2．3.1　變量之間的相關關系 2．3.2　兩個變量的線性相關 1．理解兩個變量的相關關系的概念． 2．會作散點圖，并利用散點圖判斷兩個變量之間是否具有相關關系． 3．會求線性回歸方程． 1．變量之間常見的關系 函數(shù)關系 變量之間的關系可以用函數(shù)表示 相關關系 變量之間有一定的聯(lián)系，但不能完全用函數(shù)表示 2.相關關系與函數(shù)關系的區(qū)別與聯(lián)系 3.散點圖 將樣本中n個數(shù)據(jù)點(xi，yi)(i＝1,2，…，n)描在平面直角坐標系中，以表示具有相關關系的兩個變量的一組數(shù)據(jù)的圖形叫做散點圖． 4．正相關與負相關 (1)正相關：散點圖中的點散布在從左下角到右上角的區(qū)域． (2)負相關：散點圖中的點散布在從左上角到右下角的區(qū)域． 5．回歸直線與回歸方程 如果散點圖中點的分布從整體上看大致在一條直線附近，就稱這兩個變量之間具有線性相關關系，這條直線叫做回歸直線．回歸直線對應的方程叫做回歸直線的方程，簡稱回歸方程． 6．最小二乘法 求回歸直線方程＝x＋時，使得樣本數(shù)據(jù)的點到回歸直線的距離的平方和最小的方法叫做最小二乘法． 7．用最小二乘法求回歸方程中的，有下面的公式 其中＝i，＝i. 這樣，回歸方程的斜率為，縱截距為，即回歸方程為＝x＋. 　判斷正誤．(正確的打“√”，錯誤的打“×”) (1)已知變量x的值，可由回歸方程＝x＋得到變量y的精確值．(　　) (2)回歸方程＝x＋必經過點(，)．(　　) (3)由一組數(shù)據(jù)(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)得到的回歸直線方程＝x＋至少經過(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)中的一個點．(　　) (4)選取一組數(shù)據(jù)中的部分點得到的回歸方程與由整組數(shù)據(jù)得到的回歸方程是同一個方程．(　　) [提示]　(1)×　(2)√　(3)×　(4)× 題型一相關關系的判定 【典例1】　(1)下列變量之間的關系不是相關關系的是(　　) A．二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c中，a，c是已知常數(shù)，取b為自變量，因變量是判別式Δ＝b2－4ac B．光照時間和果樹畝產量 C．降雪量和交通事故發(fā)生率 D．每畝田施肥量和糧食畝產量 (2)以下是在某地搜集到的不同樓盤房屋的銷售價格y(單位：萬元)和房屋面積x(單位：m2)的數(shù)據(jù)： 房屋面積x/m2 115 110 80 135 105 銷售價格y/萬元 49.6 43.2 38.8 58.4 44 ①畫出數(shù)據(jù)對應的散點圖； ②判斷房屋的銷售價格和房屋面積之間是否具有相關關系，如果有相關關系，是正相關還是負相關？ [解析]　(1)在A中，若b確定，則a，b，c都是常數(shù)，Δ＝b2－4ac也就唯一確定了，因此，這兩者之間是確定性的函數(shù)關系；一般來說，光照時間越長，果樹畝產量越高；降雪量越大，交通事故發(fā)生率越高；施肥量越多，糧食畝產量越高，所以B，C，D是相關關系．故選A. (2)①數(shù)據(jù)對應的散點圖如圖所示． ②通過以上數(shù)據(jù)對應的散點圖可以判斷，房屋的銷售價格和房屋面積之間具有相關關系，并且是正相關． [答案]　(1)A　(2)見解析 判斷兩個變量的相關性的常用方法 (1)散點圖法：通過畫散點圖，觀察圖中點的分布特征，直觀給出判斷． (2)表格、關系式法：通過表格或關系式直接進行判斷． [針對訓練1]　在下列兩個變量的關系中，判斷是否具有相關關系？ ①正方形邊長與面積之間的關系； ②作文水平與課外閱讀量之間的關系； ③人的身高與年齡之間的關系； [解]　兩變量之間的關系有三種：函數(shù)關系、相關關系和不相關． ①正方形的邊長與面積之間的關系是函數(shù)關系． ②作文水平與課外閱讀量之間的關系不是嚴格的函數(shù)關系，但是具有相關性，因而是相關關系． ③人的身高與年齡之間的關系既不是函數(shù)關系，也不是相關關系，因為人的年齡達到一定時期身高就不發(fā)生明顯變化了，因而他們不具備相關關系. 題型二求回歸直線方程 【典例2】　某種產品的廣告費支出x(單位：百萬元)與銷售額y(單位：百萬元)之間有如下對應數(shù)據(jù)： x 2 4 5 6 8 y 30 40 60 50 70 (1)畫出散點圖； (2)求回歸方程． [解]　(1)散點圖如圖所示． (2)列出下表，并用科學計算器進行有關計算． I 1 2 3 4 5 xi 2 4 5 6 8 yi 30 40 60 50 70 xiyi 60 160 300 300 560 x 4 16 25 36 64 ＝5，＝50，＝145，iyi＝1380 于是可得，＝＝＝6.5， ＝－＝50－6.5×5＝17.5. 于是所求的回歸方程是＝6.5x＋17.5. 引申探究1：若典例2的條件不變，利用例2中所求得的回歸方程，計算若廣告費支出增加一個單位，銷售額增加多少？ [解]　由回歸方程＝6.5x＋17.5可知，當x增加一個單位時，y大約增加6.5. 引申探究2：若典例2的條件不變，要使銷售額提升到100(單位：百萬元)，則廣告費至少要支出多少？ [解]　由6.5x＋17.5＝100，解得x＝12.7，即廣告費至少要支出12.7(單位：百萬元)． (1)求線性回歸方程的步驟 第一步，計算平均數(shù)，； 第二步，求和iyi，； 第三步，計算＝＝， ＝－； 第四步，寫出回歸直線方程＝x＋. (2)求線性回歸方程的注意事項 ①利用散點圖判定兩個變量是否具有線性相關關系，注意不要受個別點的位置的影響． ②求回歸方程，關鍵在于正確求出系數(shù)，，由于，的計算量大，計算時應仔細謹慎，分層進行，避免因計算而產生的錯誤． [針對訓練2]　已知變量x，y有如下對應數(shù)據(jù)： x 1 2 3 4 y 1 3 4 5 (1)作出散點圖； (2)用最小二乘法求關于x，y的回歸直線方程． [解]　(1)散點圖如圖所示： (2)＝＝，＝＝， iyi＝1＋6＋12＋20＝39. ＝1＋4＋9＋16＝30， ＝＝，＝－×＝0， 所以＝x為所求的回歸直線方程. 題型三利用回歸方程對總體進行估計 【典例3】　某地最近十年糧食需求量逐年上升，下表是部分統(tǒng)計數(shù)據(jù)： 年份 2008 2010 2012 2014 2016 需求量/萬噸 236 246 257 276 286 (1)利用所給數(shù)據(jù)求年需求量與年份之間的回歸直線方程＝x＋； (2)利用(1)中所求出的直線方程預測該地2020年的糧食需求量． [解]　(1)由所給數(shù)據(jù)看出，年需求量與年份之間是近似直線上升的．對數(shù)據(jù)預處理如下： 年份－2012 －4 －2 0 2 4 需求量－257 －21 －11 0 19 29 對預處理后的數(shù)據(jù)，容易算得＝0，＝3.2， ＝＝＝6.5. ＝－＝3.2. 由上述計算結果，知所求回歸直線方程為 －257＝(x－2012)＋＝6.5(x－2012)＋3.2. 即＝6.5(x－2012)＋260.2.① (2)利用直線方程①，可預測2020年的糧食需求量為6.5×(2020－2012)＋260.2＝6.5×8＋260.2＝312.2(萬噸)． 用線性回歸方程估計總體的一般步驟 (1)作出散點圖，判斷散點是否在一條直線附近． (2)如果散點在一條直線附近，用公式求出，，并寫出線性回歸方程． (3)根據(jù)線性回歸方程對總體進行估計． [針對訓練3]　下圖是某地區(qū)2000年至2016年環(huán)境基礎設施投資額y(單位：億元)的折線圖. 為了預測該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎設施投資額，建立了y與時間變量t的兩個線性回歸模型．根據(jù)2000年至2016年的數(shù)據(jù)(時間變量t的值依次為1,2，…，17)建立模型①：＝－30.4＋13.5t；根據(jù)2010年至2016年的數(shù)據(jù)(時間變量t的值依次為1,2，…，7)建立模型②：＝99＋17.5t. (1)分別利用這兩個模型，求該地區(qū)2020年的環(huán)境基礎設施投資額的預測值． (2)你認為用哪個模型得到的預測值更可靠？并說明理由． [解]　(1)利用模型①，可得該地區(qū)2020年的環(huán)境基礎設施投資額的預測值為＝－30.4＋13.5×21＝313.9(億元)． 利用模型②，可得該地區(qū)2020年的環(huán)境基礎設施投資額的預測值為＝99＋17.5×11＝291.5(億元)． (2)利用模型②得到的預測值更可靠． 理由如下： (i)從折線圖可以看出，2000年至2016年的數(shù)據(jù)對應的點沒有隨機散布在直線y＝－30.4＋13.5t上下，這說明利用2000年至2016年的數(shù)據(jù)建立的線性模型①不能很好地描述環(huán)境基礎設施投資額的變化趨勢.2010年相對2009年的環(huán)境基礎設施投資額有明顯增加，2010年至2016年的數(shù)據(jù)對應的點位于一條直線的附近，這說明從2010年開始環(huán)境基礎設施投資額的變化規(guī)律呈線性增長趨勢，利用2010年至2016年的數(shù)據(jù)建立的線性模型＝99＋17.5t可以較好地描述2010年以后的環(huán)境基礎設施投資額的變化趨勢，因此利用模型②得到的預測值更可靠． (ii)從計算結果看，相對于2016年的環(huán)境基礎設施投資額220億元，由模型①得到的預測值226.1億元的增幅明顯偏低，而利用模型②得到的預測值的增幅比較合理，說明利用模型②得到的預測值更可靠. 課堂歸納小結 1．判斷變量之間有無相關關系，簡便可行的方法就是繪制散點圖．根據(jù)散點圖，可看出兩個變量是否具有相關關系，是否線性相關，是正相關還是負相關． 2．求回歸直線的方程時應注意的問題 (1)知道x與y呈線性相關關系，無需進行相關性檢驗，否則應首先進行相關性檢驗．如果兩個變量之間本身不具有相關關系，或者說，它們之間的相關關系不顯 著，即使求出回歸方程也是毫無意義的，而且用其估計和預測的量也是不可信的． (2)用公式計算，的值時，要先算出，然后才能算出. 3．利用回歸方程，我們可以進行估計和預測．若回歸方程為＝x＋，則x＝x0處的估計值為0＝x0＋. 1．下列語句所表示的事件中的因素不具有相關關系的是(　　) A．瑞雪兆豐年 B．上梁不正下梁歪 C．吸煙有害健康 D．喜鵲叫喜，烏鴉叫喪 [解析]　選項A，B，C中描述的變量間都具有相關關系，而選項D是迷信說法，沒有科學依據(jù)． [答案]　D 2．下列圖形中，兩個變量具有線性相關關系的是(　　) [解析]　線性相關關系要求兩個變量的散點圖大致在一條直線上，且不是函數(shù)關系． [答案]　B 3．已知x，y的取值如表所示： x 2 3 4 y 6 4 5 如果y與x線性相關，且線性回歸方程為＝x＋，則等于(　　) A．－ B. C．－ D. [解析]　∵＝＝3，＝＝5， ∴回歸直線過點(3,5)，∴5＝3＋， ∴＝－，故選A. [答案]　A 4．某旅行社為迎節(jié)日搞活動旅游，經市場調查，某旅游線路銷量y(人)與旅游單價x(元/人)負相關，則其回歸方程可能是(　　) A.＝－80x＋1600 B.＝80x＋1600 C.＝－80x－1600 D.＝80x－1600 [解析]　y與x負相關，排除B，D；而C中，x>0時，＝－80x－1600<0，不符合題意，排除C. [答案]　A 5．已知x與y之間的幾組數(shù)據(jù)如下表： x 1 2 3 4 5 6 y 0 2 1 3 3 4 假設根據(jù)上表數(shù)據(jù)所得線性回歸方程為＝x＋.若某同學根據(jù)上表中的前兩組數(shù)據(jù)(1,0)和(2,2)求得的直線方程為y＝b′x＋a′，則以下結論正確的是(　　) A.>b′，>a′ B.>b′，<a′ C.<b′，>a′ D.<b′，<a′ [解析]　由兩組數(shù)據(jù)(1,0)和(2,2)可求得直線方程為y＝2x－2，從而b′＝2，a′＝－2.而利用線性回歸方程的公式與已知表格中的數(shù)據(jù)，可求得＝＝＝，＝－＝－×＝－， 所以<b′，>a′. [答案]　C 課后作業(yè)(十五) (時間45分鐘) 學業(yè)水平合格練(時間25分鐘) 1．如圖所示是具有相關關系的兩個變量的一組數(shù)據(jù)的散點圖，去掉哪個點后，兩個變量的相關關系更明顯(　　) A．D B．E C．F D．A [解析]　A、B、C、D、E五點分布在一條直線附近且貼近該直線，而F點離得遠，故去掉點F. [答案]　C 2．已知變量x和y滿足關系＝－0.1x＋1，變量y與z正相關．下列結論中正確的是(　　) A．x與y正相關，x與z負相關 B．x與y正相關，x與z正相關 C．x與y負相關，x與z負相關 D．x與y負相關，x與z正相關 [解析]　因為＝－0.1x＋1的斜率小于0，故x與y負相關．因為y與z正相關，可設z＝y(tǒng)＋，>0，則z＝y(tǒng)＋＝－0.1x＋＋，故x與z負相關． [答案]　C 3．下列有關回歸方程＝x＋的敘述正確的是(　　) ①反映與x之間的函數(shù)關系； ②反映y與x之間的函數(shù)關系； ③表示與x之間的不確定關系； ④表示最接近y與x之間真實關系的一條直線． A．①② B．②③ C．③④ D．①④ [解析]?。絰＋表示與x之間的函數(shù)關系，而不是y與x之間的函數(shù)關系，且它所反映的關系最接近y與x之間的真實關系．故選D. [答案]　D 4．設有一個回歸方程為＝－1.5x＋2，則變量x增加一個單位時(　　) A．y平均增加1.5個單位 B．y平均增加2個單位 C．y平均減少1.5個單位 D．y平均減少2個單位 [解析]　∵兩個變量線性負相關，∴變量x增加一個單位，y平均減少1.5個單位． [答案]　C 5．已知x與y之間的一組數(shù)據(jù)： x 0 1 2 3 y 1 3 5 7 則y與x的線性回歸方程為＝x＋必過點(　　) A．(2,2) B．(1,2) C．(1.5,0) D．(1.5,4) [解析]　易得＝1.5，＝4，由于回歸直線過樣本點的中心(，)，故選D. [答案]　D 6．有五組變量： ①汽車的重量和汽車每消耗1升汽油所行駛的平均路程； ②平均日學習時間和平均學習成績； ③某人每日吸煙量和其身體健康情況； ④正方形的邊長和面積； ⑤汽車的重量和百公里耗油量． 其中兩個變量成正相關的是________． [解析]　①汽車的重量和汽車每消耗1升汽油所行駛的平均路程是負相關的關系；②平均日學習時間和平均學習成績的關系成正相關；③某人每日吸煙量和其身體健康情況是負相關的關系；④正方形的邊長和面積之間是函數(shù)關系；⑤汽車的重量和百公里耗油量是正相關的．故兩個變量成正相關的是②⑤. [答案]　②⑤ 7．為了解某社區(qū)居民的家庭年收入與年支出的關系，隨機調查了該社區(qū)5戶家庭，得到如下統(tǒng)計數(shù)據(jù)表： 收入x(萬元) 8.2 8.6 10.0 11.3 11.9 支出y(萬元) 6.2 7.5 8.0 8.5 9.8 根據(jù)上表可得回歸直線方程＝x＋，其中＝0.76，＝－.據(jù)此估計，該社區(qū)一戶年收入為15萬元家庭的年支出為________萬元． [解析]　因為＝10.0，＝8.0，＝0.76， 所以＝8.0－0.76×10.0＝0.4， 所以回歸直線方程為＝0.76x＋0.4，把x＝15代入上式得，＝0.76×15＋0.4＝11.8. [答案]　11.8 8．對某臺機器購置后的運營年限x(x＝1,2,3，…)與當年利潤y的統(tǒng)計分析知具備線性相關關系，線性回歸方程為＝10.47－1.3x，估計該臺機器使用________年最合算． [解析]　只要預計利潤不為負數(shù)，使用該機器就算合算，即≥0，所以10.47－1.3x≥0，解得x≤8.05，所以該臺機器使用8年最合算． [答案]　8 9．某班40名學生，按某課程的學習時數(shù)每8人為一組進行分組，其對應的學習成績如下表： 學習時數(shù)(x小時) 學習成績(y分) 10 40 14 50 20 60 25 70 36 90 試根據(jù)上述資料建立學習成績y與學習時間x的直線回歸方程(要求列表計算所需數(shù)據(jù)資料，寫出公式和計算過程，結果保留兩位小數(shù))． [解]　根據(jù)已知數(shù)據(jù)，可以計算出：＝＝21，＝＝62. 根據(jù)資料列表計算如下表： 學生 xi yi xi2 xiyi A 10 40 100 400 B 14 50 196 700 C 20 60 400 1200 D 25 70 625 1750 E 36 90 1296 3240 合計 105 310 2617 7290 進而，可以求得 ＝＝≈1.89， ＝62－1.89×21＝22.31，所以，學習成績y與學習時間x的直線回歸方程為＝1.89x＋22.31. 10．從某居民區(qū)隨機抽取10個家庭，獲得第i個家庭的月收入xi(單位：千元)與月儲蓄yi(單位：千元)的數(shù)據(jù)資料，算得i＝80，i＝20，iyi＝184，＝720. (1)求家庭的月儲蓄y對月收入x的線性回歸方程＝x＋； (2)判斷變量x與y之間是正相關還是負相關； (3)若該居民區(qū)某家庭月收入為7千元，預測該家庭的月儲蓄． 附：線性回歸方程＝x＋中， ＝，＝－，其中，為樣本平均值 . [解]　(1)由題意知n＝10，＝i＝＝8， ＝i＝＝2， ＝＝＝＝0.3， ＝－＝2－0.3×8＝－0.4， 故所求回歸方程為＝0.3x－0.4. (2)由于變量y的值隨x值的增加而增加(＝0.3>0)，故x與y之間是正相關． (3)將x＝7代入回歸方程可以預測該家庭的月儲蓄為y＝0.3×7－0.4＝1.7(千元)． 應試能力等級練(時間20分鐘) 11．某學生課外活動興趣小組對兩個相關變量收集到5組數(shù)據(jù)如下表： x 10 20 30 40 50 y 62 ▲ 75 81 89 由最小二乘法求得回歸方程為＝0.67x＋54.9，現(xiàn)發(fā)現(xiàn)表中有一個數(shù)據(jù)模糊不清，請推斷該數(shù)據(jù)的值為(　　) A．60 B．62 C．68 D．68.3 [解析]　由題意可得＝30， 代入回歸方程得＝75. 設看不清處的數(shù)為a， 則62＋a＋75＋81＋89＝75×5，∴a＝68. [答案]　C 12．為了研究某班學生的腳長x(單位：cm)和身高y(單位：cm)的關系，從該班隨機抽取10名學生，根據(jù)測量數(shù)據(jù)的散點圖可以看出y與x之間有線性相關關系．設其回歸直線方程為＝x＋.已知i＝225，i＝1600，＝4.該班某學生的腳長為24，據(jù)此估計其身高為(　　) A．160 B．163 C．166 D．170 [解析]　∵i＝225，∴＝i＝22.5. ∵i＝1600，∴＝i＝160. 又＝4，∴＝－＝160－4×22.5＝70. ∴回歸直線方程為＝4x＋70. 將x＝24代入上式得＝4×24＋70＝166. 故選C. [答案]　C 13．今年一輪又一輪的寒潮席卷全國．某商場為了了解某品牌羽絨服的月銷售量y(件)與月平均氣溫x(℃)之間的關系，隨機統(tǒng)計了某4個月的月銷售量與當月平均氣溫，數(shù)據(jù)如下表： 月平均氣溫x/℃ 17 13 8 2 月銷售量y/件 24 33 40 55 由表中數(shù)據(jù)算出線性回歸方程＝x＋中的≈－2.氣象部門預測下個月的平均氣溫約為6℃，據(jù)此估計該商場下個月該品牌羽絨服的銷售量約為________件． [解析]?。剑?0， ＝＝38， ∴38＝10×(－2)＋， ∴＝58， ∴＝－2x＋58. 當x＝6時，＝－2×6＋58＝46. [答案]　46 14．2019年，我國政府加強了對高耗能企業(yè)的監(jiān)管，采取多種方式促進企業(yè)向節(jié)能型企業(yè)轉變，某工廠經過技術改造后，降低了能源消耗，經統(tǒng)計該廠某種產品的產量x(噸)與相應的生產能耗y(噸汽油)有如下幾組樣本數(shù)據(jù) x 3 4 5 6 y 2.5 3 4 4.5 根據(jù)相關性檢驗，這組樣本數(shù)據(jù)具有線性相關關系，通過線性回歸分析，求得回歸直線的斜率為0.7，已知該工廠在2020年能耗計劃中汽油不超過8.75噸，則該工廠2020年的計劃產量最大約為________噸． [解析]　＝＝4.5，＝＝3.5，故樣本點的中心為A(4.5,3.5)，由題意，設回歸直線方程是＝0.7x＋，代入A點坐標得3.5＝0.7×4.5＋，求得＝0.35，故回歸直線方程為＝0.7x＋0.35.由題意得＝0.7x＋0.35≤8.75，解得x≤12.所以該工廠2020年的計劃產量最大約為12噸． [答案]　12 15．為了分析某高三學生的學習狀態(tài)，對其下一階段的學習提供指導性建議．現(xiàn)對某學生前7次考試的數(shù)學成績x、物理成績y進行分析．下表是該學生7次考試的成績： 數(shù)學成績x 88 83 117 92 108 100 112 物理成績y 94 91 108 96 104 101 106 (1)他的數(shù)學成績與物理成績哪個更穩(wěn)定？請說明理由． (2)已知該學生的數(shù)學成績x與物理成績y是線性相關的，若該學生的物理成績達到115分，請你估計他的數(shù)學成績大約是多少分？(參數(shù)數(shù)據(jù)：88×94＋83×91＋117×108＋93×96＋108×104＋100×101＋112×106＝70497,882＋832＋1172＋922＋1082＋1002＋1122＝70994) [解]　(1)＝100＋＝100， ＝100＋＝100， ∴s＝＝142，s＝，從而s>s， ∴該學生的物理成績更穩(wěn)定． (2)由于x與y之間具有線性相關關系，則 ＝＝＝0.5， ＝－＝100－0.5×100＝50. ∴線性回歸方程為＝0.5x＋50. 當＝115時，x＝130，即該學生物理成績達到115分時，他的數(shù)學成績大約為130分． 18