《（新課標）2021版高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 第二章 函數(shù) 第8講 二次函數(shù)與冪函數(shù)導(dǎo)學(xué)案 新人教A版》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《（新課標）2021版高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 第二章 函數(shù) 第8講 二次函數(shù)與冪函數(shù)導(dǎo)學(xué)案 新人教A版（13頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、第8講　二次函數(shù)與冪函數(shù) 【課程要求】 1．理解并掌握二次函數(shù)的定義、圖象及性質(zhì)；會求二次函數(shù)的值域與最值． 2．運用二次函數(shù)、一元二次方程及一元二次不等式“三個二次”之間的聯(lián)系去解決有關(guān)問題． 3．了解冪函數(shù)的概念，結(jié)合函數(shù)y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝x的圖象和性質(zhì)解決有關(guān)問題． 對應(yīng)學(xué)生用書p19 【基礎(chǔ)檢測】 1．判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“√”或“×”) (1)二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c，x∈[a，b]的最值一定是.(　　) (2)二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c，x∈R不可能是偶函數(shù)．(　　) (3)在y＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，a決

2、定了圖象的開口方向和在同一直角坐標系中的開口大?。?　　) (4)函數(shù)y＝2x是冪函數(shù)．(　　) (5)如果冪函數(shù)的圖象與坐標軸相交，則交點一定是原點．(　　) (6)當(dāng)n<0時，冪函數(shù)y＝xn是定義域上的減函數(shù)．(　　) [答案] (1)×　(2)×　(3)√　(4)×　(5)√　(6)× 2．[必修1p79T1]已知冪函數(shù)f(x)＝k·xα的圖象過點，則k＋α等于(　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.B．1C.D．2 [解析]由冪函數(shù)的定義，知 ∴k＝1，α＝.∴k＋α＝. [答案]C 3．[必修1p44A組T9]已知函數(shù)f(x)＝x2＋4ax在

3、區(qū)間(－∞，6)內(nèi)單調(diào)遞減，則a的取值范圍是(　　) A．a(chǎn)≥3B．a(chǎn)≤3 C．a(chǎn)＜－3D．a(chǎn)≤－3 [解析]函數(shù)f(x)＝x2＋4ax的圖象是開口向上的拋物線，其對稱軸是x＝－2a，由函數(shù)在區(qū)間(－∞，6)內(nèi)單調(diào)遞減可知，區(qū)間(－∞，6)應(yīng)在直線x＝－2a的左側(cè)， ∴－2a≥6，解得a≤－3，故選D. [答案]D 4．冪函數(shù)f(x)＝xa2－10a＋23(a∈Z)為偶函數(shù)，且f(x)在區(qū)間(0，＋∞)上是減函數(shù)，則a等于(　　) A．3B．4C．5D．6 [解析]因為a2－10a＋23＝(a－5)2－2，f(x)＝x(a－5)2－2(a∈Z)為偶函數(shù)，且在區(qū)間(0，＋∞)

4、上是減函數(shù)，所以(a－5)2－2<0，從而a＝4，5，6，又(a－5)2－2為偶數(shù)，所以只能是a＝5，故選C. [答案]C 5．已知函數(shù)f(x)＝x2－2ax－3在區(qū)間[1，2]上單調(diào)遞增，則實數(shù)a的取值范圍是(　　) A．(－∞，1) B．(－∞，1] C．(2，＋∞) D．[2，＋∞) [解析]函數(shù)f(x)＝x2－2ax－3為對稱軸x＝a開口向上的二次函數(shù)， ∵在區(qū)間[1，2]上單調(diào)遞增， ∴區(qū)間[1，2]在對稱軸x＝a的右邊，即a≤1， ∴實數(shù)a的取值范圍是(－∞，1]． [答案]B 6．已知函數(shù)f(x)＝x2－2ax＋b(a>1)的定義域和值域都為[1，a]，則

5、b＝________． [解析]函數(shù)f(x)＝x2－2ax＋b(a＞1)的對稱軸方程為x＝－＝a>1， 所以函數(shù)f(x)＝x2－2ax＋b在[1，a]上為減函數(shù)， 又函數(shù)在[1，a]上的值域也為[1，a]， 則即 由①得：b＝3a－1，代入②得：a2－3a＋2＝0， 解得：a＝1(舍)，a＝2. 把a＝2代入b＝3a－1得b＝5. [答案]5 【知識要點】 1．五種常見冪函數(shù)的圖象與性質(zhì) 函數(shù) 特征 性質(zhì) y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x y＝x－1 圖象 定義域 R R R __{x|x≥0}__ __{x|x≠0}

6、__ 值域 R __{y|y≥0}__ R __{y|y≥0}__ __{y|y≠0}__ 奇偶性 __奇__ __偶__ __奇__ __非奇非偶__ __奇__ 單調(diào)性 __增__ __(－∞，0)減，__ __(0，＋∞)增__ __增__ __增__ __(－∞，0)和 __(0，＋∞)減__ 公共點 __(1，1)__ 　　2.二次函數(shù) (1)二次函數(shù)解析式的三種形式 ①一般式：f(x)＝__ax2＋bx＋c(a≠0)__． ②頂點式：f(x)＝__a(x－h(huán))2＋k(a≠0)__． ③零點式：f(x)＝__a(x

7、－x1)(x－x2)(a≠0)__． (2)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì) 解析式 f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0) f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0) 圖象 定義域 (－∞，＋∞) (－∞，＋∞) 值域 單調(diào)性 在x∈上單調(diào)遞減； 在x∈上單調(diào)遞增 在x∈上單調(diào)遞增； 在x∈上單調(diào)遞減 奇偶性 當(dāng)__b＝0__時為偶函數(shù)，當(dāng)b≠0時為非奇非偶函數(shù) 頂點 對稱性 函數(shù)的圖象關(guān)于x＝－對稱 3.二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值 若a＞0，二次函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c在閉區(qū)間[p，q]上的最大值為M，最小值為N.令

8、x0＝(p＋q)， ①若－q，則M＝f(p)，N＝__f(q)__； ③若p≤－≤x0，則M＝f(q)，N＝__f__； ④若x0<－≤q，則M＝f(p)，N＝f. 4．根與系數(shù)的關(guān)系 二次函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，當(dāng)Δ＝b2－4ac＞0時，圖象與x軸有兩個交點M1(x1，0)，M2(x2，0)，這里的x1，x2是方程f(x)＝0的兩根，且 |M1M2|＝|x1－x2|＝. 對應(yīng)學(xué)生用書p20 冪函數(shù)的圖象與性質(zhì) 例1　(1)若四個冪函數(shù)y＝xa，y＝xb，y＝xc，y＝xd在同一坐標系中的圖象如圖所

9、示，則a，b，c，d的大小關(guān)系是(　　) A．d＞c＞b＞aB．a(chǎn)＞b＞c＞d C．d＞c＞a＞bD．a(chǎn)＞b＞d＞c [解析]由冪函數(shù)的圖象可知，在(0，1)上冪函數(shù)的指數(shù)越大，函數(shù)圖象越接近x軸，由題圖知a＞b＞c＞d，故選B. [答案]B (2)若(2m＋1)>(m2＋m－1)，則實數(shù)m的取值范圍是(　　) A.B. C．(－1，2) D. [解析]因為函數(shù)y＝x的定義域為[0，＋∞)， 且在定義域內(nèi)為增函數(shù)， 所以不等式等價于 解2m＋1≥0，得m≥－； 解m2＋m－1≥0，得m≤或m≥. 解2m＋1>m2＋m－1，得－1

10、 [答案]D [小結(jié)](1)冪函數(shù)的形式是y＝xα(α∈R)，其中只有一個參數(shù)α，因此只需一個條件即可確定其解析式． (2)在區(qū)間(0，1)上，冪函數(shù)中指數(shù)越大，函數(shù)圖象越靠近x軸(簡記為“指大圖低”)，在區(qū)間(1，＋∞)上，冪函數(shù)中指數(shù)越大，函數(shù)圖象越遠離x軸． (3)在比較冪值的大小時，必須結(jié)合冪值的特點，選擇適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，借助其單調(diào)性進行比較，準確掌握各個冪函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵． 1．當(dāng)α∈時，冪函數(shù)y＝xα的圖象不可能經(jīng)過的象限是(　　) A．第二象限B．第三象限 C．第四象限D(zhuǎn)．第二、四象限 [解析]y＝x－1的圖象經(jīng)過第一、三象限，y＝x的圖象經(jīng)過第一象限

11、，y＝x3的圖象經(jīng)過第一、三象限．故選D. [答案]D 2．函數(shù)f(x)＝(m2－m－1)xm2＋m－3是冪函數(shù)，對任意x1，x2∈(0，＋∞)，且x1≠x2，滿足>0，若a，b∈R，且a＋b>0，ab<0，則f(a)＋f(b)的值(　　) A．恒大于0B．恒小于0 C．等于0D．無法判斷 [解析]由已知函數(shù)f(x)＝(m2－m－1)xm2＋m－3是冪函數(shù)， 可得m2－m－1＝1，解得m＝2或m＝－1， 當(dāng)m＝2時，f(x)＝x3，當(dāng)m＝－1時，f(x)＝x－3， 對任意的x1，x2∈(0，＋∞)，且x1≠x2， 滿足＞0， 函數(shù)是單調(diào)增函數(shù)，所以m＝2，此時f(x)＝x3

12、， 又a＋b>0，ab<0，可知a，b異號，且正數(shù)的絕對值大于負數(shù)的絕對值，則f(a)＋f(b)恒大于0. [答案]A 二次函數(shù)的解析式的求法 例2　(1)已知二次函數(shù)f(x)＝x2－bx＋c滿足f(0)＝3，對?x∈R，都有f(1＋x)＝f(1－x)成立，則f(x)的解析式為____________________． [解析]由f(0)＝3，得c＝3，又f(1＋x)＝f(1－x)， ∴函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x＝1對稱， ∴＝1，∴b＝2，∴f(x)＝x2－2x＋3. [答案]f(x)＝x2－2x＋3 (2)已知二次函數(shù)f(x)與x軸的兩個交點坐標為(0，0)和(－2，0

13、)，且有最小值－1，則f(x)＝____________． [解析]設(shè)函數(shù)的解析式為f(x)＝ax(x＋2)，所以f(x)＝ax2＋2ax，由＝－1， 得a＝1，所以f(x)＝x2＋2x. [答案]x2＋2x [小結(jié)]求二次函數(shù)解析式的方法 3．若函數(shù)f(x)＝(x＋a)(bx＋2a)(a，b∈R)是偶函數(shù)，且它的值域為(－∞，4]，則該函數(shù)的解析式f(x)＝____________． [解析]由f(x)是偶函數(shù)知f(x)圖象關(guān)于y軸對稱， ∴－a＝－，即b＝－2，∴f(x)＝－2x2＋2a2， 又f(x)的值域為(－∞，4]， ∴2a2＝4，故f(x)＝－2x2

14、＋4. [答案]－2x2＋4 4．已知二次函數(shù)f(x)滿足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，試確定此二次函數(shù)的解析式． [解析]法一：(利用二次函數(shù)的一般式) 設(shè)f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)． 由題意得解得 故所求二次函數(shù)為f(x)＝－4x2＋4x＋7. 法二：(利用二次函數(shù)的頂點式) 設(shè)f(x)＝a(x－m)2＋n. ∵f(2)＝f(－1)，∴拋物線對稱軸為x＝＝. ∴m＝，又根據(jù)題意函數(shù)有最大值8，∴n＝8， ∴y＝f(x)＝a＋8. ∵f(2)＝－1，∴a＋8＝－1，解得a＝－4， ∴f(x)＝－4＋8＝－4x2＋4x＋7. 法

15、三：(利用兩根式) 由已知f(x)＋1＝0的兩根為x1＝2，x2＝－1， 故可設(shè)f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)， 即f(x)＝ax2－ax－2a－1. 又函數(shù)有最大值ymax＝8，即＝8. 解得a＝－4或a＝0(舍去)， 故所求函數(shù)解析式為f(x)＝－4x2＋4x＋7. 二次函數(shù)的圖象與性質(zhì) 例3　(1)一次函數(shù)y＝ax＋b與二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c在同一坐標系中的圖象大致是(　　) [解析]若a>0，則一次函數(shù)y＝ax＋b為增函數(shù)，二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象開口向上，故可排除A；若a<0，一次函數(shù)y＝ax＋b為減函數(shù)，二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象

16、開口向下，故可排除D；對于選項B，看直線可知a>0，b>0，從而－<0，而二次函數(shù)的對稱軸在y軸的右側(cè)，故應(yīng)排除B，選C. [答案]C (2)若函數(shù)f(x)＝x2＋ax＋b在區(qū)間[0，1]上的最大值是M，最小值是m，則M－m(　　) A．與a有關(guān)，且與b有關(guān)B．與a有關(guān)，但與b無關(guān) C．與a無關(guān)，且與b無關(guān)D．與a無關(guān)，但與b有關(guān) [解析]f(x)＝－＋b， ①當(dāng)0≤－≤1時，f(x)min＝m＝f＝－＋b，f(x)max＝M＝max{f(0)，f(1)}＝max{b，1＋a＋b}， ∴M－m＝max與a有關(guān)，與b無關(guān)； ②當(dāng)－<0時，f(x)在[0，1]上單調(diào)遞增，∴M－m＝

17、f(1)－f(0)＝1＋a與a有關(guān)，與b無關(guān)； ③當(dāng)－>1時，f(x)在[0，1]上單調(diào)遞減，∴M－m＝f(0)－f(1)＝－1－a與a有關(guān)，與b無關(guān)． 綜上所述，M－m與a有關(guān)，但與b無關(guān)． [答案]B [小結(jié)]1.識別二次函數(shù)圖象應(yīng)學(xué)會“三看” 2．研究二次函數(shù)單調(diào)性的思路 (1)二次函數(shù)的單調(diào)性在其圖象對稱軸的兩側(cè)不同，因此研究二次函數(shù)的單調(diào)性時要依據(jù)其圖象的對稱軸進行分類討論． (2)若已知f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)在區(qū)間A上單調(diào)遞減(單調(diào)遞增)，則A?，即區(qū)間A一定在函數(shù)對稱軸的左側(cè)(右側(cè))． 3．求二次函數(shù)在給定區(qū)間上最值的方法 二次函數(shù)f(x)＝a

18、x2＋bx＋c(不妨設(shè)a>0)在區(qū)間[m，n]上的最大或最小值如下： (1)當(dāng)－∈[m，n]，即對稱軸在所給區(qū)間內(nèi)時： f(x)的最小值在對稱軸處取得，其最小值是f＝；若－≤，f(x)的最大值為f(n)；若－≥，f(x)的最大值為f(m)． (2)當(dāng)－?[m，n]，即給定的區(qū)間在對稱軸的一側(cè)時： f(x)在[m，n]上是單調(diào)函數(shù)．若－

19、與區(qū)間的關(guān)系確定討論的標準，然后轉(zhuǎn)化為上述(1)(2)兩種情形求最值． 5．若二次函數(shù)y＝kx2－4x＋2在區(qū)間[1，2]上是單調(diào)遞增函數(shù)，則實數(shù)k的取值范圍是(　　) A．[2，＋∞) B．(2，＋∞) C．(－∞，0) D．(－∞，2) [解析]二次函數(shù)y＝kx2－4x＋2的對稱軸為x＝，當(dāng)k>0時，要使函數(shù)y＝kx2－4x＋2在區(qū)間[1，2]上是增函數(shù)，只需≤1，解得k≥2. 當(dāng)k<0時，<0，此時拋物線的對稱軸在區(qū)間[1，2]的左側(cè)，該函數(shù)y＝kx2－4x＋2在區(qū)間[1，2]上是減函數(shù)，不符合要求．綜上可得實數(shù)k的取值范圍是[2，＋∞)． [答案]A 6．已知定義

20、在R上的奇函數(shù)f(x)滿足：當(dāng)x≥0時，f(x)＝x3，若不等式f(－4t)＞f(2m＋mt2)對任意實數(shù)t恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是(　　) A．(－∞，－) B．(－，0) C．(－∞，0)∪(，＋∞) D．(－∞，－)∪(，＋∞) [解析]由f(x)為奇函數(shù)，且x≥0時，f(x)＝x3，則當(dāng)x<0時，f(x)＝－f(－x)＝－(－x)3＝x3.所以f(x)在R上單調(diào)遞增，由不等式f(－4t)>f(2m＋mt2)對任意實數(shù)t恒成立，即－4t>2m＋mt2對任意實數(shù)t恒成立． 即mt2＋4t＋2m<0對t∈R恒成立，當(dāng)m≥0時，上述不等式顯然不恒成立，所以m<0，由Δ＝16－8

21、m2<0得m<－，故選A. [答案]A 三個二次的綜合應(yīng)用 例4　已知二次函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋1(a>0)，若f(－1)＝0，且對任意實數(shù)x均有f(x)≥0成立，設(shè)g(x)＝f(x)－kx. (1)當(dāng)x∈[－2，2]時，g(x)為單調(diào)函數(shù)，求實數(shù)k的取值范圍； (2)當(dāng)x∈[1，2]時，g(x)<0恒成立，求實數(shù)k的取值范圍． [解析] (1)∵f(x)＝ax2＋bx＋1(a>0)， f(－1)＝0且對任意實數(shù)x均有f(x)≥0成立； ∴x＝－＝－1，且a－b＋1＝0； 即b＝2a，且a－b＋1＝0， 解得a＝1，b＝2； ∴f(x)＝x2＋2x＋1. ∴g(x

22、)＝f(x)－kx＝x2＋(2－k)x＋1， ∵g(x)在[－2，2]上是單調(diào)函數(shù)， ∴x＝應(yīng)滿足：≥2或≤－2， 即k≥6或k≤－2. ∴k的取值范圍是{k|k≤－2或k≥6}． (2)若g(x)＝x2＋(2－k)x＋1，x∈[1，2]時，g(x)<0恒成立， 則即 解得k>， ∴k的取值范圍是. [小結(jié)]二次函數(shù)值恒大(小)于零，常結(jié)合二次函數(shù)的圖象和判別式來考慮；利用二次不等式與二次方程之間的關(guān)系，即二次不等式解集區(qū)間的端點值是對應(yīng)方程的解；關(guān)于二次方程根的分布問題，可以借助二次函數(shù)的圖象直觀考察，主要從判別式、對稱軸、端點值這三個方面入手考慮應(yīng)滿足的條件． 7．

23、已知函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0，b∈R，c∈R)． (1)若函數(shù)f(x)的最小值是f(－1)＝0，且c＝1，F(xiàn)(x)＝求F(2)＋F(－2)的值； (2)若a＝1，c＝0，且|f(x)|≤1在區(qū)間(0，1]上恒成立，試求b的取值范圍． [解析] (1)由已知c＝1，a－b＋c＝0，且－＝－1， 解得a＝1，b＝2， ∴f(x)＝(x＋1)2，∴F(x)＝ ∴F(2)＋F(－2)＝(2＋1)2－(－2＋1)2＝8. (2)由題可知，f(x)＝x2＋bx，原命題等價于－1≤x2＋bx≤1在(0，1]上恒成立， 即b≤－x且b≥－－x在(0，1]上恒成立． 又－x的最小

24、值為0，－－x的最大值為－2， ∴－2≤b≤0，故b的取值范圍是[－2，0]． 對應(yīng)學(xué)生用書p22 (2017·山東理)已知當(dāng)x∈[0，1]時，函數(shù)y＝(mx－1)2的圖象與y＝＋m的圖象有且只有一個交點，則正實數(shù)m的取值范圍是(　　) A．(0，1]∪[2，＋∞) B．(0，1]∪[3，＋∞) C．(0，]∪[2，＋∞) D．(0，]∪[3，＋∞) [解析]當(dāng)01時，0<<1，y＝(mx－1)2在上單調(diào)遞增，所以要有且僅有一個交點，需(m－1)2≥1＋m?m≥3，選B. [答案]B 13