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2020高考數(shù)學 沖刺必考專題解析 解析幾何怎么解

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1、解析幾何題怎么解 高考解析幾何試題一般共有4題(2個選擇題, 1個填空題, 1個解答題), 共計30分左右, 考查的知識點約為20個左右. 其命題一般緊扣課本, 突出重點, 全面考查. 選擇題和填空題考查直線, 圓, 圓錐曲線, 參數(shù)方程和極坐標系中的基礎知識. 解答題重點考查圓錐曲線中的重要知識點, 通過知識的重組與鏈接, 使知識形成網(wǎng)絡, 著重考查直線與圓錐曲線的位置關系, 求解有時還要用到平幾的基本知識, 這點值得考生在復課時強化. 例1 已知點T是半圓O的直徑AB上一點,AB=2、OT=t (0

2、等于BT,交半圓于P、Q兩點,建立如圖所示的直角坐標系. (1)寫出直線的方程; (2)計算出點P、Q的坐標; (3)證明:由點P發(fā)出的光線,經(jīng)AB反射后,反射光線通過點Q. 講解: 通過讀圖, 看出點的坐標. (1 ) 顯然, 于是 直線 的方程為; (2)由方程組 解出 、; (3), . 由直線PT的斜率和直線QT的斜率互為相反數(shù)知,由點P發(fā)出的光線經(jīng)點T反射,反射光線通過點Q. 需要注意的是, Q點的坐標本質(zhì)上是三角中的萬能公式

3、, 有趣嗎? 例2 已知直線l與橢圓有且僅有一個交點Q,且與x軸、y軸分別交于R、S,求以線段SR為對角線的矩形ORPS的一個頂點P的軌跡方程. 講解:從直線所處的位置, 設出直線的方程, 由已知,直線l不過橢圓的四個頂點,所以設直線l的方程為 代入橢圓方程 得 化簡后,得關于的一元二次方程 于是其判別式 由已知,得△=0.即 ① 在直線方程中,分別令y=0,x=0,求得 令頂點P的坐標為(x,y), 由已知,得 代入①式并整理,得 , 即為所求頂點P的軌跡方程. 方程形似橢圓的標準方程, 你

4、能畫出它的圖形嗎? 例3已知雙曲線的離心率,過的直線到原點的距離是 (1)求雙曲線的方程; (2)已知直線交雙曲線于不同的點C,D且C,D都在以B為圓心的圓上,求k的值. 講解:∵(1)原點到直線AB:的距離. 故所求雙曲線方程為 (2)把中消去y,整理得 . 設的中點是,則 即 故所求k=±. 為了求出的值, 需要通過消元, 想法設法建構的方程. 例4 已知橢圓C的中心在原點,焦點F1、F2在x軸上,點P為橢圓上的一個動點,且∠F1PF2的最大值為90°,直線l過左焦點F1與橢圓交于A、B兩點,△ABF2

5、的面積最大值為12. (1)求橢圓C的離心率; (2)求橢圓C的方程. 講解:(1)設, 對 由余弦定理, 得 , 解出 (2)考慮直線的斜率的存在性,可分兩種情況: i) 當k存在時,設l的方程為………………① 橢圓方程為 由 得 . 于是橢圓方程可轉化為 ………………② 將①代入②,消去得 , 整理為的一元二次方程,得 . 則x1、x2是上述方程的兩根.且 , 也可這樣求解: , AB邊上的高 ii) 當k不存在時,把直線代入橢圓方程得 由①②知S

6、的最大值為 由題意得=12 所以 故當△ABF2面積最大時橢圓的方程為: 下面給出本題的另一解法,請讀者比較二者的優(yōu)劣: 設過左焦點的直線方程為:…………① (這樣設直線方程的好處是什么?還請讀者進一步反思反思.) 橢圓的方程為: 由得:于是橢圓方程可化為:……② 把①代入②并整理得: 于是是上述方程的兩根. , AB邊上的高, 從而 當且僅當m=0取等號,即 由題意知, 于是 . 故當△ABF2面積最大時橢圓的方程為: 例5 已知直線與橢圓相交于A、B兩點,且線段AB的中點在直線上. (1)求此橢圓的

7、離心率; (2 )若橢圓的右焦點關于直線的對稱點的在圓上,求此橢圓的方程. 講解:(1)設A、B兩點的坐標分別為 得 , 根據(jù)韋達定理,得 ∴線段AB的中點坐標為(). 由已知得 故橢圓的離心率為 . (2)由(1)知從而橢圓的右焦點坐標為 設關于直線的對稱點為 解得 由已知得 故所求的橢圓方程為 . 例6 已知⊙M:軸上的動點,QA,QB分別切⊙M于A,B兩點, (1)如果,求直線MQ的方程; (2)求動弦AB的中點P的軌跡方程. 講解:(1)由,可得由射影定理,得 在R

8、t△MOQ中, , 故, 所以直線AB方程是 (2)連接MB,MQ,設由 點M,P,Q在一直線上,得 由射影定理得 即 把(*)及(**)消去a,并注意到,可得 適時應用平面幾何知識,這是快速解答本題的要害所在,還請讀者反思其中的奧妙. 例7 如圖,在Rt△ABC中,∠CBA=90°,AB=2,AC=。DO⊥AB于O點,OA=OB,DO=2,曲線E過C點,動點P在E上運動,且保持| PA |+| PB |的值不變. (1)建立適當?shù)淖鴺讼?,求曲線E的方程; (2)過D點的直線L與曲線E相交于不同的兩點M、N且M在D、N之間

9、,設, 試確定實數(shù)的取值范圍. 講解: (1)建立平面直角坐標系, 如圖所示 . ∵| PA |+| PB |=| CA |+| CB | y C = A O B ∴動點P的軌跡是橢圓 . ∵

10、 ∴曲線E的方程是 . (2)設直線L的方程為 , 代入曲線E的方程,得 設M1(, 則 ① ② ③ i) L與y軸重合時, ii) L與y軸不重合時, 由①得 又∵, ∵ 或 ∴0<<1 ,

11、 ∴ . ∵ 而 ∴ ∴ ∴ , , ∴的取值范圍是 . 值得讀者注意的是,直線L與y軸重合的情況易于遺漏,應當引起警惕. 例8 直線過拋物線的焦點,且與拋物線相交于A兩點. (1)求證:; (2)求證:對于拋物線的任意給定的一條弦CD,直線l不是CD的垂直平分線. 講解: (1)易求得拋物線的焦點. 若l⊥x軸,則l的方程為. 若l不垂直于x軸,可設,代

12、入拋物線方程整理得 . 綜上可知 . (2)設,則CD的垂直平分線的方程為 假設過F,則整理得 ,. 這時的方程為y=0,從而與拋物線只相交于原點. 而l與拋物線有兩個不同的交點,因此與l不重合,l不是CD的垂直平分線. 此題是課本題的深化,你能夠找到它的原形嗎?知識在記憶中積累,能力在聯(lián)想中提升. 課本是高考試題的生長點,復課切忌忘掉課本! 例9 某工程要將直線公路l一側的土石,通過公路上的兩個道口A和B,沿著道路AP、BP運往公路另一側的P處,PA=100m,PB=150m,∠APB=60°,試說明怎樣運土石最省工? 講

13、解: 以直線l為x軸,線段AB的中點為原點對立直角坐標系,則在l一側必存在經(jīng)A到P和經(jīng)B到P路程相等的點,設這樣的點為M,則 |MA|+|AP|=|MB|+|BP|, 即 |MA|-|MB|=|BP|-|AP|=50, , ∴M在雙曲線的右支上. 故曲線右側的土石層經(jīng)道口B沿BP運往P處,曲線左側的土石層經(jīng)道口A沿AP運往P處,按這種方法運土石最省工. 相關解析幾何的實際應用性試題在高考中似乎還未涉及,其實在課本中還可找到典型的范例,你知道嗎? 解析幾何解答題在歷年的高考中??汲P? 體現(xiàn)在重視能力立意, 強調(diào)思維空間, 是用活題考死知識的典范. 考題求解時考查了等價轉化, 數(shù)形結合, 分類討論, 函數(shù)與方程等數(shù)學思想, 以及定義法, 配方法, 待定系數(shù)法, 參數(shù)法, 判別式法等數(shù)學通法.

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