《2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第八章 平面解析幾何 第八節(jié) 曲線與方程學(xué)案 理（含解析）新人教A版》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第八章 平面解析幾何 第八節(jié) 曲線與方程學(xué)案 理（含解析）新人教A版（6頁珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、第八節(jié)　曲線與方程 2019考綱考題考情 1．曲線與方程的定義 一般地，在直角坐標(biāo)系中，如果某曲線C上的點(diǎn)與一個(gè)二元方程f(x，y)＝0的實(shí)數(shù)解建立了如下的對(duì)應(yīng)關(guān)系： (1)曲線C上點(diǎn)的坐標(biāo)都是這個(gè)方程的解。 (2)以這個(gè)方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是曲線上的點(diǎn)，那么，這個(gè)方程叫做曲線的方程，這條曲線叫做方程的曲線。 2．求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程的基本步驟 (1)建系：建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系。 (2)設(shè)點(diǎn)：軌跡上的任意一點(diǎn)一般設(shè)為P(x，y)。 (3)列式：列出或找出動(dòng)點(diǎn)P滿足的等式。 (4)代換：將得到的等式轉(zhuǎn)化為關(guān)于x，y的方程。 (5)驗(yàn)證：驗(yàn)證所得方程即為所求的軌跡

2、方程。 1．“曲線C是方程f(x，y)＝0的曲線”是“曲線C上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程f(x，y)＝0的解”的充分不必要條件。 2．曲線的交點(diǎn)與方程組的關(guān)系： (1)兩條曲線交點(diǎn)的坐標(biāo)是兩個(gè)曲線方程的公共解，即兩個(gè)曲線方程組成的方程組的實(shí)數(shù)解； (2)方程組有幾組解，兩條曲線就有幾個(gè)交點(diǎn)；方程組無解，兩條曲線就沒有交點(diǎn)。 一、走進(jìn)教材 1．(選修2－1P37A組T3改編)已知點(diǎn)F，直線l：x＝－，點(diǎn)B是l上的動(dòng)點(diǎn)，若過點(diǎn)B垂直于y軸的直線與線段BF的垂直平分線交于點(diǎn)M，則點(diǎn)M的軌跡是(　　) A．雙曲線 B．橢圓 C．圓 D．拋物線 解析　由已知|MF|＝|MB|，根據(jù)拋物

3、線的定義知，點(diǎn)M的軌跡是以點(diǎn)F為焦點(diǎn)，直線l為準(zhǔn)線的拋物線。 答案　D 2．(選修2－1P37A組T4改編)已知⊙O方程為x2＋y2＝4，過M(4,0)的直線與⊙O交于A，B兩點(diǎn)，則弦AB中點(diǎn)P的軌跡方程為________。 解析　 根據(jù)垂徑定理知：OP⊥PM，所以P點(diǎn)軌跡是以O(shè)M為直徑的圓且在⊙O內(nèi)的部分。以O(shè)M為直徑的圓的方程為(x－2)2＋y2＝4，它與⊙O的交點(diǎn)為(1，±)。結(jié)合圖形可知所求軌跡方程為(x－2)2＋y2＝4(0≤x<1)。 答案　(x－2)2＋y2＝4(0≤x<1) 二、走近高考 3．(2017·全國卷Ⅱ節(jié)選)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)M在橢圓C：＋y2＝1

4、上，過M作x軸的垂線，垂足為N，點(diǎn)P滿足＝，求點(diǎn)P的軌跡方程。 解　設(shè)P(x，y)，M(x0，y0)，則N(x0,0)，＝(x－x0，y)，＝(0，y0)，由＝，得x0＝x，y0＝y(tǒng)，因?yàn)辄c(diǎn)M(x0，y0)在橢圓C上，所以＋＝1， 因此點(diǎn)P的軌跡方程為x2＋y2＝2。 三、走出誤區(qū) 微提醒：①混淆“軌跡”與“軌跡方程”出錯(cuò)；②忽視軌跡方程的“完備性”與“純粹性”。 4．平面內(nèi)與兩定點(diǎn)A(2,2)，B(0,0)距離的比值為2的點(diǎn)的軌跡是________。 解析　設(shè)動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)為(x，y)，則＝2，整理得3x2＋3y2＋4x＋4y－8＝0，所以滿足條件的點(diǎn)的軌跡是圓。 答案　圓 5．設(shè)

5、動(dòng)圓M與y軸相切且與圓C：x2＋y2－2x＝0相外切，則動(dòng)圓圓心M的軌跡方程為________。 解析　若動(dòng)圓在y軸右側(cè)，則動(dòng)圓圓心到定點(diǎn)C(1,0)與到定直線x＝－1的距離相等，其軌跡是拋物線，且＝1，所以其方程為y2＝4x(x>0)；若動(dòng)圓在y軸左側(cè)，則圓心軌跡是x軸負(fù)半軸，其方程為y＝0(x<0)。故動(dòng)圓圓心M的軌跡方程為y2＝4x(x>0)或y＝0(x<0)。 答案　y2＝4x(x>0)或y＝0(x<0) 6．已知A(－2,0)，B(1,0)兩點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P不在x軸上，且滿足∠APO＝∠BPO，其中O為原點(diǎn)，則P點(diǎn)的軌跡方程是________。 解析　由角的平分線性質(zhì)定理得|PA|

6、＝2|PB|，設(shè)P(x，y)，則＝2，整理得(x－2)2＋y2＝4(y≠0)。 答案　(x－2)2＋y2＝4(y≠0) 考點(diǎn)一直接法求軌跡方程 【例1】　已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)分別為A(－1,0)，B(2,3)，C(1,2)，定點(diǎn)P(1,1)。 (1)求△ABC外接圓的標(biāo)準(zhǔn)方程； (2)若過定點(diǎn)P的直線與△ABC的外接圓交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，求弦EF中點(diǎn)的軌跡方程。 解　(1)由題意得AC的中點(diǎn)坐標(biāo)為(0，)，AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為，kAC＝，kAB＝1，故AC中垂線的斜率為－，AB中垂線的斜率為－1，則AC的中垂線的方程為y－＝－x，AB的中垂線的方程為y－＝－。 由得 所以△ABC

7、的外接圓圓心為(2,0)，半徑r＝2＋1＝3，故△ABC外接圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－2)2＋y2＝9。 (2)設(shè)弦EF的中點(diǎn)為M(x，y)，△ABC外接圓的圓心為N，則N(2,0)， 由MN⊥MP，得·＝0， 所以(x－2，y)·(x－1，y－1)＝0， 整理得x2＋y2－3x－y＋2＝0， 故弦EF中點(diǎn)的軌跡方程為2＋2＝。 1．若曲線上的動(dòng)點(diǎn)滿足的條件是一些幾何量的等量關(guān)系，則可用直接法，其一般步驟是：設(shè)點(diǎn)→列式→化簡(jiǎn)→檢驗(yàn)。求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程時(shí)要注意檢驗(yàn)，即除去多余的點(diǎn)，補(bǔ)上遺漏的點(diǎn)。 2．若是只求軌跡方程，則把方程求出，把變量的限制條件附加上即可；若是求軌跡，則要說

8、明軌跡是什么圖形。 【變式訓(xùn)練】　已知坐標(biāo)平面上動(dòng)點(diǎn)M(x，y)與兩個(gè)定點(diǎn)P(26,1)，Q(2,1)，且|MP|＝5|MQ|。 (1)求點(diǎn)M的軌跡方程，并說明軌跡是什么圖形； (2)記(1)中軌跡為C，若過點(diǎn)N(－2,3)的直線l被C所截得的線段長(zhǎng)度為8，求直線l的方程。 解　(1)由|MP|＝5|MQ|，得＝5， 化簡(jiǎn)得x2＋y2－2x－2y－23＝0， 所以點(diǎn)M的軌跡方程是(x－1)2＋(y－1)2＝25，軌跡是以(1,1)為圓心，5為半徑的圓。 (2)當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，l：x＝－2，此時(shí)所截得的線段長(zhǎng)度為2×＝8， 所以l：x＝－2符合題意。 當(dāng)直線l的斜率存在

9、時(shí)，設(shè)l的方程為y－3＝k(x＋2)， 即kx－y＋2k＋3＝0， 圓心到l的距離d＝， 由題意，得2＋42＝52，解得k＝， 所以直線l的方程為x－y＋＝0， 即5x－12y＋46＝0。 綜上，直線l的方程為x＝－2或5x－12y＋46＝0。 考點(diǎn)二定義法求軌跡方程 【例2】　已知圓C與兩圓x2＋(y＋4)2＝1，x2＋(y－2)2＝1外切，圓C的圓心軌跡為L(zhǎng)，設(shè)L上的點(diǎn)與點(diǎn)M(x，y)的距離的最小值為m，點(diǎn)F(0,1)與點(diǎn)M(x，y)的距離為n。 (1)求圓C的圓心軌跡L的方程； (2)求滿足條件m＝n的點(diǎn)M的軌跡Q的方程。 解　(1)兩圓半徑都為1，兩圓圓心分別為C

10、1(0，－4)，C2(0,2)，由題意得|CC1|＝|CC2|，可知圓心C的軌跡是線段C1C2的垂直平分線，C1C2的中點(diǎn)為(0，－1)，直線C1C2的斜率不存在，故圓C的圓心軌跡L的方程為y＝－1。 (2)因?yàn)閙＝n，所以M(x，y)到直線y＝－1的距離與到點(diǎn)F(0,1)的距離相等，故點(diǎn)M的軌跡Q是以y＝－1為準(zhǔn)線，點(diǎn)F(0,1)為焦點(diǎn)，頂點(diǎn)在原點(diǎn)的拋物線，而＝1，即p＝2，所以，軌跡Q的方程是x2＝4y。 1．定義法求軌跡方程的適用條件：動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)、定直線之間的某些關(guān)系滿足直線、圓、橢圓、雙曲線、拋物線的定義。 2．定義法求軌跡方程的關(guān)鍵是理解平面幾何圖形的定義。 【變

11、式訓(xùn)練】　在△ABC中，A為動(dòng)點(diǎn)，B，C為定點(diǎn)，B，C(a＞0)，且滿足條件sinC－sinB＝sinA，則動(dòng)點(diǎn)A的軌跡方程是________。 解析　由正弦定理，得－＝×(R為外接圓半徑)，所以|AB|－|AC|＝|BC|，即點(diǎn)A的軌跡是以B、C為焦點(diǎn)的雙曲線的右支(不含右頂點(diǎn))。又知實(shí)軸長(zhǎng)為a，焦距為a，所以虛半軸長(zhǎng)為，所以動(dòng)點(diǎn)A的軌跡方程為－＝1(x>0且y≠0)。 答案　－＝1(x＞0且y≠0) 考點(diǎn)三代入法(相關(guān)點(diǎn)法)求軌跡方程 【例3】　(1)(2019·銀川模擬)動(dòng)點(diǎn)A在圓x2＋y2＝1上移動(dòng)時(shí)，它與定點(diǎn)B(3,0)連線的中點(diǎn)的軌跡方程是________。 (2)(20

12、19·武威模擬)設(shè)F(1,0)，M點(diǎn)在x軸上，P點(diǎn)在y軸上，且＝2，⊥，當(dāng)點(diǎn)P在y軸上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)N的軌跡方程為__________。 解析　(1)設(shè)中點(diǎn)M(x，y)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式，可得A(2x－3,2y)，因?yàn)辄c(diǎn)A在圓上，將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入圓的方程，所以軌跡方程為(2x－3)2＋4y2＝1。 (2)設(shè)M(x0,0)，P(0，y0)，N(x，y)，⊥，＝(x0，－y0)，＝(1，－y0)，所以(x0，－y0)·(1，－y0)＝0，所以x0＋y＝0。由＝2得(x－x0，y)＝2(－x0，y0)，所以即所以－x＋＝0，即y2＝4x。故所求的點(diǎn)N的軌跡方程是y2＝4x。 答案　(1)(2x－3)

13、2＋4y2＝1　(2)y2＝4x 相關(guān)點(diǎn)法求軌跡方程的步驟 1．明確主動(dòng)點(diǎn)(已知曲線上的動(dòng)點(diǎn))P(x0，y0)，被動(dòng)點(diǎn)(要求軌跡的動(dòng)點(diǎn))M(x，y)。 2．尋求關(guān)系式x0＝f(x，y)，y0＝g(x，y)。 3．將x0，y0代入已知曲線方程。 4．整理關(guān)于x，y的關(guān)系式得M的軌跡方程。 【變式訓(xùn)練】　(1)(2019·聊城模擬)已知點(diǎn)P是直線2x－y＋3＝0上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，定點(diǎn)M(－1,2)，Q是線段PM延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，且|PM|＝|MQ|，則點(diǎn)Q的軌跡方程是(　　) A．2x＋y＋1＝0 B．2x－y－5＝0 C．2x－y－1＝0 D．2x－y＋5＝0

14、 (2)在平行四邊形ABCD中，∠BAD＝60°，AD＝2AB，若P是平面ABCD內(nèi)一點(diǎn)，且滿足：x＋y＋＝0(x，y∈R)，則當(dāng)點(diǎn)P在以A為圓心，||為半徑的圓上時(shí)，實(shí)數(shù)x，y應(yīng)滿足的關(guān)系式為(　　) A．4x2＋y2＋2xy＝1 B．4x2＋y2－2xy＝1 C．x2＋4y2－2xy＝1 D．x2＋4y2＋2xy＝1 解析　(1)設(shè)Q(x，y)，則可得P(－2－x,4－y)，代入2x－y＋3＝0得：2x－y＋5＝0。故選D。 (2)如圖，以A為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)AD＝2，據(jù)題意，得AB＝1，∠ABD＝90°，BD＝，所以B，D的坐標(biāo)分別為(1,0)，(1，)，所以＝(1,0)，＝(1，)，設(shè)P(m，n)，則由x＋y＋＝0，得＝x＋y，所以依題意，得m2＋n2＝1，所以x2＋4y2＋2xy＝1。故選D。 答案　(1)D　(2)D 6