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2019-2020學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué) 第三章 函數(shù)的概念與性質(zhì) 3.1.1.2 函數(shù)概念的應(yīng)用學(xué)案 新人教A版必修第一冊

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1、第2課時(shí) 函數(shù)概念的應(yīng)用 1.理解兩個(gè)函數(shù)為同一函數(shù)的概念. 2.會(huì)求一些簡單函數(shù)的定義域、值域. 1.常見函數(shù)的定義域和值域 2.函數(shù)的三要素 由函數(shù)的定義可知,一個(gè)函數(shù)的構(gòu)成要素為:定義域、 對應(yīng)關(guān)系和值域. 3.相同函數(shù) 值域是由定義域和對應(yīng)關(guān)系決定的,如果兩個(gè)函數(shù)的定義域和對應(yīng)關(guān)系相同,我們就稱這兩個(gè)函數(shù)是同一函數(shù).兩個(gè)函數(shù)如果僅對應(yīng)關(guān)系相同,但定義域不同,則它們 不是相同的函數(shù). 1.已知函數(shù)f(x)=. (1)函數(shù)f(x)的定義域是什么? (2)函數(shù)f(x)的值域是什么? [答案] (1)(-∞,-1]∪[1,+∞) (2)[0,+∞)

2、 2.判斷正誤(正確的打“√”,錯(cuò)誤的打“×”) (1)函數(shù)的定義域和對應(yīng)關(guān)系確定后,函數(shù)的值域也就確定了.(  ) (2)兩個(gè)函數(shù)相同指定義域和值域相同的函數(shù).(  ) (3)f(x)=3x+4與f(t)=3t+4是相同的函數(shù).(  ) (4)函數(shù)值域中每一個(gè)數(shù)在定義域中有唯一的數(shù)與之對應(yīng).(  ) (5)函數(shù)f(2x-1)的定義域指2x-1的取值范圍.(  ) [答案] (1)√ (2)× (3)√ (4)× (5)× 題型一同一函數(shù)的判斷 【典例1】 下列各組式子是否表示同一函數(shù)?為什么? (1)f(x)=|x|,φ(t)=; (2)y=,y=()2; (3)

3、y=·,u=; (4)y=,y=x-3. [思路導(dǎo)引] 兩個(gè)函數(shù)表示同一函數(shù)的關(guān)鍵條件是定義域相同,對應(yīng)關(guān)系一致. [解] (1)f(x)與φ(t)的定義域相同,又φ(t)==|t|,即f(x)與φ(t)的對應(yīng)關(guān)系也相同,∴f(x)與φ(t)是同一函數(shù). (2)y=的定義域?yàn)镽,y=()2的定義域?yàn)閧x|x≥0},兩者定義域不同,故y=與y=()2不是同一函數(shù). (3)y=·的定義域?yàn)閧x|-1≤x≤1},u=的定義域?yàn)閧v|-1≤v≤1},即兩者定義域相同.又∵y=·=,∴兩函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系也相同.故y=·與u=是同一函數(shù). (4)∵y==|x-3|與y=x-3的定義域相同,但對應(yīng)

4、關(guān)系不同, ∴y=與y=x-3不是同一函數(shù). 判斷兩個(gè)函數(shù)為同一函數(shù)的方法 判斷兩個(gè)函數(shù)是否為同一函數(shù),要先求定義域,若定義域不同,則不是同一函數(shù);若定義域相同,再化簡函數(shù)的解析式,看對應(yīng)關(guān)系是否相同. [針對訓(xùn)練] 1.與函數(shù)y=x-1為同一函數(shù)的是(  ) A.y= B.m=()2 C.y=x-x0 D.y= [解析] A中的x不能取0;B中的n≥1;C中的x不能取0;D化簡以后為y=t-1.故選D. [答案] D 2.下列各組函數(shù)中是同一函數(shù)的是(  ) A.y=x+1與y= B.y=x2+1與s=t2+1 C.y=2x與y=2x(x≥0) D.y

5、=(x+1)2與y=x2 [解析] 對于選項(xiàng)A,前者定義域?yàn)镽,后者定義域?yàn)閧x|x≠1},不是同一函數(shù);對于選項(xiàng)B,雖然變量不同,但定義域和對應(yīng)關(guān)系均相同,是同一函數(shù);對于選項(xiàng)C,雖然對應(yīng)關(guān)系相同,但定義域不同,不是同一函數(shù);對于選項(xiàng)D,雖然定義域相同,但對應(yīng)關(guān)系不同,不是同一函數(shù). [答案] B 題型二求函數(shù)值和值域 【典例2】 (1)已知f(x)=(x∈R,且x≠-1),g(x)=x2+2(x∈R). ①求f(2)、g(2)的值; ②求f[g(3)]的值. (2)求下列函數(shù)的值域: ①y=x+1,x∈{1,2,3,4,5}; ②y=x2-2x+3,x∈[0,3); ③

6、y=; ④y=2x-. [思路導(dǎo)引] (1)代入法求值;(2)結(jié)合解析式的特征選擇適當(dāng)?shù)姆椒ㄇ笾涤颍? [解] (1)①∵f(x)=,∴f(2)==. 又∵g(x)=x2+2,∴g(2)=22+2=6. ②g(3)=32+2=11, ∴f[g(3)]=f(11)==. (2)①(觀察法)∵x∈{1,2,3,4,5},分別代入求值,可得函數(shù)的值域?yàn)閧2,3,4,5,6}. ②(配方法)y=x2-2x+3=(x-1)2+2, 由x∈[0,3),可得函數(shù)的值域?yàn)閇2,6). ③(分離常數(shù)法)y===2+, 顯然≠0,∴y≠2. 故函數(shù)的值域?yàn)?-∞,2)∪(2,+∞). ④(

7、換元法)設(shè)=t, 則t≥0,且x=t2+1. ∴y=2(t2+1)-t=2t2-t+2=22+. ∵t≥0,∴y≥. 故函數(shù)的值域?yàn)? (1)函數(shù)求值的方法 ①已知f(x)的表達(dá)式時(shí),只需用a替換表達(dá)式中的x即得f(a)的值. ②求f[g(a)]的值應(yīng)遵循由里往外的原則. (2)求函數(shù)值域常用的4種方法 ①觀察法:對于一些比較簡單的函數(shù),其值域可通過觀察得到; ②配方法:當(dāng)所給函數(shù)是二次函數(shù)或可化為二次函數(shù)處理的函數(shù)時(shí),可利用配方法求其值域; ③分離常數(shù)法:此方法主要是針對有理分式,即將有理分式轉(zhuǎn)化為“反比例函數(shù)類”的形式,便于求值域; ④換元法:即運(yùn)用新元代換

8、,將所給函數(shù)化成值域易確定的函數(shù),從而求得原函數(shù)的值域.對于f(x)=ax+b+(其中a,b,c,d為常數(shù),且a≠0)型的函數(shù)常用換元法. [針對訓(xùn)練] 3.設(shè)函數(shù)f(x)=,若f(a)=2,則實(shí)數(shù)a=________. [解析] 由f(a)==2,得a=-1. [答案]?。? 4.求下列函數(shù)的值域: (1)y=-1; (2)y=; (3)y=x+. [解] (1)(觀察法) ∵≥0,∴-1≥-1. ∴y=-1的值域?yàn)閇-1,+∞). (2)(分離常數(shù)法) y== ==-. ∵≠0,∴y≠. ∴函數(shù)的值域?yàn)? (3)(換元法) 設(shè)u=,則x=(u≥0),

9、 ∴y=+u=(u≥0) 由u≥0知(u+1)2≥1,∴y≥. ∴函數(shù)y=x+的值域?yàn)? 題型三求抽象函數(shù)的定義域 【典例3】 已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閇1,3],求函數(shù)f(2x+1)的定義域. [思路導(dǎo)引] 定義域是x的取值范圍,f(x)中的x與f(2x+1)中的2x+1是相對應(yīng)的. [解] 因?yàn)楹瘮?shù)f(x)的定義域?yàn)閇1,3],即x∈[1,3],函數(shù)f(2x+1)中2x+1的范圍與函數(shù)f(x)中x的范圍相同,所以2x+1∈[1,3],所以x∈[0,1],即函數(shù)f(2x+1)的定義域是[0,1]. [變式] (1)若將本例條件改為“函數(shù)f(2x+1)的定義域?yàn)閇1,3]”,

10、求函數(shù)f(x)的定義域. (2)若將本例條件改為“函數(shù)f(1-x)的定義域?yàn)閇1,3]”,其他不變,如何求解? [解] (1)因?yàn)閤∈[1,3],所以2x+1∈[3,7],即函數(shù)f(x)的定義域是[3,7]. (2)因?yàn)楹瘮?shù)f(1-x)的定義域?yàn)閇1,3], 所以x∈[1,3],所以1-x∈[-2,0], 所以函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閇-2,0]. 由2x+1∈[-2,0],得x∈, 所以f(2x+1)的定義域?yàn)? 兩類抽象函數(shù)的定義域的求法 (1)已知f(x)的定義域,求f[g(x)]的定義域:若f(x)的定義域?yàn)閇a,b],則f[g(x)]中a≤g(x)≤b,從中解得x

11、的取值集合即為f[g(x)]的定義域. (2)已知f[g(x)]的定義域,求f(x)的定義域:若f[g(x)]的定義域?yàn)閇a,b],即a≤x≤b,求得g(x)的取值范圍,g(x)的值域即為f(x)的定義域. [針對訓(xùn)練] 5.若函數(shù)f(x)的定義域是[0,1],則函數(shù)f(2x)+f的定義域?yàn)開_______. [解析] 由得0≤x≤,所以函數(shù)f(2x)+f的定義域?yàn)? [答案]  6.若函數(shù)f(x2-1)的定義域?yàn)閇-3,-1],則f(x)的定義域?yàn)開_______. [解析] 由x∈[-3,-1],得x2-1∈[0,8],所以f(x)的定義域?yàn)閇0,8]. [答案] [0

12、,8] 課堂歸納小結(jié) 1.對同一函數(shù)的概念的理解 (1)函數(shù)有三個(gè)要素:定義域、值域、對應(yīng)關(guān)系.函數(shù)的定義域和對應(yīng)關(guān)系共同確定函數(shù)的值域,因此當(dāng)且僅當(dāng)兩個(gè)函數(shù)的定義域和對應(yīng)關(guān)系都分別相同時(shí),這兩個(gè)函數(shù)才是同一個(gè)函數(shù). (2)定義域和值域都分別相同的兩個(gè)函數(shù),它們不一定 是同一函數(shù),因?yàn)楹瘮?shù)對應(yīng)關(guān)系不一定相同.如y=x與y=3x的定義域和值域都是R,但它們的對應(yīng)關(guān)系不同,所以是兩個(gè)不同的函數(shù). 2.求函數(shù)值域的常用方法有:觀察法、配方法、分離常數(shù)法、換元法. 1.下列各組函數(shù)中,表示同一個(gè)函數(shù)的是(  ) A.y=x-1和y= B.y=x0和y=1 C.f(x)=(x-1

13、)2和g(x)=(x+1)2 D.f(x)=和g(m)= [解析] A中的函數(shù)定義域不同;B中y=x0的x不能取0;C中兩函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系不同,故選D. [答案] D 2.設(shè)f(x)=,則=(  ) A.1 B.-1 C. D.- [解析]?。剑剑健粒剑?. [答案] B 3.下列函數(shù)中,值域?yàn)?0,+∞)的是(  ) A.y= B.y= C.y= D.y=x2+1 [解析] y=的值域?yàn)閇0,+∞),y=的值域?yàn)?-∞,0)∪(0,+∞),y=x2+1的值域?yàn)閇1,+∞). [答案] B 4.已知函數(shù)f(x)的定義域是[0,2],則函數(shù)g(x)=的定義域是(  

14、) A.[0,1] B.[0,1) C.[0,1)∪(1,4] D.(0,1) [解析] 由f(x)的定義域是[0,2]知, 解得0≤x<1,所以g(x)=的定義域?yàn)閇0,1). [答案] B 5.已知函數(shù)f(x)=2x-3,x∈{x∈N|1≤x≤5},則函數(shù)f(x)的值域?yàn)開_______. [解析] ∵x∈{1,2,3,4,5} ∴f(x)=2x-3∈{-1,1,3,5,7}. ∴f(x)的值域?yàn)閧-1,1,3,5,7}. [答案] {-1,1,3,5,7} 課后作業(yè)(十六) 復(fù)習(xí)鞏固 一、選擇題 1.已知函數(shù)f(x)=x+,則f(2)+f(-2)的值是

15、(  ) A.-1 B.0 C.1 D.2 [解析] f(2)+f(-2)=2+-2-=0. [答案] B 2.下列函數(shù),值域?yàn)閇0,+∞)的是(  ) A.y=x+1(x>-1) B.y=x2 C.y=(x>0) D.y= [解析] y=x+1(x>-1)的值域?yàn)?0,+∞);y=x2的值域?yàn)閇0,+∞);y=(x>0)的值域?yàn)?0,+∞);y=的值域?yàn)?-∞,0)∪(0,+∞),故選B. [答案] B 3.下列函數(shù)與函數(shù)y=x是同一函數(shù)的是(  ) A.y=|x| B.y= C.y= D.y= [解析] 選項(xiàng)A和選項(xiàng)C中,函數(shù)的值域都是[0,+∞)

16、;選項(xiàng)D中,函數(shù)的定義域是(-∞,0)∪(0,+∞);選項(xiàng)B中函數(shù)的定義域和值域都和函數(shù)y=x相同,對應(yīng)關(guān)系也等價(jià),因此選B. [答案] B 4.已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閇-1,2),則函數(shù)f(x-1)的定義域?yàn)?  ) A.[-1,2) B.[0,2) C.[0,3) D.[-2,1) [解析] ∵f(x)的定義域?yàn)閇-1,2), ∴-1≤x-1<2,得0≤x<3, ∴f(x-1)的定義域?yàn)閇0,3). [答案] C 5.函數(shù)y=的值域是(  ) A.(-∞,5) B.(5,+∞) C.(-∞,5)∪(5,+∞) D.(-∞,1)∪(1,+∞) [解

17、析] ∵y===5+,且≠0,∴y≠5,即函數(shù)的值域?yàn)?-∞,5)∪(5,+∞). [答案] C 二、填空題 6.設(shè)函數(shù)f(x)=x2-2x-1,若f(a)=2,則實(shí)數(shù)a=________. [解析] 由f(a)=2,得a2-2a-1=2,解得a=-1或a=3. [答案]?。?或3 7.函數(shù)y=的定義域是A,函數(shù)y=的值域是B,則A∩B=__________________(用區(qū)間表示). [解析] 要使函數(shù)式y(tǒng)=有意義,只需x≠2,即A={x|x≠2};函數(shù)y==≥0,即B={y|y≥0},則A∩B={x|0≤x<2或x>2}. [答案] [0,2)∪(2,+∞) 8.已知

18、函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?-1,1),則函數(shù)g(x)=f+f(2x-1)的定義域是________. [解析] 由題意知即 ∴0

19、4x+6,x∈[1,5); (3)y=; (4)y=x-. [解] (1)∵x∈{1,2,3,4,5},∴(2x+1)∈{3,5,7,9,11},即所求函數(shù)的值域?yàn)閧3,5,7,9,11}. (2)y=x2-4x+6=(x-2)2+2. ∵x∈[1,5),∴其圖象如圖所示, 當(dāng)x=2時(shí),y=2;當(dāng)x=5時(shí),y=11. ∴所求函數(shù)的值域?yàn)閇2,11). (3)函數(shù)的定義域?yàn)閧x|x≠1},y==-=-5-,所以函數(shù)的值域?yàn)閧y|y≠-5}. (4)要使函數(shù)式有意義,需x+1≥0,即x≥-1,故函數(shù)的定義域?yàn)閧x|x≥-1}.設(shè)t=,則x=t2-1(t≥0),于是y=t2-1

20、-t=2-,又t≥0,故y≥-,所以函數(shù)的值域?yàn)閧y|y≥-}. 綜合運(yùn)用 11.函數(shù)f(x)=(x∈R)的值域是(  ) A.(0,1) B.(0,1] C.[0,1) D.[0,1] [解析] 由于x∈R,所以x2+1≥1,0<≤1,即0

21、選項(xiàng),f(x+1)=,f(x)+1=+1,不成立.對于D選項(xiàng),f(x+1)=|x+1|,f(x)+1=|x|+1,不成立. [答案] A 13.若函數(shù)f(2x-1)的定義域?yàn)閇0,1),則函數(shù)f(1-3x)的定義域?yàn)開_______. [解] 解法一(過渡搭橋):因?yàn)閒(2x-1)的定義域?yàn)閇0,1),即0≤x<1,所以-1≤2x-1<1.所以f(x)的定義域?yàn)閇-1,1).所以-1≤1-3x<1,解得0

22、x-1與1-3x整體范圍一致,故-1≤1-3x<1,解得0

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