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1、（浙江專版）2022年高考數(shù)學(xué) 母題題源系列 專題12 解三角形 【母題原題1】【2018浙江，13】在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c．若a=，b=2，A=60°，則sin B=___________，c=___________． 【答案】 (1). (2). 3 【解析】分析:根據(jù)正弦定理得sinB,根據(jù)余弦定理解出c. 詳解：由正弦定理得,所以 由余弦定理得（負(fù)值舍去）. 【母題原題2】【2017浙江，14】已知△ABC，AB=AC=4，BC=2.?點(diǎn)D為AB延長線上一點(diǎn)，BD=2，連結(jié)CD，則△BDC的面積是___________,cos

2、∠BDC=__________. 【答案】 【解析】取BC中點(diǎn)E，由題意： ， △ABE中， ，∴， ∴． ∵，∴， 解得或（舍去）． 綜上可得，△BCD面積為， ． 【名師點(diǎn)睛】利用正、余弦定理解決實(shí)際問題的一般思路：（1）實(shí)際問題經(jīng)抽象概括后，已知量與未知量全部集中在一個三角形中，可以利用正弦定理或余弦定理求解；（2）實(shí)際問題經(jīng)抽象概括后，已知量與未知量涉及兩個或兩個以上三角形，這時需作出這些三角形，先解夠條件的三角形，再逐步解其他三角形，有時需要設(shè)出未知量，從幾個三角形中列出方程（組），解方程（組）得出所要的解． 【母題原題3】【2016浙江，理16】在中，內(nèi)角

3、所對的邊分別為，已知． （1）證明： ； （2）若的面積，求角的大?。? 【答案】（1）證明見解析；（2）或. 【解析】試題分析：（1）由正弦定理得，進(jìn)而得，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可得結(jié)論；（2）由得，再根據(jù)正弦定理得及正弦的二倍角公式得，進(jìn)而得討論得結(jié)果. （2）由得，故有，因，得．又，所以．當(dāng)時， ；當(dāng)時， ． 綜上， 或． 【母題原題4【2016浙江，文16】在ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.已知b+c="2acos" B. （Ⅰ）證明：A=2B； （Ⅱ）若cos B=，求cos C的值． 【答案】（Ⅰ）證明詳見解析；（Ⅱ） . 【解析】試題分析：本

4、題主要考查三角函數(shù)及其變換、正弦和余弦定理等基礎(chǔ)知識，同時考查運(yùn)算求解能力. 試題解析：（Ⅰ）由正弦定理得， 故， 于是， 又，故，所以或， 因此（舍去）或， 所以， . 【思路點(diǎn)睛】（Ⅰ）用正弦定理將邊轉(zhuǎn)化為角，進(jìn)而用兩角和的正弦公式轉(zhuǎn)化為含有， 的式子，根據(jù)角的范圍可證；（Ⅱ）先用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系及二倍角公式可得，進(jìn)而可得和，再用兩角和的余弦公式可得． 【命題意圖】1.考查三角公式、正弦定理、余弦定理及其應(yīng)用；2.考查式子變形運(yùn)算求解能力、轉(zhuǎn)化與化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想以及分析問題解決問題的能力. 【命題規(guī)律】高考對正弦定理和余弦定理的考查較為靈活，題型多變，

5、選擇題、填空題的形式往往獨(dú)立考查正弦定理或余弦定理，解答題往往綜合考查定理在確定三角形邊角中的應(yīng)用，多與三角形周長、面積有關(guān)；有時也會與平面向量、三角恒等變換等結(jié)合考查，試題難度控制在中等以下，主要考查靈活運(yùn)用公式求解計(jì)算能力、推理論證能力、數(shù)學(xué)應(yīng)用意識、數(shù)形結(jié)合思想等． 【答題模板】解答解三角形大題，一般考慮如下三步： 第一步：分析圖形特征，選擇適用公式.即根據(jù)三角形的形狀、已知條件，確定選用何種三角公式、定理； 第二步：正確運(yùn)用公式，實(shí)施邊角轉(zhuǎn)化.根據(jù)已有條件，利用三角公式、正弦定理或余弦定理，將問題向邊或角實(shí)施轉(zhuǎn)化； 第三步：運(yùn)算求解.根據(jù)題目要求，進(jìn)一步求解. 【方法總結(jié)】

6、 1.化簡三角函數(shù)式的規(guī)律 一看“角”，這是最重要的一環(huán)，通過角之間的差別與聯(lián)系，把角進(jìn)行合理地拆分，從而正確使用公式 二看“函數(shù)名稱”，看函數(shù)名稱之間的差異，從而確定使用的公式，常見的有“弦切互化” 三看“結(jié)構(gòu)特征”，分析結(jié)構(gòu)特征，找到變形的方向，常見的有“遇到分式要通分”，“遇根式化被開方式為完全平方式”等 2. 化簡三角函數(shù)式注意事項(xiàng)：(1)常用技巧：弦切互化，異名化同名，異角化同角，降冪或升冪，“1”的代換等. (2)根式的化簡常常需要升冪去根號，在化簡過程中注意角的范圍，以確定三角函數(shù)值的正負(fù). 3.正、余弦定理的適用條件 ①“已知兩角和一邊”或“已知兩邊和其中一邊的對

7、角”應(yīng)采用正弦定理． ②“已知兩邊和這兩邊的夾角”或“已知三角形的三邊”應(yīng)采用余弦定理． 4.三角形面積公式的應(yīng)用原則 ①對于面積公式S＝absinC＝acsinB＝bcsinA，一般是已知哪一個角就使用含哪個角的公式． ②與面積有關(guān)的問題，一般要利用正弦定理或余弦定理進(jìn)行邊和角的互化． 5. 利用正弦定理與余弦定理解題,經(jīng)常需要轉(zhuǎn)化思想,一種是邊轉(zhuǎn)化為角,另一種是角轉(zhuǎn)化為邊.具體情況應(yīng)根據(jù)題目給定的表達(dá)式進(jìn)行確定,不管哪個途徑,最終轉(zhuǎn)化為角的統(tǒng)一或邊的統(tǒng)一,在解題過程中常用到以下規(guī)律: (1)分析已知等式中的邊角關(guān)系,若要把“邊”化為“角”,常利用“”,若要把“角”化為“邊”,常

8、利用sin A=,sin B=,sin C=,cos C=等. (2)如果已知等式兩邊有齊次的邊的形式或齊次的角的正弦的形式,可以利用正弦定理進(jìn)行邊角互換.如果已知中含有形如為常數(shù))的代數(shù)式,一般向余弦定理靠攏. (3)余弦定理與完全平方式相聯(lián)系可有: .可聯(lián)系已知條件,利用方程思想進(jìn)行求解三角形的邊;與重要不等式相聯(lián)系,由,得,可探求邊或角的范圍問題. 1．【2018屆騰遠(yuǎn)（浙江卷）紅卷】在中，內(nèi)角所對的邊分別是，若，則角的值為（ ） A. B. C. D. 【答案】C 2．【2018屆遼寧省凌源市上期末】在中，角的對邊分別為，且的面積，且，

9、則（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 由題意得，三角形的面積，所以， 所以， 由余弦定理得，所以，故選B. 3．【2018屆青海省西寧市二?！吭谥?，內(nèi)角的對邊分別為，若，且的面積為，則________________． 【答案】 【解析】分析：先利用三角形的面積公式得到，再利用正弦定理將邊角公式轉(zhuǎn)化為邊邊關(guān)系，進(jìn)而利用余弦定理進(jìn)行求解． 詳解：因?yàn)榈拿娣e為， 所以， 即， 由， 得， 即， 則． 4．【2018屆河南省最后一次模擬】已知的內(nèi)角的對邊分別為,且 ，則__________． 【答案】 【解析】

10、分析：由題意結(jié)合正弦定理角化邊可得，結(jié)合余弦定理求得c的長度，最后利用正弦定理即可求得最終結(jié)果. 詳解：因?yàn)?,所以. 由余弦定理得 ，又，所以. ，所以. 由正弦定理得，即，解得. 5．【2018屆浙江省教育綠色評價聯(lián)盟5月適應(yīng)性】在△中，內(nèi)角的對邊分別為．已知，，，則______，______． 【答案】 【解析】分析：由，，，利用正弦定理和余弦定理及三角形的面積公式可求出結(jié)果. 詳解：由于， 則，解得， 由于，利用正弦定理， 則，整理得， 解得，由， 解得，， 則，故答案為 ，. 6．【2018屆浙江省杭州市第二次檢測】設(shè)內(nèi)切圓與外接圓的半徑分別

11、為與.且則=_________；當(dāng)時，的面積等于__________． 【答案】 - 【解析】 令，， 則， 7．【浙江省嵊州市高三上期末】在中，內(nèi)角， ， 所對的邊分別為， ， ，若， ， ，則__________， __________. 【答案】 3 【解析】 ， ，由余弦定理可得，即，得或（舍去），由正弦定理得，得，故答案為(1) ，(2) 3. 8．【2018屆浙江省杭州市學(xué)軍中學(xué)5月模擬】已知中，角的對邊分別為，且滿足，則__________，__________． 【答案】 . 2. 【解析】分析：由已知利用三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用

12、可得sin（2A+）=，可求范圍：2A+∈（，），利用正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)可求A的值，利用三角形面積公式可求c的值，進(jìn)而利用余弦定理可求a的值，根據(jù)比例的性質(zhì)及正弦定理即可計(jì)算得解． 詳解：∵，可得：cos2A+sin2A=1， ∴sin（2A+）=， ∵0＜A＜π，可得：2A+∈（，）， ∴2A+=，可得：A=． ∵b=1，S△ABC==bcsinA=，∴c=2， ∴由余弦定理可得：a==， ∴ 故答案為：，2． 9.【2018屆寧夏石嘴山市4月一?！吭谥校瑑?nèi)角的對邊是，若，則等于__________． ·【答案】 10．【2018屆北京市豐臺區(qū)一?！吭凇髦?， ，

13、，且，則____． 【答案】 【解析】在△中， ， ，且,故 故答案為： . 點(diǎn)睛：本題主要考查正弦定理邊角互化及余弦定理的應(yīng)用與特殊角的三角函數(shù)，屬于簡單題. 對余弦定理一定要熟記兩種形式：（1）；（2），同時還要熟練掌握運(yùn)用兩種形式的條件.另外，在解與三角形、三角函數(shù)有關(guān)的問題時，還需要記住等特殊角的三角函數(shù)值，以便在解題中直接應(yīng)用. 11.【2018年河南省濮陽市升級考試】在中，，，分別為角，，所對的邊長，已知的周長為，，且的面積為. （Ⅰ）求邊的長； （Ⅱ）求角的余弦值. 【答案】(Ⅰ)1；(Ⅱ). 【解析】分析：（Ⅰ）由三角形周長得到三邊之和，已知等式利用正弦定理

14、化簡得到關(guān)系式，兩式聯(lián)立求出AB的長即可； （Ⅱ）利用三角形面積公式列出關(guān)系式，把已知面積代入求出，，利用余弦定理表示出. （Ⅱ）由（Ⅰ）知：， 又，得， . 12.【2018屆寧夏回族自治區(qū)銀川一中考前訓(xùn)練】已知△內(nèi)角，，的對邊分別為，，，． （1）求； （2）若，，求△的面積． 【答案】（1）；（2）. 【解析】分析：（1）先根據(jù)二倍角公式以及同角三角函數(shù)關(guān)系得，解得A;（2）根據(jù)正弦定理得，再根據(jù)余弦定理得，最后根據(jù)三角形面積公式得結(jié)果. 詳解： （1）由于，所以，．因?yàn)?，故?