能型企業(yè)轉(zhuǎn)變,某工

29、廠經(jīng)過(guò)技術(shù)改造后,降低了能源消耗,經(jīng)統(tǒng)計(jì)該廠某種產(chǎn)品的產(chǎn)量x(噸)與相應(yīng)的生產(chǎn)能耗y(噸汽油)有如下幾組樣本數(shù)據(jù) x 3 4 5 6 y 2.5 3 4 4.5 根據(jù)相關(guān)性檢驗(yàn),這組樣本數(shù)據(jù)具有線性相關(guān)關(guān)系,通過(guò)線性回歸分析,求得回歸直線的斜率為0.7,已知該工廠在2020年能耗計(jì)劃中汽油不超過(guò)8.75噸,則該工廠2020年的計(jì)劃產(chǎn)量最大約為_(kāi)_______噸. [解析] ==4.5,==3.5,故樣本點(diǎn)的中心為A(4.5,3.5),由題意,設(shè)回歸直線方程是=0.7x+,代入A點(diǎn)坐標(biāo)得3.5=0.7×4.5+,求得=0.35,故回歸直線方程為=0.7x+0.35.由題意

30、得=0.7x+0.35≤8.75,解得x≤12.所以該工廠2020年的計(jì)劃產(chǎn)量最大約為12噸. [答案] 12 15.為了分析某高三學(xué)生的學(xué)習(xí)狀態(tài),對(duì)其下一階段的學(xué)習(xí)提供指導(dǎo)性建議.現(xiàn)對(duì)某學(xué)生前7次考試的數(shù)學(xué)成績(jī)x、物理成績(jī)y進(jìn)行分析.下表是該學(xué)生7次考試的成績(jī): 數(shù)學(xué)成績(jī)x 88 83 117 92 108 100 112 物理成績(jī)y 94 91 108 96 104 101 106 (1)他的數(shù)學(xué)成績(jī)與物理成績(jī)哪個(gè)更穩(wěn)定?請(qǐng)說(shuō)明理由. (2)已知該學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)x與物理成績(jī)y是線性相關(guān)的,若該學(xué)生的物理成績(jī)達(dá)到115分,請(qǐng)你估計(jì)他的數(shù)學(xué)成績(jī)大約是多少分?(參數(shù)數(shù)據(jù):88×94+83×91+117×108+93×96+108×104+100×101+112×106=70497,882+832+1172+922+1082+1002+1122=70994) [解] (1)=100+=100, =100+=100, ∴s==142,s=,從而s>s, ∴該學(xué)生的物理成績(jī)更穩(wěn)定. (2)由于x與y之間具有線性相關(guān)關(guān)系,則 ===0.5, =-=100-0.5×100=50. ∴線性回歸方程為=0.5x+50. 當(dāng)=115時(shí),x=130,即該學(xué)生物理成績(jī)達(dá)到115分時(shí),他的數(shù)學(xué)成績(jī)大約為130分. 18

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