5、中的點(diǎn)，這樣的概率模型就可以用幾何概型來求解．
(2)與角度有關(guān)的幾何概型的求法
①當(dāng)涉及射線的轉(zhuǎn)動，扇形中有關(guān)落點(diǎn)區(qū)域問題時，常以角度的大小作為區(qū)域度量來計算概率．
②與角度有關(guān)的幾何概型的概率計算公式為
P(A)＝.
③解決此類問題的關(guān)鍵是事件A在區(qū)域角度內(nèi)是均勻的，進(jìn)而判定事件的發(fā)生是等可能的．
④對于一個具體問題，能否用幾何概型的概率公式計算事件的概率，關(guān)鍵在于能否將問題幾何化，也可根據(jù)實際問題的具體情況，選取合適的參數(shù)建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，在此基礎(chǔ)上，將試驗的每一個結(jié)果一一對應(yīng)于該坐標(biāo)系中的每一點(diǎn)，使得全體結(jié)果構(gòu)成一個可度量的區(qū)域．
⑤如果試驗結(jié)果涉及的區(qū)域可用角表示，則可
6、以判定需利用與角度有關(guān)的幾何概型概率的計算公式解決．對于此類題，往往角的始邊是固定的，只要考慮終邊位置的情況即可．
[針對訓(xùn)練1] (1)在區(qū)間[－1,2]上隨機(jī)取一個數(shù)x，則|x|≤1的概率為________．
(2)某汽車站每隔15 min有一輛汽車到達(dá)，乘客到達(dá)車站的時刻是任意的，求一位乘客到達(dá)車站后等車時間超過10 min的概率．
[解析] (1)∵區(qū)間[－1,2]的長度為3，由|x|≤1得x∈[－1,1]，而區(qū)間[－1,1]的長度為2，x取每個值為隨機(jī)的，∴在[－1,2]上取一個數(shù)x，|x|≤1的概率P＝.
(2)設(shè)上一輛車于時刻T1到達(dá)，而下一輛車于時刻T2到達(dá)，則線段T1
7、T2的長度為15，設(shè)T是線段T1T2上的點(diǎn)，且T1T＝5，T2T＝10，如圖所示．
記“等車時間超過10 min”為事件A，則當(dāng)乘客到達(dá)車站的時刻t落在線段T1T上(不含端點(diǎn))時，事件A發(fā)生．
∴P(A)＝＝＝，
即該乘客等車時間超過10 min的概率是.
[答案] (1) (2)
題型二與面積有關(guān)的幾何概型問題
【典例2】 (1)如圖，正方形ABCD內(nèi)的圖形來自中國古代的太極圖．正方形內(nèi)切圓中的黑色部分和白色部分關(guān)于正方形的中心成中心對稱．在正方形內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自黑色部分的概率是( )
A. B. C. D.
(2) 如圖，矩形ABCD中，點(diǎn)A在x軸上
8、，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(1,0)，且點(diǎn)C與點(diǎn)D在函數(shù)f(x)＝的圖象上．若在矩形ABCD內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自陰影部分的概率等于( )
A. B.
C. D.
[解析] (1)不妨設(shè)正方形的邊長為2，則正方形的面積為4，正方形的內(nèi)切圓的半徑為1，面積為π.由于正方形內(nèi)切圓中的黑色部分和白色部分關(guān)于正方形的中心成中心對稱，所以黑色部分的面積為，故此點(diǎn)取自黑色部分的概率為＝，故選B.
(2)易知點(diǎn)C的坐標(biāo)為(1,2)，點(diǎn)D的坐標(biāo)為(－2,2)，所以矩形ABCD的面積為6，陰影部分的面積為，故所求概率為.
[答案] (1)B (2)B
(1)與面積有關(guān)的幾何概型的概率公式
如果
9、試驗的結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域的幾何度量可用面積表示，則其概率的計算公式為：
P(A)＝.
(2)解與面積相關(guān)的幾何概型問題的三個關(guān)鍵點(diǎn)
①根據(jù)題意確認(rèn)是否是與面積有關(guān)的幾何概型問題；
②找出或構(gòu)造出隨機(jī)事件對應(yīng)的幾何圖形，利用圖形的幾何特征計算相關(guān)面積；
③套用公式，從而求得隨機(jī)事件的概率．
[針對訓(xùn)練2] 如圖，在矩形區(qū)域ABCD的A，C兩點(diǎn)處各有一個通信基站，假設(shè)其信號覆蓋范圍分別是扇形區(qū)域ADE和扇形區(qū)域CBF(該矩形區(qū)域內(nèi)無其他信號來源，基站工作正常)．若在該矩形區(qū)域內(nèi)隨機(jī)地選一地點(diǎn)，則該地點(diǎn)無信號的概率是( )
A．1－ B.－1
C．2－ D.
[解析] 由幾何概
10、型知所求的概率P＝＝＝1－.
[答案] A
題型三與體積有關(guān)的幾何概型的問題
【典例3】 一個多面體的直觀圖和三視圖如下圖所示，M是AB的中點(diǎn)，一只蜻蜓在幾何體ADF—BCE內(nèi)自由飛翔，則它飛入幾何體F—AMCD內(nèi)的概率為( )
A. B. C. D.
[解析] 由三視圖可知DA，DC，DF兩兩垂直，且DA＝DC＝DF＝a，
∴VF—AMCD＝S梯形AMCD·DF＝a3.
又VADF—BCE＝a3，
∴蜻蜓飛入幾何體F—AMCD內(nèi)的概率為P＝＝.
[答案] C
體積型幾何概型問題解法探秘
(1)如果試驗的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域可用體積來度量，我
11、們要結(jié)合問題的背景，選擇好觀察角度，準(zhǔn)確找出基本事件所占的體積及事件A占的體積．其概率的計算公式為：P(A)＝.
(2)解決此類問題一定要注意幾何概型的條件，并且要特別注意所求的概率是與體積有關(guān)還是與長度有關(guān)，不要將二者混淆．
[針對訓(xùn)練3] (1)一只蝴蝶(體積忽略不計)在一個長、寬、高分別為5,4,3的長方體內(nèi)自由飛行，若蝴蝶在飛行過程中始終保持與長方體的6個面的距離均大于1，則稱其為“安全飛行”，那么蝴蝶“安全飛行”的概率為( )
A. B.
C. D.
(2)一個靶子如圖所示，隨機(jī)地擲一個飛鏢扎在靶子上，假設(shè)飛鏢既不會落在靶心，也不會落在陰影部分與空白的交線上，現(xiàn)隨機(jī)向靶擲
12、飛鏢30次，則飛鏢落在陰影部分的次數(shù)約為( )
A．5 B．10
C．15 D．20
[解析] (1)長方體的體積為5×4×3＝60，蝴蝶“安全飛行”區(qū)域的體積為3×2×1＝6.根據(jù)幾何概型的概率計算公式，可得蝴蝶“安全飛行”的概率為＝.
(2)陰影部分對應(yīng)的圓心角度數(shù)和為60°，所以飛鏢落在陰影內(nèi)的概率為＝，飛鏢落在陰影內(nèi)的次數(shù)約為30×＝5.
[答案] (1)A (2)A
課堂歸納小結(jié)
1．幾何概型適用于試驗結(jié)果是無窮多且事件是等可能發(fā)生的概率模型．
2．幾何概型主要用于解決與長度、面積、體積有關(guān)的題目．
3．注意理解幾何概型與古典概型的區(qū)別.
4.理解如
13、何將實際問題轉(zhuǎn)化為幾何概型的問題，利用幾何概型公式求解，概率公式為
P(A)＝.
1．將一條5米長的繩子隨機(jī)地切斷為兩段，則兩段繩子都不短于1米的概率為( )
A. B. C. D.
[解析] 由題意，只要在距離兩端分別至少為1米處剪斷，滿足題意的位置有3米，由幾何概型公式得到所求概率為＝，故選C.
[答案] C
2．如圖，正方形ABCD的內(nèi)切圓中黑色部分和白色部分關(guān)于正方形對邊中點(diǎn)的連線對稱，在正方形內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自灰色部分的概率是( )
A. B.
C. D．4
[解析] 設(shè)正方形的邊長為2，根據(jù)幾何概型概率計算公式，此點(diǎn)取自灰色部分
14、的概率P＝＝.故選A.
[答案] A
3．在一球內(nèi)有一棱長為1的內(nèi)接正方體，一點(diǎn)在球內(nèi)運(yùn)動，則此點(diǎn)落在正方體內(nèi)部的概率為( )
A. B. C. D.
[解析] 由題意可得正方體的體積為V1＝1.又球的直徑是正方體的體對角線，故球的半徑R＝.球的體積V2＝
πR3＝π.則此點(diǎn)落在正方體內(nèi)的概率為P＝＝＝.
[答案] D
4．函數(shù)f(x)＝2x(x<0)，其值域為D，在區(qū)間(－1,2)上隨機(jī)取一個數(shù)x，則x∈D的概率是( )
A. B. C. D.
[解析] 函數(shù)f(x)＝2x(x<0)的值域為D＝(0,1)，長度為1，區(qū)間(－1,2)的長度為3，所以概率為.
15、
[答案] B
5．如圖，A是圓O上固定的一點(diǎn)，在圓上其他位置任取一點(diǎn)A′，連接AA′，它是一條弦，它的長度小于或等于半徑長度的概率為( )
A. B.
C. D.
[解析] 如圖，當(dāng)AA′的長度等于半徑長度時∠AOA′＝，由圓的對稱性及幾何概型得P＝＝.故選C.
[答案] C
課后作業(yè)(二十一)
(時間45分鐘)
學(xué)業(yè)水平合格練(時間25分鐘)
1．已知函數(shù)f(x)＝2x，若從區(qū)間[－2,2]上任取一個實數(shù)x，則使不等式f(x)>2成立的概率為( )
A. B. C. D.
[解析] 這是一個幾何概型，其中基本事件的總數(shù)構(gòu)成的區(qū)域?qū)?yīng)的長度是2－(
16、－2)＝4，由f(x)>2可得x>1，所以滿足題設(shè)的基本事件構(gòu)成的區(qū)域?qū)?yīng)的長度是2－1＝1，則使不等式f(x)>2成立的概率為.
[答案] A
2．某路口人行橫道的信號燈為紅燈和綠燈交替出現(xiàn)，紅燈持續(xù)時間為40 s．若一名行人來到該路口遇到紅燈，則至少需要等待15 s才出現(xiàn)綠燈的概率為( )
A. B. C. D.
[解析] 記“至少需要等待15 s才出現(xiàn)綠燈”為事件A，則P(A)＝＝.
[答案] B
3．已知ABCD為長方形，AB＝2，BC＝1，O為AB的中點(diǎn)，在長方形ABCD內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)P，則取到的點(diǎn)P到O的距離大于1的概率為( )
A. B．1－ C. D
17、．1－
[解析] 如圖所示，設(shè)取到的點(diǎn)P到O的距離大于1為事件M，則點(diǎn)P應(yīng)在陰影部分內(nèi)，陰影部分的面積為2×1－×π×12＝2－，所以P(M)＝＝1－.
[答案] B
4．在長為10 cm的線段AB上任取一點(diǎn)P，并以線段AP為邊作正方形，這個正方形的面積介于25 cm2與49 cm2之間的概率為( )
A. B. C. D.
[解析] 在線段AB上任取一點(diǎn)P，事件“正方形的面積介于25 cm2與49 cm2之間”等價于事件“5＜|AP|＜7”，則所求概率為＝.
[答案] B
5．如圖所示，有四個游戲盤，將它們水平放穩(wěn)后，向上面扔一顆小玻璃球，若小球落在陰影部分，則可中
18、獎，小明要想增加中獎機(jī)會，應(yīng)選擇的游戲盤是( )
[解析] A中獎概率為，B中獎概率為，C中獎概率為，D中獎概率為.
[答案] A
6．記函數(shù)f(x)＝的定義域為D.在區(qū)間[－4,5]上隨機(jī)取一個數(shù)x，則x∈D的概率是________．
[解析] 由6＋x－x2≥0，解得－2≤x≤3，則D＝[－2,3]，則所求概率為＝.
[答案]
7．水池的容積是20 m3，水池里的水龍頭A和B的水流速度都是1 m3/h，它們一晝夜(0～24 h)內(nèi)隨機(jī)開啟，則水池不溢水的概率為________．
[解析] 如圖所示，橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)分別表示A，B兩水龍頭開啟的時間，則陰影部分是滿足不溢水
19、的對應(yīng)區(qū)域，因為正方形區(qū)域的面積為24×24，陰影部分的面積是×20×20，所以所求的概率P＝＝.
[答案]
8．已知方程x2＋3x＋＋1＝0，若p在[0,10]中隨機(jī)取值，則方程有實數(shù)根的概率為________．
[解析] 因為總的基本事件是[0,10]內(nèi)的全部實數(shù)，所以基本事件總數(shù)為無限個，符合幾何概型的條件，事件對應(yīng)的測度為區(qū)間的長度，總的基本事件對應(yīng)區(qū)間[0,10]，長度為10，而事件“方程有實數(shù)根”應(yīng)滿足Δ≥0，即9－4×1×≥0，得p≤5，所以對應(yīng)區(qū)間[0,5]，長度為5，所以所求概率為＝.
[答案]
9．已知點(diǎn)M(x，y)滿足|x|≤1，|y|≤1.求點(diǎn)M落在圓
20、(x－1)2＋(y－1)2＝1的內(nèi)部的概率．
[解] 如圖所示，區(qū)域Ω為圖中的正方形，
正方形的面積為4，且陰影部分是四分之一圓，其面積為π，則點(diǎn)M落在圓(x－1)2＋(y－1)2＝1的內(nèi)部的概率為＝.
10．在街道旁邊有一游戲：在鋪滿邊長為9 cm的正方形塑料板的寬廣地面上，擲一枚半徑為1 cm的小圓板．規(guī)則如下：每擲一次交5角錢，若小圓板壓在邊上，可重擲一次；若擲在正方形內(nèi)，需再交5角錢才可玩；若壓在正方形塑料板的頂點(diǎn)上，可獲得一元錢．試問：
(1)小圓板壓在塑料板的邊上的概率是多少？
(2)小圓板壓在塑料板頂點(diǎn)上的概率是多少？
[解] (1)如圖(1)所示，因為O落在正方
21、形ABCD內(nèi)任何位置是等可能的，小圓板與正方形塑料板ABCD的邊相交接是在圓板的中心O到與它靠近的邊的距離不超過1 cm時，所以O(shè)落在圖中陰影部分時，小圓板就能與塑料板ABCD的邊相交接，這個范圍的面積等于92－72＝32(cm2)，因此所求的概率是＝.
(2)小圓板與正方形的頂點(diǎn)相交接是在圓心O與正方形的頂點(diǎn)的距離不超過小圓板的半徑1 cm時，如圖(2)陰影部分，四塊合起來面積為π cm2，故所求概率是.
應(yīng)試能力等級練(時間20分鐘)
11．在區(qū)間[0,1]上隨機(jī)取兩個數(shù)x，y，記p1為事件“x＋y≥”的概率，p2為事件“|x－y|≤”的概率，p3為事件“xy≤”的概率，則(
22、)
A．p1
23、y＝kx與圓(x－5)2＋y2＝9相交，則有圓心到直線的距離d＝<3，
即－S△ABC，所以|PB|>|AB|，故△PBC的面積大于的概率是.
[答案]
14．已知0
24、由題知所有基本事件構(gòu)成的集合為Ω＝{(x，y)|0
2019-2020學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第3章 概率 3-3-1 幾何概型學(xué)案 新人教A版必修3
