《（浙江專版）2022年高考數(shù)學(xué) 母題題源系列 專題14 函數(shù)與不等式》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《（浙江專版）2022年高考數(shù)學(xué) 母題題源系列 專題14 函數(shù)與不等式（13頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、（浙江專版）2022年高考數(shù)學(xué) 母題題源系列 專題14 函數(shù)與不等式 【母題原題1】【2018浙江，15】已知λ∈R，函數(shù)f(x)=，當(dāng)λ=2時，不等式f(x)<0的解集是___________．若函數(shù)f(x)恰有2個零點，則λ的取值范圍是___________． 【答案】 (1). (1,4) (2). 【解析】分析:根據(jù)分段函數(shù)，轉(zhuǎn)化為兩個不等式組，分別求解，最后求并集.先討論一次函數(shù)零點的取法，再對應(yīng)確定二次函數(shù)零點的取法，即得參數(shù)的取值范圍. 詳解：由題意得或，所以或，即，不等式f(x)<0的解集是 點睛：已知函數(shù)有零點求參數(shù)取值范圍常用的方法和思路：

2、 (1)直接法：直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，再通過解不等式確定參數(shù)范圍； (2)分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問題加以解決； (3)數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，在同一平面直角坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結(jié)合求解． 【母題原題2】【2017浙江，17】已知，函數(shù)在區(qū)間[1,4]上的最大值是5，則a的取值范圍是__________ 【答案】 【解析】，分類討論： ①當(dāng)時， ， 函數(shù)的最大值，舍去； ②當(dāng)時， ，此時命題成立； ③當(dāng)時， ，則： 或，解得： 或 綜上可得，實數(shù)的取值范圍是． 【名師點睛】本題利用基本不等式，由，得，通過對解析式中絕

3、對值符號的處理，進行有效的分類討論：①；②；③，問題的難點在于對分界點的確認及討論上，屬于難題．解題時，應(yīng)仔細對各種情況逐一進行討論． 【母題原題3】【2016浙江，理18】已知，函數(shù)F（x）=min{2|x?1|，x2?2ax+4a?2}， 其中min{p，q}= （Ⅰ）求使得等式F（x）=x2?2ax+4a?2成立的x的取值范圍； （Ⅱ）（ⅰ）求F（x）的最小值m（a）； （ⅱ）求F（x）在區(qū)間[0,6]上的最大值M（a）. 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）（ⅰ）；（ⅱ）． 試題解析：（Ⅰ）由于，故 當(dāng)時，， 當(dāng)時，． 所以，使得等式成立的的取值范圍為． （Ⅱ）（ⅰ）設(shè)函數(shù)，

4、， 則，， 所以，由的定義知，即 （ⅱ）當(dāng)時， ， 當(dāng)時，． 所以，． 【考點】函數(shù)的單調(diào)性與最值，分段函數(shù)，不等式． 【思路點睛】（Ⅰ）根據(jù)的取值范圍化簡，即可得使得等式成立的的取值范圍；（Ⅱ）（Ⅰ）先求函數(shù)和的最小值，再根據(jù)的定義可得；（Ⅱ）根據(jù)的取值范圍求出的最大值，進而可得． 【命題意圖】高考對本部分內(nèi)容的以考查能力為主，重點考查分段函數(shù)、絕對值的概念、基本函數(shù)的性質(zhì)、不等式的解法，考查數(shù)學(xué)式子變形的能力、運算求解能力、等價轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想. 【命題規(guī)律】函數(shù)是高考命題熱點之一，往往以常見函數(shù)為基本考察對象，以絕對值或分段函數(shù)的呈現(xiàn)方式，與不等式相結(jié)合，考

5、查函數(shù)的基本性質(zhì)，如單調(diào)性與最值、函數(shù)與方程（零點）、不等式的解法等.由于導(dǎo)數(shù)的加入，除將函數(shù)與導(dǎo)數(shù)相結(jié)合考查外，仍有對函數(shù)獨立的考查題目，難度基本穩(wěn)定在中等或以下. 【答題模板】求解函數(shù)不等式問題，一般考慮： 第一步：化簡函數(shù)，明確函數(shù)的構(gòu)成特點.當(dāng)呈現(xiàn)方式含絕對值式時，要利用絕對值的概念化簡函數(shù)； 第二步：根據(jù)函數(shù)特征，聯(lián)想函數(shù)的性質(zhì)，確定求解方法.根據(jù)函數(shù)的構(gòu)成特點，結(jié)合題目要求，聯(lián)想函數(shù)的單調(diào)性、零點的概念、不等式的解法、不等式恒成立問題的解法等； 第三步：運算求解. 【方法總結(jié)】 1.確定函數(shù)f(x)的零點所在區(qū)間的常用方法 (1)利用函數(shù)零點的存在性定理：首先看函數(shù)y

6、＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象是否連續(xù)，再看是否有f(a)·f(b)<0.若有，則函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)必有零點. (2)數(shù)形結(jié)合法：通過畫函數(shù)圖象，觀察圖象與x軸在給定區(qū)間上是否有交點來判斷. 2.已知函數(shù)有零點(方程有根)求參數(shù)取值范圍常用的方法 (1)直接法：直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，再通過解不等式確定參數(shù)范圍． (2)分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問題加以解決． (3)數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，在同一平面直角坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結(jié)合求解． 3.確定函數(shù)最值的方法： （1）單調(diào)性法：考查函數(shù)的單調(diào)性，確定函數(shù)的最值點，

7、便可求出函數(shù)相應(yīng)的最值. （2）圖象法：對于由基本初等函數(shù)圖象變化而來的函數(shù)，通過觀察函數(shù)圖象的最高點或最低點確定函數(shù)的最值. （3）分段函數(shù)的最值：將每段函數(shù)的最值求出，比較大小確定函數(shù)的最值. （4）導(dǎo)數(shù)法：對于一般的可導(dǎo)函數(shù)，可以利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的極值，并與端點值進行大小比較，從而確定函數(shù)的最值. 4.分段函數(shù)體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的分類討論思想，求解分段函數(shù)問題時應(yīng)注意以下三點： (1)明確分段函數(shù)的分段區(qū)間． (2)依據(jù)自變量的取值范圍，選好討論的切入點，并建立等量或不等量關(guān)系． (3)在通過上述方法求得結(jié)果后，應(yīng)注意檢驗所求值(范圍)是否落在相應(yīng)分段區(qū)間內(nèi)． 5.含絕對值不等式

8、的應(yīng)用中的數(shù)學(xué)思想 (1)利用“零點分段法”求解，體現(xiàn)了分類討論的思想； (2)利用函數(shù)的圖象求解，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想． 1．【2018屆浙江省杭州市第二中學(xué)6月熱身】設(shè)函數(shù)，其中表示中的最小者.下列說法錯誤的（ ） A. 函數(shù)為偶函數(shù) B. 若時，有 C. 若時， D. 若時， 【答案】D 【解析】分析：的圖像可由三個函數(shù)的圖像得到（三圖壘起，取最下者），然后依據(jù)圖像逐個檢驗即可． 詳解：在同一坐標(biāo)系中畫出的圖像（如圖所示）， 故的圖像為圖中粗線所示． 的圖像關(guān)于軸對稱，故為偶函數(shù)，故A正確． 當(dāng)時，，； 當(dāng)時，，； 當(dāng)時，，； 當(dāng)時，，此時

9、有，故B成立． 從圖像上看，當(dāng)時，有成立，令，則，故，故C成立． 取，則，，，故D不成立． 綜上，選D． 點睛：一般地，若（其中表示中的較小者），則的圖像是由這兩個函數(shù)的圖像的較低部分構(gòu)成的． 2．【2018屆黑龍江省哈爾濱師范大學(xué)附屬中學(xué)三模】已知函數(shù)，函數(shù)有四個不同的零點，從小到大依次為則的取值范圍為（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】分析：首先根據(jù)題中所給的函數(shù)解析，將函數(shù)的大致圖像畫出來，可以判斷出函數(shù)有四個零點時對應(yīng)參數(shù)的范圍，并且可以斷定有兩個正根，兩個負根，以及兩個負根和為定值，從而確定出其積的取值范圍，兩個正根

10、可以解方程，之后用兩根和來斷定，最后根據(jù)題的條件，確定出其取值范圍. 所以，故選A. 點睛：該題考查的是有關(guān)函數(shù)零點的問題，涉及到的知識點由函數(shù)圖像的對稱性，對勾函數(shù)圖像的走向，函數(shù)零點個數(shù)向向函數(shù)圖像交點個數(shù)靠攏，總之要想最對改題目，必須將基礎(chǔ)知識抓牢. 3．【2018屆福建省莆田市第二次檢測】已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，且滿足若函數(shù)有六個零點，則實數(shù)的取值范圍是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】分析：首先根據(jù)題中所給的函數(shù)解析式，將函數(shù)圖像畫出來，注意分段函數(shù)要明確相應(yīng)的式子，當(dāng)時，很容易畫出拋物線段，當(dāng)時，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的

11、單調(diào)性，利用函數(shù)解析式，確定出函數(shù)值的符號，從而畫出函數(shù)的圖像，利用偶函數(shù)的圖像的對稱性，得到函數(shù)圖像與直線在y軸右側(cè)有三個交點，觀察圖像可得結(jié)果. 詳解：畫出函數(shù)的圖像，當(dāng)時，很容易畫出拋物線段，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的圖像的走向，從而確定出其在上單調(diào)減，在上單調(diào)增，但是其一直落在x軸下方，因為是定義在上的偶函數(shù)，所以函數(shù)有六個零點，等價于有三個正的零點，相當(dāng)于函數(shù)圖像與直線在y軸右側(cè)有三個交點，觀察圖像可知的取值范圍是，故選D. 點睛：該題考查的是有關(guān)函數(shù)零點的個數(shù)問題，在求解的過程中，將零點的個數(shù)問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖像與直線的交點個數(shù)問題，結(jié)合偶函數(shù)的圖像的對稱性，得到在y軸右側(cè)有三個交點，利

12、用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，得到函數(shù)圖像的走向，從而觀察圖像求得結(jié)果. 4．【2018屆天津市濱海新區(qū)七所重點學(xué)校聯(lián)考】已知函數(shù)，若存在，使得關(guān)于的函數(shù)有三個不同的零點，則實數(shù)的取值范圍是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】,,當(dāng)時,,其對稱軸,則函數(shù)在上為增函數(shù),此時的值域為;當(dāng)時,,其對稱軸,則函數(shù)在上為增函數(shù),此時函數(shù)的值域為,函數(shù)在上為減函數(shù),值域為.由于關(guān)于的函數(shù)有三個不同的零點,所以.而為增函數(shù),故.所以.故選B. 5．【百校聯(lián)盟2018屆TOP202018屆三月聯(lián)考】已知若， 恒成立，則的取值范圍為（ ） A.

13、 B. C. D. 【答案】C 【解析】當(dāng)時， ，則是的最大值， ，當(dāng)時， ，當(dāng)時取等號，要滿足，需，即，解之得，得的取值范圍是，故選C. 6．【2018屆北京市人大附中二?！恳阎瘮?shù)函數(shù)，其中，若函數(shù)恰有4個零點，則實數(shù)b的取值范圍是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】,.構(gòu)造函數(shù),畫出函數(shù)的圖象如下圖所示,其中的坐標(biāo)分別為.故當(dāng)時,與有個交點,故選. 7.【2018屆浙江省紹興市5月調(diào)測】設(shè)函數(shù)有兩個零點，則實數(shù)的值是_________. 【答案】 【解析】分析：將原問題進行換元，轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)有兩個交

14、點的問題，然后結(jié)合函數(shù)圖像的特征整理計算即可求得最終結(jié)果. 詳解：不防令，則. 原問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)與函數(shù)的圖像有2個交點， 函數(shù)的圖像是確定的，如下所示(三個函數(shù)圖像對應(yīng)滿足題意的三種情況)， 而函數(shù)是一動態(tài)V函數(shù)，頂點軌跡y=x， 當(dāng)動態(tài)V函數(shù)的一支與反比例函數(shù)相切時，即為所求. 聯(lián)立可得， 則滿足題意時：，解得：， 注意到當(dāng)V函數(shù)的頂點為時滿足題意，此時. 綜上可得：實數(shù)的值是. 8．【2018屆浙江省溫州市一?！恳阎瘮?shù)有六個不同零點，且所有零點之和為3，則的取值范圍為__________． 【答案】 【解析】根據(jù)題意，有，于是函數(shù)關(guān)于對稱，結(jié)合所有的零

15、點的平均數(shù)為，可得，此時問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)，在上與直線有個公共點，此時，當(dāng)時，函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，于是函數(shù)單調(diào)遞增，且取值范圍是，當(dāng)時，函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，考慮到是上的單調(diào)遞增函數(shù)，且，于是在上有唯一零點，記為，進而函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在處取得極小值，如圖： 接下來問題的關(guān)鍵是判斷與的大小關(guān)系，注意到，，函數(shù)，在上與直線有個公共點，的取值范圍是,故答案為 . 9．【2017屆浙江省臺州市高三上學(xué)期期末】已知函數(shù),當(dāng)時，設(shè)的最大值為，則的最小值為__________． 【答案】 【解析】設(shè)，則，由于，則，所以將以上三式兩邊相加可得，即，應(yīng)填答案. 10.【2018屆江蘇省揚州樹人

16、學(xué)校模擬四】已知函數(shù)的最小值為，則實數(shù)的取值集合為__________． 【答案】. ∵函數(shù) 最小值為， ∴． ②當(dāng)，即時，則， ∴在上上先減后增，最小值為；在上的最小值為． ∵函數(shù) 最小值為， ∴，解得，不合題意，舍去． ③當(dāng)，即時，則， ∴在上上先減后增，最小值為；在上的最小值為． ∵函數(shù) 最小值為， ∴，解得或（舍去）． 綜上可得或， ∴實數(shù)的取值集合為． 11．【2018屆湖南省岳陽市第一中學(xué)一模】已知若，恒成立，則的取值范圍為__________． 【答案】 【解析】分析：由題意若，即函數(shù)，根據(jù)分段函數(shù)及二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，即可求解實數(shù)的取值范圍.

17、 12．【浙江省溫州市十五校聯(lián)合體2017-2018學(xué)年高二下期中聯(lián)考】已知函數(shù) （1）若在上恒成立，求a的取值范圍； （2）求在[-2,2]上的最大值M(a). 【答案】(1)；(2). 【解析】分析：（1）先根據(jù)絕對值定義去掉絕對值，并分離變量得當(dāng)x>1時，；當(dāng)x<1時，，當(dāng)x=1時，a∈R；再根據(jù)函數(shù)最值得a的取值范圍；（2）先根據(jù)圖像得函數(shù)最大值只能在f(1)，f(2)，f(-2)三處取得，再根據(jù)三者大小關(guān)系以及對應(yīng)對稱軸確定最大值取法，最后用分段函數(shù)書寫. 詳解：（1）即（*）對x∈R恒成立， ①當(dāng)x=1時，（*）顯然成立，此時a∈R；當(dāng)x≠1時，（*）可變形為， 令 ②當(dāng)x>1時，，③當(dāng)x<1時，，所以，故此時. 綜合①②③，得所求實數(shù)a的取值范圍是. （2）得：f(1)=0，f(2)=3-a，f(-2)=3-3a ①當(dāng)時，∵，，∴，； ②當(dāng)時，∴，，即 ③當(dāng)時，∵，，∴， 即所以