2019-2020學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué) 第三章 函數(shù)的概念與性質(zhì) 3.1.2.1 函數(shù)的表示法學(xué)案 新人教A版必修第一冊(cè)
《2019-2020學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué) 第三章 函數(shù)的概念與性質(zhì) 3.1.2.1 函數(shù)的表示法學(xué)案 新人教A版必修第一冊(cè)》由會(huì)員分享,可在線(xiàn)閱讀,更多相關(guān)《2019-2020學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué) 第三章 函數(shù)的概念與性質(zhì) 3.1.2.1 函數(shù)的表示法學(xué)案 新人教A版必修第一冊(cè)(13頁(yè)珍藏版)》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、第1課時(shí) 函數(shù)的表示法 1.了解函數(shù)的三種表示法及各自的優(yōu)缺點(diǎn). 2.掌握求函數(shù)解析式的常見(jiàn)方法. 3.嘗試作圖并從圖象上獲取有用的信息. 溫馨提示:列表法、圖象法和解析法是從三個(gè)不同的角度刻畫(huà)自變量與函數(shù)值的對(duì)應(yīng)關(guān)系,同一個(gè)函數(shù)可以用不同的方法表示. 1.①如圖是我國(guó)人口出生率變化曲線(xiàn): ②下表是大氣中氰化物濃度與污染源距離的關(guān)系表: 污染源距離 50 100 200 300 500 氰化物濃度 0.678 0.398 0.121 0.05 0.01 (1)實(shí)例①中的圖能表示兩個(gè)變量之間存在函數(shù)關(guān)系嗎?如果能,自變量是什么? (
2、2)實(shí)例②中的表格能表示兩個(gè)變量之間存在函數(shù)關(guān)系嗎?如果能,定義域是什么?值域是什么? (3)實(shí)例中的函數(shù)關(guān)系能否用解析式表示? [答案] (1)能.表示出生率是年份的函數(shù),其中年份為自變量 (2)能.表示濃度是距離的函數(shù),其中,定義域?yàn)閧50,100,200,300,500},值域?yàn)閧0.678,0.398,0.121,0.05,0.01} (3)不能.并不是所有的函數(shù)都有解析式 2.判斷正誤(正確的打“√”,錯(cuò)誤的打“×”) (1)任何一個(gè)函數(shù)都可以用列表法表示.( ) (2)任何一個(gè)函數(shù)都可以用解析法表示.( ) (3)函數(shù)f(x)=2x+1可以用圖象法表示.( )
3、 (4)函數(shù)的圖象一定是定義區(qū)間上一條連續(xù)不斷的曲線(xiàn).( ) [答案] (1)× (2)× (3)√ (4)× 題型一函數(shù)的表示法 【典例1】 某商場(chǎng)新進(jìn)了10臺(tái)彩電,每臺(tái)售價(jià)3000元,試求售出臺(tái)數(shù)x與收款數(shù)y之間的函數(shù)關(guān)系,分別用列表法、圖象法、解析法表示出來(lái). [思路導(dǎo)引] 把自變量與函數(shù)值的對(duì)應(yīng)關(guān)系分別用表格、圖象和數(shù)學(xué)表達(dá)式加以刻畫(huà). [解] ①列表法 x(臺(tái)) 1 2 3 4 5 y(元) 3000 6000 9000 12000 15000 x(臺(tái)) 6 7 8 9 10 y(元) 18000 21000 24000
4、 27000 30000 ②圖象法:如圖所示. ③解析法:y=3000x,x∈{1,2,3,…,10}. 理解函數(shù)的表示法的3個(gè)關(guān)注點(diǎn) (1)列表法、圖象法、解析法均是函數(shù)的表示法,無(wú)論用哪種方式表示函數(shù),都必須滿(mǎn)足函數(shù)的概念. (2)判斷所給圖象、表格、解析式是否表示函數(shù)的關(guān)鍵在于是否滿(mǎn)足函數(shù)的定義. (3)函數(shù)的三種表示法互相兼容或補(bǔ)充,許多函數(shù)是可以用三種方法表示的,但在實(shí)際操作中,仍以解析法為主. 1.已知函數(shù)f(x),g(x)分別由下表給出. 則f[g(1)]的值為_(kāi)_______;當(dāng)g[f(x)]=2時(shí),x=________. [解析] 由于函數(shù)關(guān)系
5、是用表格形式給出的,知g(1)=3,∴f[g(1)]=f(3)=1.由于g(2)=2,∴f(x)=2, ∴x=1. [答案] 1 1 題型二函數(shù)的圖象 【典例2】 作出下列函數(shù)的圖象并求出其值域. (1)y=,x∈[2,+∞); (2)y=x2+2x,x∈[-2,2]. [思路導(dǎo)引] 通過(guò)“列表→描點(diǎn)→連線(xiàn)”作出函數(shù)圖象,借助圖象求出函數(shù)值域. [解] (1)列表: x 2 3 4 5 … y 1 … 畫(huà)圖象,當(dāng)x∈[2,+∞)時(shí),圖象是反比例函數(shù)y=的一部分(圖1),觀察圖象可知其值域?yàn)?0,1]. (2)列表: x -2 -1
6、 0 1 2 y 0 -1 0 3 8 畫(huà)圖象,圖象是拋物線(xiàn)y=x2+2x在-2≤x≤2之間的部分(圖2).由圖可得函數(shù)的值域是[-1,8]. 描點(diǎn)法作函數(shù)圖象的3個(gè)關(guān)注點(diǎn) (1)畫(huà)函數(shù)圖象時(shí)首先關(guān)注函數(shù)的定義域,即在定義域內(nèi)作圖. (2)圖象是實(shí)線(xiàn)或?qū)嶞c(diǎn),定義域外的部分有時(shí)可用虛線(xiàn)來(lái)襯托整個(gè)圖象. (3)要標(biāo)出某些關(guān)鍵點(diǎn),例如圖象的頂點(diǎn)、端點(diǎn)、與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)等.要分清這些關(guān)鍵點(diǎn)是實(shí)心點(diǎn)還是空心點(diǎn). [針對(duì)訓(xùn)練] 2.作出下列各函數(shù)的圖象: (1)y=1-x,x∈Z. (2)y=2x2-4x-3,0≤x<3. [解] (1)這個(gè)函數(shù)的圖象由一些點(diǎn)組成,
7、這些點(diǎn)都在直線(xiàn)y=1-x上,又x∈Z,從而y∈Z,因此y=1-x(x∈Z)的圖象是直線(xiàn)y=1-x上一些孤立的點(diǎn),如圖1所示. 圖1 圖2 (2)因?yàn)?≤x<3,所以這個(gè)函數(shù)的圖象是拋物線(xiàn)y=2x2-4x-3介于0≤x<3之間的一段,如圖2所示. 題型三函數(shù)解析式的求法 【典例3】 (1)已知f(x)是二次函數(shù),且滿(mǎn)足f(0)=1,f(x+1)-f(x)=2x,求f(x)的解析式; (2)已知函數(shù)f(+1)=x+2+1,求f(x)的解析式; (3)已知函數(shù)f(x)滿(mǎn)足2f(x)+f=3x,求f(x)的解析式. [思路導(dǎo)引] 求函數(shù)解析式,就是尋找函數(shù)三要素中
8、的對(duì)應(yīng)關(guān)系,即在已知自變量和函數(shù)值的條件下求對(duì)應(yīng)關(guān)系的表達(dá)式. [解] (1)設(shè)f(x)=ax2+bx+c(a≠0), ∵f(0)=1,∴c=1. ∴f(x+1)-f(x)=a(x+1)2+b(x+1)+c-(ax2+bx+c)=2ax+a+b. 又f(x+1)-f(x)=2x, ∴∴ ∴f(x)=x2-x+1. (2)解法一:∵f(+1)=x+2+1=(+1)2, ∴f(x)=x2. 又+1≥1,∴f(x)=x2(x≥1). 解法二:令t=+1,則x=(t-1)2. 由于x≥0,所以t≥1. 代入原式有f(t)=(t-1)2+2(t-1)+1=t2, 所以f(x)=
9、x2(x≥1). (3)∵2f(x)+f=3x,① ∴將x用替換, 得2f+f(x)=,② 聯(lián)立①②得 解得f(x)=2x-(x≠0), 即f(x)的解析式是f(x)=2x-(x≠0). [變式] (1)若將本例(2)中條件“f(+1)=x+2+1”變?yōu)椤癴=-1”,則f(x)的解析式是什么? (2)若將本例(3)中條件“2f(x)+f=3x”變?yōu)? “f(x)-2f(-x)=9x+2”,則f(x)的解析式是什么? [解] (1)f=2-2, 所以f(x)=x2-2x. 因?yàn)椤?,所以+1≠1,所以f(x)=x2-2x(x≠1). (2)由條件知,f(-x)-2f(x)
10、=-9x+2, 則 解得f(x)=3x-2. 求函數(shù)解析式的3種常用方法 (1)待定系數(shù)法:若已知函數(shù)的類(lèi)型,可用待定系數(shù)法求解,即由函數(shù)類(lèi)型設(shè)出函數(shù)解析式,再根據(jù)條件列方程(組),通過(guò)解方程(組)求出待定系數(shù),進(jìn)而求出函數(shù)解析式.如典例3(1). (2)換元法(有時(shí)可用“配湊法”):已知函數(shù)f[g(x)]的解析式求f(x)的解析式,可用換元法(或“配湊法”),即令g(x)=t,反解出x,然后代入f[g(x)]中求出f(t),從而求出f(x).如典例3(2). (3)解方程組法:已知關(guān)于f(x)與f或f(-x)的表達(dá)式,可根據(jù)已知條件再構(gòu)造出另外一個(gè)等式組成方程組,通過(guò)解方
11、程組求出f(x).如典例3(3). [針對(duì)訓(xùn)練] 3.已知函數(shù)f(x)是一次函數(shù),若f[f(x)]=4x+8,求f(x)的解析式. [解] (待定系數(shù)法)設(shè)f(x)=ax+b(a≠0), 則f[f(x)]=f(ax+b)=a(ax+b)+b=a2x+ab+b. 又f[f(x)]=4x+8, ∴a2x+ab+b=4x+8, 即解得或 ∴f(x)=2x+或f(x)=-2x-8. 4.已知f(x+1)=x2-3x+2,求f(x). [解] 解法一(配湊法):∵f(x+1)=x2-3x+2=(x+1)2-5x+1=(x+1)2-5(x+1)+6, ∴f(x)=x2-5x+6.
12、 解法二(換元法):令t=x+1,則x=t-1, ∴f(t)=(t-1)2-3(t-1)+2=t2-5t+6, 即f(x)=x2-5x+6. 課堂歸納小結(jié) 1.函數(shù)三種表示法的優(yōu)缺點(diǎn) 2.描點(diǎn)法畫(huà)函數(shù)圖象的步驟 (1)求函數(shù)定義域;(2)化簡(jiǎn)解析式;(3)列表;(4)描點(diǎn);(5)連線(xiàn). 3.求函數(shù)解析式常用的方法 (1)特定系數(shù)法;(2)換元法;(3)配湊法;(4)消元法. 1.y與x成反比,且當(dāng)x=2時(shí),y=1,則y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為( ) A.y= B.y=- C.y= D.y=- [解析] 設(shè)y=,當(dāng)x=2時(shí),y=1,所以1=,得k=2.故y=.
13、[答案] C 2.由下表給出函數(shù)y=f(x),則f[f(1)]等于( ) x 1 2 3 4 5 y 4 5 3 2 1 A.1 B.2 C.4 D.5 [解析] 由題意得f(1)=4,所以f[f(1)]=f(4)=2. [答案] B 3.小明騎車(chē)上學(xué),開(kāi)始時(shí)勻速行駛,途中因交通堵塞停留了一段時(shí)間后,為了趕時(shí)間加快速度行駛.與以上事件吻合得最好的圖象是( ) [解析] 距學(xué)校的距離應(yīng)逐漸減小,由于小明先是勻速運(yùn)動(dòng),故前段是直線(xiàn)段,途中停留時(shí)距離不變,后段加速,直線(xiàn)段比前段下降的快,故應(yīng)選C. [答案] C 4.若3f(x-1)+2f
14、(1-x)=2x,則f(x)的解析式為_(kāi)_________________. [解析] (換元法)令t=x-1,則x=t+1,t∈R, 原式變?yōu)?f(t)+2f(-t)=2(t+1),① 以-t代替t,①式變?yōu)?f(-t)+2f(t)=2(1-t),② 由①②消去f(-t)得f(t)=2t+,∴f(x)=2x+. [答案] f(x)=2x+ 5.已知f(x)=x+b,f(ax+1)=3x+2,求a,b的值. [解] 由f(x)=x+b,得f(ax+1)=ax+1+b. ∴ax+1+b=3x+2,∴a=3,b+1=2,即a=3,b=1. 課后作業(yè)(十七) 復(fù)習(xí)鞏固 一、選擇
15、題 1.一個(gè)面積為100 cm2的等腰梯形,上底長(zhǎng)為x cm,下底長(zhǎng)為上底長(zhǎng)的3倍,則把它的高y表示成x的函數(shù)為( ) A.y=50x(x>0) B.y=100x(x>0) C.y=(x>0) D.y=(x>0) [解析] 由·y=100,得2xy=100,∴y=(x>0). [答案] C 2.已知函數(shù)y=f(x)的對(duì)應(yīng)關(guān)系如下表,函數(shù)y=g(x)的圖象是如圖的曲線(xiàn)ABC,其中A(1,3),B(2,1),C(3,2),則f[g(2)]的值為( ) A.3 B.2 C.1 D.0 [解析] 由函數(shù)g(x)的圖象知,g(2)=1,則f[g(2)]=f(1)=
16、2. [答案] B 3.如果f=,則當(dāng)x≠0,1時(shí),f(x)等于( ) A. B. C. D.-1 [解析] 令=t,則x=,代入f=,則有f(t)==,故選B. [答案] B 4.若f(x)是一次函數(shù),2f(2)-3f(1)=5,2f(0)-f(-1)=1,則f(x)=( ) A.3x+2 B.3x-2 C.2x+3 D.2x-3 [解析] 設(shè)f(x)=ax+b,由題設(shè)有 解得所以選B. [答案] B 5.若f(1-2x)=(x≠0),那么f等于( ) A.1 B.3 C.15 D.30 [解析] 解法一:令1-2x=t,則x=(t≠1),∴f(
17、t)=-1(t≠1),即f(x)=-1(x≠1), ∴f=16-1=15. 解法二:令1-2x=,得x=, ∴f==15. [答案] C 二、填空題 6.已知函數(shù)f(x)=x-,且此函數(shù)圖象過(guò)點(diǎn)(5,4),則實(shí)數(shù)m的值為_(kāi)_______. [解析] 將點(diǎn)(5,4)代入f(x)=x-,得m=5. [答案] 5 7.已知函數(shù)f(2x+1)=3x+2,且f(a)=4,則a=________. [解析] 因?yàn)閒(2x+1)=(2x+1)+,所以f(a)=a+.又f(a)=4,所以a+=4,a=. [答案] 8.若2f(x)+f=2x+(x≠0),則f(2)=________.
18、 [解析] 令x=2得2f(2)+f=,令x=得2f+f(2)=,消去f得f(2)=. [答案] 三、解答題 9.作出下列函數(shù)的圖象,并指出其值域. (1)y=x2+x(-1≤x≤1); (2)y=(-2≤x≤1,且x≠0). [解] (1)用描點(diǎn)法可以作出函數(shù)的圖象如圖(1). 由圖可知y=x2+x(-1≤x≤1)的值域?yàn)? (2)用描點(diǎn)法可以作出函數(shù)的圖象如圖(2),由圖可知y=(-2≤x≤1,且x≠0)的值域?yàn)?-∞,-1]∪[2,+∞). 10.求下列函數(shù)的解析式: (1)已知函數(shù)f(x-1)=x2-4x,求函數(shù)f(x)的解析式; (2)已知f(x)是二次
19、函數(shù),且f(x+1)+f(x-1)=2x2-4x,求f(x)的解析式. [解] (1)解法一:已知f(x-1)=x2-4x,令x-1=t,則x=t+1,代入上式得,f(t)=(t+1)2-4(t+1)=t2-2t-3,即f(x)=x2-2x-3(x∈R). 解法二:∵f(x-1)=(x-1)2-2(x-1)-3,∴f(x)=x2-2x-3(x∈R). (2)設(shè)f(x)=ax2+bx+c(a≠0),則依題意代入, ∴a(x+1)2+b(x+1)+c+a(x-1)2+b(x-1)+c=2x2-4x,即2ax2+2bx+2a+2c=2x2-4x, 利用等式兩邊對(duì)應(yīng)項(xiàng)的系數(shù)相等,可得2a=2
20、,2b=-4,2a+2c=0, 解得,a=1,b=-2,c=-1, ∴f(x)的解析式為f(x)=x2-2x-1. 綜合運(yùn)用 11.一水池有2個(gè)進(jìn)水口,1個(gè)出水口,進(jìn)出水速度如圖甲、乙所示.某天0點(diǎn)到6點(diǎn),該水池的蓄水量如圖丙所示.(至少打開(kāi)一個(gè)水口) 給出以下3個(gè)論斷:①0點(diǎn)到3點(diǎn)只進(jìn)水不出水;②3點(diǎn)到4點(diǎn)不進(jìn)水只出水;③4點(diǎn)到6點(diǎn)不進(jìn)水不出水.則正確論斷的個(gè)數(shù)是( ) A.0 B.1 C.2 D.3 [解析] 由題意可知在0點(diǎn)到3點(diǎn)這段時(shí)間,每小時(shí)進(jìn)水量為2,即2個(gè)進(jìn)水口同時(shí)進(jìn)水且不出水,所以①正確;從丙圖可知3點(diǎn)到4點(diǎn)水量減少了1,所以應(yīng)該是有一個(gè)進(jìn)水口進(jìn)水,同
21、時(shí)出水口也出水,故②錯(cuò);當(dāng)兩個(gè)進(jìn)水口同時(shí)進(jìn)水,出水口也同時(shí)出水時(shí),水量保持不變,也可由題干中的“至少打開(kāi)一個(gè)水口”知③錯(cuò). [答案] B 12.從甲城市到乙城市t min的電話(huà)費(fèi)由函數(shù)g(t)=1.06×(0.75[t]+1)給出,其中t>0,[t]為t的整數(shù)部分,則從甲城市到乙城市5.5 min的電話(huà)費(fèi)為( ) A.5.04元 B.5.56元 C.5.84元 D.5.38元 [解析] g(5.5)=1.06(0.75×5+1)=5.035≈5.04. [答案] A 13.設(shè)f(x)=2x+a,g(x)=(x2+3),且g[f(x)]=x2-x+1,則a的值為( ) A
22、.1 B.-1 C.1或-1 D.1或-2 [解析] 因?yàn)間(x)=(x2+3),所以g[f(x)]=[(2x+a)2+3]=(4x2+4ax+a2+3)=x2-x+1,求得a=-1.故選B. [答案] B 14.已知x≠0,函數(shù)f(x)滿(mǎn)足f=x2+,則f(x)=________. [解析] f=x2+=2+2,所以 f(x)=x2+2. [答案] x2+2 15.已知函數(shù)f(x)=(a,b為常數(shù),且a≠0)滿(mǎn)足f(2)=1,且f(x)=x有唯一解,求函數(shù)y=f(x)的解析式和f[f(-3)]的值. [解] 因?yàn)閒(2)=1,所以=1,即2a+b=2,① 又因?yàn)閒(x)=x有唯一解,即=x有唯一解,所以ax2+(b-1)x=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根,所以Δ=(b-1)2=0,即b=1. 代入①得a=. 所以f(x)==. 所以f[f(-3)]=f=f(6)==. 13
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