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必修1第二章基本初等函數(Ⅰ)知識點整理 〖2.1〗指數函數 2.1.1指數與指數冪的運算 （1）根式的概念 ①如果，且，那么叫做的次方根．當是奇數時，的次方根用符號表示；當是偶數時，正數的正的次方根用符號表示，負的次方根用符號表示；0的次方根是0；負數沒有次方根． ②式子叫做根式，這里叫做根指數，叫做被開方數．當為奇數時，為任意實數；當為偶數時，． ③根式的性質：；當為奇數時，；當為偶數時， ． （2）分數指數冪的概念 ①正數的正分數指數冪的意義是：且．0的正分數指數冪等于0．②正數的負分數指數冪的意義是：且．0的負分數指數冪沒有意義． 注意口訣：底數取倒數，指數取相反數． （3）分數指數冪的運算性質 ① ② ③ 2.1.2指數函數及其性質 （4）指數函數 函數名稱 指數函數 定義 0 1 0 1 函數且叫做指數函數 圖象 定義域 值域 （0,+∞） 過定點 圖象過定點（0,1），即當x=0時，y=1． 奇偶性 非奇非偶 單調性 在上是增函數 在上是減函數 函數值的 變化情況 y＞1(x＞0), y=1(x=0), 0＜y＜1(x＜0) y＞1(x＜0), y=1(x=0), 0＜y＜1(x＞0) 變化對 圖象的影 響 在第一象限內，越大圖象越高，越靠近y軸； 在第二象限內，越大圖象越低，越靠近x軸． 在第一象限內，越小圖象越高，越靠近y軸； 在第二象限內，越小圖象越低，越靠近x軸． 〖2.2〗對數函數 【2.2.1】對數與對數運算 （1） 對數的定義 ①若，則叫做以為底的對數，記作，其中叫做底數，叫做真數． ②負數和零沒有對數．③對數式與指數式的互化：． （2）幾個重要的對數恒等式:　　 ，，． （3）常用對數與自然對數：常用對數：，即；自然對數：，即（其中…）． （4）對數的運算性質 如果，那么 ①加法： ②減法： ③數乘： ④ ⑤ ⑥換底公式： 【2.2.2】對數函數及其性質 （5）對數函數 函數名稱 對數函數 定義 函數且叫做對數函數 圖象 0 1 0 1 定義域 值域 過定點 圖象過定點，即當時，． 奇偶性 非奇非偶 單調性 在上是增函數 在上是減函數 函數值的 變化情況 變化對 圖象的影響 在第一象限內，越大圖象越靠低，越靠近x軸 在第四象限內，越大圖象越靠高，越靠近y軸 在第一象限內，越小圖象越靠低，越靠近x軸 在第四象限內，越小圖象越靠高，越靠近y軸 (6)反函數的概念 設函數的定義域為，值域為，從式子中解出，得式子．如果對于在中的任何一個值，通過式子，在中都有唯一確定的值和它對應，那么式子表示是的函數，函數叫做函數的反函數，記作，習慣上改寫成． （7）反函數的求法 ①確定反函數的定義域，即原函數的值域；②從原函數式中反解出； ③將改寫成，并注明反函數的定義域． （8）反函數的性質 ①原函數與反函數的圖象關于直線對稱． ②函數的定義域、值域分別是其反函數的值域、定義域． ③若在原函數的圖象上，則在反函數的圖象上． ④一般地，函數要有反函數則它必須為單調函數． 〖2.3〗冪函數 （1）冪函數的定義 一般地，函數叫做冪函數，其中為自變量，是常數． （2）冪函數的圖象 （3）冪函數的性質 ①圖象分布：冪函數圖象分布在第一、二、三象限，第四象限無圖象．冪函數是偶函數時，圖象分布在第一、二象限(圖象關于軸對稱)；是奇函數時，圖象分布在第一、三象限(圖象關于原點對稱)；是非奇非偶函數時，圖象只分布在第一象限． ②過定點：所有的冪函數在都有定義，并且圖象都通過點． ③單調性：如果，則冪函數的圖象過原點，并且在上為增函數．如果，則冪函數的圖象在上為減函數，在第一象限內，圖象無限接近軸與軸． ④奇偶性：當為奇數時，冪函數為奇函數，當為偶數時，冪函數為偶函數．當（其中互質，和），若為奇數為奇數時，則是奇函數，若為奇數為偶數時，則是偶函數，若為偶數為奇數時，則是非奇非偶函數． ⑤圖象特征：冪函數，當時，若，其圖象在直線下方，若，其圖象在直線上方，當時，若，其圖象在直線上方，若，其圖象在直線下方． 〖補充知識〗二次函數 （1）二次函數解析式的三種形式 ①一般式：②頂點式： ③兩根式： （2）求二次函數解析式的方法 ①已知三個點坐標時，宜用一般式． ②已知拋物線的頂點坐標或與對稱軸有關或與最大（?。┲涤嘘P時，常使用頂點式． ③若已知拋物線與軸有兩個交點，且橫線坐標已知時，選用兩根式求更方便． （3）二次函數圖象的性質 ①二次函數的圖象是一條拋物線，對稱軸方程為頂點坐標是 ②當時，拋物線開口向上，函數在上遞減，在上遞增，當時，；當時，拋物線開口向下，函數在上遞增，在上遞減，當時，． ③二次函數當時，圖象與軸有兩個交點． （4）一元二次方程根的分布 一元二次方程根的分布是二次函數中的重要內容，這部分知識在初中代數中雖有所涉及，但尚不夠系統(tǒng)和完整，且解決的方法偏重于二次方程根的判別式和根與系數關系定理（韋達定理）的運用，下面結合二次函數圖象的性質，系統(tǒng)地來分析一元二次方程實根的分布． 設一元二次方程的兩實根為，且．令，從以下四個方面來分析此類問題：①開口方向： ②對稱軸位置： ③判別式： ④端點函數值符號． ①k＜x1≤x2 ②x1≤x2＜k ③x1＜k＜x2 af(k)＜0 ④k1＜x1≤x2＜k2 ⑤有且僅有一個根x1（或x2）滿足k1＜x1（或x2）＜k2 f(k1)f(k2)0，并同時考慮f(k1)=0或f(k2)=0這兩種情況是否也符合 ⑥k1＜x1＜k2≤p1＜x2＜p2 此結論可直接由⑤推出． （5）二次函數在閉區(qū)間上的最值 設在區(qū)間上的最大值為，最小值為，令． （Ⅰ）當時（開口向上） ①若，則 ②若，則 ③若，則 x y 0 > a O a b x 2 - = p q f(p) f(q) x y 0 > a O a b x 2 - = p q f(p) f(q) x y 0 > a O a b x 2 - = p q f(p) f(q) x y 0 > a O a b x 2 - = p q f(p) f(q) ①若，則 ②，則 x y 0 > a O a b x 2 - = p q f(p) f(q) (Ⅱ)當時(開口向下) ①若，則 ②若，則 ③若，則 x y 0 < a O a b x 2 - = p q f(p) f(q) x y 0 < a O a b x 2 - = p q f(p) f(q) x y 0 < a O a b x 2 - = p q f(p) f(q) ①若，則 ②，則． x y 0 < a O a b x 2 - = p q f(p) f(q) x y 0 < a O a b x 2 - = p q f(p) f(q) 8