《2020版高考數學一輪復習 第十章 計數原理、概率、隨機變量及其分布 第二節(jié) 排列與組合學案 理（含解析）新人教A版》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《2020版高考數學一輪復習 第十章 計數原理、概率、隨機變量及其分布 第二節(jié) 排列與組合學案 理（含解析）新人教A版（9頁珍藏版）》請在裝配圖網上搜索。

1、第二節(jié)　排列與組合 2019考綱考題考情 1．排列與組合的概念 名稱 定義 排列 從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素 按照一定的順序排成一列 組合 合成一組 2.排列數與組合數 (1)排列數的定義：從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的所有不同排列的個數叫做從n個不同元素中取出m個元素的排列數，用A表示。 (2)組合數的定義：從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的所有不同組合的個數，叫做從n個不同元素中取出m個元素的組合數，用C表示。 (3)全排列：把n個不同元素全部取出來按照一定的順序排列起來，叫做n個不同元素的全排列。用A表示n個不同元素的全排列數

2、。 3．排列數、組合數的公式及性質 公式 (1)A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝ (2)C＝＝＝ 性質 (1)0?。?；A＝n! (2)C＝C；C＝Cmn＋C 1．排列與組合最根本的區(qū)別在于“有序”和“無序”。取出元素后交換順序，如果與順序有關，則是排列；如果與順序無關，則是組合。 2．排列、組合問題的求解方法與技巧 ①特殊元素優(yōu)先安排；②合理分類與準確分步；③排列、組合混合問題要先選后排；④相鄰問題捆綁處理；⑤不相鄰問題插空處理；⑥定序問題倍縮法處理；⑦分排問題直排處理；⑧“小集團”排列問題先整體后局部；⑨構造模型；

3、⑩正難則反，等價轉化。 一、走進教材 1．(選修2－3P10例4改編)用數字1,2,3,4,5組成無重復數字的四位數，其中偶數的個數為(　　) A．8 B．24 C．48 D．120 解析　末位數字排法有A種，其他位置排法有A種，共有AA＝48(種)排法，所以偶數的個數為48。故選C。 答案　C 2．(選修2－3P28A組T17改編)從4名男同學和3名女同學中選出3名參加某項活動，則男女生都有的選法種數是(　　) A．18 B．24 C．30 D．36 解析　選出的3人中有2名男同學1名女同學的方法有CC＝18種，選出的3人中有1名男同學2名女同學的方法

4、有CC＝12種，故3名學生中男女生都有的選法有CC＋CC＝30種。故選C。 解析：從7名同學中任選3名的方法數，再除去所選3名同學全是男生或全是女生的方法數，即C－C－C＝30。故選C。 答案　C 二、走近高考 3．(2017·全國卷Ⅱ)安排3名志愿者完成4項工作，每人至少完成1項，每項工作由1人完成，則不同的安排方式共有(　　) A．12種 B．18種 C．24種 D．36種 解析　4＝2＋1＋1，由題意，3名志愿者中，有兩人各完成1項，一人完成2項，先將4項工作分成三堆，共種分組方法，再把這三堆分配給3名志愿者，共A種分配方法，由分步乘法計數原理，共·A＝36種。故選

5、D。 答案　D 4．(2018·浙江高考)從1,3,5,7,9中任取2個數字，從0,2,4,6中任取2個數字，一共可以組成________個沒有重復數字的四位數。(用數字作答) 解析　若取的4個數字不包括0，則可以組成的四位數的個數為CCA；若取的4個數字包括0，則可以組成的四位數的個數為CCCA。綜上，一共可以組成的沒有重復數字的四位數的個數為CCA＋CCCA＝720＋540＝1 260。 答案　1 260 三、走出誤區(qū) 微提醒：①分類不清導致出錯；②相鄰元素看成一個整體，不相鄰問題采用插空法是解決相鄰與不相鄰問題的基本方法。 5．從6臺原裝計算機和5臺組裝計算機中任意選取5臺

6、，其中至少有原裝計算機和組裝計算機各2臺，則不同的取法有________種。 解析　分兩類：第一類，取2臺原裝計算機與3臺組裝計算機，有CC種方法；第二類，取3臺原裝計算機與2臺組裝計算機，有CC種方法。所以滿足條件的不同取法有CC＋CC＝350(種)。 答案　350 6．把5件不同產品擺成一排，若產品A與產品B相鄰，且產品A與產品C不相鄰，則不同的擺法有________種。 解析　設這5件不同的產品分別為A，B，C，D，E，先把產品A與產品B捆綁有A種擺法，再與產品D，E全排列有A種擺法，最后把產品C插空有C種擺法，所以共有AAC＝36(種)不同擺法。 答案　36

7、 考點一簡單的排列問題　　　　　　　　　　　 【例1】　有3名男生、4名女生，在下列不同條件下，求不同的排列方法總數。 (1)選5人排成一排； (2)排成前后兩排，前排3人，后排4人； (3)全體排成一排，甲不站排頭也不站排尾； (4)全體排成一排，女生必須站在一起； (5)全體排成一排，男生互不相鄰。 解　(1)從7人中選5人排列，有A＝7×6×5×4×3＝2 520(種)。 (2)分兩步完成，先選3人站前排，有A種方法，余下4人站后排，有A種方法，共有A·A＝5 040(種)。 (3)(特殊元素優(yōu)先法)先排甲，有5種方法，其余6人有A種排列方法，共有5×A＝3 600(種

8、)。 解：(特殊位置優(yōu)先法)首尾位置可安排另6人中的兩人，有A種排法，其他有A種排法，共有AA＝3 600(種)。 (4)(捆綁法)將女生看作一個整體與3名男生一起全排列，有A種方法，再將女生全排列，有A種方法，共有A·A＝576(種)。 (5)(插空法)先排女生，有A種方法，再在女生之間及首尾5個空位中任選3個空位安排男生，有A種方法，共有A·A＝1 440(種)。 求解排列應用問題的5種主要方法 直接法 把符合條件的排列數直接列式計算 優(yōu)先法 優(yōu)先安排特殊元素或特殊位置 捆綁法 把相鄰元素看作一個整體與其他元素一起排列，同時注意捆綁元素的內部排列 插空

9、法 對不相鄰問題，先考慮不受限制的元素的排列，再將不相鄰的元素插在前面元素排列的空當中 間接法 正難則反、等價轉化的方法 【變式訓練】　(1)某國際會議結束后，中、美、俄等21國領導人合影留念，他們站成兩排，前排11人，后排10人，中國領導人站在前排正中間位置，美、俄兩國領導人也站前排并與中國領導人相鄰，如果對其他國家領導人所站位置不做要求，那么不同的站法共有(　　) A．A種 B．A種 C．AAA種 D．AA種 (2)甲、乙兩人要在一排8個空座上就坐，若要求甲、乙兩人每人的兩旁都有空座，則不同的坐法有(　　) A．10種 B．16種 C．20種 D．24種 解析　

10、(1)中國領導人站在前排正中間位置，美、俄兩國領導人站前排并與中國領導人相鄰，有A種站法；其他18國領導人可以任意站，因此有A種站法。根據分步計數原理，共有AA種站法。故選D。 (2)一排共有8個座位，現有兩人就坐，故有6個空座。因為要求每人左右均有空座，所以在6個空座的中間5個空中插入2個座位讓兩人就坐，即有A＝20種坐法。 答案　(1)D　(2)C 考點二組合問題 【例2】　(1)(2018·全國卷Ⅰ)從2位女生，4位男生中選3人參加科技比賽，且至少有1位女生入選，則不同的選法共有________種。(用數字作答) (2)(2019·西安模擬)共享單車是指企業(yè)與政府合作，在公共服

11、務區(qū)等地方提供自行車單車共享服務?，F從6輛黃色共享單車和4輛藍色共享單車中任取4輛進行檢查，則至少有兩輛藍色共享單車的取法種數是________。 解析　(1)根據題意，沒有女生入選有C＝4(種)選法，從6名學生中任意選3人有C＝20(種)選法，故至少有1位女生入選，不同的選法共有20－4＝16(種)。 解析：可分兩種情況：第一種情況，只有1位女生入選，不同的選法有CC＝12(種)；第二種情況，有2位女生入選，不同的選法有CC＝4(種)。根據分類加法計數原理知，至少有1位女生入選的不同的選法有16種。 (2)分三種情況討論：①兩輛藍色共享單車，有CC＝90種，②三輛藍色共享單車，

12、有CC＝24種，③四輛藍色共享單車，有C＝1種。根據分類加法計數原理可得，至少有兩輛藍色共享單車的取法種數是90＋24＋1＝115。 答案　(1)16　(2)115 “至少”或“最多”含有幾個元素的組合題型：解這類題目必須十分重視“至少”與“最多”這兩個關鍵詞的含義，謹防重復與漏解。用直接法或間接法都可以求解，通常用直接法分類復雜時，用間接法求解。 【變式訓練】　(1)(2019·開封高三定位考試)某地實行高考改革，考生除參加語文、數學、英語統(tǒng)一考試外，還需從物理、化學、生物、政治、歷史、地理六科中選考三科。學生甲要想報考某高校的法學專業(yè)，就必須要從物理、政治、歷史三科中至少選考

13、一科，則學生甲的選考方法種數為(　　) A．6 B．12 C．18 D．19 (2)現有12張不同的撲克牌，其中紅桃、方片、黑桃、梅花各3張，現從中任取3張，要求這3張牌不能是同一種且黑桃至多一張，則不同的取法種數為________。 解析　(1)在物理、政治、歷史中選一科的選法有CC＝9種；在物理、政治、歷史中選兩科的選法有CC＝9種；物理、政治、歷史三科都選的選法有1種。所以學生甲的選考方法共有9＋9＋1＝19種。故選D。 解析：從六科中選考三科的選法有C種，其中包括了沒選物理、政治、歷史中任意一科，這種選法有1種，因此學生甲的選考方法共有C－1＝19種，故選D。

14、(2)分類完成，含有一張黑桃的不同取法有CC＝108(種)，不含黑桃時，有C－3C＝81(種)不同的取法。故共有108＋81＝189種不同的取法。 答案　(1)D　(2)189 考點三排列與組合的綜合應用微點小專題 方向1：排列與組合應用題 【例3】　(1)將標號為1,2,3,4的四個籃球分給三位小朋友，每位小朋友至少分到一個籃球，且標號1,2的兩個籃球不能分給同一個小朋友，則不同的分法種數為(　　) A．15 B．20 C．30 D．42 (2)從0,2中選一個數字，從1,3,5中選兩個數字，組成無重復數字的三位數，其中奇數的個數為(　　) A．24 B．18 C．1

15、2 D．6 解析　(1)四個籃球中兩個分到一組有C種分法，三個籃球進行全排列有A種分法，標號1,2的兩個籃球分給同一個小朋友有A種分法，所以有CA－A＝36－6＝30種分法。 (2)從0,2中選一個數字0，則0只能排在十位，從1,3,5中選兩個數字排在個位與百位，共有A＝6種；從0,2中選一個數字2，則2排在十位(或百位)，從1,3,5中選兩個數字排在百位(或十位)、個位，共有A·A＝12種，故共有A＋AA＝18種。故選B。 答案　(1)C　(2)B 解排列組合問題常以元素(或位置)為主體，即先滿足特殊元素(或位置)，再考慮其他元素(或位置)。對于排列組合的綜合題目，一般是將

16、符合要求的元素取出或進行分組，再對取出的元素或分好的組進行排列。 方向2：定序問題 【例4】　某學校舉行校慶文藝晚會，已知節(jié)目單中共有七個節(jié)目，為了活躍現場氣氛，主辦方特地邀請了三位老校友演唱經典歌曲，并要將這三個不同節(jié)目添入節(jié)目單，而不改變原來的節(jié)目順序，則不同的安排方式有________種。 解析　添入三個節(jié)目后共十個節(jié)目，故該題可轉化為安排十個節(jié)目，其中七個節(jié)目順序固定。這七個節(jié)目的不同安排方法共有A種，添加三個節(jié)目后，節(jié)目單中共有十個節(jié)目，先將這十個節(jié)目進行全排列，不同的排列方法有A種，而原先七個節(jié)目的順序一定，故不同的安排方式共有＝720(種)。 解析：將10個節(jié)目看作1

17、0個元素排列位置。在10個位置中選7個按一定順序排列，有C種排法，其余3個位置進行全排列，有A種排法，所以共有CA＝720(種)。 答案　720 定序問題可用直接法，也可用間接法。 方向3：分組分配問題 【例5】　數學活動小組由12名同學組成，現將這12名同學平均分成四組分別研究四個不同課題，且每組只研究一個課題，并要求每組選出1名組長，則不同的分配方案有(　　) A.A種 B．CCC34種 C.43種 D．CCC43種 解析　首先將12名同學平均分成四組，有種分法，然后將這四組同學分配到四個不同的課題組，有A種分法，并在各組中選出1名組長，有34種選法，根據分步乘法計數

18、原理，滿足條件的不同分配方案有·A·34＝CCC34(種)。故選B。 解析：根據題意可知，第一組分3名同學有C種分法，第二組分3名同學有C種分法，第三組分3名同學有C種分法，第四組分3名同學有C種分法。第一組選1名組長有3種選法，第二組選1名組長有3種選法，第三組選1名組長有3種選法，第四組選1名組長有3種選法。根據分步乘法計數原理可知，滿足條件的不同分配方案有CCCC34種。故選B。 答案　B 1．平均分配給不同小組的分法種數等于平均分堆的分法種數乘堆數的全排列。 2．對于分堆與分配問題應注意三點：(1)處理分配問題要注意先分堆再分配；(2)被分配的元素是不同的；(3)分

19、堆時要注意是否均勻。 【題點對應練】　 1．(方向1)甲、乙、丙、丁四位同學高考之后計劃去A、B、C三個不同社區(qū)進行幫扶活動，每人只能去一個社區(qū)，每個社區(qū)至少一人。其中甲必須去A社區(qū)，乙不去B社區(qū)，則不同的安排方法種數為(　　) A．8 B．7 C．6 D．5 解析　根據題意，分2種情況討論：①乙和甲一起去A社區(qū)，此時將丙丁二人安排到B、C社區(qū)即可，有A＝2種情況，②乙不去A社區(qū)，則乙必須去C社區(qū)，若丙丁都去B社區(qū)，有1種情況，若丙丁中有1人去B社區(qū)，則先在丙丁中選出1人，安排到B社區(qū)，剩下1人安排到A或C社區(qū)，有2×2＝4種情況，則不同的安排方法種數有2＋1＋4＝7種。故選B。

20、 答案　B 2．(方向2)我國的第一艘航空母艦“遼寧艦”在某次艦載機起降飛行訓練中，有5架“殲－15”飛機準備著艦，規(guī)定乙機不能最先著艦，且丙機必須在甲機之前著艦(不一定相鄰)，那么不同的著艦方法種數為(　　) A．24 B．36 C．48 D．96 解析　根據題意，分2種情況討論：①丙機最先著艦，此時只需將剩下的4架飛機全排列，有A＝24種情況，即此時有24種不同的著艦方法：②丙機不最先著艦，此時需要在除甲、乙、丙之外的2架飛機中任選1架，作為最先著艦的飛機，將剩下的4架飛機全排列，丙機在甲機之前和丙機在甲機之后的數目相同，則此時有×CA＝24種情況，即此時有24種不同的著

21、艦方法。則一共有24＋24＝48種不同的著艦方法。故選C。 答案　C 3．(方向3)6位機關干部被選調到4個貧困自然村進行精準扶貧，要求每位機關干部只能參加一個自然村的扶貧工作，且每個自然村至少有1位機關干部扶貧，則不同的分配方案有________種。 解析　先將6位機關干部分成四組，有(1,1,1,3)和(1,1,2,2)兩種情況，所以不同的分配方案共有·A＝65×24＝1 560(種)。 答案　1 560 分組分配問題中的易錯點 分組問題是同學們學習中的難點問題，在考試中不容易得分，在解題過程中容易掉入陷阱，本文結合一些典型問題談談如何避免掉進分組問題中的陷阱。 解決這類

22、問題的一個基本指導思想是先分組后分配。關于分組問題，有整體均分、部分均分和不等分組三種，無論分成幾組，應注意的是只要有一些組中元素的個數相等，就存在均分現象。 一、整體均分問題 【典例1】　國家教育部為了發(fā)展貧困地區(qū)教育，在全國重點師范大學免費培養(yǎng)教育專業(yè)師范生，畢業(yè)后要分到相應的地區(qū)任教，現有6個免費培養(yǎng)的教育專業(yè)師范畢業(yè)生，將其平均分到3所學校去任教，有________種不同的分配方法。 【解析】　先把6個畢業(yè)生平均分成3組，有種方法，再將3組畢業(yè)生分到3所學校，有A＝6種方法，故6個畢業(yè)生平均分到3所學校，共有A＝90種分配方法。 【答案】　90 【易錯提醒】　對于整體均分，解

23、題時要注意分組后，不管它們的順序如何，都是一種情況，所以分組后一定要除以A(n為均分的組數)，避免重復計數。 二、部分均分問題 【典例2】　將并排的有不同編號的5個房間安排給5個工作人員臨時休息，假定每個人可以選擇任一房間，且選擇各個房間是等可能的，則恰有2個房間無人選擇且這2個房間不相鄰的安排方式的種數為________。 【解析】　先將5人分成三組(1,1,3或2,2,1兩種形式)，再將這三組人安排到3個房間，然后將2個房間插入前面住了人的3個房間形成的空檔中即可，故安排方式共有 ·A·C＝900種。 【答案】　900 【易錯提醒】　本題屬于部分均分，解題時注意重復的次數是均勻

24、分組的階乘數，即若有m組元素個數相等，則分組時應除以m！，一個分組過程中有幾個這樣的均勻分組就要除以幾個這樣的全排列數。 三、不等分組問題 【典例3】　將6本不同的書分給甲、乙、丙3名學生，其中一人得1本，一人得2本，一人得3本，則有________種不同的分法。 【解析】　先把書分成三組，把這三組分給甲、乙、丙3名學生。先選1本，有C種選法；再從余下的5本中選2本，有C種選法；最后余下3本全選，有C種選法。故共有C·C·C＝60種選法。由于甲、乙、丙是不同的3人，還應考慮再分配，故共有60A＝360種分配方法。 【答案】　360 【易錯提醒】　對于不等分組，只需先分組，后排列，注意

25、分組時，任何組中元素的個數都不相等，所以不需要除以全排列數。 總之，在解答分組問題時，一定要注意均勻分組與不均勻分組的區(qū)別，均勻分組不要重復計數。對于平均分組問題更要注意順序，避免計數的重復或遺漏，抓住了以上關鍵點，就能避免掉進陷阱。 【變式訓練】　某學校派出5名優(yōu)秀教師去邊遠地區(qū)的三所中學進行教學交流，每所中學至少派1名教師，則有________種不同的分配方法。 解析　有兩類情況：①其中一所學校3名教師，另兩所學校各1名教師的分法有CA＝60種；②其中一所學校1名教師，另兩所學校各2名教師的分法有·A＝90種。所以共有150種分配方法。 答案　150 9