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(浙江專用版)2022-2023學年高中數(shù)學 第一章 三角函數(shù) 1.4.2 正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質(二)學案 新人教A版必修2

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1、(浙江專用版)2022-2023學年高中數(shù)學 第一章 三角函數(shù) 1.4.2 正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質(二)學案 新人教A版必修2 學習目標 1.掌握y=sin x,y=cos x的最大值與最小值,并會求簡單三角函數(shù)的值域和最值.2.掌握y=sin x,y=cos x的單調(diào)性,并能利用單調(diào)性比較大小.3.會求函數(shù)y=Asin(ωx+φ)及y=Acos(ωx+φ)的單調(diào)區(qū)間. 知識點一 正弦、余弦函數(shù)的定義域、值域 觀察下圖中的正弦曲線和余弦曲線. 正弦曲線: 余弦曲線: 可得如下性質: 由正弦、余弦曲線很容易看出正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的定義域都是實數(shù)集R,值域都是[-1,1

2、]. 對于正弦函數(shù)y=sin x,x∈R,有: 當且僅當x=+2kπ,k∈Z時,取得最大值1; 當且僅當x=-+2kπ,k∈Z時,取得最小值-1. 對于余弦函數(shù)y=cos x,x∈R,有: 當且僅當x=2kπ,k∈Z時,取得最大值1; 當且僅當x=(2k+1)π,k∈Z時,取得最小值-1. 知識點二 正弦、余弦函數(shù)的單調(diào)性 思考1 觀察正弦函數(shù)y=sin x,x∈的圖象.正弦函數(shù)在上函數(shù)值的變化有什么特點?推廣到整個定義域呢? 答案 觀察圖象可知: 當x∈時,曲線逐漸上升,是增函數(shù),sin x的值由-1增大到1; 當x∈時,曲線逐漸下降,是減函數(shù),sin x的值由1減

3、小到-1. 推廣到整個定義域可得 當x∈(k∈Z)時,正弦函數(shù)y=sin x是增函數(shù),函數(shù)值由-1增大到1; 當x∈(k∈Z)時,正弦函數(shù)y=sin x是減函數(shù),函數(shù)值由1減小到-1. 思考2 觀察余弦函數(shù)y=cos x,x∈[-π,π]的圖象. 余弦函數(shù)在[-π,π]上函數(shù)值的變化有什么特點?推廣到整個定義域呢? 答案 觀察圖象可知: 當x∈[-π,0]時,曲線逐漸上升,函數(shù)是增函數(shù),cos x的值由-1增大到1; 當x∈[0,π]時,曲線逐漸下降,函數(shù)是減函數(shù),cos x的值由1減小到-1. 推廣到整個定義域可得 當x∈[2kπ-π,2kπ],k∈Z時,余弦函數(shù)y=

4、cos x是增函數(shù),函數(shù)值由-1增大到1; 當x∈[2kπ,(2k+1)π],k∈Z時,余弦函數(shù)y=cos x是減函數(shù),函數(shù)值由1減小到-1. 思考3 正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是什么? 答案  y=sin x的增區(qū)間為,k∈Z,減區(qū)間為,k∈Z. y=cos x的增區(qū)間為[-π+2kπ,2kπ],k∈Z,減區(qū)間為[2kπ,π+2kπ],k∈Z. 梳理  解析式 y=sin x y=cos x 圖象 值域 [-1,1] [-1,1] 單調(diào)性 在,k∈Z上遞增,在,k∈Z上遞減 在[-π+2kπ,2kπ],k∈Z上遞增, 在[2kπ,π+2kπ],k∈Z

5、上遞減 最值 當x=+2kπ,k∈Z時,ymax=1;當x=-+2kπ,k∈Z時,ymin=-1 當x=2kπ,k∈Z時,ymax=1;當x=π+2kπ,k∈Z時,ymin=-1 1.正弦函數(shù)在定義域上是單調(diào)函數(shù).( × ) 提示 正弦函數(shù)不是定義域上的單調(diào)函數(shù). 2.正弦函數(shù)在第一象限是增函數(shù).( × ) 提示 正弦函數(shù)在第一象限不是增函數(shù),因為在第一象限,如-<,但sin=sin =,sin =,sin>sin . 3.存在實數(shù)x,使得cos x=.( × ) 提示 余弦函數(shù)最大值為1. 4.余弦函數(shù)y=cos x在[0,π]上是減函數(shù).( √ ) 提示 由余

6、弦函數(shù)的單調(diào)性可知正確. 類型一 求正弦、余弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間 例1 求函數(shù)y=2sin的單調(diào)遞增區(qū)間. 考點 正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的單調(diào)性 題點 正弦函數(shù)、余弦函數(shù)單調(diào)性的判斷 解 y=2sin=-2sin, 令z=x-,則y=-2sin z. 因為z是x的一次函數(shù),所以要求y=-2sin z的單調(diào)遞增區(qū)間,即求sin z的單調(diào)遞減區(qū)間, 即2kπ+≤z≤2kπ+(k∈Z). ∴2kπ+≤x-≤2kπ+(k∈Z), 即2kπ+≤x≤2kπ+(k∈Z), ∴函數(shù)y=2sin的單調(diào)遞增區(qū)間為(k∈Z). 反思與感悟 用整體替換法求函數(shù)y=Asin(ωx+φ)或y=Acos

7、(ωx+φ)的單調(diào)區(qū)間時,如果式子中x的系數(shù)為負數(shù),先利用誘導公式將x的系數(shù)變?yōu)檎龜?shù)再求其單調(diào)區(qū)間.求單調(diào)區(qū)間時,需將最終結果寫成區(qū)間形式. 跟蹤訓練1 求函數(shù)f(x)=2cos的單調(diào)遞增區(qū)間. 考點 正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的單調(diào)性 題點 正弦函數(shù)、余弦函數(shù)單調(diào)性的判斷 解 令-π+2kπ≤2x-≤2kπ,k∈Z, 解得-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z, 所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是,k∈Z. 類型二 正弦、余弦函數(shù)單調(diào)性的應用 命題角度1 利用正、余弦函數(shù)的單調(diào)性比較大小 例2 利用三角函數(shù)的單調(diào)性,比較下列各組數(shù)的大?。? (1)sin 196°與cos 156°; (

8、2)cos與cos. 考點 正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的單調(diào)性 題點 正弦函數(shù)、余弦函數(shù)單調(diào)性的應用 解 (1)sin 196°=sin(180°+16°)=-sin 16°, cos 156°=cos(180°-24°)=-cos 24°=-sin 66°. ∵0°<16°<66°<90°,且y=sin x在[0°,90°]上是增函數(shù), ∴sin 16°-sin 66°,即sin 196°>cos 156°. (2)cos=cos π=cos=cos π, cos=cos π=cos=cos . ∵0<<π<π,且y=cos x在[0,π

9、]上是減函數(shù), ∴cos π”連接) 考點 正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的單調(diào)性 題點 正弦函數(shù)、余弦函數(shù)單調(diào)性的應用 答案 cos 1>cos 2>cos 3 解析 由于0<1<2<3<π,而y=cos x在[0,π)上單調(diào)遞減,所以cos 1>cos 2>cos 3. 命題角度2 已知三角函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)范圍 例3 已

10、知ω是正數(shù),函數(shù)f(x)=2sin ωx在區(qū)間上是增函數(shù),求ω的取值范圍. 考點 正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的單調(diào)性 題點 正弦函數(shù)、余弦函數(shù)單調(diào)性的應用 解 由-+2kπ≤ωx≤+2kπ(k∈Z),ω>0,得 -+≤x≤+,k∈Z, ∴f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是,k∈Z. 根據(jù)題意,得?(k∈Z), 從而有解得0<ω≤. 故ω的取值范圍是. 反思與感悟 此類問題可先解出f(x)的單調(diào)區(qū)間,將問題轉化為集合間的包含關系,然后列不等式組求出參數(shù)范圍. 跟蹤訓練3 已知ω>0,函數(shù)f(x)=sin在上單調(diào)遞減,則ω的取值范圍是(  ) A. B. C. D.(0,2] 考點

11、 正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的單調(diào)性 題點 正弦函數(shù)、余弦函數(shù)單調(diào)性的應用 答案 A 解析 取ω=,f(x)=sin, 其減區(qū)間為,k∈Z, 顯然?,k∈Z,排除B,C. 取ω=2,f(x)=sin, 其減區(qū)間為,k∈Z, 顯然?,k∈Z,排除D. 類型三 正弦、余弦函數(shù)的值域或最值 例4 求函數(shù)f(x)=2sin2x+2sin x-,x∈的值域. 考點 正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的最大值與最小值 題點 正弦函數(shù)的最大值與最小值 解 令t=sin x,因為x∈, 所以t∈,則f(x)可化為 y=2t2+2t-=22-1,t∈, 所以當t=時,ymin=1, 當t=1時,y

12、max=, 故f(x)的值域是. 反思與感悟 一般函數(shù)的值域求法有:觀察法、配方法、判別式法、反比例函數(shù)法等.三角函數(shù)是函數(shù)的特殊形式,一般方法也適用,但要結合三角函數(shù)本身的性質. 常見的三角函數(shù)求值域或最值的類型有以下幾種: (1)形如y=sin(ωx+φ)的三角函數(shù),令t=ωx+φ,根據(jù)題中x的取值范圍,求出t的取值范圍,再利用三角函數(shù)的單調(diào)性、有界性求出y=sin t的最值(值域). (2)形如y=asin2x+bsin x+c(a≠0)的三角函數(shù),可先設t=sin x,將函數(shù)y=asin2x+bsin x+c(a≠0)化為關于t的二次函數(shù)y=at2+bt+c(a≠0),根據(jù)二

13、次函數(shù)的單調(diào)性求值域(最值). (3)對于形如y=asin x(或y=acos x)的函數(shù)的最值還要注意對a的討論. 跟蹤訓練4 已知函數(shù)f(x)=2asin x+b的定義域為,函數(shù)的最大值為1,最小值為-5,求a和b的值. 考點 正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的最大值與最小值 題點 正弦函數(shù)的最大值與最小值 解 ∵-≤x≤,∴-≤sin x≤1. 若a=0,不滿足題意. 若a>0,則解得 若a<0,則解得 故a=12-6,b=-23+12或a=-12+6,b=19-12. 1.函數(shù)y=cos x-1的最小值是(  ) A.0 B.1 C.-2 D.-1 考點 正弦函數(shù)、

14、余弦函數(shù)的最大值與最小值 題點 余弦函數(shù)的最大值與最小值 答案 C 解析 cos x∈[-1,1],所以y=cos x-1的最小值為-2. 2.函數(shù)y=sin 2x的單調(diào)遞減區(qū)間是(  ) A.(k∈Z) B.(k∈Z) C.(k∈Z) D.(k∈Z) 考點 正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的單調(diào)性 題點 正弦函數(shù)、余弦函數(shù)單調(diào)性的判斷 答案 B 解析 由2kπ+≤2x≤2kπ+,k∈Z,得kπ+≤x≤kπ+,k∈Z, ∴y=sin 2x的單調(diào)遞減區(qū)間是(k∈Z). 3.下列不等式中成立的是(  ) A.sin>sin B.sin 3>sin 2 C.sin π>sin

15、 D.sin 2>cos 1 考點 正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的單調(diào)性 題點 正弦函數(shù)、余弦函數(shù)單調(diào)性的應用 答案 D 解析 ∵sin 2=cos=cos, 且0<2-<1<π,∴cos>cos 1, 即sin 2>cos 1.故選D. 4.函數(shù)y=cos x在區(qū)間[-π,a]上為增函數(shù),則a的取值范圍是________. 考點 正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的單調(diào)性 題點 正弦函數(shù)、余弦函數(shù)單調(diào)性的應用 答案 (-π,0] 解析 因為y=cos x在[-π,0]上是增函數(shù),在[0,π]上是減函數(shù),所以只有-π

16、及取到最值時的自變量x的集合. 考點 正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的最大值與最小值 題點 正弦函數(shù)的最大值與最小值 解 ∵-1≤sin x≤1, ∴當sin x=-1,x=2kπ-,k∈Z, 即x=4kπ-π,k∈Z時,ymax=5, 此時自變量x的集合為{x|x=4kπ-π,k∈Z}; 當sin x=1,x=2kπ+,k∈Z, 即x=4kπ+π,k∈Z時,ymin=1, 此時自變量x的集合為{x|x=4kπ+π,k∈Z}. 1.求函數(shù)y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的單調(diào)區(qū)間的方法把ωx+φ看成一個整體,由2kπ-≤ωx+φ≤2kπ+(k∈Z)解出x的范圍,所得區(qū)間即

17、為增區(qū)間,由2kπ+≤ωx+φ≤2kπ+(k∈Z)解出x的范圍,所得區(qū)間即為減區(qū)間.若ω<0,先利用誘導公式把ω轉化為正數(shù)后,再利用上述整體思想求出相應的單調(diào)區(qū)間. 2.比較三角函數(shù)值的大小,先利用誘導公式把問題轉化為同一單調(diào)區(qū)間上的同名三角函數(shù)值的大小比較,再利用單調(diào)性作出判斷. 3.求三角函數(shù)值域或最值的常用方法 將y表示成以sin x(或cos x)為元的一次或二次等復合函數(shù),再利用換元或配方或利用函數(shù)的單調(diào)性等來確定y的范圍. 一、選擇題 1.當-≤x≤時,函數(shù)f(x)=2sin有(  ) A.最大值1,最小值-1 B.最大值1,最小值- C.最大值2,最小值-

18、2 D.最大值2,最小值-1 考點 正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的最大值與最小值 題點 正弦函數(shù)的最大值與最小值 答案 D 解析 因為-≤x≤,所以-≤x+≤, 所以-≤sin≤1,所以-1≤f(x)≤2. 2.下列函數(shù)中,周期為π,且在上為減函數(shù)的是(  ) A.y=sin B.y=cos C.y=sin D.y=cos 考點 正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的單調(diào)性 題點 正弦函數(shù)、余弦函數(shù)單調(diào)性的判斷 答案 A 3.下列關系式中正確的是(  ) A.sin 11°

19、sin 168°

20、弦函數(shù)的最大值與最小值 答案 B 解析 由y==2-, 當sin x=-1時,y=取得最小值-2. 5.(2017·全國Ⅲ)函數(shù)f(x)=sin+cos的最大值為(  ) A. B.1 C. D. 考點 正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的最大值與最小值 題點 正弦函數(shù)的最大值與最小值 答案 A 解析 ∵+=, ∴f(x)=sin+cos =sin+cos =sin+sin =sin≤. ∴f(x)max=. 故選A. 6.函數(shù)y=sin x的定義域為[a,b],值域為,則b-a的最大值與最小值之和等于(  ) A. B. C.2π D.4π 考點 正弦函數(shù)、余

21、弦函數(shù)的最大值與最小值 題點 正弦函數(shù)的最大值與最小值 答案 C 解析 作出y=sin x的一個簡圖,如圖所示, ∵函數(shù)的值域為, 且sin =sin =,sin =-1, ∴定義域[a,b]中,b-a的最小值為-=, 定義域[a,b]中,b-a的最大值為2π+-=, 故可得,最大值與最小值之和為2π. 7.若函數(shù)f(x)=sin ωx(ω>0)在區(qū)間上單調(diào)遞增,在區(qū)間上單調(diào)遞減,則ω的值可為(  ) A. B. C.2 D.3 考點 正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的單調(diào)性 題點 正弦函數(shù)、余弦函數(shù)單調(diào)性的應用 答案 A 解析 由題意知,=,即T=,=, ∴ω=

22、. 二、填空題 8.sin 1,sin 2,sin 3按從小到大排列的順序為__________. 考點 正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的單調(diào)性 題點 正弦函數(shù)、余弦函數(shù)單調(diào)性的應用 答案 sin 3

23、答案 [0,2] 解析 ∵-≤x≤,∴0≤2x+≤, ∴0≤sin≤1,∴y∈[0,2]. 10.(2017·紹興柯橋區(qū)期末)函數(shù)y=cos的單調(diào)遞增區(qū)間為____________________. 考點 正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的單調(diào)性 題點 正弦函數(shù)、余弦函數(shù)單調(diào)性的判斷 答案 (k∈Z) 11.若f(x)=2sin ωx(0<ω<1)在區(qū)間上的最大值是,則ω=________. 考點 正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的最大值與最小值 題點 正弦函數(shù)的最大值與最小值 答案  解析 ∵x∈,即0≤x≤,且0<ω<1, ∴0≤ωx≤<, ∵f(x)max=2sin =, ∴sin =,

24、=, 即ω=. 三、解答題 12.求下列函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間. (1)y=1-sin ;(2)y=sin. 考點 正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的單調(diào)性 題點 正弦函數(shù)、余弦函數(shù)單調(diào)性的判斷 解 (1)由2kπ+≤≤2kπ+π,k∈Z, 得4kπ+π≤x≤4kπ+3π,k∈Z. ∴y=1-sin 的單調(diào)遞增區(qū)間為[4kπ+π,4kπ+3π](k∈Z). (2)要求函數(shù)y=sin的單調(diào)遞增區(qū)間, 即求使y=sin>0且單調(diào)遞減的區(qū)間. ∴2kπ+≤-<2kπ+π,k∈Z, 整理得4kπ+≤x<4kπ+,k∈Z. ∴函數(shù)y=sin的單調(diào)遞增區(qū)間為,k∈Z. 13.求下列函數(shù)的最大值

25、和最小值. (1)f(x)=sin,x∈; (2)f(x)=-2cos2x+2sin x+3,x∈. 考點 正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的最大值與最小值 題點 正弦函數(shù)、余弦函數(shù)最值的綜合問題 解 (1)當x∈時,2x-∈, 由函數(shù)圖象知, f(x)=sin∈=. 所以,f(x)在上的最大值和最小值分別為1,-. (2)f(x)=-2(1-sin2x)+2sin x+3 =2sin2x+2sin x+1=22+. 因為x∈,所以≤sin x≤1. 當sin x=1時,ymax=5; 當sin x=時,ymin=. 所以,f(x)在上的最大值和最小值分別為5,. 四、探究與拓

26、展 14.已知奇函數(shù)f(x)在[-1,0]上單調(diào)遞減,α,β為銳角三角形兩內(nèi)角,則(  ) A.f(cos α)>f(cos β) B.f(sin α)>f(sin β) C.f(sin α)>f(cos β) D.f(sin α),∴>α>-β>0, ∴sin α>sin,即1>sin α>cos β>0, ∴-1<-sin α<-cos β<0. ∵奇函數(shù)f(x)在[-1,0]上單調(diào)遞減, ∴f(-sin α)>f(-cos β), ∴-f(sin α)>-f(cos β),∴f(sin α)0,∴f(x)max=a+b=, f(x)min=-a+b=-2. 由得

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