必修1第二章基本初等函數(shù)(Ⅰ)知識(shí)點(diǎn)整理 〖2.1〗指數(shù)函數(shù) 2.1.1指數(shù)與指數(shù)冪的運(yùn)算 （1）根式的概念 ①如果，且，那么叫做的次方根．當(dāng)是奇數(shù)時(shí)，的次方根用符號(hào)表示；當(dāng)是偶數(shù)時(shí)，正數(shù)的正的次方根用符號(hào)表示，負(fù)的次方根用符號(hào)表示；0的次方根是0；負(fù)數(shù)沒有次方根． ②式子叫做根式，這里叫做根指數(shù)，叫做被開方數(shù)．當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，為任意實(shí)數(shù)；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，． ③根式的性質(zhì)：；當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)， ． （2）分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的概念 ①正數(shù)的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義是：且．0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于0．②正數(shù)的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義是：且．0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒有意義． 注意口訣：底數(shù)取倒數(shù)，指數(shù)取相反數(shù)． （3）分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì) ① ② ③ 2.1.2指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì) （4）指數(shù)函數(shù) 函數(shù)名稱 指數(shù)函數(shù) 定義 0 1 0 1 函數(shù)且叫做指數(shù)函數(shù) 圖象 定義域 值域 （0,+∞） 過定點(diǎn) 圖象過定點(diǎn)（0,1），即當(dāng)x=0時(shí)，y=1． 奇偶性 非奇非偶 單調(diào)性 在上是增函數(shù) 在上是減函數(shù) 函數(shù)值的 變化情況 y＞1(x＞0), y=1(x=0), 0＜y＜1(x＜0) y＞1(x＜0), y=1(x=0), 0＜y＜1(x＞0) 變化對(duì) 圖象的影 響 在第一象限內(nèi)，越大圖象越高，越靠近y軸； 在第二象限內(nèi)，越大圖象越低，越靠近x軸． 在第一象限內(nèi)，越小圖象越高，越靠近y軸； 在第二象限內(nèi)，越小圖象越低，越靠近x軸． 〖2.2〗對(duì)數(shù)函數(shù) 【2.2.1】對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)運(yùn)算 （1） 對(duì)數(shù)的定義 ①若，則叫做以為底的對(duì)數(shù)，記作，其中叫做底數(shù)，叫做真數(shù)． ②負(fù)數(shù)和零沒有對(duì)數(shù)．③對(duì)數(shù)式與指數(shù)式的互化：． （2）幾個(gè)重要的對(duì)數(shù)恒等式:　　 ，，． （3）常用對(duì)數(shù)與自然對(duì)數(shù)：常用對(duì)數(shù)：，即；自然對(duì)數(shù)：，即（其中…）． （4）對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì) 如果，那么 ①加法： ②減法： ③數(shù)乘： ④ ⑤ ⑥換底公式： 【2.2.2】對(duì)數(shù)函數(shù)及其性質(zhì) （5）對(duì)數(shù)函數(shù) 函數(shù)名稱 對(duì)數(shù)函數(shù) 定義 函數(shù)且叫做對(duì)數(shù)函數(shù) 圖象 0 1 0 1 定義域 值域 過定點(diǎn) 圖象過定點(diǎn)，即當(dāng)時(shí)，． 奇偶性 非奇非偶 單調(diào)性 在上是增函數(shù) 在上是減函數(shù) 函數(shù)值的 變化情況 變化對(duì) 圖象的影響 在第一象限內(nèi)，越大圖象越靠低，越靠近x軸 在第四象限內(nèi)，越大圖象越靠高，越靠近y軸 在第一象限內(nèi)，越小圖象越靠低，越靠近x軸 在第四象限內(nèi)，越小圖象越靠高，越靠近y軸 (6)反函數(shù)的概念 設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，值域?yàn)椋瑥氖阶又薪獬?，得式子．如果?duì)于在中的任何一個(gè)值，通過式子，在中都有唯一確定的值和它對(duì)應(yīng)，那么式子表示是的函數(shù)，函數(shù)叫做函數(shù)的反函數(shù)，記作，習(xí)慣上改寫成． （7）反函數(shù)的求法 ①確定反函數(shù)的定義域，即原函數(shù)的值域；②從原函數(shù)式中反解出； ③將改寫成，并注明反函數(shù)的定義域． （8）反函數(shù)的性質(zhì) ①原函數(shù)與反函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱． ②函數(shù)的定義域、值域分別是其反函數(shù)的值域、定義域． ③若在原函數(shù)的圖象上，則在反函數(shù)的圖象上． ④一般地，函數(shù)要有反函數(shù)則它必須為單調(diào)函數(shù)． 〖2.3〗冪函數(shù) （1）冪函數(shù)的定義 一般地，函數(shù)叫做冪函數(shù)，其中為自變量，是常數(shù)． （2）冪函數(shù)的圖象 （3）冪函數(shù)的性質(zhì) ①圖象分布：冪函數(shù)圖象分布在第一、二、三象限，第四象限無圖象．冪函數(shù)是偶函數(shù)時(shí)，圖象分布在第一、二象限(圖象關(guān)于軸對(duì)稱)；是奇函數(shù)時(shí)，圖象分布在第一、三象限(圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱)；是非奇非偶函數(shù)時(shí)，圖象只分布在第一象限． ②過定點(diǎn)：所有的冪函數(shù)在都有定義，并且圖象都通過點(diǎn)． ③單調(diào)性：如果，則冪函數(shù)的圖象過原點(diǎn)，并且在上為增函數(shù)．如果，則冪函數(shù)的圖象在上為減函數(shù)，在第一象限內(nèi)，圖象無限接近軸與軸． ④奇偶性：當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，冪函數(shù)為奇函數(shù)，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，冪函數(shù)為偶函數(shù)．當(dāng)（其中互質(zhì)，和），若為奇數(shù)為奇數(shù)時(shí)，則是奇函數(shù)，若為奇數(shù)為偶數(shù)時(shí)，則是偶函數(shù)，若為偶數(shù)為奇數(shù)時(shí)，則是非奇非偶函數(shù)． ⑤圖象特征：冪函數(shù)，當(dāng)時(shí)，若，其圖象在直線下方，若，其圖象在直線上方，當(dāng)時(shí)，若，其圖象在直線上方，若，其圖象在直線下方． 〖補(bǔ)充知識(shí)〗二次函數(shù) （1）二次函數(shù)解析式的三種形式 ①一般式：②頂點(diǎn)式： ③兩根式： （2）求二次函數(shù)解析式的方法 ①已知三個(gè)點(diǎn)坐標(biāo)時(shí)，宜用一般式． ②已知拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)或與對(duì)稱軸有關(guān)或與最大（?。┲涤嘘P(guān)時(shí)，常使用頂點(diǎn)式． ③若已知拋物線與軸有兩個(gè)交點(diǎn)，且橫線坐標(biāo)已知時(shí)，選用兩根式求更方便． （3）二次函數(shù)圖象的性質(zhì) ①二次函數(shù)的圖象是一條拋物線，對(duì)稱軸方程為頂點(diǎn)坐標(biāo)是 ②當(dāng)時(shí)，拋物線開口向上，函數(shù)在上遞減，在上遞增，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，拋物線開口向下，函數(shù)在上遞增，在上遞減，當(dāng)時(shí)，． ③二次函數(shù)當(dāng)時(shí)，圖象與軸有兩個(gè)交點(diǎn)． （4）一元二次方程根的分布 一元二次方程根的分布是二次函數(shù)中的重要內(nèi)容，這部分知識(shí)在初中代數(shù)中雖有所涉及，但尚不夠系統(tǒng)和完整，且解決的方法偏重于二次方程根的判別式和根與系數(shù)關(guān)系定理（韋達(dá)定理）的運(yùn)用，下面結(jié)合二次函數(shù)圖象的性質(zhì)，系統(tǒng)地來分析一元二次方程實(shí)根的分布． 設(shè)一元二次方程的兩實(shí)根為，且．令，從以下四個(gè)方面來分析此類問題：①開口方向： ②對(duì)稱軸位置： ③判別式： ④端點(diǎn)函數(shù)值符號(hào)． ①k＜x1≤x2 ②x1≤x2＜k ③x1＜k＜x2 af(k)＜0 ④k1＜x1≤x2＜k2 ⑤有且僅有一個(gè)根x1（或x2）滿足k1＜x1（或x2）＜k2 f(k1)f(k2)0，并同時(shí)考慮f(k1)=0或f(k2)=0這兩種情況是否也符合 ⑥k1＜x1＜k2≤p1＜x2＜p2 此結(jié)論可直接由⑤推出． （5）二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值 設(shè)在區(qū)間上的最大值為，最小值為，令． （Ⅰ）當(dāng)時(shí)（開口向上） ①若，則 ②若，則 ③若，則 x y 0 > a O a b x 2 - = p q f(p) f(q) x y 0 > a O a b x 2 - = p q f(p) f(q) x y 0 > a O a b x 2 - = p q f(p) f(q) x y 0 > a O a b x 2 - = p q f(p) f(q) ①若，則 ②，則 x y 0 > a O a b x 2 - = p q f(p) f(q) (Ⅱ)當(dāng)時(shí)(開口向下) ①若，則 ②若，則 ③若，則 x y 0 < a O a b x 2 - = p q f(p) f(q) x y 0 < a O a b x 2 - = p q f(p) f(q) x y 0 < a O a b x 2 - = p q f(p) f(q) ①若，則 ②，則． x y 0 < a O a b x 2 - = p q f(p) f(q) x y 0 < a O a b x 2 - = p q f(p) f(q) 8