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(浙江專用版)2022-2023學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第一章 三角函數(shù) 1.3 三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式(二)學(xué)案 新人教A版必修2

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(浙江專用版)2022-2023學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第一章 三角函數(shù) 1.3 三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式(二)學(xué)案 新人教A版必修2_第1頁
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1、(浙江專用版)2022-2023學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第一章 三角函數(shù) 1.3 三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式(二)學(xué)案 新人教A版必修2 學(xué)習(xí)目標(biāo) 1.掌握誘導(dǎo)公式五、六的推導(dǎo),并能應(yīng)用于解決簡單的求值、化簡與證明問題. 2.對誘導(dǎo)公式一至六,能作綜合歸納,體會出六組公式的共性與個(gè)性,培養(yǎng)由特殊到一般的數(shù)學(xué)推理意識和能力. 3.繼續(xù)體會知識的“發(fā)生”“發(fā)現(xiàn)”過程,培養(yǎng)研究問題、發(fā)現(xiàn)問題、解決問題的能力. 知識點(diǎn)一 誘導(dǎo)公式五 完成下表,并由此總結(jié)角α,角-α的三角函數(shù)值間的關(guān)系. (1)sin=,cos=,sin=cos; (2)sin=,cos=,sin=cos; (3)sin=,cos=

2、,sin=cos. 由此可得 誘導(dǎo)公式五 sin=cos?α, cos=sin?α, 知識點(diǎn)二 誘導(dǎo)公式六 思考 能否利用已有公式得出+α的正弦、余弦與角α的正弦、余弦之間的關(guān)系? 答案  以-α代替公式五中的α得到 sin=cos(-α), cos=sin(-α). 由此可得 誘導(dǎo)公式六 sin=cos α, cos=-sinα. 知識點(diǎn)三 誘導(dǎo)公式的推廣與規(guī)律 1.sin=-cos α,cos=-sin α, sin=-cos α,cos=sin α. 2.誘導(dǎo)公式記憶規(guī)律: 公式一~四歸納:α+2kπ(k∈Z),-α,π±α的三角函數(shù)值,等

3、于角α的同名三角函數(shù)值,前面加上一個(gè)把α看成銳角時(shí)原函數(shù)值的符號,簡記為:“函數(shù)名不變,符號看象限”. 公式五~六歸納:±α的正弦(余弦)函數(shù)值,分別等于α的余弦(正弦)函數(shù)值,前面加上一個(gè)把α看成銳角時(shí)原函數(shù)值的符號,簡記為:“函數(shù)名改變,符號看象限”或“正變余、余變正、符號象限定”. 六組誘導(dǎo)公式可以統(tǒng)一概括為“k·±α(k∈Z)”的誘導(dǎo)公式. 記憶口訣:奇變偶不變,符號看象限.其中“奇、偶”是指k·±α(k∈Z)中k的奇偶性,當(dāng)k為奇數(shù)時(shí),正弦變余弦,余弦變正弦;當(dāng)k為偶數(shù)時(shí),函數(shù)名不變.“符號”看的應(yīng)該是誘導(dǎo)公式中,把α看成銳角時(shí)原函數(shù)值的符號,而不是α函數(shù)值的符號. 1.

4、誘導(dǎo)公式五、六中的角α只能是銳角.( × ) 提示 誘導(dǎo)公式五、六中的角α是任意角. 2.誘導(dǎo)公式五、六與誘導(dǎo)公式一~四的區(qū)別在于函數(shù)名稱要改變.( √ ) 提示 由誘導(dǎo)公式一~六可知其正確. 3.sin=±cos α.( × ) 提示 當(dāng)k=2時(shí),sin=sin(π-α)=sin α. 4.口訣“符號看象限”指的是把角α看成銳角時(shí)變換后的三角函數(shù)值的符號.( × ) 提示 應(yīng)看原三角函數(shù)值的符號. 類型一 利用誘導(dǎo)公式求值 例1 已知cos=,≤α≤,求sin的值. 考點(diǎn) 誘導(dǎo)公式五、六 題點(diǎn) 誘導(dǎo)公式六 解 ∵α+=+, ∴sin=sin=cos=. 反

5、思與感悟 對于這類問題,關(guān)鍵是要能發(fā)現(xiàn)它們的互余、互補(bǔ)關(guān)系:如-α與+α,+α與-α,-α與+α等互余,+θ與-θ,+θ與-θ等互補(bǔ),遇到此類問題,不妨考慮兩個(gè)角的和,要善于利用角的變換來解決問題. 跟蹤訓(xùn)練1 已知sin=,求cos的值. 考點(diǎn) 誘導(dǎo)公式五、六 題點(diǎn) 誘導(dǎo)公式五 解 ∵+α+-α=, ∴-α=-. ∴cos=cos =sin=. 類型二 利用誘導(dǎo)公式證明三角恒等式 例2 求證:=-tan α. 考點(diǎn) 誘導(dǎo)公式的綜合應(yīng)用 題點(diǎn) 綜合運(yùn)用誘導(dǎo)公式證明 證明 ∵左邊= = = ==- =-tan α=右邊. ∴原等式成立. 反思與感悟 利用誘

6、導(dǎo)公式證明等式問題,關(guān)鍵在于公式的靈活應(yīng)用,其證明的常用方法: (1)從一邊開始,使得它等于另一邊,一般由繁到簡. (2)左右歸一法:即證明左右兩邊都等于同一個(gè)式子. (3)湊合法:即針對題設(shè)與結(jié)論間的差異,有針對性地進(jìn)行變形,以消除其差異,簡言之,即化異為同. 跟蹤訓(xùn)練2 (2017·佳木斯檢測)求證:=. 考點(diǎn) 誘導(dǎo)公式的綜合應(yīng)用 題點(diǎn) 綜合運(yùn)用誘導(dǎo)公式證明 證明 右邊= = = = ===左邊, 所以原等式成立. 類型三 誘導(dǎo)公式的綜合應(yīng)用 例3 已知f(α)=. (1)化簡f(α); (2)若角A是△ABC的內(nèi)角,且f(A)=,求tan A-sin

7、A的值. 考點(diǎn) 誘導(dǎo)公式的綜合應(yīng)用 題點(diǎn) 綜合運(yùn)用誘導(dǎo)公式求值 解 (1)f(α)==cos α. (2)因?yàn)閒(A)=cos A=, 又A為△ABC的內(nèi)角, 所以由平方關(guān)系,得sin A==, 所以tan A==, 所以tan A-sin A=-=. 反思與感悟 解決此類問題時(shí),可先用誘導(dǎo)公式化簡變形,將三角函數(shù)的角統(tǒng)一后再用同角三角函數(shù)關(guān)系式,這樣可避免公式交錯(cuò)使用而導(dǎo)致的混亂. 跟蹤訓(xùn)練3 已知sin α是方程5x2-7x-6=0的根,α是第三象限角,求 ·tan2(π-α)的值. 考點(diǎn) 誘導(dǎo)公式的綜合應(yīng)用 題點(diǎn) 綜合運(yùn)用誘導(dǎo)公式求值 解 方程5x2-7x-6

8、=0的兩根為x1=-,x2=2, 由α是第三象限角,得sin α=-,則cos α=-, ∴·tan2(π-α) =·tan2α =·tan2α=-tan2α =-=-. 1.已知sin α=,則cos等于(  ) A. B. C.- D.- 考點(diǎn) 誘導(dǎo)公式五、六 題點(diǎn) 誘導(dǎo)公式六 答案 C 解析 cos=-sin α=-. 2.若cos(2π-α)=,則sin等于(  ) A.- B.- C. D.± 考點(diǎn) 誘導(dǎo)公式的綜合應(yīng)用 題點(diǎn) 綜合運(yùn)用誘導(dǎo)公式求值 答案 A 解析 ∵cos(2π-α)=cos(-α)=cos α=, ∴s

9、in=-cos α=-. 3.已知sin=,則cos的值為(  ) A. B.- C. D.- 考點(diǎn) 誘導(dǎo)公式五、六 題點(diǎn) 誘導(dǎo)公式五 答案 C 解析 cos=cos =sin=. 4.已知tan θ=2,則等于(  ) A.2 B.-2 C.0 D. 考點(diǎn) 誘導(dǎo)公式的綜合應(yīng)用 題點(diǎn) 綜合運(yùn)用誘導(dǎo)公式求值 答案 B 解析?。? ===-2. 5.已知sin(5π-θ)+sin=,求sin4+cos4的值. 考點(diǎn) 誘導(dǎo)公式的綜合應(yīng)用 題點(diǎn) 綜合運(yùn)用誘導(dǎo)公式求值 解 ∵sin(5π-θ)+sin =sin(π-θ)+sin =sin θ+cos

10、 θ=, ∴sin θcos θ=[(sin θ+cos θ)2-1] =×=, ∴sin4+cos4=cos4θ+sin4θ =(sin2θ+cos2θ)2-2sin2θcos2θ =1-2×2=. 1.誘導(dǎo)公式的分類及其記憶方式 (1)誘導(dǎo)公式分為兩大類: ①α+k·2π,-α,α+(2k+1)π(k∈Z)的三角函數(shù)值,等于α的同名三角函數(shù)值,前面加上一個(gè)把α看成銳角時(shí)原函數(shù)值的符號,為了便于記憶,可簡單地說成“函數(shù)名不變,符號看象限”. ②α+,-α+的三角函數(shù)值,等于α的異名三角函數(shù)值,前面加上一個(gè)把α看成銳角時(shí)原函數(shù)值的符號,記憶口訣為“函數(shù)名改變,符號看象限”

11、. (2)以上兩類公式可以歸納為:k·+α(k∈Z)的三角函數(shù)值,當(dāng)k為偶數(shù)時(shí),得α的同名函數(shù)值;當(dāng)k為奇數(shù)時(shí),得α的異名函數(shù)值,然后在前面加上一個(gè)把α看成銳角時(shí)原函數(shù)值的符號. 2.利用誘導(dǎo)公式求任意角的正弦、余弦函數(shù)值,常采用“負(fù)角化正角,大角化小角,最后轉(zhuǎn)化成內(nèi)的三角函數(shù)值”這種方式求解. 用誘導(dǎo)公式把任意角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為0到之間的角的三角函數(shù)的基本步驟: 一、選擇題 1.已知cos α=,則sin等于(  ) A. B.- C. D.- 考點(diǎn) 誘導(dǎo)公式五、六 題點(diǎn) 誘導(dǎo)公式六 答案 A 解析 sin=cos α=. 2.已知sin=,那么cos α等于

12、(  ) A.- B.- C. D. 考點(diǎn) 誘導(dǎo)公式五、六 題點(diǎn) 誘導(dǎo)公式六 答案 C 解析 sin=cos α,故cos α=,故選C. 3.(2017·福建雙十中學(xué)期末)化簡sin·cos·tan的結(jié)果是(  ) A.1 B.sin2α C.-cos2α D.-1 考點(diǎn) 誘導(dǎo)公式的綜合應(yīng)用 題點(diǎn) 綜合運(yùn)用誘導(dǎo)公式求值 答案 C 解析 因?yàn)閟in=cos α, cos=cos=-sin α, tan==, 所以原式=cos α(-sin α)=-cos2α,故選C. 4.(2017·上饒檢測)已知sin 10°=k,則cos 620°的值為(  

13、) A.k B.-k C.±k D.不確定 考點(diǎn) 誘導(dǎo)公式的綜合應(yīng)用 題點(diǎn) 綜合運(yùn)用誘導(dǎo)公式求值 答案 B 解析 cos 620°=cos(360°+260°)=cos 260°=cos(270°-10°)=-sin 10°=-k. 5.已知f(sin x)=cos 3x,則f(cos 10°)的值為(  ) A.- B. C.- D. 考點(diǎn) 誘導(dǎo)公式的綜合應(yīng)用 題點(diǎn) 綜合運(yùn)用誘導(dǎo)公式求值 答案 A 解析 f(cos 10°)=f(sin 80°)=cos 240° =cos(180°+60°)=-cos 60°=-. 6.若角A,B,C是△ABC的三個(gè)內(nèi)

14、角,則下列等式中一定成立的是(  ) A.cos(A+B)=cos C B.sin(A+B)=-sin C C.cos=sin B D.sin=cos 考點(diǎn) 誘導(dǎo)公式的綜合應(yīng)用 題點(diǎn) 綜合運(yùn)用誘導(dǎo)公式化簡 答案 D 解析 ∵A+B+C=π,∴A+B=π-C, ∴cos(A+B)=-cos C,sin(A+B)=sin C,故A,B項(xiàng)不正確; ∵A+C=π-B,∴=, ∴cos=cos=sin,故C項(xiàng)不正確; ∵B+C=π-A, ∴sin=sin=cos,故D項(xiàng)正確. 7.若sin(π+α)+cos=-m,則cos+2sin(2π-α)的值為(  ) A.-

15、B. C.- D. 考點(diǎn) 誘導(dǎo)公式的綜合應(yīng)用 題點(diǎn) 綜合運(yùn)用誘導(dǎo)公式求值 答案 C 解析 ∵sin(π+α)+cos=-sin α-sin α=-m,∴sin α=. 故cos+2sin(2π-α)=-sin α-2sin α =-3sin α=-. 二、填空題 8.化簡= . 考點(diǎn) 誘導(dǎo)公式的綜合應(yīng)用 題點(diǎn) 綜合運(yùn)用誘導(dǎo)公式化簡 答案 -1 解析 原式= ==-1. 9.若cos α=,且α是第四象限角,則cos= . 考點(diǎn) 誘導(dǎo)公式五、六 題點(diǎn) 誘導(dǎo)公式六 答案  解析 ∵cos α=,且α是第四象限角, ∴sin

16、α=- =- =-. ∴cos=-sin α=. 10.sin21°+sin22°+…+sin288°+sin289°= . 考點(diǎn) 誘導(dǎo)公式五、六 題點(diǎn) 誘導(dǎo)公式五 答案  解析 原式=(sin21°+sin289°)+(sin22°+sin288°)+…+(sin244°+sin246°)+sin245° =44+=. 11.(2017·四川成都樹德中學(xué)期中)給出下列三個(gè)結(jié)論,其中正確結(jié)論的序號是 . ①sin(π+α)=-sin α成立的條件是角α是銳角; ②若cos(nπ-α)=(n∈Z),則cos α=; ③若α≠(k∈Z),則tan=

17、. 考點(diǎn) 誘導(dǎo)公式的綜合應(yīng)用 題點(diǎn) 綜合運(yùn)用誘導(dǎo)公式化簡 答案?、? 解析 由誘導(dǎo)公式二,知α∈R時(shí),sin(π+α)=-sin α,所以①錯(cuò)誤.當(dāng)n=2k(k∈Z)時(shí),cos(nπ-α)=cos(-α)=cos α,此時(shí)cos α=,當(dāng)n=2k+1(k∈Z)時(shí),cos(nπ-α)=cos[(2k+1)π-α]=cos(π-α)=-cos α,此時(shí)cos α=-,所以②錯(cuò)誤.若α≠(k∈Z),則tan===-,所以③正確. 三、解答題 12.已知角α的終邊經(jīng)過點(diǎn)P(-4,3),求 的值. 考點(diǎn) 誘導(dǎo)公式的綜合應(yīng)用 題點(diǎn) 綜合運(yùn)用誘導(dǎo)公式求值 解 ∵角α的終邊經(jīng)過點(diǎn)P(-4,3

18、), ∴tan α==-, ∴ ==tan α=-. 13.已知sin·cos=,且<α<,求sin α與cos α的值. 考點(diǎn) 誘導(dǎo)公式的綜合應(yīng)用 題點(diǎn) 綜合運(yùn)用誘導(dǎo)公式求值 解 ∵sin=-cos α, cos=cos=-sin α, ∴sin α·cos α=, 即2sin α·cos α=.① 又∵sin2α+cos2α=1,② ①+②得(sin α+cos α)2=, ②-①得(sin α-cos α)2=. 又∵α∈,∴sin α>cos α>0, 即sin α+cos α>0,sin α-cos α>0, ∴sin α+cos α=,③ sin

19、α-cos α=,④ ③+④得sin α=,③-④得cos α=. 四、探究與拓展 14.已知sin(α-3π)=2cos(α-4π),則= . 考點(diǎn) 誘導(dǎo)公式的綜合應(yīng)用 題點(diǎn) 綜合運(yùn)用誘導(dǎo)公式化簡 答案?。? 解析 ∵sin(α-3π)=2cos(α-4π),∴-sin(3π-α)=2cos(4π-α),∴-sin(π-α)=2cos(-α),∴sin α=-2cos α且cos α≠0,∴原式====-. 15.已知α是第四象限角,且f(α)=. (1)若cos=,求f(α)的值; (2)若α=-1 860°,求f(α)的值. 考點(diǎn) 誘導(dǎo)公式的綜合應(yīng)用 題點(diǎn) 綜合運(yùn)用誘導(dǎo)公式求值 解 f(α)= ==. (1)∵cos=, ∴cos=, ∴cos=, ∴sin α=-,∴f(α)==-5. (2)當(dāng)α=-1 860°時(shí),f(α)= == ===-.

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