(浙江專用版)2022-2023學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第一章 三角函數(shù) 1.4.2 正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì)(二)學(xué)案 新人教A版必修2
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(浙江專用版)2022-2023學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第一章 三角函數(shù) 1.4.2 正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì)(二)學(xué)案 新人教A版必修2
(浙江專用版)2022-2023學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第一章 三角函數(shù) 1.4.2 正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì)(二)學(xué)案 新人教A版必修2
學(xué)習(xí)目標(biāo) 1.掌握y=sin x,y=cos x的最大值與最小值,并會求簡單三角函數(shù)的值域和最值.2.掌握y=sin x,y=cos x的單調(diào)性,并能利用單調(diào)性比較大小.3.會求函數(shù)y=Asin(ωx+φ)及y=Acos(ωx+φ)的單調(diào)區(qū)間.
知識點(diǎn)一 正弦、余弦函數(shù)的定義域、值域
觀察下圖中的正弦曲線和余弦曲線.
正弦曲線:
余弦曲線:
可得如下性質(zhì):
由正弦、余弦曲線很容易看出正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的定義域都是實(shí)數(shù)集R,值域都是[-1,1].
對于正弦函數(shù)y=sin x,x∈R,有:
當(dāng)且僅當(dāng)x=+2kπ,k∈Z時(shí),取得最大值1;
當(dāng)且僅當(dāng)x=-+2kπ,k∈Z時(shí),取得最小值-1.
對于余弦函數(shù)y=cos x,x∈R,有:
當(dāng)且僅當(dāng)x=2kπ,k∈Z時(shí),取得最大值1;
當(dāng)且僅當(dāng)x=(2k+1)π,k∈Z時(shí),取得最小值-1.
知識點(diǎn)二 正弦、余弦函數(shù)的單調(diào)性
思考1 觀察正弦函數(shù)y=sin x,x∈的圖象.正弦函數(shù)在上函數(shù)值的變化有什么特點(diǎn)?推廣到整個(gè)定義域呢?
答案 觀察圖象可知:
當(dāng)x∈時(shí),曲線逐漸上升,是增函數(shù),sin x的值由-1增大到1;
當(dāng)x∈時(shí),曲線逐漸下降,是減函數(shù),sin x的值由1減小到-1.
推廣到整個(gè)定義域可得
當(dāng)x∈(k∈Z)時(shí),正弦函數(shù)y=sin x是增函數(shù),函數(shù)值由-1增大到1;
當(dāng)x∈(k∈Z)時(shí),正弦函數(shù)y=sin x是減函數(shù),函數(shù)值由1減小到-1.
思考2 觀察余弦函數(shù)y=cos x,x∈[-π,π]的圖象.
余弦函數(shù)在[-π,π]上函數(shù)值的變化有什么特點(diǎn)?推廣到整個(gè)定義域呢?
答案 觀察圖象可知:
當(dāng)x∈[-π,0]時(shí),曲線逐漸上升,函數(shù)是增函數(shù),cos x的值由-1增大到1;
當(dāng)x∈[0,π]時(shí),曲線逐漸下降,函數(shù)是減函數(shù),cos x的值由1減小到-1.
推廣到整個(gè)定義域可得
當(dāng)x∈[2kπ-π,2kπ],k∈Z時(shí),余弦函數(shù)y=cos x是增函數(shù),函數(shù)值由-1增大到1;
當(dāng)x∈[2kπ,(2k+1)π],k∈Z時(shí),余弦函數(shù)y=cos x是減函數(shù),函數(shù)值由1減小到-1.
思考3 正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是什么?
答案 y=sin x的增區(qū)間為,k∈Z,減區(qū)間為,k∈Z.
y=cos x的增區(qū)間為[-π+2kπ,2kπ],k∈Z,減區(qū)間為[2kπ,π+2kπ],k∈Z.
梳理
解析式
y=sin x
y=cos x
圖象
值域
[-1,1]
[-1,1]
單調(diào)性
在,k∈Z上遞增,在,k∈Z上遞減
在[-π+2kπ,2kπ],k∈Z上遞增,
在[2kπ,π+2kπ],k∈Z上遞減
最值
當(dāng)x=+2kπ,k∈Z時(shí),ymax=1;當(dāng)x=-+2kπ,k∈Z時(shí),ymin=-1
當(dāng)x=2kπ,k∈Z時(shí),ymax=1;當(dāng)x=π+2kπ,k∈Z時(shí),ymin=-1
1.正弦函數(shù)在定義域上是單調(diào)函數(shù).( × )
提示 正弦函數(shù)不是定義域上的單調(diào)函數(shù).
2.正弦函數(shù)在第一象限是增函數(shù).( × )
提示 正弦函數(shù)在第一象限不是增函數(shù),因?yàn)樵诘谝幌笙?,如?lt;,但sin=sin =,sin =,sin>sin .
3.存在實(shí)數(shù)x,使得cos x=.( × )
提示 余弦函數(shù)最大值為1.
4.余弦函數(shù)y=cos x在[0,π]上是減函數(shù).( √ )
提示 由余弦函數(shù)的單調(diào)性可知正確.
類型一 求正弦、余弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間
例1 求函數(shù)y=2sin的單調(diào)遞增區(qū)間.
考點(diǎn) 正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的單調(diào)性
題點(diǎn) 正弦函數(shù)、余弦函數(shù)單調(diào)性的判斷
解 y=2sin=-2sin,
令z=x-,則y=-2sin z.
因?yàn)閦是x的一次函數(shù),所以要求y=-2sin z的單調(diào)遞增區(qū)間,即求sin z的單調(diào)遞減區(qū)間,
即2kπ+≤z≤2kπ+(k∈Z).
∴2kπ+≤x-≤2kπ+(k∈Z),
即2kπ+≤x≤2kπ+(k∈Z),
∴函數(shù)y=2sin的單調(diào)遞增區(qū)間為(k∈Z).
反思與感悟 用整體替換法求函數(shù)y=Asin(ωx+φ)或y=Acos(ωx+φ)的單調(diào)區(qū)間時(shí),如果式子中x的系數(shù)為負(fù)數(shù),先利用誘導(dǎo)公式將x的系數(shù)變?yōu)檎龜?shù)再求其單調(diào)區(qū)間.求單調(diào)區(qū)間時(shí),需將最終結(jié)果寫成區(qū)間形式.
跟蹤訓(xùn)練1 求函數(shù)f(x)=2cos的單調(diào)遞增區(qū)間.
考點(diǎn) 正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的單調(diào)性
題點(diǎn) 正弦函數(shù)、余弦函數(shù)單調(diào)性的判斷
解 令-π+2kπ≤2x-≤2kπ,k∈Z,
解得-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,
所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是,k∈Z.
類型二 正弦、余弦函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用
命題角度1 利用正、余弦函數(shù)的單調(diào)性比較大小
例2 利用三角函數(shù)的單調(diào)性,比較下列各組數(shù)的大?。?
(1)sin 196°與cos 156°;
(2)cos與cos.
考點(diǎn) 正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的單調(diào)性
題點(diǎn) 正弦函數(shù)、余弦函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用
解 (1)sin 196°=sin(180°+16°)=-sin 16°,
cos 156°=cos(180°-24°)=-cos 24°=-sin 66°.
∵0°<16°<66°<90°,且y=sin x在[0°,90°]上是增函數(shù),
∴sin 16°<sin 66°,
從而-sin 16°>-sin 66°,即sin 196°>cos 156°.
(2)cos=cos π=cos=cos π,
cos=cos π=cos=cos .
∵0<<π<π,且y=cos x在[0,π]上是減函數(shù),
∴cos π<cos ,即cos<cos.
反思與感悟 用正弦函數(shù)或余弦函數(shù)的單調(diào)性比較大小時(shí),應(yīng)先將異名化同名,把不在同一單調(diào)區(qū)間內(nèi)的角用誘導(dǎo)公式轉(zhuǎn)化到同一單調(diào)區(qū)間,再利用單調(diào)性來比較大?。?
跟蹤訓(xùn)練2 cos 1,cos 2,cos 3的大小關(guān)系是________.(用“>”連接)
考點(diǎn) 正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的單調(diào)性
題點(diǎn) 正弦函數(shù)、余弦函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用
答案 cos 1>cos 2>cos 3
解析 由于0<1<2<3<π,而y=cos x在[0,π)上單調(diào)遞減,所以cos 1>cos 2>cos 3.
命題角度2 已知三角函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)范圍
例3 已知ω是正數(shù),函數(shù)f(x)=2sin ωx在區(qū)間上是增函數(shù),求ω的取值范圍.
考點(diǎn) 正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的單調(diào)性
題點(diǎn) 正弦函數(shù)、余弦函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用
解 由-+2kπ≤ωx≤+2kπ(k∈Z),ω>0,得
-+≤x≤+,k∈Z,
∴f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是,k∈Z.
根據(jù)題意,得?(k∈Z),
從而有解得0<ω≤.
故ω的取值范圍是.
反思與感悟 此類問題可先解出f(x)的單調(diào)區(qū)間,將問題轉(zhuǎn)化為集合間的包含關(guān)系,然后列不等式組求出參數(shù)范圍.
跟蹤訓(xùn)練3 已知ω>0,函數(shù)f(x)=sin在上單調(diào)遞減,則ω的取值范圍是( )
A. B.
C. D.(0,2]
考點(diǎn) 正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的單調(diào)性
題點(diǎn) 正弦函數(shù)、余弦函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用
答案 A
解析 取ω=,f(x)=sin,
其減區(qū)間為,k∈Z,
顯然?,k∈Z,排除B,C.
取ω=2,f(x)=sin,
其減區(qū)間為,k∈Z,
顯然?,k∈Z,排除D.
類型三 正弦、余弦函數(shù)的值域或最值
例4 求函數(shù)f(x)=2sin2x+2sin x-,x∈的值域.
考點(diǎn) 正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的最大值與最小值
題點(diǎn) 正弦函數(shù)的最大值與最小值
解 令t=sin x,因?yàn)閤∈,
所以t∈,則f(x)可化為
y=2t2+2t-=22-1,t∈,
所以當(dāng)t=時(shí),ymin=1,
當(dāng)t=1時(shí),ymax=,
故f(x)的值域是.
反思與感悟 一般函數(shù)的值域求法有:觀察法、配方法、判別式法、反比例函數(shù)法等.三角函數(shù)是函數(shù)的特殊形式,一般方法也適用,但要結(jié)合三角函數(shù)本身的性質(zhì).
常見的三角函數(shù)求值域或最值的類型有以下幾種:
(1)形如y=sin(ωx+φ)的三角函數(shù),令t=ωx+φ,根據(jù)題中x的取值范圍,求出t的取值范圍,再利用三角函數(shù)的單調(diào)性、有界性求出y=sin t的最值(值域).
(2)形如y=asin2x+bsin x+c(a≠0)的三角函數(shù),可先設(shè)t=sin x,將函數(shù)y=asin2x+bsin x+c(a≠0)化為關(guān)于t的二次函數(shù)y=at2+bt+c(a≠0),根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性求值域(最值).
(3)對于形如y=asin x(或y=acos x)的函數(shù)的最值還要注意對a的討論.
跟蹤訓(xùn)練4 已知函數(shù)f(x)=2asin x+b的定義域?yàn)?,函?shù)的最大值為1,最小值為-5,求a和b的值.
考點(diǎn) 正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的最大值與最小值
題點(diǎn) 正弦函數(shù)的最大值與最小值
解 ∵-≤x≤,∴-≤sin x≤1.
若a=0,不滿足題意.
若a>0,則解得
若a<0,則解得
故a=12-6,b=-23+12或a=-12+6,b=19-12.
1.函數(shù)y=cos x-1的最小值是( )
A.0 B.1 C.-2 D.-1
考點(diǎn) 正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的最大值與最小值
題點(diǎn) 余弦函數(shù)的最大值與最小值
答案 C
解析 cos x∈[-1,1],所以y=cos x-1的最小值為-2.
2.函數(shù)y=sin 2x的單調(diào)遞減區(qū)間是( )
A.(k∈Z)
B.(k∈Z)
C.(k∈Z)
D.(k∈Z)
考點(diǎn) 正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的單調(diào)性
題點(diǎn) 正弦函數(shù)、余弦函數(shù)單調(diào)性的判斷
答案 B
解析 由2kπ+≤2x≤2kπ+,k∈Z,得kπ+≤x≤kπ+,k∈Z,
∴y=sin 2x的單調(diào)遞減區(qū)間是(k∈Z).
3.下列不等式中成立的是( )
A.sin>sin B.sin 3>sin 2
C.sin π>sin D.sin 2>cos 1
考點(diǎn) 正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的單調(diào)性
題點(diǎn) 正弦函數(shù)、余弦函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用
答案 D
解析 ∵sin 2=cos=cos,
且0<2-<1<π,∴cos>cos 1,
即sin 2>cos 1.故選D.
4.函數(shù)y=cos x在區(qū)間[-π,a]上為增函數(shù),則a的取值范圍是________.
考點(diǎn) 正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的單調(diào)性
題點(diǎn) 正弦函數(shù)、余弦函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用
答案 (-π,0]
解析 因?yàn)閥=cos x在[-π,0]上是增函數(shù),在[0,π]上是減函數(shù),所以只有-π<a≤0時(shí)滿足條件,故a∈(-π,0].
5.求函數(shù)y=3-2sin x的最值及取到最值時(shí)的自變量x的集合.
考點(diǎn) 正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的最大值與最小值
題點(diǎn) 正弦函數(shù)的最大值與最小值
解 ∵-1≤sin x≤1,
∴當(dāng)sin x=-1,x=2kπ-,k∈Z,
即x=4kπ-π,k∈Z時(shí),ymax=5,
此時(shí)自變量x的集合為{x|x=4kπ-π,k∈Z};
當(dāng)sin x=1,x=2kπ+,k∈Z,
即x=4kπ+π,k∈Z時(shí),ymin=1,
此時(shí)自變量x的集合為{x|x=4kπ+π,k∈Z}.
1.求函數(shù)y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的單調(diào)區(qū)間的方法把ωx+φ看成一個(gè)整體,由2kπ-≤ωx+φ≤2kπ+(k∈Z)解出x的范圍,所得區(qū)間即為增區(qū)間,由2kπ+≤ωx+φ≤2kπ+(k∈Z)解出x的范圍,所得區(qū)間即為減區(qū)間.若ω<0,先利用誘導(dǎo)公式把ω轉(zhuǎn)化為正數(shù)后,再利用上述整體思想求出相應(yīng)的單調(diào)區(qū)間.
2.比較三角函數(shù)值的大小,先利用誘導(dǎo)公式把問題轉(zhuǎn)化為同一單調(diào)區(qū)間上的同名三角函數(shù)值的大小比較,再利用單調(diào)性作出判斷.
3.求三角函數(shù)值域或最值的常用方法
將y表示成以sin x(或cos x)為元的一次或二次等復(fù)合函數(shù),再利用換元或配方或利用函數(shù)的單調(diào)性等來確定y的范圍.
一、選擇題
1.當(dāng)-≤x≤時(shí),函數(shù)f(x)=2sin有( )
A.最大值1,最小值-1
B.最大值1,最小值-
C.最大值2,最小值-2
D.最大值2,最小值-1
考點(diǎn) 正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的最大值與最小值
題點(diǎn) 正弦函數(shù)的最大值與最小值
答案 D
解析 因?yàn)椋躼≤,所以-≤x+≤,
所以-≤sin≤1,所以-1≤f(x)≤2.
2.下列函數(shù)中,周期為π,且在上為減函數(shù)的是( )
A.y=sin B.y=cos
C.y=sin D.y=cos
考點(diǎn) 正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的單調(diào)性
題點(diǎn) 正弦函數(shù)、余弦函數(shù)單調(diào)性的判斷
答案 A
3.下列關(guān)系式中正確的是( )
A.sin 11°<cos 10°<sin 168°
B.sin 168°<sin 11°<cos 10°
C.sin 11°<sin 168°<cos 10°
D.sin 168°<cos 10°<sin 11°
考點(diǎn) 正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的單調(diào)性
題點(diǎn) 正弦函數(shù)、余弦函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用
答案 C
解析 ∵sin 168°=sin(180°-12°)=sin 12°,
cos 10°=sin(90°-10°)=sin 80°.
∴由正弦函數(shù)的單調(diào)性,得sin 11°<sin 12°<sin 80°,
即sin 11°<sin 168°<cos 10°.
4.(2017·九江高一檢測)y=的最小值是( )
A.2 B.-2 C.1 D.-1
考點(diǎn) 正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的最大值與最小值
題點(diǎn) 正弦函數(shù)的最大值與最小值
答案 B
解析 由y==2-,
當(dāng)sin x=-1時(shí),y=取得最小值-2.
5.(2017·全國Ⅲ)函數(shù)f(x)=sin+cos的最大值為( )
A. B.1 C. D.
考點(diǎn) 正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的最大值與最小值
題點(diǎn) 正弦函數(shù)的最大值與最小值
答案 A
解析 ∵+=,
∴f(x)=sin+cos
=sin+cos
=sin+sin
=sin≤.
∴f(x)max=.
故選A.
6.函數(shù)y=sin x的定義域?yàn)閇a,b],值域?yàn)?,則b-a的最大值與最小值之和等于( )
A. B. C.2π D.4π
考點(diǎn) 正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的最大值與最小值
題點(diǎn) 正弦函數(shù)的最大值與最小值
答案 C
解析 作出y=sin x的一個(gè)簡圖,如圖所示,
∵函數(shù)的值域?yàn)椋?
且sin =sin =,sin =-1,
∴定義域[a,b]中,b-a的最小值為-=,
定義域[a,b]中,b-a的最大值為2π+-=,
故可得,最大值與最小值之和為2π.
7.若函數(shù)f(x)=sin ωx(ω>0)在區(qū)間上單調(diào)遞增,在區(qū)間上單調(diào)遞減,則ω的值可為( )
A. B.
C.2 D.3
考點(diǎn) 正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的單調(diào)性
題點(diǎn) 正弦函數(shù)、余弦函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用
答案 A
解析 由題意知,=,即T=,=,
∴ω=.
二、填空題
8.sin 1,sin 2,sin 3按從小到大排列的順序?yàn)開_________.
考點(diǎn) 正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的單調(diào)性
題點(diǎn) 正弦函數(shù)、余弦函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用
答案 sin 3<sin 1<sin 2
解析 ∵1<<2<3<π,
sin(π-2)=sin 2,sin(π-3)=sin 3.
y=sin x在上遞增,且0<π-3<1<π-2<,
∴sin(π-3)<sin 1<sin(π-2),
即sin 3<sin 1<sin 2.
9.函數(shù)y=2sin的值域是________.
考點(diǎn) 正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的最大值與最小值
題點(diǎn) 正弦函數(shù)的最大值與最小值
答案 [0,2]
解析 ∵-≤x≤,∴0≤2x+≤,
∴0≤sin≤1,∴y∈[0,2].
10.(2017·紹興柯橋區(qū)期末)函數(shù)y=cos的單調(diào)遞增區(qū)間為____________________.
考點(diǎn) 正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的單調(diào)性
題點(diǎn) 正弦函數(shù)、余弦函數(shù)單調(diào)性的判斷
答案 (k∈Z)
11.若f(x)=2sin ωx(0<ω<1)在區(qū)間上的最大值是,則ω=________.
考點(diǎn) 正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的最大值與最小值
題點(diǎn) 正弦函數(shù)的最大值與最小值
答案
解析 ∵x∈,即0≤x≤,且0<ω<1,
∴0≤ωx≤<,
∵f(x)max=2sin =,
∴sin =,=,
即ω=.
三、解答題
12.求下列函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間.
(1)y=1-sin ;(2)y=sin.
考點(diǎn) 正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的單調(diào)性
題點(diǎn) 正弦函數(shù)、余弦函數(shù)單調(diào)性的判斷
解 (1)由2kπ+≤≤2kπ+π,k∈Z,
得4kπ+π≤x≤4kπ+3π,k∈Z.
∴y=1-sin 的單調(diào)遞增區(qū)間為[4kπ+π,4kπ+3π](k∈Z).
(2)要求函數(shù)y=sin的單調(diào)遞增區(qū)間,
即求使y=sin>0且單調(diào)遞減的區(qū)間.
∴2kπ+≤-<2kπ+π,k∈Z,
整理得4kπ+≤x<4kπ+,k∈Z.
∴函數(shù)y=sin的單調(diào)遞增區(qū)間為,k∈Z.
13.求下列函數(shù)的最大值和最小值.
(1)f(x)=sin,x∈;
(2)f(x)=-2cos2x+2sin x+3,x∈.
考點(diǎn) 正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的最大值與最小值
題點(diǎn) 正弦函數(shù)、余弦函數(shù)最值的綜合問題
解 (1)當(dāng)x∈時(shí),2x-∈,
由函數(shù)圖象知,
f(x)=sin∈=.
所以,f(x)在上的最大值和最小值分別為1,-.
(2)f(x)=-2(1-sin2x)+2sin x+3
=2sin2x+2sin x+1=22+.
因?yàn)閤∈,所以≤sin x≤1.
當(dāng)sin x=1時(shí),ymax=5;
當(dāng)sin x=時(shí),ymin=.
所以,f(x)在上的最大值和最小值分別為5,.
四、探究與拓展
14.已知奇函數(shù)f(x)在[-1,0]上單調(diào)遞減,α,β為銳角三角形兩內(nèi)角,則( )
A.f(cos α)>f(cos β) B.f(sin α)>f(sin β)
C.f(sin α)>f(cos β) D.f(sin α)<f(cos β)
考點(diǎn) 正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的單調(diào)性
題點(diǎn) 正弦函數(shù)、余弦函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用
答案 D
解析 由題意,得α+β>,∴>α>-β>0,
∴sin α>sin,即1>sin α>cos β>0,
∴-1<-sin α<-cos β<0.
∵奇函數(shù)f(x)在[-1,0]上單調(diào)遞減,
∴f(-sin α)>f(-cos β),
∴-f(sin α)>-f(cos β),∴f(sin α)<f(cos β).
15.已知函數(shù)f(x)=asin+b(a>0).當(dāng)x∈時(shí),f(x)的最大值為,最小值是-2,求a和b的值.
考點(diǎn) 正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的最大值與最小值
題點(diǎn) 正弦函數(shù)的最大值與最小值
解 ∵0≤x≤,∴-≤2x-≤,
∴-≤sin≤1,
又a>0,∴f(x)max=a+b=,
f(x)min=-a+b=-2.
由得