第七章 不等式 [知識體系p98] 第36講　不等關(guān)系與不等式 【課程要求】 1．了解現(xiàn)實(shí)世界和日常生活中的不等關(guān)系． 2．了解不等式(組)的實(shí)際背景． 3．掌握不等式的性質(zhì)及應(yīng)用． 對應(yīng)學(xué)生用書p98 【基礎(chǔ)檢測】 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1．判斷下面結(jié)論是否正確(請?jiān)诶ㄌ栔写颉啊獭被颉?#215;”) (1)兩個實(shí)數(shù)a，b之間，有且只有a>b，a＝b，a<b三種關(guān)系中的一種．(　　) (2)若>1，則a>b.(　　) (3)一個不等式的兩邊同時(shí)加上或乘同一個數(shù)，不等號方向不變．(　　) (4)一個非零實(shí)數(shù)越大，則其倒數(shù)就越?。?　　) (5)同向不等式具有可加性和可乘性．(　　) (6)a>b>0，c>d>0?>.(　　) (7)若ab>0，則a>b?<.(　　) [答案] (1)√　(2)×　(3)×　(4)×　(5)×　(6)√　(7)√ 2．[必修5p74T3]若a，b都是實(shí)數(shù)，則“－>0”是“a2－b2>0”的(　　) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 [解析]－>0?>?a>b≥0?a2>b2， 但由a2－b2>0?/?。?gt;0. 則“>”是“a2－b2>0”的充分不必要條件，故選A. [答案]A 3．[必修5p75B組T1]若0<a<b，且a＋b＝1，則將a，b，，2ab，a2＋b2按從小到大排列為________________． [解析]∵0<a<b且a＋b＝1， ∴a<<b<1，∴2b>1且2a<1， ∴a<2b·a＝2a(1－a)＝－2a2＋2a ＝－2＋<. 即a<2ab<， 又a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝1－2ab>1－＝， 即a2＋b2>， a2＋b2－b＝(1－b)2＋b2－b＝(2b－1)(b－1)， 又2b－1>0，b－1<0，∴a2＋b2－b<0， ∴a2＋b2<b， 綜上，a<2ab<<a2＋b2<b. [答案]a<2ab<<a2＋b2<b 4．設(shè)a，b∈R，則“a>2且b>1”是“a＋b>3且ab>2”的(　　) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 [解析]若a>2且b>1，則由不等式的同向可加性可得a＋b>2＋1＝3，由不等式的同向同正可乘性可得ab>2×1＝2.即“a>2且b>1”是“a＋b>3且ab>2”的充分條件；反之，若“a＋b>3且ab>2”，則“a>2且b>1”不一定成立，如a＝6，b＝.所以“a>2且b>1”是“a＋b>3且ab>2”的充分不必要條件．故選A. [答案]A 5．若－<α<β<，則α－β的取值范圍是__________． [解析]由－<α<，－<－β<，α<β， 得－π<α－β<0. [答案] (－π，0) 【知識要點(diǎn)】 1．不等式的定義 用不等號“>，≥，＜，≤，≠”將兩個數(shù)學(xué)表達(dá)式連接起來，所得的式子叫做不等式． 2．實(shí)數(shù)大小順序與運(yùn)算性質(zhì)之間的關(guān)系 a－b>0?__a>b__；a－b＝0?a＝b；a－b<0?__a<b__． 3．不等式的基本性質(zhì) (1)對稱性：a>b?__b<a__； (2)傳遞性：a>b，b>c?__a>c__； (3)可加性：a>b?__a＋c>b＋c__；a>b，c>d?__a＋c>b＋d__； (4)可乘性：a>b，c>0?__ac>bc__；a>b，c<0?__ac<bc__；a>b>0，c>d>0?__ac>bd__； (5)倒數(shù)法則：a>b，ab>0?__<__； (6)乘方性質(zhì)：a>b>0?__an>bn__(n≥2，n∈N*)； (7)開方性質(zhì)：a>b>0?__>__(n≥2，n∈N*)． 4．不等式的一些常用性質(zhì) (1)倒數(shù)的性質(zhì) ①a>b，ab>0?__<__； ②a<0<b?__<__； ③a>b>0，0<c<d?__>__； ④0<a<x<b或a<x<b<0?__<____<__. (2)有關(guān)分?jǐn)?shù)的性質(zhì) 若a>b>0，m>0，則 ①<；>(b－m>0)； ②>；<(b－m>0)． 對應(yīng)學(xué)生用書p99 比較兩個數(shù)(式)的大小 例1　(1)已知實(shí)數(shù)a，b滿足a＋b>0，則x＝＋與y＝＋的大小關(guān)系為(　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A．x>yB．x<yC．x≤yD．x≥y [解析]x－y＝＋－＝＋ ＝(a－b)＝. ∵a＋b>0，(a－b)2≥0，∴≥0， ∴＋≥＋，∴x≥y. [答案]D (2)若a>0，b>0，則p＝(ab)，q＝abba的大小關(guān)系是(　　) A．p≥qB．p≤qC．p>qD．p<q [解析]因?yàn)閜>0，q>0，所以＝＝ab＝， 若a>b>0，則>1，a－b>0，∴>1； 若b>a>0，則0<<1，a－b<0，∴>1； 若a＝b，則p＝q；所以p≥q. [答案]A (3)若a＝，b＝，c＝，則(　　) A．a(chǎn)<b<cB．c<b<a C．c<a<bD．b<a<c [解析]對于函數(shù)f(x)＝，f′(x)＝， 易知當(dāng)x>e時(shí)，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減． 因?yàn)閑<3<4<5，所以f(3)>f(4)>f(5)， 即c<b<a. [答案]B [小結(jié)](1)作差法：一般步驟：①作差；②變形；③定號；④結(jié)論．其中關(guān)鍵是變形，常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式變成積式或者完全平方式．當(dāng)兩個式子都為正數(shù)時(shí)，有時(shí)也可以先平方再作差． (2)作商法：一般步驟：①作商；②變形；③判斷商與1的大??；④結(jié)論． (3)函數(shù)的單調(diào)性法：將要比較的兩個數(shù)作為一個函數(shù)的兩個函數(shù)值，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得出大小關(guān)系． 1．有三個房間需要粉刷，粉刷方案要求：每個房間只用一種顏色，且三個房間顏色各不相同．已知三個房間的粉刷面積(單位：m2)分別為x，y，z，且x＜y＜z，三種顏色涂料的粉刷費(fèi)用(單位：元/m2)分別為a，b，c，且a＜b＜c.在不同的方案中，最低的總費(fèi)用(單位：元)是(　　) A．a(chǎn)x＋by＋czB．a(chǎn)z＋by＋cx C．a(chǎn)y＋bz＋cxD．a(chǎn)y＋bx＋cz [解析]作差比較，∵x＜y＜z，a＜b＜c，則(az＋by＋cx)－(ax＋by＋cz)＝a(z－x)＋c(x－z)＝(a－c)(z－x)＜0，∴az＋by＋cx＜ax＋by＋cz；(az＋by＋cx)－(ay＋bz＋cx)＝a(z－y)＋b(y－z)＝(a－b)(z－y)＜0，∴az＋by＋cx＜ay＋bz＋cx；(ay＋bz＋cx)－(ay＋bx＋cz)＝b(z－x)＋c(x－z)＝(b－c)(z－x)＜0，∴ay＋bz＋cx＜ay＋bx＋cz，∴az＋by＋cx最小．故選B. [答案]B 2．已知等比數(shù)列{an}中，a1＞0，q＞0，前n項(xiàng)和為Sn，則與的大小關(guān)系為________． [解析]當(dāng)q＝1時(shí)，＝3，＝5，所以＜. 當(dāng)q＞0且q≠1時(shí)， －＝－ ＝＝＜0， 所以＜. 綜上可知＜. [答案]＜ 不等式的性質(zhì) 例2　(1)(多選)已知a，b，c滿足c<b<a，且ac<0，那么下列選項(xiàng)中一定成立的是(　　) A．a(chǎn)b>acB．(b－a)c>0 C．cb2<ab2D．a(chǎn)c(a－c)>0 [解析]由c<b<a，且ac<0，知a>0，c<0， 故由b>c，a>0?ab>ac，A正確； 由b<a，c<0?(b－a)c>0，B正確； 由c<a，b2≥0?cb2≤ab2，當(dāng)b＝0時(shí)取等號，故C錯誤； 由c<a，ac<0?ac(a－c)<0，D錯誤． [答案]AB (2)如果a<b<0，那么下列不等式成立的是(　　) A.<B．a(chǎn)b<b2 C．－ab<－a2D．－<－ [解析]法一(性質(zhì)判斷)：對于A項(xiàng)，由a<b<0，得b－a>0，ab>0，故－＝>0，>，故A項(xiàng)錯誤；對于B項(xiàng)，由a<b<0，得b(a－b)>0，ab>b2，故B項(xiàng)錯誤；對于C項(xiàng)，由a<b<0，得a(a－b)>0，a2>ab，即－ab>－a2，故C項(xiàng)錯誤；對于D項(xiàng)，由a<b<0，得a－b<0，ab>0，故－－＝<0，－<－成立，故D項(xiàng)正確． 法二(特殊值法)：令a＝－2，b＝－1，則＝－>＝－1，ab＝2>b2＝1，－ab＝－2>－a2＝－4，－＝<－＝1.故A、B、C項(xiàng)錯誤，D項(xiàng)正確． [答案]D [小結(jié)]不等式性質(zhì)應(yīng)用問題的三大常見類型及解題策略 (1)利用不等式性質(zhì)比較大?。煊洸坏仁叫再|(zhì)的條件和結(jié)論是基礎(chǔ)，靈活運(yùn)用是關(guān)鍵，要注意不等式性質(zhì)成立的前提條件． (2)與充要條件相結(jié)合問題．用不等式的性質(zhì)分別判斷p?q和q?p是否正確，要注意特殊值法的應(yīng)用． (3)與命題真假判斷相結(jié)合問題．解決此類問題除根據(jù)不等式的性質(zhì)求解外，還經(jīng)常采用特殊值驗(yàn)證的方法． 3．(多選)若<<0，則下列不等式正確的是(　　) A.< B．|a|＋b>0 C．a(chǎn)－>b－ D．lna2>lnb2 [解析]由<<0，可知b<a<0. A中，因?yàn)閍＋b<0，ab>0，所以<0，>0. 故有<，即A正確； B中，因?yàn)閎<a<0，所以－b>－a>0，故－b>|a|， 即|a|＋b<0，故B錯誤； C中，因?yàn)閎<a<0，又<<0，則－>－>0， 所以a－>b－，故C正確； D中，因?yàn)閎<a<0，根據(jù)y＝x2在(－∞，0)上為減函數(shù)，可得b2>a2>0，而y＝lnx在定義域(0，＋∞)上為增函數(shù)，所以lnb2>lna2，故D錯誤． [答案]AC 不等式性質(zhì)的應(yīng)用 例3　已知a>b>0，給出下列四個不等式： ①a2>b2；②2a>2b－1；③>－；④a3＋b3>2a2b. 其中一定成立的不等式為(　　) A．①②③B．①②④ C．①③④D．②③④ [解析]法一：由a>b>0可得a2>b2，①成立； 由a>b>0可得a>b－1，而函數(shù)f(x)＝2x在R上是增函數(shù)， ∴f(a)>f(b－1)，即2a>2b－1，②成立； ∵a>b>0，∴>， ∴()2－(－)2 ＝2－2b＝2(－)>0， ∴>－，③成立； 若a＝3，b＝2，則a3＋b3＝35，2a2b＝36， a3＋b3<2a2b，④不成立． 故選A. 法二：令a＝3，b＝2， 可以得到①a2>b2，②2a>2b－1，③>－均成立，而④a3＋b3>2a2b不成立，故選A. [答案]A [小結(jié)]判斷不等式是否成立的方法 (1)判斷不等式是否成立，需要逐一給出推理判斷或反例說明． (2)在判斷一個關(guān)于不等式的命題的真假時(shí)，可結(jié)合不等式的性質(zhì)，對數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行判斷． 例4　設(shè)f(x)＝ax2＋bx，若1≤f(－1)≤2，2≤f(1)≤4，則f(－2)的取值范圍是________． [解析]法一：設(shè)f(－2)＝mf(－1)＋nf(1)(m、n為待定系數(shù))，則4a－2b＝m(a－b)＋n(a＋b)， 即4a－2b＝(m＋n)a＋(n－m)b， 于是得解得 ∴f(－2)＝3f(－1)＋f(1)． 又∵1≤f(－1)≤2，2≤f(1)≤4， ∴5≤3f(－1)＋f(1)≤10，即5≤f(－2)≤10. 法二：由 得 ∴f(－2)＝4a－2b＝3f(－1)＋f(1)． 又∵1≤f(－1)≤2，2≤f(1)≤4， ∴5≤3f(－1)＋f(1)≤10，故5≤f(－2)≤10. 法三：由 確定的平面區(qū)域如圖陰影部分， 當(dāng)f(－2)＝4a－2b過點(diǎn)A時(shí)，取得最小值4×－2×＝5，當(dāng)f(－2)＝4a－2b過點(diǎn)B(3，1)時(shí)，取得最大值4×3－2×1＝10， ∴5≤f(－2)≤10. [答案] [5，10] [小結(jié)](1)此類問題的一般解法：先建立待求整體與已知范圍的整體的關(guān)系，最后通過“一次性”使用不等式的運(yùn)算求得整體范圍． (2)求范圍問題如果多次利用不等式有可能擴(kuò)大變量取值范圍． 4．(多選)若a<b<0，則下列不等式一定成立的是(　　) A.>B．a(chǎn)2>ab C.<D．a(chǎn)n>bn [解析] (特值法)取a＝－2，b＝－1，逐個檢驗(yàn)，可知A，D項(xiàng)均不正確； B項(xiàng)，a2－ab＝a(a－b)>0，所以a2>ab成立； C項(xiàng)，<?|b|(|a|＋1)<|a|(|b|＋1) ?|a||b|＋|b|<|a||b|＋|a|?|b|<|a|， ∵a<b<0，∴|b|<|a|成立． [答案]BC 5．已知1≤lgxy≤4，－1≤lg≤2，求lg的取值范圍． [解析]由1≤lgxy≤4，－1≤lg≤2， 得1≤lgx＋lgy≤4，－1≤lgx－lgy≤2， 而lg＝2lgx－lgy＝(lgx＋lgy)＋(lgx－lgy)， 所以－1≤lg≤5，即lg的取值范圍是[－1，5]． 對應(yīng)學(xué)生用書p100 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (2019·全國卷Ⅱ理)若a>b，則(　　) A．ln(a－b)>0B．3a<3b C．a(chǎn)3－b3>0D．|a|>|b| [解析]取a＝2，b＝1，滿足a>b，ln(a－b)＝0，知A錯，排除A；因?yàn)?＝3a>3b＝3，知B錯，排除B；取a＝1，b＝－2，滿足a>b，1＝<＝2，知D錯，排除D，因?yàn)閮绾瘮?shù)y＝x3是增函數(shù)，a>b，所以a3>b3，故選C. [答案]C 11