《（新課標(biāo)）2021版高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 第七章 不等式 第39講 基本（均值）不等式導(dǎo)學(xué)案 新人教A版》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《（新課標(biāo)）2021版高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 第七章 不等式 第39講 基本（均值）不等式導(dǎo)學(xué)案 新人教A版（10頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、第39講　基本(均值)不等式 【課程要求】 1．了解基本(均值)不等式的證明過程． 2．會用基本不等式解決簡單的最大(小)值問題． 對應(yīng)學(xué)生用書p105 【基礎(chǔ)檢測】 1．判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“√”或“×”) (1)函數(shù)y＝x＋的最小值是2.(　　) (2)函數(shù)f(x)＝cosx＋，x∈的最小值等于4.(　　) (3)“x>0且y>0”是“＋≥2”的充要條件．(　　) (4)若a>0，則a3＋的最小值為2.(　　) (5)不等式a2＋b2≥2ab與≥有相同的成立條件．(　　) (6)兩個正數(shù)的等差中項不小于它們的等比中項．(　　) [答案] (1

2、)×　(2)×　(3)×　(4)×　(5)×　(6)√ 2．[必修5p99例1(2)]設(shè)x>0，y>0，且x＋y＝18，則xy的最大值為(　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A．80B．77C．81D．82 [解析]∵x>0，y>0，∴≥， 即xy≤＝81，當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)＝9時，(xy)max＝81. [答案]C 3．[必修5p100A組T2]若把總長為20m的籬笆圍成一個矩形場地，則矩形場地的最大面積是________m2. [解析]設(shè)矩形的一邊為xm， 則另一邊為×(20－2x)＝(10－x)m， ∴y＝x(10－x)≤＝25， 當(dāng)且僅當(dāng)x＝10－x

3、，即x＝5時，ymax＝25. [答案]25 4．若x<0，則x＋(　　) A．有最小值，且最小值為2 B．有最大值，且最大值為2 C．有最小值，且最小值為－2 D．有最大值，且最大值為－2 [解析]因為x<0，所以－x>0，－x＋≥2，當(dāng)且僅當(dāng)x＝－1時，等號成立，所以x＋≤－2. [答案]D 5．已知00，則函數(shù)y＝x＋－的最小值為(　　) A．0B.

4、C．1D. [解析]y＝x＋－＝＋－2 ≥2－2＝0，當(dāng)且僅當(dāng)x＋＝，即x＝時等號成立． ∴函數(shù)的最小值為0.故選A. [答案]A 【知識要點】 1．基本不等式≤ (1)基本不等式成立的條件：__a>0，b>0__． (2)等號成立的條件：當(dāng)且僅當(dāng)__a＝b__． 2．幾個重要的不等式 (1)a2＋b2≥__2ab__(a，b∈R)； (2)＋≥__2__(a，b同號)； (3)ab≤(a，b∈R)； (4)≤(a，b∈R)． 3．算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù) 設(shè)a＞0，b>0，則a，b的算術(shù)平均數(shù)為，幾何平均數(shù)為，基本不等式可敘述為：__兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們

5、的幾何平均數(shù)__． 4．利用基本不等式求最值問題 已知x>0，y>0， (1)如果xy是定值p，那么當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)時，x＋y有最小值是2(簡記：積定和最小)． (2)如果x＋y是定值q，那么當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)時，xy有最大值是(簡記：和定積最大)． 對應(yīng)學(xué)生用書p105 利用基本(均值)不等式求最值 一、拼湊法求最值 例1　(1)設(shè)0

6、數(shù)x滿足x＞－4，則函數(shù)f(x)＝x＋的最小值為________． [解析]∵x＞－4，∴x＋4＞0， ∴f(x)＝x＋＝x＋4＋－4≥2－4＝2， 當(dāng)且僅當(dāng)x＋4＝，即x＝－1時取等號． 故f(x)＝x＋的最小值為2. [答案]2 [小結(jié)]1.拼湊法求最值 拼湊法就是將相關(guān)代數(shù)式進行適當(dāng)?shù)淖冃危ㄟ^添項、拆項等方法湊成和為定值或積為定值的形式，然后利用基本不等式求解最值的方法．拼湊法的實質(zhì)在于代數(shù)式的靈活變形，拼系數(shù)、湊常數(shù)是關(guān)鍵． 2．拼湊法求解最值應(yīng)注意的問題 (1)拼湊的技巧，以整式為基礎(chǔ)，注意利用系數(shù)的變化以及等式中常數(shù)的調(diào)整，做到等價變形； (2)代數(shù)式的變形以

7、拼湊出和或積的定值為目標(biāo)； (3)拆項、添項應(yīng)注意檢驗利用基本不等式的條件． 1．若對?x≥1，不等式x＋－1≥a恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是__________． [解析]因為函數(shù)f(x)＝x＋－1在[1，＋∞)上單調(diào)遞增，所以函數(shù)g(x)＝x＋1＋－2在[0，＋∞)上單調(diào)遞增，所以函數(shù)g(x)在[1，＋∞)上的最小值為g(1)＝，因此對?x≥1，不等式x＋－1≥a恒成立，所以a≤g(x)min＝，故實數(shù)a的取值范圍是. [答案] 二、常數(shù)代換法求最值 例2　若直線2mx－ny－2＝0(m>0，n>0)過點(1，－2)，則＋的最小值為(　　) 　A．2B．6C．12D．3＋

8、2 [解析]因為直線2mx－ny－2＝0(m>0，n>0)過點(1，－2)， 所以2m＋2n－2＝0，即m＋n＝1， 所以＋＝(m＋n)＝3＋＋≥3＋2， 當(dāng)且僅當(dāng)“＝，即n＝m”時取等號， 所以＋的最小值為3＋2，故選D. [答案]D [小結(jié)]1.常數(shù)代換法求最值的步驟 (1)根據(jù)已知條件或其變形確定定值(常數(shù))； (2)把確定的定值(常數(shù))變形為1； (3)把“1”的表達式與所求最值的表達式相乘或相除，進而構(gòu)造和或積的形式； (4)利用基本不等式求解最值． 2．常數(shù)代換法求解最值應(yīng)注意的問題 (1)條件的靈活變形，確定或分離出常數(shù)是基礎(chǔ)； (2)已知等式化成“1

9、”的表達式，是代數(shù)式等價變形的關(guān)鍵； (3)利用基本不等式求最值時注意基本不等式的前提條件． 2．已知正數(shù)x，y滿足x＋2y－x＝0，則x＋2y的最小值為________． [解析]由x＋2y－xy＝0，得＋＝1，且x>0，y>0. ∴x＋2y＝(x＋2y)×＝＋＋4≥4＋4＝8， 當(dāng)且僅當(dāng)x＝2y時等號成立． [答案]8 三、消元法求最值 例3　若正數(shù)x，y滿足x2＋6xy－1＝0，則x＋2y的最小值是(　　) A.B.C.D. [解析]因為正數(shù)x，y滿足x2＋6xy－1＝0， 所以y＝. 由即解得0

10、＝，y＝時取等號． 故x＋2y的最小值為. [答案]A [小結(jié)]通過消元法求最值的方法 消元法，即根據(jù)條件建立兩個量之間的函數(shù)關(guān)系，然后代入代數(shù)式轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值求解．有時會出現(xiàn)多元的問題，解決方法是消元后利用基本不等式求解． 基本(均值)不等式與函數(shù)的綜合問題 例4　某書商為提高某套叢書的銷量，準(zhǔn)備舉辦一場展銷會．據(jù)市場調(diào)查，當(dāng)每套叢書售價定為x元時，銷售量可達到(15－0.1x)萬套．現(xiàn)出版社為配合該書商的活動，決定進行價格改革，將每套叢書的供貨價格分成固定價格和浮動價格兩部分，其中固定價格為30元，浮動價格(單位：元)與銷售量(單位：萬套)成反比，比例系數(shù)為10.假設(shè)不計其他

11、成本，即銷售每套叢書的利潤＝售價－供貨價格．問： (1)每套叢書售價定為100元時，書商所獲得的總利潤是多少萬元？ (2)每套叢書售價定為多少元時，單套叢書的利潤最大？ [解析] (1)每套叢書售價定為100元時，銷售量為15－0.1×100＝5(萬套)，所以每套叢書的供貨價格為30＋＝32(元)，故書商所獲得的總利潤為5×(100－32)＝340(萬元)． (2)每套叢書售價定為x元時，由得0＜x＜150. 設(shè)單套叢書的利潤為P元， 則P＝x－＝x－－30， 因為0＜x＜150，所以150－x＞0， 所以P＝－＋120， 又(150－x)＋≥2＝2×10＝20， 當(dāng)且僅當(dāng)

12、150－x＝，即x＝140時等號成立， 所以Pmax＝－20＋120＝100. 故每套叢書售價定為140元時，單套叢書的利潤最大，為100元． [小結(jié)]利用基本不等式求解實際應(yīng)用題的方法 (1)此類型的題目往往較長，解題時需認(rèn)真閱讀，從中提煉出有用信息，建立數(shù)學(xué)模型，轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題求解． (2)當(dāng)運用基本不等式求最值時，若等號成立的自變量不在定義域內(nèi)時，就不能使用基本不等式求解，此時可根據(jù)變量的范圍用對應(yīng)函數(shù)的單調(diào)性求解． 3．某公司一年購買某種貨物600噸，每次購買x噸，運費為6萬元/次，一年的總存儲費用為4x萬元，要使一年的總運費與總存儲費用之和最小，則x的值是______

13、__． [解析]一年的總運費為6×＝(萬元)． 一年的總存儲費用為4x萬元． 總運費與總存儲費用的和為萬元． 因為＋4x≥2＝240， 當(dāng)且僅當(dāng)＝4x，即x＝30時取得等號， 所以當(dāng)x＝30時，一年的總運費與總存儲費用之和最小． [答案]30 基本(均值)不等式的綜合應(yīng)用 一、求參數(shù)值或取值范圍 例5　當(dāng)0

14、≥8，又＋≥k2－2k恒成立，所以k2－2k－8≤0，所以－2≤k≤4.所以實數(shù)k的取值范圍是[－2，4]．故選D. [答案]D 二、基本不等式與其他知識交匯的最值問題 例6　設(shè)正項等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若S2021＝4042，則＋的最小值為________． [解析]由等差數(shù)列的前n項和公式，得S2021＝＝4042，則a1＋a2021＝4.由等差數(shù)列的性質(zhì)得a9＋a2013＝4， 所以＋＝＝ ＝≥＝4， 當(dāng)且僅當(dāng)a2013＝3a9時等號成立，故所求最小值為4. [答案]4 [小結(jié)](1)應(yīng)用基本不等式判斷不等式是否成立：對所給不等式(或式子)變形，然后利用基本

15、不等式求解． (2)條件不等式的最值問題：通過條件轉(zhuǎn)化成能利用基本不等式的形式求解． (3)求參數(shù)的值或范圍：觀察題目特點，利用基本不等式確定相關(guān)成立條件，從而得參數(shù)的值或范圍． 4．已知函數(shù)f(x)＝x＋＋2的值域為(－∞，0]∪[4，＋∞)，則a的值是(　　) A.B.C．1D．2 [解析]由題意可得a>0， ①當(dāng)x>0時，f(x)＝x＋＋2≥2＋2，當(dāng)且僅當(dāng)x＝時取等號； ②當(dāng)x<0時，f(x)＝x＋＋2≤－2＋2， 當(dāng)且僅當(dāng)x＝－時取等號， 所以解得a＝1，故選C. [答案]C 5．已知各項均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}滿足a7＝a6＋2a5，若存在兩項am，an使得＝4a1，則＋的最小值為(　　) A.B.C.D. [解析]由各項均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}滿足a7＝a6＋2a5，可得a1q6＝a1q5＋2a1q4，所以q2－q－2＝0， 解得q＝2或q＝－1(舍去)． 因為＝4a1，所以qm＋n－2＝16， 所以2m＋n－2＝24，所以m＋n＝6. 所以＋＝(m＋n) ＝ ≥＝. 當(dāng)且僅當(dāng)＝時，等號成立， 又m＋n＝6，解得m＝2，n＝4，符合題意． 故＋的最小值為. [答案]A 10