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2020年高考數(shù)學(xué) 考前查缺補漏系列 熱點01 橫眉冷對千夫指如何處理高考中冷點問題?新課標(biāo)

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1、橫眉冷對千夫指,如何處理高考中冷點問題? 在高考試題中,常常出現(xiàn)一些冷點問題,這類問題一般難度不大,但是因為受到了冷遇,平時訓(xùn)練不多,故同學(xué)們一看到就發(fā)蒙,信心不足。現(xiàn)結(jié)合實際,總結(jié)一下可能出現(xiàn)的冷點,供同學(xué)們參考: 冷點1 函數(shù)的定義 【必備基礎(chǔ)】1.映射:設(shè)A、B是兩個集合,如果按照某種對應(yīng)法則f,對于集合A中的任何一個元素,在集合B中都有唯一元素和它對應(yīng),這樣的對應(yīng)叫做集合A到集合B的映射,記為f:A→B. 2.函數(shù):定義在非空數(shù)集A,B上的映射,就稱f:A→B為從集合A到集合B的函數(shù),記作:,此時稱數(shù)集A為定義域,象集C={f(x)|x∈A}為函數(shù)的值域. 注意: (1)

2、函數(shù): 是特殊的映射.特殊在集合和集合都是非空數(shù)集; (2)由定義可知:函數(shù)圖象與軸的垂線至多有一個公共點,但與軸垂線的公共點可能沒有,也可能有任意個; (3)函數(shù)的值域; (4)函數(shù)的三要素:定義域、值域、對應(yīng)法則.研究函數(shù)的問題一定要注意定義域優(yōu)先的原則. 【解題方法】判斷方法有: (1)利用對應(yīng)關(guān)系:可以是“一對一、多對一”,但不能“一對多”; (2)利用圖象與(為函數(shù)的定義域)的交點個數(shù):只能1個,不能多個. 【答案】C 【解析】函數(shù)的定義:設(shè)是兩個非空數(shù)集,如果按照某種確定的對應(yīng)關(guān)系,使對于 冷點2 函數(shù)的值域 【必備基礎(chǔ)】 1.函數(shù)的值域:函數(shù)值的集合叫做函

3、數(shù)的值域.函數(shù)的值域取決于函數(shù)的定義域和對應(yīng)法則,無論采用什么方法求函數(shù)的值域,均必須在其定義域內(nèi)進行. 2.常見的函數(shù)的值域: (1)函數(shù)的值域為R; (2)二次函數(shù) 當(dāng)時值域是,當(dāng)時值域是; 【解題方法】求函數(shù)值域(最值)的方法: (1)配方法:求二次函數(shù)型的最值問題,利用數(shù)形結(jié)合,注意“兩看”:一看開口方向;二看對稱軸與所給區(qū)間的相對位置關(guān)系.結(jié)構(gòu)類型:、、等. (4)單調(diào)性法:通過分析函數(shù)單調(diào)性,能夠確定函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增或遞減,從而確定函數(shù)的值域. 結(jié)構(gòu)類型:、、等 (5)數(shù)形結(jié)合法:當(dāng)函數(shù)解析式具有明顯的某種幾何意義,可考慮利用此法.一般需要對式子結(jié)構(gòu)通過變形之

4、后才能發(fā)現(xiàn)其明顯的幾何含義. 結(jié)構(gòu)類型:表示與的斜率,表示與的距離. (6)判別式法:此法對分式函數(shù)(分子或分母中有一個是二次)都可通用,但是要注意化簡后的二次項系數(shù)為零的情形.但這類題型有時也可以用其它方法進行求解,不必拘泥在判別式法上,也可先通過分離常數(shù)后,再利用均值不等式. 結(jié)構(gòu)類型:. (7)不等式法:利用基本不等式求函數(shù)的最值,其題型特征解析式是和式時要求積為定值,解析式是積時要求和為定值,有時須要用到拆項、添項和兩邊平方等技巧. 結(jié)構(gòu)類型:、、等. 結(jié)構(gòu)類型: 【典型例題】【唐山市2020學(xué)年度高三年級第一次模擬考試】 (理)函數(shù)的值域是______. [答案]

5、 [解析] 函數(shù)的值域. (文)函數(shù)的值域是______. [答案] [解析] 函數(shù)的值域. 冷點3 變量間的相關(guān)關(guān)系 【典型例題】【2020新課標(biāo)全國理,3】對變量x, y 有觀測數(shù)據(jù)(,)(i=1,2,…,10),得散點圖1;對變量u ,v 有觀測數(shù)據(jù)(,)(i=1,2,…,10),得散點圖2. 由這兩個散點圖可以判斷( ) (A)變量x 與y 正相關(guān),u 與v 正相關(guān) (B)變量x 與y 正相關(guān),u 與v 負相關(guān) (C)變量x 與y 負相關(guān),u 與v 正相關(guān) (D)變量x 與y 負相關(guān),u 與v 負相關(guān) 【必備基礎(chǔ)】 (1)回歸直線:觀察散點圖的

6、特征,如果散點圖中點的分布從整體上看大致在一條直線附近,我們就稱這兩個變量之間具有線性相關(guān)關(guān)系,這條直線叫做回歸直線. (2)回歸直線方程的求法——最小二乘法. 設(shè)具有線性相關(guān)關(guān)系的兩個變量x、y的一組觀察值為(xi,yi)(i=1,2,…,n),則回歸直線方程=+x的系數(shù)為: 其中=i,=i,(,)稱作樣本點的中心.,表示由觀察值用最小二乘法求得的a,b的估計值,叫回歸系數(shù). 0=x0+. (4)線性相關(guān)強度的檢驗: 對于變量x與y隨機取到的n對數(shù)據(jù)(xi,yi),用y與x間的相關(guān)系數(shù)r==來檢驗x與y是否線性相關(guān). r具有以下性質(zhì):|r|≤1,并且|r|越接近1,線性相關(guān)

7、程度越強;|r|越接近0,線性相關(guān)程度越弱. 【答案】185  【解析】 因為兒子身高與父親身高有關(guān),所以設(shè)兒子身高為Y,父親身高為X,根據(jù)數(shù)據(jù)列表:X,173,170,176Y,170,176,182得回歸系數(shù):=1,=3,于是兒子身高與父親身高的關(guān)系式為:Y=X+3,當(dāng)X=182時,該老師的孫子身高為185 cm. (文)[2020·廣東卷] 為了解籃球愛好者小李的投籃命中率與打籃球時間之間的關(guān)系,下表記錄了小李某月1號到5號每天打籃球時間x(單位:小時)與當(dāng)天投籃命中率y之間的關(guān)系: 時間x,1,2,3,4,5命中率y,0.4,0.5,0.6,0.6,0.4小李這5天的平均投籃命

8、中率為________;用線性回歸分析的方法,預(yù)測小李該月6號打6小時籃球的投籃命中率為________. 【答案】0.5 0.53  [2020·陜西卷] 設(shè)(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn)是變量x和y的n個樣本點,直線l是由這些樣本點通過最小二乘法得到的線性回歸直線(如圖1-5),以下結(jié)論中正確的是(  ) 圖1-5 A.直線l過點(,) B.x和y的相關(guān)系數(shù)為直線l的斜率 C.x和y的相關(guān)系在0到1之間 D.當(dāng)n為偶數(shù)時,分布在l兩側(cè)的樣本點的個數(shù)一定相同 【答案】A  【解題方法】一般制作莖葉圖的方法是:將所有兩位數(shù)的十位數(shù)字作“莖”,個位數(shù)

9、字作“葉”,莖相同者共用一個莖,莖按從小到大順序由上到下列出,共莖的葉按從大到小(或 【典型例題】【2020海淀區(qū)高三年級第一學(xué)期期末試題】 甲和乙兩個城市去年上半年每月的平均氣溫(單位:)用莖葉圖記錄如下,根據(jù)莖葉圖可知,兩城市中平均溫度較高的城市是_______,氣溫波動較大的城市是____________. 甲城市 乙城市 9 0 8 7 7 3 1 2 4 7 2 2 0 4 7 【答案】 乙;乙 【解析】根據(jù)莖葉圖可知,甲城市

10、的平均溫度為乙城市的平均溫度為故平均溫度高的乙城市,由莖葉圖觀察可知,甲城市的溫度更加集中在峰值附件,故甲城市比乙城市溫度波動較小,乙城市溫度波動大。 冷點6 獨立性檢驗 【必備基礎(chǔ)】(1)若變量的不同“值”表示個體所屬的不同類別,則這些變量稱為分類變量. (2)兩個分類變量X與Y的頻數(shù)表,稱作2×2列聯(lián)表. 在2×2列聯(lián)表中,隨機變量χ2=,其中n為樣本容量,χ2的取值范圍可以判斷“X與Y有關(guān)系“的可信度如表.(其中頻數(shù)n11、n12、n21、n22都不小于5) P(χ2≥k) 0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.01

11、0 0.005 0.001 k 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 ①當(dāng)χ2>6.635時,有99%的把握認(rèn)為“X與Y有關(guān)系”. ②當(dāng)χ2>3.841時,有95%的把握認(rèn)為“X與Y有關(guān)系”. ③當(dāng)χ2≤3.841時,沒有充分理由認(rèn)為X與Y是相關(guān)的. 【解題方法】(1)在列聯(lián)表中注意事件的對應(yīng)及有關(guān)值的確定,避免混亂. (2)若要求判斷X與Y無關(guān),應(yīng)先假設(shè)X與Y有關(guān)系. 【典型例題】 [2020·湖南卷] 通過隨機詢問110名性別不同的大學(xué)生是否愛好某項運動,得到如下的列聯(lián)

12、表: 男 女 總計 愛好 40 20 60 不愛好 20 30 50 總計 60 50 110 由算得, 附表: 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 參照附表,得到的正確結(jié)論是( ). A.在犯錯誤的概率不超過0.1%的前提下,認(rèn)為“愛好該項運動與性別有關(guān)” B.在犯錯誤的概率不超過0.1%的前提下,認(rèn)為“愛好該項運動與性別無關(guān)” C.有99%以上的把握認(rèn)為“愛好該項運動與性別有關(guān)” D.有99%以上的把握認(rèn)為“愛好該項運動與性別無關(guān)” 【答案】C  【典

13、型例題】[2020·江西卷文] 為了普及環(huán)保知識,增強環(huán)保意識,某大學(xué)隨機抽取30名學(xué)生參加環(huán)保知識測試,得分(十分制)如圖1-1所示,假設(shè)得分值的中位數(shù)為me,眾為m0,平均值為,則(  ) 圖1-1 A.me=m0= B.me=m0< C.me

14、理)正態(tài)分布 【必備基礎(chǔ)】正態(tài)曲線的性質(zhì): ,(),其相應(yīng)的曲線稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)曲線.標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)總體在正態(tài)總體的研究中占有重要的地位 任何正態(tài)分布的概率問題均可轉(zhuǎn)化成標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率問題. 【解題方法】關(guān)于正態(tài)總體在某個區(qū)間內(nèi)取值的概率求法 (1)熟記P(μ-σ<X≤μ+σ),P(μ-2σ<X≤μ+2σ),P(μ-3σ<X≤μ+3σ)的值. (2)充分利用正態(tài)曲線的對稱性和曲線與x軸之間的面積為1.正態(tài)分布曲線關(guān)于直線對稱,也可以推廣到 【典型例題】[2020·湖北卷] 已知隨機變量ξ服從正態(tài)分布N(2,σ2),且P(ξ<4)=0.8,則P(0<ξ<2)=(  ) A.0.6 B.

15、0.4 C.0.3 D.0.2 【答案】C  【解析】 因為P=0.8,所以P=0.2.由圖象的對稱性知,P=P=0.2,所以P=1-P-P=0.6.所以P=P=0.3.  【最新模擬試題訓(xùn)練】 1. [2020·江西卷] 為了解兒子身高與其父親身高的關(guān)系,隨機抽取5對父子身高據(jù)如下:父親身高x(cm),174,176,176,176,178兒子身高y(cm),175,175,176,177,177則y對x的線性回歸方程為(  ) A.y=x-1 B.y=x+1 C.y=88+x D.y=176 【答案】C  【答案】0.254  【解析】 由題意得2-1=[0.25

16、4(x+1)+0.321]-[0.254x+0.321]=0.254,即家庭年收入每增加1萬元,年飲食支出平均增加0.254萬元. 3.[2020·山東卷] 某產(chǎn)品的廣告費用x與銷售額y的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表: 廣告費用x(萬元),4,2,3,5銷售額y(萬元),49,26,39,54根據(jù)上表可得回歸方程=x+中的為9.4,據(jù)此模型預(yù)報廣告費用為6萬元時銷售額為(  ) A.63.6萬元 B.65.5萬元 C.67.7萬元 D.72.0萬元 【答案】 B  【答案】 D  【解析】 A選項說法錯誤,相關(guān)系數(shù)不是直線l的斜率;B選項說法錯誤,x和y的相關(guān)系在-1和1之間,當(dāng)相關(guān)系

17、數(shù)大于0時,叫正相關(guān),當(dāng)相關(guān)系數(shù)小于0時,叫負相關(guān);當(dāng)相關(guān)系數(shù)等于0時,叫不相關(guān).C選項說法錯誤,不管n是偶還是奇數(shù),分布在直線兩側(cè)的點是根據(jù)最小二乘法得出的;D選項說法正確. 5.(文)(2020·福州市期末)如圖是歌手大獎賽中,七位評委為甲、乙兩名選手打出的分?jǐn)?shù)的莖葉圖(其中m為數(shù)字0~9中的一個),去掉一個最高分和一個最低分后,甲、乙兩名選手得分的平均數(shù)分別為a1,a2,則一定有(  ) A.a(chǎn)1>a2 B.a(chǎn)2>a1 C.a(chǎn)1=a2 D.a(chǎn)1、a2的大小不確定 [答案] B [解析] ∵甲、乙分?jǐn)?shù)在70、80、90各分?jǐn)?shù)段的打分評委人數(shù)一樣多,故只須看個位數(shù)的和,

18、乙的個位數(shù)總和37,甲的個位數(shù)字和為20+m<37,∴a2>a1,故選B. (理)(2020·巢湖質(zhì)檢)在如圖所示的莖葉圖中,若甲、乙兩組數(shù)據(jù)的中位數(shù)分別為λ1,λ2,平均數(shù)分別為μ1,μ2,則下列判斷正確的是(  ) A.λ1>λ2,μ1<μ2 B.λ1>λ2,μ1>μ2 C.λ1<λ2,μ1<μ2 D.λ1<λ2,μ1>μ2 [答案] B [解析] 由莖葉圖知λ1=20.5,λ2=18.5,μ1=19.9,μ2=18.9,∴λ1>λ2,μ1>μ2,故選B. 6.(2020·江西吉安質(zhì)檢)下表提供了某廠節(jié)能降耗技術(shù)改造后在生產(chǎn)A產(chǎn)品過程中記錄的產(chǎn)品x(噸)與相應(yīng)的生產(chǎn)能耗

19、y(噸)的幾組對應(yīng)數(shù)據(jù),根據(jù)表中提供的數(shù)據(jù),求出y關(guān)于x的線性回歸方程為y=0.7x+0.35,那么表中t的值為(  ) X 3 4 5 6 y 25 t 4 45 A.4.5 B.3.5 C.3.15 D.3 [答案] D [解析] 線性回歸直線過樣本點的中心(,), ∵=4.5,=,∴=0.7×4.5+0.35,∴t=3,故選D. 7.【唐山市2020學(xué)年度高三年級第一學(xué)期期末考試】 考古學(xué)家通過始祖鳥化石標(biāo)本發(fā)現(xiàn),其股骨長度(cm)與肱骨長度y(cm)線性回歸 方程為,由此估計,當(dāng)肌骨長度為50cm時,肱骨長度的估計值為 cm

20、. 【答案】56.19 【解析】根據(jù)回歸方程將代入求解得 【解析】 9.【山西大學(xué)附中2020學(xué)年第二學(xué)期高三月考】 某賽季甲、乙兩名籃球運動員各13場比賽得分情況用莖葉圖表示如下: 甲 乙 9 8 8 1 7 7 9 9 6 1 0 2 2 5 6 7 9 9 5 3 2 0 3 0 2 3 7 1 0 4 根據(jù)上圖,對這兩名運動員的成績進行比較,下列四個結(jié)論中,不正確的是 答案:

21、D 解析:結(jié)合莖葉圖可知A,B,C均正確,故選D 10.(2020哈三中高三10月月考)下列各數(shù)集及對應(yīng)法則,不能構(gòu)成映射的是 A. ,, B. ,, C. ,, D. ,, 【答案】C 【解析】故選C. 11.(2020屆無錫一中高三第一學(xué)期期初試卷)4.從某小學(xué)隨機抽取100名同學(xué),這些同學(xué)身高都不低于100厘米,將他們身高(單位:厘米)數(shù)據(jù)繪制成頻率分布直方圖(如右圖).現(xiàn)用分層抽樣的方法從身高在[120,130﹚,[130,140﹚,[140,150]三組學(xué)生中,選取18人參加一項活動,則從身高在[140,150]內(nèi)的學(xué)生中選取的人數(shù)應(yīng)為 .

22、 答案:3 【解析】該題考查抽樣方法、總體分布的估計、總體特征數(shù)的估計.由得,因此, [120,130﹚,[130,140﹚,[140,150]三組學(xué)生人數(shù)分別為:所以, 從身高在[140,150]內(nèi)的學(xué)生中選取的人數(shù)應(yīng)為 12.【2020年河南省豫東、豫北十所名校高中畢業(yè)班階段性測試(三)】 2020年的NBA全明星賽,于美國當(dāng)?shù)貢r間2020年2月26日在佛羅里達州奧蘭多市舉行.如圖是參加此次比賽的甲、乙兩名籃球運動員以往幾場比賽得分的莖葉圖,則甲、乙兩人這幾場比賽得分的中位數(shù)之和是. 【答案】64 【解析】甲的得分情況為13 15 23 26 28 34 3

23、7 39 41,乙的得分情況24 25 32 33 36 37 38 45 47,故甲的中位數(shù)為28,乙的中位數(shù)為36,28+36=64. 13.[2020·福建卷] 設(shè)V是全體平面向量構(gòu)成的集合,若映射f:V→R滿足: 對任意向量a=(x1,y1)∈V,b=(x2,y2)∈V,以及任意λ∈R,均有f(λa+(1-λ)b)=λf(a)+(1-λ)f(b). 則稱映射f具有性質(zhì)P. 現(xiàn)給出如下映射: ①f1:V→R,f1(m)=x-y,m=(x,y)∈V; ②f2:V→R,f2(m)=x2+y,m=(x,y)∈V; ③f3:V→R,f3(m)=x+y+1,m=(

24、x,y)∈V. 其中,具有性質(zhì)P的映射的序號為________.(寫出所有具有性質(zhì)P的映射的序號) 【答案】 ①③ 【解析】 設(shè)a=(x1,y1)∈V,b=(x2,y2)∈V,則 λa+(1-λ)b=λ(x1,y1)+(1-λ)(x2,y2)=(λx1+(1-λ)x2,λy1+(1-λ)y2), ∴ 映射f3具有性質(zhì)P. 故具有性質(zhì)P的映射的序號為①③. 14.[2020·湖南卷] 給定k∈N*,設(shè)函數(shù)f:N*→N*滿足:對于任意大于k的正整數(shù)n,f(n)=n-k. (1)設(shè)k=1,則其中一個函f在n=1處的函數(shù)值為________________; (2)設(shè)k=4,且當(dāng)

25、n≤4時,2≤f(n)≤3,則不同的函數(shù)f的個數(shù)為________. 【答案】(1)a(a為正整數(shù)) (2)16  15.【北京市朝陽區(qū)高三年級第一次綜合練習(xí)】 85 80 90 100 95 分?jǐn)?shù) 75 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 某次有1000人參加的數(shù)學(xué)摸底考試,其成績的頻率分布直方圖如圖所示,規(guī)定85分及其以上為優(yōu)秀. (Ⅰ)下表是這次考試成績的頻數(shù)分布表,求正整數(shù)a, b的值; 區(qū)間 [75,80) [80,85) [85,90) [90,95) [95,100] 人數(shù) 50 a

26、350 300 b (II)現(xiàn)在要用分層抽樣的方法從這1000人中抽取40人的成 績進行分析,求其中成績?yōu)閮?yōu)秀的學(xué)生人數(shù); (Ⅲ)在(II)中抽取的40名學(xué)生中,要隨機選取2名學(xué)生參 加座談會,記“其中成績?yōu)閮?yōu)秀的人數(shù)”為X,求X的 分布列與數(shù)學(xué)期望. 解:(Ⅰ)依題意,. ……………4分 (Ⅱ)設(shè)其中成績?yōu)閮?yōu)秀的學(xué)生人數(shù)為x,則,解得:x=30, 即其中成績?yōu)閮?yōu)秀的學(xué)生人數(shù)為30名. ……………7分 (Ⅲ)依題意,X的取值為0,1,2, ,,, 所以X的分布列為 X 0 1

27、2 P ,所以X的數(shù)學(xué)期望為. ……………13分 (文)某企業(yè)員工500人參加“學(xué)雷鋒”志愿活動,按年齡分組:第1組[25,30),第2組[30,35),第3組[35,40),第4組[40,45),第5組[45,50],得到的頻率分布直方圖如右圖所示. 25 30 35 40 45 50 0.02 年齡 0.08 0.06 0.04 O (Ⅰ)下表是年齡的頻數(shù)分布表,求正整數(shù)的值; 區(qū)間 [25,30) [30,35) [35,40) [40,45) [45,50] 人數(shù) 50 50 150

28、 (Ⅱ)現(xiàn)在要從年齡較小的第1,2,3組中用分層抽樣的方法抽取6人,年齡在第1,2,3組的人數(shù)分別是多少? (Ⅲ)在(Ⅱ)的前提下,從這6人中隨機抽取2人參加社區(qū)宣傳交流活動,求至少有1人年齡在第3組的概率. 解:(Ⅰ)由題設(shè)可知,, . ……………2分 (Ⅱ) 因為第1,2,3組共有50+50+200=300人, 利用分層抽樣在300名學(xué)生中抽取名學(xué)生,每組抽取的人數(shù)分別為: 所以第1,2,3組分別抽取1人,1人,4人. ………………6分 (Ⅲ)設(shè)第1組的1位同學(xué)為,第2組的1位同學(xué)為,第3組的4位同學(xué)為,則從六位同學(xué)中抽兩位同學(xué)有: 其中2人年齡都不在第3組的有:共1種可能, ……… ………12分 所以至少有1人年齡在第3組的概率為. ………………13分

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