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2019-2020學年新教材高中數(shù)學 第三章 函數(shù)的概念與性質 3.3 冪函數(shù)學案 新人教A版必修第一冊

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1、3.3 冪函數(shù) 1.理解冪函數(shù)的概念. 2.掌握y=xα(α=-1,,1,2,3)的圖象與性質. 3.理解和掌握冪函數(shù)在第一象限的分類特征,能運用數(shù)形結合的方法處理冪函數(shù)的有關問題. 1.冪函數(shù)的概念 一般地,函數(shù)y=xα叫做冪函數(shù),其中x是自變量,α是常數(shù). 2.常見冪函數(shù)的圖象與性質 溫馨提示:冪函數(shù)在區(qū)間(0,+∞)上,當a>0時,y=xα是增函數(shù);當α<0時,y=xα是減函數(shù). 1.y=2x2和y=-是冪函數(shù)嗎? [答案] 不是 2.判斷正誤(正確的打“√”,錯誤的打“×”) (1)函數(shù)y=x0(x≠0)是冪函數(shù).(  ) (2)冪函數(shù)的

2、圖象必過點(0,0)和(1,1).(  ) (3)冪函數(shù)的圖象都不過第二、四象限.(  ) (4)當α>0時,y=xα是增函數(shù).(  ) [答案] (1)√ (2)× (3)× (4)× 題型一冪函數(shù)的概念 【典例1】 (1)在函數(shù)①y=,②y=x2,③y=2x,④y=1,⑤y=2x2,⑥y=x中,是冪函數(shù)的是(  ) A.①②④⑤ B.③④⑥ C.①②⑥ D.①②④⑤⑥ (2)已知冪函數(shù)y=(m2-m-1)xm2-2m-3,求此冪函數(shù)的解析式,并指出其定義域. [思路導引] 緊扣冪函數(shù)的定義求解. [解析] (1)冪函數(shù)是形如y=xα(α為常數(shù))的函數(shù),①是α=-

3、1的情形,②是α=2的情形,⑥是α=-的情形,所以①②⑥都是冪函數(shù);③是指數(shù)函數(shù),不是冪函數(shù);⑤中x2的系數(shù)是2,所以不是冪函數(shù);④是常函數(shù),不是冪函數(shù).所以只有①②⑥是冪函數(shù).故選C. (2)∵y=(m2-m-1)x m2-2m-3為冪函數(shù), ∴m2-m-1=1,解得m=2或m=-1. 當m=2時,m2-2m-3=-3,則y=x-3,且有x≠0; 當m=-1時,m2-2m-3=0,則y=x0,且有x≠0. 故所求冪函數(shù)的解析式為y=x-3或y=x0,它們的定義域都是{x|x≠0}. [答案] (1)C (2)見解析 判斷一個函數(shù)是否為冪函數(shù)的方法 判斷一個函數(shù)是否為冪函數(shù)

4、的依據(jù)是該函數(shù)是否為y=xα(α為常數(shù))的形式,即函數(shù)的解析式為一個冪的形式,且需滿足:(1)指數(shù)為常數(shù);(2)底數(shù)為自變量;(3)系數(shù)為1. [針對訓練] 1.下列函數(shù)中不是冪函數(shù)的是(  ) A.y= B.y=x C.y=22x D.y=x-1 [解析] 函數(shù)y=22x=4x不是冪函數(shù),故選C. [答案] C 2.若冪函數(shù)f(x)滿足f(9)=3,則f(100)=________. [解析] 設f(x)=xα,由f(9)=3,得9α=3, ∴α=,∴f(x)=x, ∴f(100)=100=10. [答案] 10 題型二冪函數(shù)的圖象與性質 【典例2】 已知冪函數(shù)f(

5、x)=xα的圖象過點P,試畫出f(x)的圖象并指出該函數(shù)的定義域與單調區(qū)間. [思路導引] 求出α,結合圖象確定定義域和值域. [解] 由f(2)=,得2α=, 解得α=-2,所以f(x)=x-2. f(x)的圖象如圖所示,定義域為(-∞,0)∪(0,+∞),單調減區(qū)間為(0,+∞),單調增區(qū)間為(-∞,0). [變式] (1)本例條件不變,試判斷f(x)的奇偶性. (2)本例中點P變?yōu)?,判斷函?shù)f(x)的奇偶性與單調性. [解] (1)由f(-x)=(-x)-2=x-2=f(x), 得f(x)是偶函數(shù). (2)由f(8)=,得8α=,解得α=-,所以f(x)=x,其定義

6、域為(-∞,0)∪(0,+∞),是奇函數(shù),在(-∞,0)和(0,+∞)上都是減函數(shù). 解決冪函數(shù)圖象問題應把握的2個原則 (1)依據(jù)圖象高低判斷冪指數(shù)大小,相關結論為:在(0,1)上,指數(shù)越大,冪函數(shù)圖象越靠近x軸(簡記為指大圖低);在(1,+∞)上,指數(shù)越大,冪函數(shù)圖象越遠離x軸(簡記為指大圖高). (2)依據(jù)圖象確定冪指數(shù)α與0,1的大小關系,即根據(jù)冪函數(shù)在第一象限內的圖象(類似于y=x-1或y=x或y=x3)來判斷. [針對訓練] 3.如圖,圖中曲線是冪函數(shù)y=xα在第一象限的大致圖象,已知α?。?,-,,2四個值,則相應于曲線C1,C2,C3,C4的α的值依次為(  )

7、 A.-2,-,,2 B.2,,-,-2 C.-,-2,2, D.2,,-2,- [解析] 令x=2,則22>2>2>2-2,故相應于曲線C1,C2,C3,C4的α值依次為2,,-,-2.故選B. [答案] B 4.如圖是冪函數(shù)y=xm與y=xn在第一象限內的圖象,則(  ) A.-11 D.n<-1,m>1 [解析] 在(0,1)內取x0,作直線x=x0,與各圖象有交點,則“點低指數(shù)大”.如圖,0

8、列各題中兩個值的大?。? [思路導引] 構造冪函數(shù),利用冪函數(shù)的單調性比較大小. (2)因為y=x在定義域[0,+∞)上是增函數(shù), 所以解得-1≤m<. 故實數(shù)m的取值范圍為. 比較冪值大小的方法 (1)若指數(shù)相同,底數(shù)不同,則考慮冪函數(shù). (2)若指數(shù)不同,底數(shù)相同,則考慮借助圖象求解. (3)若指數(shù)與底數(shù)都不同,則考慮插入中間數(shù),使這個數(shù)的底數(shù)與所比較數(shù)的一個底數(shù)相同,指數(shù)與另一個數(shù)的指數(shù)相同,那么這個數(shù)就介于所比較的兩數(shù)之間,進而比較大?。? [針對訓練] 5.比較下列各組數(shù)的大小: 6.已知冪函數(shù)f(x)=x,若f(a+1)

9、2a),則a的取值范圍是________. [解析] ∵f(x)=x=(x>0),易知f(x)在(0,+∞)上為減函數(shù),又f(a+1)0,冪函數(shù)在[0,+∞

10、)上有意義,且是增函數(shù). (3)如果α<0,冪函數(shù)在x=0處無意義,在(0,+∞)上是減函數(shù). 1.下列函數(shù)是冪函數(shù)的是(  ) A.y=5x B.y=x5 C.y=5x D.y=(x+1)3 [解析] 函數(shù)y=5x是指數(shù)函數(shù),不是冪函數(shù);函數(shù)y=5x是正比例函數(shù),不是冪函數(shù);函數(shù)y=(x+1)3的底數(shù)不是自變量x,不是冪函數(shù);函數(shù)y=x5是冪函數(shù). [答案] B 2.設a=20.3,b=30.2,c=70.1,則a,b,c的大小關系為(  ) A.c

11、0.1,c=70.1,由冪函數(shù)y=x0.1在(0,+∞)上單調遞增,可知c

12、稱,且在區(qū)間(0,+∞)上是減函數(shù),求f(x)的解析式. [解] ∵冪函數(shù)y=x3m-9在(0,+∞)上是減函數(shù), ∴3m-9<0,即m<3. 又∵m∈N*,∴m=1,2. 又y=33m-9的圖象關于y軸對稱,即該函數(shù)是偶函數(shù), ∴3m-9是偶數(shù).∴m=1. ∴f(x)=x-6. 課后作業(yè)(二十三) 復習鞏固 一、選擇題 1.下列函數(shù)中,其定義域和值域不同的函數(shù)是(  ) [解析] y=x=,其定義域為R,值域為[0,+∞),故定義域與值域不同. [答案] D 2.設a=,b=,c=,則a,b,c的大小關系是(  ) A.a(chǎn)>b>c B.c>a>b C.a(chǎn)

13、c>a [解析] 構造冪函數(shù)y=x,x>0,由該函數(shù)在定義域內單調遞增,知1>a>b;又c=2>1,知aa>b. [答案] B 3.函數(shù)y=x的圖象大致是圖中的(  ) [解析] ∵函數(shù)y=x是奇函數(shù),且α=>1,∴函數(shù)在R上單調遞增.故選B. [答案] B 4.若冪函數(shù)y=(m2+3m+3)xm2+2m-3的圖象不過原點,且關于原點對稱,則(  ) A.m=-2 B.m=-1 C.m=-2或m=-1 D.-3≤m≤-1 [解析] 根據(jù)冪函數(shù)的概念,得m2+3m+3=1,解得m=-1或m=-2.若m=-1,則y=x-4,其圖象不關于原點對稱,所以

14、不符合題意,舍去;若m=-2,則y=x-3,其圖象不過原點,且關于原點對稱. [答案] A 5.下列結論中,正確的是(  ) A.冪函數(shù)的圖象都經(jīng)過點(0,0),(1,1) B.冪函數(shù)的圖象可以出現(xiàn)在第四象限 C.當冪指數(shù)α取1,3,時,冪函數(shù)y=xα是增函數(shù) D.當α=-1時,冪函數(shù)y=xα在其整個定義域上是減函數(shù) [解析] 當冪指數(shù)α=-1時,冪函數(shù)y=x-1的圖象不經(jīng)過原點,故A錯誤;因為所有的冪函數(shù)在區(qū)間(0,+∞)上都有定義,且y=xα(α∈R)>0,所以冪函數(shù)的圖象不可能出現(xiàn)在第四象限,故B錯誤;當α>0時,y=xα是增函數(shù),故C正確;當α=-1時,y=x-1在區(qū)間(

15、-∞,0),(0,+∞)上是減函數(shù),但在整個定義域上不是減函數(shù),故D錯誤.故選C. [答案] C 二、填空題 6.若y=ax是冪函數(shù),則該函數(shù)的值域是________. [解析] 由已知y=ax是冪函數(shù),得a=1,所以y=x,所以y≥0,故該函數(shù)的值域為[0,+∞). [答案] [0,+∞) 7.函數(shù)y=3xα-2的圖象過定點________. [解析] 依據(jù)冪函數(shù)y=xα性質,x=1時,y=1恒成立,所以函數(shù)y=3xα-2中,x=1時,y=1恒成立,即過定點(1,1). [答案] (1,1) 8.已知當x∈(1,+∞)時,函數(shù)y=xα的圖象恒在直線y=x的上方,則α的取值范

16、圍是________. [解析] 由冪函數(shù)的圖象特征知α>1. [答案] (1,+∞) 三、解答題 9.已知冪函數(shù)y=f(x)的圖象過點,試求出此函數(shù)的解析式,判斷奇偶性. [解] 設y=xα(α∈R),∵圖象過點, ∴2α=,α=-,∴f(x)=x. ∵函數(shù)y=x=,定義域為(0,+∞),函數(shù)為非奇非偶函數(shù). 10.已知冪函數(shù)y=f(x)=x-2m2-m+3,其中m∈{x|-2

17、解] 因為m∈{x|-2

18、解析] ∵f(x)在(0,+∞)上是減函數(shù),∴3m-5<0(m∈N),則m=0或m=1,當m=0時,f(x)=x-5是奇函數(shù),不合題意.當m=1時,f(x)=x-2是偶函數(shù),因此m=1,故選B. [答案] B 12.在同一坐標系內,函數(shù)y=xa(a≠0)和y=ax-的圖象可能是(  ) [解析] 當a<0時,函數(shù)y=ax-是減函數(shù),且在y軸上的截距->0,y=xa在(0,+∞)上是減函數(shù),∴A、D項均不正確.對于B、C項,若a>0則y=ax-是增函數(shù),B項錯,C項正確,故選C. [答案] C 13.如圖所示,曲線C1與C2分別是函數(shù)y=xm和y=xn在第一象限內的圖象,則下列結論

19、正確的是(  ) A.nm>0 D.m>n>0 [解析] 由圖象可知,兩函數(shù)在第一象限內遞減,故m<0,n<0.當x=2時,2m>2n,所以n3-2a>0或0>a+1>3-2a 或a+1<0<3-2a. 解得

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