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1、新課程背景下 高中二次函數(shù)教學(xué)探微 淮安市欽工中學(xué) 胡海洋 摘 要：本文從高中二次函數(shù)的概念入手，進(jìn)一步研究了二次函數(shù)的解析式、性質(zhì)及應(yīng)用，在對(duì)函數(shù)性質(zhì)的研究中，滲透著數(shù)形結(jié)合的思想，在二次函數(shù)的應(yīng)用中，建立起二次函數(shù)、一元二次方程、一元二次不等式之間的有機(jī)聯(lián)系，有助于提高學(xué)生的思維能力、運(yùn)算能力、想象能力和解決問(wèn)題能力，為學(xué)生在高中階段學(xué)習(xí)其它函數(shù)提供了基礎(chǔ)和原型。 二次函數(shù)在高中數(shù)學(xué)中有著特殊的地位，對(duì)它的研究，是對(duì)進(jìn)一步學(xué)習(xí)研究其它函數(shù)提供了一種函數(shù)原型。本文擬打算通過(guò)對(duì)二次函數(shù)的定義，單調(diào)性、對(duì)稱性的刻畫(huà)，描繪其在相關(guān)問(wèn)題研究中的應(yīng)用，以便見(jiàn)微知著，為對(duì)其它函數(shù)的教學(xué)提供原

2、型啟發(fā)。 一、對(duì)函數(shù)概念的進(jìn)一步理解 1、用映射的觀點(diǎn)定義函數(shù) 初中階段已經(jīng)講述了函數(shù)的定義，進(jìn)入高中后,在學(xué)習(xí)集合和映射的基礎(chǔ)上，對(duì)函數(shù)的概念也進(jìn)行了轉(zhuǎn)變，主要是用映射觀點(diǎn)來(lái)闡明函數(shù)，這里就以學(xué)生比較熟悉的函數(shù)（二次函數(shù)）為例來(lái)更深入的認(rèn)識(shí)函數(shù)的概念。函數(shù)是對(duì)于非空的數(shù)集A、B，從一個(gè)集合A（定義域）到另一個(gè)集合B的映射?:A→B。使得集合B中的元素y=ax2+bx+c(a≠0)與集合A中的元素x對(duì)應(yīng)，記為?(x)= ax2+ bx+c(a≠0)這里ax2+bx+c表示對(duì)應(yīng)法則，又表示定義域中的元素x在值域中的象，從而使學(xué)生對(duì)函數(shù)的概念有一個(gè)較明確的認(rèn)識(shí)。 例1：已知?(x)= 2x

3、2+x+2，求?(x+1) 例2：設(shè)?(x+1)=x2-4x+1,求?(x) ２、研究函數(shù)的定義域及值域 例3：求函數(shù)y = 的定義域 例4：求函數(shù)y = 的值域 解決本題求值域的思想來(lái)自函數(shù)的概念，要求集合A（定義域）為非空的數(shù)集，也就是原式化至yx2-(y+1)x+y=0后，定義域要求此關(guān)于x的二次方程的未知數(shù)x一定要有解，故可利用△≥0求得x有解時(shí)對(duì)應(yīng)的y的范圍（也就是函數(shù)的值域）。 練習(xí)： (1)求函數(shù)y = 的定義域 (2)求函數(shù)y=的值域； 二、二次函數(shù)解析式的確定 二次函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)形式是|(x)=ax2+bx+c(a10)，另外有頂點(diǎn)式|(x)=a(x-

4、k)2+h和根軸式|(x)=a(x-x1)(x-x2)，根據(jù)問(wèn)題的實(shí)際情況而設(shè)出解析式，通過(guò)方程（組）求解。其最一般的方法是待定系數(shù)法。 例1、已知拋物線y=ax2+2x+c的對(duì)稱軸是x= 1，其最高點(diǎn)在直線y=2x+1上，求拋物線的方程。 例2、已知拋物線y=x2-2x+m與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A、B，其坐標(biāo)分別是A(x1，0)、B(x2，0)，其中x1

5、)，且函數(shù)有最大值2。 （1）求二次函數(shù)的解析式； （2）設(shè)此二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)為P，求DABP的面積。 2、已知二次函數(shù)y=x2-kx+k+4的圖象與y軸交于點(diǎn)C，且與x軸正半軸交于A、B兩點(diǎn)，（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），若點(diǎn)A，B的橫坐標(biāo)是整數(shù)。 （1）確定這個(gè)二次函數(shù)的解析式并求它的頂點(diǎn)坐標(biāo)； （2）若點(diǎn)D的坐標(biāo)是(0，6)，點(diǎn)P(t，0)是線段AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，它可與點(diǎn)A重合，但不與點(diǎn)B重合，設(shè)四邊形PBCD的面積為S，求S與t的函數(shù)關(guān)系式； 三、二次函數(shù)性質(zhì)的研究 高中階階段要加強(qiáng)對(duì)拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)的頂點(diǎn)坐標(biāo)、對(duì)稱軸、最值、單調(diào)性等的研究，和

6、對(duì)某些與二次函數(shù)有關(guān)的絕對(duì)值函數(shù)及圖象的研究。學(xué)習(xí)單調(diào)性時(shí)，必須讓學(xué)生對(duì)二次函數(shù)y=ax2+bx+c在區(qū)間（－∞，－b/2a]及[－b/2a，+∞） 上的單調(diào)性的結(jié)論用定義進(jìn)行嚴(yán)格的論證，使它建立在嚴(yán)密理論的基礎(chǔ)上，與此同時(shí)，進(jìn)一步充分利用函數(shù)圖象的直觀性，給學(xué)生配以適當(dāng)?shù)木毩?xí)，使學(xué)生逐步自覺(jué)地利用圖象學(xué)習(xí)二次函數(shù)有關(guān)的一些函數(shù)單調(diào)性。 1、最值的研究 例3：已知函數(shù)?(x)= x2+2ax ，x∈[-5,5] (1)當(dāng)a=-1時(shí)，求函數(shù)?(x)的最大值與最小值； (2)求函數(shù)?(x)的最大值g(a)，并求g(a)的最大值。 2、單調(diào)性、對(duì)稱性的研究 例1：畫(huà)出下列函數(shù)的圖象，并通

7、過(guò)圖象研究其單調(diào)性和對(duì)稱性。 （1）y=|x2－2| （2）y= x2-2|x|－3 這里要使學(xué)生注意這些函數(shù)與二次函數(shù)的差異和聯(lián)系。掌握把含有絕對(duì)值記號(hào)的函數(shù)用分段函數(shù)去表示，然后畫(huà)出其圖象，并通過(guò)圖象觀察其單調(diào)性和對(duì)稱性。 練習(xí)： (1)已知函數(shù)y=3x2+2tx+6圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱,求實(shí)數(shù)t的值； (2)二次函數(shù)y=3x2+2(a-1)x+6在區(qū)間(-∞,1)上是減函數(shù)，求a的取值范圍。 四、二次函數(shù)的相關(guān)應(yīng)用 （一）、在二次方程中的應(yīng)用 二次方程實(shí)根的分布問(wèn)題，就是討論二次函數(shù)的圖象與x軸交點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)的位置關(guān)系的問(wèn)題，因此，理解交點(diǎn)及二次函數(shù)系數(shù)（a─

8、開(kāi)口方向，a、b—對(duì)稱軸，c—圖象與y軸的交點(diǎn)）的幾何意義，掌握二次函數(shù)圖象的特點(diǎn)，是解決此類問(wèn)題的關(guān)健。 例1、已知關(guān)于x的方程x2+(a+1)x+2a=0，分別在下列條件下，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。 （1）有一個(gè)根小于-1，有一個(gè)根大于1； （2）兩根均在（-1，1）內(nèi)。 例2、已知關(guān)于x的方程kx2-4kx+1=0的兩個(gè)正根a、b滿足：|lga-lgb|￡1，試求實(shí)數(shù)k的取值范圍。 例3、關(guān)于x的實(shí)系數(shù)方程x2+ax+b=0的兩實(shí)根a、b，請(qǐng)證明： （1）如果|a|<2，|b|<2，那么2|a|<4+b，且|b|<4； （2）如果2|a|<4+b，且|b|<4，那么|a|<2，

9、|b|<2。 例4、設(shè)二次函數(shù)|(x)=ax2+bx+c（a>0），方程|(x)-x=0的兩根x1，x2滿足00）滿足|(m)<0，試判斷|(m+1)的符號(hào)。 2、設(shè)集合A={(x，y)|y=x2+mx+2}，集合B={(x，y)|x-y+1=0且0￡x￡2}，若A?B1f，求實(shí)數(shù)m的取值范圍。 3、若拋物線y=x2+ax+2與連接兩點(diǎn)M(0，1)，N(2，3)的線段（含端點(diǎn)）有兩個(gè)相異交點(diǎn)，求

10、a的取值范圍。 4、若二次函數(shù)|(x)=4x2-2(p-2)x-2p2-p+1在區(qū)間[-1，1]內(nèi)至少存在一點(diǎn)C，使|(c)>0，求實(shí)數(shù)p的取值范圍。 （二）、在二次三項(xiàng)式中的應(yīng)用 例5、已知a、b、c是實(shí)數(shù)，函數(shù)|(x)=ax2+bx+c，g(x)=ax+b，當(dāng)-1￡x￡1時(shí)，||(x)|￡1，證明： （1）|c|￡1； （2）當(dāng)-1￡x￡1時(shí)，|g(x)|￡2； （3）設(shè)a>0，當(dāng)-1￡x￡1時(shí)，g(x)的最大值是2，求|(x)。 例6、實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式p(x)=ax2+bx+c(a30，b30)，當(dāng)|x|￡1時(shí)，|p(x)|￡1，令q(x)=cx2+bx+a，試證明當(dāng)|x|￡1

11、時(shí)，|q(x)|￡2。 例7、已知二次函數(shù)|(x)=ax2+bx+c(a10)，當(dāng)-1￡x￡1時(shí)，有||(x)|￡1，求證當(dāng)-2￡x￡2時(shí)，||(x)|￡7。 練習(xí)： 1、已知二次函數(shù)|(x)=ax2+bx+c(a10)的圖象與直線y=25有公共點(diǎn)，且二次不等式ax2+bx+c>0的解集是(-1/2,1/3)，求實(shí)數(shù)a、b、c的取值范圍。 2、已知二次函數(shù)|(x)=ax2+bx+c滿足||(-1)|￡1，||(0)|￡1，||(1)|￡1，求證：當(dāng)|x|￡1時(shí)，||(x)|￡。 3、試證明不存在滿足下列條件的二次三項(xiàng)式： （1）當(dāng)-1￡x￡1時(shí)，||(x)￡1； （2）||(2)

12、|>8。 4、設(shè)二次三項(xiàng)式ax2+bx+c在區(qū)間[0，1]上的值的絕對(duì)值均不超過(guò)1，試求|a|+|b|+|c|的最大值。 5、若關(guān)于x的不等式x2-ax-6a<0的解集為一開(kāi)區(qū)間，且此區(qū)間的長(zhǎng)度不超過(guò)5，試求a的值。 6、已知二次函數(shù)|(x)=ax2+bx+c和一次函數(shù)g(x)= -bx，其中a>b>c，a+b+c=0，(a、b、c?R) （1）求證：兩圖象交于不同的兩點(diǎn)A、B； （2）求線段AB在x軸上的射影A1B1之長(zhǎng)的取值范圍。 （三）、在二次不等式中的應(yīng)用 解決二次不等式恒成立的問(wèn)題，關(guān)健是理解二次函數(shù)的圖象在開(kāi)口向上（或向下）的情況下，當(dāng)其與x軸沒(méi)有交點(diǎn)時(shí)，其函數(shù)值大于

13、（或小于）零恒成立。 例8、若不等式8x4+8(a-2)x2-a+5>0對(duì)任意實(shí)數(shù)x均成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。 練習(xí)： 1、設(shè)對(duì)任意x，不等式x2log2+2xlog2+log2>0恒成立，求a的取值范圍。 2、對(duì)于滿面足k2-7k+12<0的一切k，不等式x