《2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第二章 函數(shù)、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 第三節(jié) 函數(shù)的奇偶性與周期性學(xué)案 文（含解析）新人教A版》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第二章 函數(shù)、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 第三節(jié) 函數(shù)的奇偶性與周期性學(xué)案 文（含解析）新人教A版（12頁珍藏版）》請?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、第三節(jié)　函數(shù)的奇偶性與周期性 2019考綱考題考情 1．函數(shù)的奇偶性 奇偶性 條件 圖象特點(diǎn) 偶函數(shù) 對于函數(shù)f(x)的定義域D內(nèi)任意一個(gè)x，都有f(－x)＝f(x) 關(guān)于y軸對稱 奇函數(shù) 對于函數(shù)f(x)的定義域D內(nèi)任意一個(gè)x，都有f(－x)＝－f(x) 關(guān)于原點(diǎn)對稱 2.周期性 (1)周期函數(shù)：對于函數(shù)y＝f(x)，如果存在一個(gè)非零常數(shù)T，使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的任何值時(shí)，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就稱函數(shù)y＝f(x)為周期函數(shù)，稱T為這個(gè)函數(shù)的周期。 (2)最小正周期：如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中存在一個(gè)最小的正數(shù)，那么這個(gè)最小正數(shù)就叫

2、做f(x)的最小正周期。 　 1．一條規(guī)律 奇、偶函數(shù)定義域的特點(diǎn)是關(guān)于原點(diǎn)對稱。函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱是函數(shù)具有奇偶性的必要不充分條件。 2．兩個(gè)性質(zhì) (1)若奇函數(shù)f(x)在x＝0處有定義，則f(0)＝0。 (2)設(shè)f(x)，g(x)的定義域分別是D1，D2，那么在它們的公共定義域上：奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇。 3．函數(shù)周期性常用的結(jié)論 對f(x)定義域內(nèi)任一自變量的值x， (1)若f(x＋a)＝－f(x)，則T＝2a(a≠0)。 (2)若f(x＋a)＝，則T＝2a(a≠0)。 (3)若f(x＋a)＝－，則T＝2a(a≠0)。

3、 一、走進(jìn)教材 1．(必修1P35例5改編)下列函數(shù)中為偶函數(shù)的是(　　) A．y＝x2sinx B．y＝x2cosx C．y＝|lnx| D．y＝2－x 解析　根據(jù)偶函數(shù)的定義知偶函數(shù)滿足f(－x)＝f(x)且定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，A選項(xiàng)為奇函數(shù)，B選項(xiàng)為偶函數(shù)，C選項(xiàng)定義域?yàn)?0，＋∞)，不具有奇偶性，D選項(xiàng)既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)。故選B。 答案　B 2．(必修4P46A組T10改編)設(shè)f(x)是定義在R上的周期為2的函數(shù)，當(dāng)x∈[－1,1)時(shí)，f(x)＝則f＝________。 解析　由題意得，f＝f＝－4×2＋2＝1。 答案　1 二、走近高考 3．(2017·

4、全國卷Ⅱ)已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x∈(－∞，0)時(shí)，f(x)＝2x3＋x2，則f(2)＝________。 解析　依題意得，f(－2)＝2×(－2)3＋(－2)2＝－12，由函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，得f(2)＝－f(－2)＝12。 答案　12 4．(2017·山東高考)已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且f(x＋4)＝f(x－2)。若當(dāng)x∈[－3,0]時(shí)，f(x)＝6－x，則f(919)＝________。 解析　因?yàn)閒(x＋4)＝f(x－2)，所以f(x)的周期為6，因?yàn)?19＝153×6＋1，所以f(919)＝f(1)。又f(x)為偶函數(shù)，所以f(919)＝f(1)

5、＝f(－1)＝6。 答案　6 三、走出誤區(qū) 微提醒：①利用奇偶性求解析式忽視定義域；②忽視奇函數(shù)的對稱性致錯(cuò)。 5．設(shè)函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x>0時(shí)，f(x)＝x2＋4x－3，則函數(shù)f(x)的解析式為f(x)＝________。 解析　設(shè)x<0，則－x>0，所以f(x)＝－f(－x)＝－[(－x)2＋4(－x)－3]＝－x2＋4x＋3，由奇函數(shù)的定義可知f(0)＝0，所以f(x)＝ 答案　 6．設(shè)奇函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閇－5,5]，若當(dāng)x∈[0,5]時(shí)，f(x)的圖象如圖所示，則不等式f(x)<0的解集為________。 解析　由圖象可知，當(dāng)0

6、，f(x)>0；當(dāng)20。綜上，f(x)<0的解集為(－2,0)∪(2,5]。 答案　(－2,0)∪(2,5] 考點(diǎn)一函數(shù)奇偶性的判斷 【例1】　(1)已知函數(shù)f(x)＝3x－x，則f(x)(　　) A．是偶函數(shù)，且在R上是增函數(shù) B．是奇函數(shù)，且在R上是增函數(shù) C．是偶函數(shù)，且在R上是減函數(shù) D．是奇函數(shù)，且在R上是減函數(shù) (2)判斷下列函數(shù)的奇偶性： ①f(x)＝＋； ②f(x)＝。 (1)解析　函數(shù)f(x)＝3x－x的定義域?yàn)镽，關(guān)于原點(diǎn)對稱，又f(－x

7、)＝3－x－－x＝x－3x＝－f(x)，所以f(x)是奇函數(shù)，又因?yàn)閥＝3x，y＝－x都是增函數(shù)，所以f(x)＝3x－x在R上是增函數(shù)。 答案　B (2)解?、僖?yàn)橛傻脁＝±1， 所以f(x)的定義域?yàn)閧－1,1}，關(guān)于原點(diǎn)對稱。 又f(1)＋f(－1)＝0，f(1)－f(－1)＝0， 即f(x)＝±f(－x)。 所以f(x)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)。 ②因?yàn)橛傻茫?≤x≤2且x≠0。所以f(x)的定義域?yàn)閇－2,0)∪(0,2]，關(guān)于原點(diǎn)對稱。 所以f(x)＝＝＝， 所以f(－x)＝－f(x)，所以f(x)是奇函數(shù)。 判斷函數(shù)的奇偶性，其中包括兩個(gè)必備條件 1．定義域關(guān)

8、于原點(diǎn)對稱，這是函數(shù)具有奇偶性的必要不充分條件，所以首先考慮定義域。 2．判斷f(x)與f(－x)是否具有等量關(guān)系。在判斷奇偶性的運(yùn)算中，可以轉(zhuǎn)化為判斷奇偶性的等價(jià)關(guān)系式f(x)＋f(－x)＝0(奇函數(shù))或f(x)－f(－x)＝0(偶函數(shù))是否成立。 【變式訓(xùn)練】　(1)已知函數(shù)f(x)＝，g(x)＝，則下列結(jié)論正確的是(　　) A．h(x)＝f(x)＋g(x)是偶函數(shù) B．h(x)＝f(x)＋g(x)是奇函數(shù) C．h(x)＝f(x)g(x)是奇函數(shù) D．h(x)＝f(x)g(x)是偶函數(shù) (2)下列函數(shù)中，既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)的是(　　) A．f(x)＝x＋sin2x B

9、．f(x)＝x2－cosx C．f(x)＝3x－ D．f(x)＝x2＋tanx 解析　(1)易知h(x)＝f(x)＋g(x)的定義域?yàn)閧x|x≠0}，關(guān)于原點(diǎn)對稱。因?yàn)閒(－x)＋g(－x)＝＋＝－－＝－＝＋＝f(x)＋g(x)，所以h(x)＝f(x)＋g(x)是偶函數(shù)。故選A。 (2)對于選項(xiàng)A，函數(shù)的定義域?yàn)镽，f(－x)＝－x＋sin2(－x)＝－(x＋sin2x)＝－f(x)，所以f(x)＝x＋sin2x為奇函數(shù)；對于選項(xiàng)B，函數(shù)的定義域?yàn)镽，f(－x)＝(－x)2－cos(－x)＝x2－cosx＝f(x)，所以f(x)＝x2－cosx為偶函數(shù)；對于選項(xiàng)C，函數(shù)的定義域?yàn)镽，f(

10、－x)＝3－x－＝－＝－f(x)，所以f(x)＝3x－為奇函數(shù)；只有f(x)＝x2＋tanx既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)。故選D。 答案　(1)A　(2)D 考點(diǎn)二函數(shù)的周期性 【例2】　(1)函數(shù)f(x)＝lg|sinx|是(　　) A．最小正周期為π的奇函數(shù) B．最小正周期為2π的奇函數(shù) C．最小正周期為π的偶函數(shù) D．最小正周期為2π的偶函數(shù) (2)已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(x)＝－f，且f(1)＝2，則f(2 018)＝________。 解析　(1)因?yàn)閒(x)定義域?yàn)閧x|x≠kπ，k∈Z}，關(guān)于原點(diǎn)對稱。f(－x)＝lg|sin(－x)|＝lg|sinx

11、|＝f(x)，所以函數(shù)f(x)為偶函數(shù)。因?yàn)閒(x＋π)＝lg|sin(x＋π)|＝lg|sinx|＝f(x)，所以函數(shù)f(x)的最小正周期為π。故選C。 (2)因?yàn)閒(x)＝－f，所以f(x＋3)＝f＝－f＝f(x)，所以f(x)是以3為周期的周期函數(shù)。則f(2 018)＝f(672×3＋2)＝f(2)＝f(－1)＝－f(1)＝－2。 答案　(1)C　(2)－2 函數(shù)的周期性反映了函數(shù)在整個(gè)定義域上的性質(zhì)。對函數(shù)周期性的考查，主要涉及函數(shù)周期性的判斷，利用函數(shù)周期性求值。 【變式訓(xùn)練】　(1)若f(x)是R上周期為2的函數(shù)，且滿足f(1)＝1，f(2)＝2，則f(3)－f(4)＝

12、________。 (2)已知f(x)是定義在R上的函數(shù)，并且f(x＋2)＝，當(dāng)2≤x≤3時(shí)，f(x)＝x，則f(2 019)＝________。 解析　(1)由f(x)是R上周期為2的函數(shù)知，f(3)＝f(1)＝1，f(4)＝f(2)＝2，所以f(3)－f(4)＝－1。 (2)由已知，可得f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝＝＝f(x)。故函數(shù)f(x)的周期為4。所以f(2 019)＝f(4×504＋3)＝f(3)＝3。 答案　(1)－1　(2)3 考點(diǎn)三函數(shù)奇偶性的應(yīng)用微點(diǎn)小專題 方向1：利用函數(shù)的奇偶性求值 【例3】　(1)設(shè)函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，當(dāng)x∈(0，＋∞)時(shí)，f(

13、x)＝log2x，則f(－)＝(　　) A．－ B． C．2 D．－2 (2)已知函數(shù)f(x)＝的最大值為M，最小值為m，則M＋m等于(　　) A．0 B．2 C．4 D．8 解析　(1)因?yàn)閒(x)為偶函數(shù)，所以f(－)＝f()，又當(dāng)x>0時(shí)，f(x)＝log2x，所以f()＝log2＝，即f(－)＝。 (2)f(x)＝＝2＋，設(shè)g(x)＝，因?yàn)間(x)定義域?yàn)镽，關(guān)于原點(diǎn)對稱，且g(－x)＝－g(x)，所以g(x)為奇函數(shù)，所以g(x)max＋g(x)min＝0。因?yàn)镸＝f(x)max＝2＋g(x)max，m＝f(x)min＝2＋g(x)min，所以M＋m＝2＋g(x)max

14、＋2＋g(x)min＝4。 答案　(1)B　(2)C 將所求值轉(zhuǎn)化為已知區(qū)間上的函數(shù)值。 方向2：利用奇偶性求參數(shù)的值 【例4】　若函數(shù)f(x)＝x3為偶函數(shù)，則a的值為________。 解析　因?yàn)楹瘮?shù)f(x)＝x3為偶函數(shù)，所以f(－x)＝f(x)，即(－x)3＝x3，所以2a＝－，所以2a＝1，解得a＝。 解析：因?yàn)楹瘮?shù)f(x)＝x3為偶函數(shù)，所以f(－1)＝f(1)，所以(－1)3×＝13×，解得a＝，經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)a＝時(shí)，函數(shù)f(x)為偶函數(shù)。 答案　 已知函數(shù)的奇偶性求參數(shù)，主要方法有兩個(gè)：一是利用f(－x)＝－f(x)(奇函數(shù))或f(－x)＝f(x)(

15、偶函數(shù))在定義域內(nèi)恒成立求解；二是利用特殊值求解，奇函數(shù)一般利用f(0)＝0求解，偶函數(shù)一般利用f(－1)＝f(1)求解。用特殊值法求得參數(shù)后，一定要注意驗(yàn)證。 方向3：函數(shù)單調(diào)性、奇偶性、周期性的綜合應(yīng)用 【例5】　定義在R上的函數(shù)f(x)滿足：①對任意x∈R有f(x＋4)＝f(x)；②f(x)在[0,2]上是增函數(shù)；③f(x＋2)的圖象關(guān)于y軸對稱。則下列結(jié)論正確的是(　　) A．f(7)

16、，由③知f(x＋2)是偶函數(shù)，則有f(－x＋2)＝f(x＋2)，即函數(shù)f(x)圖象的一條對稱軸是x＝2，由②知函數(shù)f(x)在[0,2]上單調(diào)遞增，則在[2,4]上單調(diào)遞減，且在[0,4]上越靠近x＝2，對應(yīng)的函數(shù)值越大，又f(7)＝f(3)，f(6.5)＝f(2.5)，f(4.5)＝f(0.5)，由以上分析可得f(0.5)

17、|)。 (2)若奇函數(shù)在x＝0處有意義，則f(0)＝0。 【題點(diǎn)對應(yīng)練】　 1．(方向1)設(shè)函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且f(x)＝則g(f(－8))＝(　　) A．－2　　　B．－1 C．1　　　　D．2 解析　由題意，得f(－8)＝－f(8)＝－log3(8＋1)＝－2，所以g(f(－8))＝g(－2)＝f(－2)＝－f(2)＝－log3(2＋1)＝－1。 答案　B 2．(方向2)若函數(shù)f(x)＝在定義域上為奇函數(shù)，則實(shí)數(shù)k＝________。 解析　由f(－1)＝－f(1)得＝－，解得k＝±1。經(jīng)檢驗(yàn)，k＝±1時(shí)，函數(shù)f(x)都為奇函數(shù)。 答案　±1 3．(方

18、向3)已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(x－4)＝－f(x)，且在區(qū)間[0,2]上是增函數(shù)，則(　　) A．f(－25)

19、間[0,2]上是增函數(shù)，f(x)在R上是奇函數(shù)，所以f(x)在區(qū)間[－2,2]上是增函數(shù)，所以f(－1)

20、D．1 解析　因?yàn)閥＝f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，所以f(－x)＝－f(x)，因?yàn)楹瘮?shù)y＝f(x＋1)是定義在R上的偶函數(shù)，所以f(－x＋1)＝f(x＋1)＝－f(x－1)，f(x＋2)＝－f(x)，可得f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，則f(x)的周期是4，所以f＝f＝f＝－f＝－＝－1。故選C。 答案　C 3．(配合例3使用)已知函數(shù)y＝f(x)，滿足y＝f(－x)和y＝f(x＋2)是偶函數(shù)，且f(1)＝，設(shè)F(x)＝f(x)＋f(－x)，則F(3)＝(　　) A． B． C．π D． 解析　由y＝f(－x)和y＝f(x＋2)是偶函數(shù)知f(－x)＝f(x)，f(x＋

21、2)＝f(－x＋2)＝f(x－2)，故f(x)＝f(x＋4)，則F(3)＝f(3)＋f(－3)＝2f(3)＝2f(－1)＝2f(1)＝。故選B。 答案　B 4．(配合例4使用)已知f(x)＝2x＋為奇函數(shù)，g(x)＝bx－log2(4x＋1)為偶函數(shù)，則f(ab)＝(　　) A． B． C．－ D．－ 解析　已知f(x)＝2x＋為奇函數(shù)，故f(0)＝0，a＝－1，g(x)＝bx－log2(4x＋1)為偶函數(shù)，故得到g(x)＝g(－x)，g(x)＝bx－log2(4x＋1)＝g(－x)＝－bx－log2(4－x＋1)，化簡得到b＝1，故得到f(ab)＝f(－1)＝－。故選D。 答案　

22、D 5．(配合例5使用)已知函數(shù)y＝f(x)是R上的偶函數(shù)，滿足f(x＋2)＝f(x－2)＋f(2)，且當(dāng)x∈[0,2]時(shí)，f(x)＝2x－4，令函數(shù)g(x)＝f(x)－m，若g(x)在區(qū)間[－10,2]上有6個(gè)零點(diǎn)，分別記為x1，x2，x3，x4，x5，x6，則x1＋x2＋x3＋x4＋x5＋x6＝________。 解析　因?yàn)楹瘮?shù)y＝f(x)是R上的偶函數(shù)，所以f(－2)＝f(2)，由f(x＋2)＝f(x－2)＋f(2)，令x＝0，可得f(2)＝0，因此f(x＋2)＝f(x－2)，即f(x＋4)＝f(x)，所以周期T＝4。作出函數(shù)f(x)在[－10,2]上的圖象及直線y＝m如圖所示。由圖

23、象可知f(x)的圖象在[－10,2]上有3條對稱軸，分別為x＝－8，x＝－4，x＝0，所以6個(gè)零點(diǎn)之和為2×(－8)＋2×(－4)＋2×0＝－24。 答案?。?4 奇偶函數(shù)的一組擴(kuò)充性質(zhì) 函數(shù)的奇偶性是高考的重點(diǎn)內(nèi)容之一，考查內(nèi)容靈活多樣，特別是與函數(shù)其他性質(zhì)的綜合應(yīng)用更加突出，這類問題從通性通法的角度來處理，顯得較為繁瑣，若能靈活利用函數(shù)的奇偶性的性質(zhì)，常能達(dá)到化難為易、事半功倍的效果，以下擷取近年高考題和聯(lián)賽題為例，歸納出奇、偶函數(shù)的一組性質(zhì)及其應(yīng)用。 【性質(zhì)1】　若函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，且g(x)＝f(x)＋c，則必有g(shù)(－x)＋g(x)＝2c。 【簡證】　由于函數(shù)f(

24、x)是奇函數(shù)，所以f(－x)＝－f(x)，所以g(－x)＋g(x)＝f(－x)＋c＋f(x)＋c＝2c。 【典例1】　已知函數(shù)f(x)＝ax3＋bsinx＋4(a，b∈R)，f(lg(log210))＝5，則f(lg(lg2))＝(　　) A．－5 B．－1 C．3 D．4 【解析】　設(shè)g(x)＝ax3＋bsinx，則f(x)＝g(x)＋4，且函數(shù)g(x)為奇函數(shù)。又lg(lg2)＋lg(log210)＝lg(lg2·log210)＝lg1＝0，所以f(lg(lg2))＋f(lg(log210))＝2×4＝8，所以f(lg(lg2))＝3。故選C。 【答案】　C 由上述例題可知

25、，這類問題的求解關(guān)鍵在于觀察函數(shù)的結(jié)構(gòu)，構(gòu)造出一個(gè)奇函數(shù)。有些問題是直觀型的，直接應(yīng)用即可，但有些問題是復(fù)雜型的，需要變形才能成功。 【變式訓(xùn)練1】　對于函數(shù)f(x)＝asinx＋bx＋c(其中a，b∈R，c∈Z)，選取a，b，c的一組值計(jì)算f(1)和f(－1)，所得出的正確結(jié)果一定不可能是(　　) A．4和6 B．3和1 C．2和4 D．1和2 解析　設(shè)g(x)＝asinx＋bx，則f(x)＝g(x)＋c，且函數(shù)g(x)為奇函數(shù)。注意到c∈Z，所以f(1)＋f(－1)＝2c為偶數(shù)。故選D。 答案　D 【性質(zhì)2】　若函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，則函數(shù)g(x)＝f(x－a)＋h的圖象關(guān)于點(diǎn)

26、(a，h)對稱。 【簡證】　函數(shù)g(x)＝f(x－a)＋h的圖象可由f(x)的圖象平移得到，不難知結(jié)論成立。 【典例2】　函數(shù)f(x)＝＋＋的圖象的對稱中心為(　　) A．(－4,6) B．(－2,3) C．(－4,3) D．(－2,6) 【解析】　設(shè)g(x)＝－－－，則g(－x)＝－－－＝＋＋＝－g(x)，故g(x)為奇函數(shù)。易知f(x)＝3－＝g(x＋2)＋3，所以函數(shù)f(x)的圖象的對稱中心為(－2,3)。故選B。 【答案】　B 此類問題求解的關(guān)鍵是從所給函數(shù)式中分離(或變形)出奇函數(shù)，進(jìn)而得出圖象的對稱中心，然后利用圖象的對稱性實(shí)現(xiàn)問題的求解。 【變式訓(xùn)練2】　設(shè)α

27、，β分別滿足方程α3－3α2＋5α－4＝0，β3－3β2＋5β－2＝0，則α＋β＝________。 解析　設(shè)g(x)＝x3＋2x，則g(x)為單調(diào)遞增的奇函數(shù)。設(shè)f(x)＝x3－3x2＋5x，則f(x)＝g(x－1)＋3，故f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,3)中心對稱。觀察題目條件α3－3α2＋5α－4＝0，β3－3β2＋5β－2＝0，知f(α)＝4，f(β)＝2。所以f(α)＋f(β)＝6，則點(diǎn)(α，4)與點(diǎn)(β，2)關(guān)于點(diǎn)(1,3)對稱，故α＋β＝2。 答案　2 【性質(zhì)3】　若函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，則f(x)＝f(|x|)。 【簡證】　當(dāng)x≥0時(shí)，|x|＝x，所以f(|x|)＝f(x)

28、； 當(dāng)x<0時(shí)，f(|x|)＝f(－x)，由于函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，所以f(－x)＝f(x)，故f(|x|)＝f(x)。 綜上，若函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，則f(x)＝f(|x|)。 【典例3】　設(shè)函數(shù)f(x)＝ln(1＋|x|)－，則使得f(x)>f(2x－1)成立的x的取值范圍是(　　) A． B．∪(1，＋∞) C． D．∪ 【解析】　易知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，且f(x)為偶函數(shù)。當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)＝ln(1＋x)－，易知此時(shí)f(x)單調(diào)遞增。所以f(x)>f(2x－1)?f(|x|)>f(|2x－1|)，所以|x|>|2x－1|，解得0}＝(　　) A．{x|x<－2或x>4} B．{x|x<0或x>4} C．{x|x<0或x>6} D．{x|x<－2或x>2} 解析　由f(x)＝x3－8，知f(x)在[0，＋∞)上單調(diào)遞增，且f(2)＝0。所以，由已知條件可知f(x－2)>0?f(|x－2|)>f(2)。所以|x－2|>2，解得x<0或x>4。故選B。 答案　B 12