福建省漳浦縣道周中學(xué)2020年高考數(shù)學(xué)專(zhuān)題復(fù)習(xí) 立體幾何教案 文 基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn) 條件 結(jié)論 線線平行 線面平行 面面平行 垂直關(guān)系 線線平行 如果a∥b，b∥c，那么a∥c 如果a∥α，aβ，β∩α=b，那么a∥b 如果α∥β，α∩γ=a，β∩γ=b，那么a∥b 如果a⊥α，b⊥α，那么a∥b 線面平行 如果a∥b，aα，bα，那么a∥α —— 如果α∥β，aα，那么α∥β —— 面面平行 如果aα，bα，cβ，dβ，a∥c，b∥d，a∩b=P，那么α∥β 如果aα，bα,a∩b=P,a∥β,b∥β，那么α∥β 如果α∥β，β∥γ，那么α∥γ 如果a⊥α，a⊥β，那么α∥β 條件 結(jié)論 線線垂直 線面垂直 面面垂直 平行關(guān)系 線線垂直 二垂線定理及逆定理 如果a⊥α，bα，那么a⊥b 如果三個(gè)平面兩兩垂直，那么它們交線兩兩垂直 如果a∥b，a⊥c，那么b⊥c 線面垂直 如果a⊥b，a⊥c，bα，cα，b∩c=P，那么a⊥α —— 如果α⊥β，α∩β=b，aα,a⊥b，那么a⊥β 如果a⊥α，b∥a，那么b⊥α 面面垂直 定義（二面角等于900） 如果a⊥α，aβ，那么β⊥α —— —— 一、平行與垂直 例1、如圖，已知三棱錐中，為中點(diǎn)，為中點(diǎn)，且△為正三角形。（Ⅰ）求證：∥平面； （Ⅱ）求證：平面平面； （Ⅲ）若，，求三棱錐的體積。 A B C A1 B1 C1 M N 例2. 如圖，已知三棱柱中，底面，，，，，分別是棱，中點(diǎn). （Ⅰ）求證：平面； （Ⅱ）求證：平面； （Ⅲ）求三棱錐的體積． 變式1. 如圖，三棱柱中，側(cè)棱平面，為等腰直角三角形，，且，分別是的中點(diǎn)。 （1）求證：平面； （2）求證：平面； （3）設(shè)，求三棱錐的體積。 變式2.如圖是以正方形為底面的正四棱柱被一平面所截得的幾何體，四邊形為截面，且，,， （Ⅰ）證明：截面四邊形是菱形； （Ⅱ）求幾何體的體積． 二、線面平行與垂直的性質(zhì) 例3.如圖4，在四棱錐中，平面平面，， 是等邊三角形，已知，． （1）求證：平面； （2）求三棱錐的體積． 例4、如圖，四棱錐P—ABCD中，平面ABCD，底面為 正方形，BC=PD=2，E為PC的中點(diǎn)， （I）求證：； （II）求三棱錐C—DEG的體積； （III）AD邊上是否存在一點(diǎn)M，使得平面MEG。若存在，求AM的長(zhǎng)；否則，說(shuō)明理由。 變式3. 直棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是直角梯形，∠BAD＝∠ADC＝90°，AB＝2AD＝2CD＝2. (Ⅰ)求證：AC平面BB1C1C；(Ⅱ) A1B1上是否存一點(diǎn)P，使得DP與平面BCB1與平面ACB1都平行？證明你的結(jié)論. 三、三視圖與折疊問(wèn)題 4 4 2 2 4 4 4 正視圖 側(cè)視圖 俯視圖 例5、如圖是一幾何體的直觀圖、正視圖、側(cè)視圖、俯視圖。 A B E P D C （1） 若為的中點(diǎn)，求證：面； （2） 證明：∥面； （3） 求三棱錐的體積。 例6.已知四邊形是等腰梯形，（如圖1）?，F(xiàn)將沿折起，使得（如圖2），連結(jié)。 （I）求證：平面平面； （II）試在棱上確定一點(diǎn)，使截面把幾何體分成兩部分的體積比； （III）在點(diǎn)滿(mǎn)足（II）的情況下，判斷直線是否平行于平面，并說(shuō)明理由。 圖1 圖2 變式4.一個(gè)四棱錐的直觀圖和三視圖如下圖所示，E為PD中點(diǎn). （I）求證：PB//平面AEC；（II）求四棱錐的體積； （Ⅲ）若F為側(cè)棱PA上一點(diǎn)，且，則為何值時(shí)，平面BDF. 變式5. 如圖1所示，正的邊長(zhǎng)為2a，CD是AB邊上的高，E，F(xiàn)分別是AC，BC的中點(diǎn)?，F(xiàn)將沿CD翻折，使翻折后平面ACD平面BCD（如圖2） （1）試判斷翻折后直線AB與平面DEF的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由； （2）求三棱錐C-DEF的體積。 四、立體幾何中的最值問(wèn)題 例7.圖4，A1A是圓柱的母線，AB是圓柱底面圓的直徑， C是底面圓周上異于A，B的任意一點(diǎn)，A1A= AB=2. (1)求證: BC⊥平面A1AC； (2)求三棱錐A1-ABC的體積的最大值. 圖4 A B C A1 例8. 如圖，在交AC于 點(diǎn)D,現(xiàn)將 （1）當(dāng)棱錐的體積最大時(shí)，求PA的長(zhǎng)； （2）若點(diǎn)P為AB的中點(diǎn)，E為 變式6. 如圖3，已知在中，，平面ABC，于E，于F，，，當(dāng)變化時(shí)，求三棱錐體積的最大值。 圖3 專(zhuān)題升級(jí)訓(xùn)練　立體幾何（1） (時(shí)間：60分鐘　滿(mǎn)分：100分) 一、選擇題(本大題共8小題，每小題5分，共40分) 1．下列四個(gè)幾何體中，每個(gè)幾何體的三視圖中有且僅有兩個(gè)視圖相同的是(　　)． A．①② B．①③ C．③④ D．②④ 2．用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)一個(gè)水平放置的平面圖形的直觀圖為如圖所示的一個(gè)正方形，則原來(lái)的圖形是(　　)． 3．在一個(gè)幾何體的三視圖中，正(主)視圖和俯視圖如圖所示，則相應(yīng)的側(cè)(左)視圖可以為(　　)． 　 4．(2020·北京豐臺(tái)區(qū)三月模擬，5)若正四棱錐的正(主)視圖和俯視圖如圖所示，則該幾何體的表面積是(　　)． A．4 B．4＋4 C．8 D．4＋4 5．(2020·浙江寧波十校聯(lián)考，12)已知某幾何體的三視圖如圖所示，其中側(cè)(左)視圖是等腰直角三角形，正視圖是直角三角形，俯視圖ABCD是直角梯形，則此幾何體的體積為(　　)． A．1 B．2 C．3 D．4 6．(2020·山東濟(jì)南三月模擬，8)若一個(gè)螺栓的底面是正六邊形，它的正(主)視圖和俯視圖如圖所示，則它的體積是(　　)． A．27＋12π B．9＋12π C．27＋3π D．54＋3π 7．(2020·浙江寧波模擬，13)已知一個(gè)正三棱錐的正(主)視圖為等腰直角三角形，其尺寸如圖所示，則其側(cè)(左)視圖的周長(zhǎng)為(　　)． A．5＋ B．5＋6 C．6＋6 D．3＋12 8．長(zhǎng)方體的三條棱長(zhǎng)分別為1，，，則此長(zhǎng)方體外接球的體積與面積之比為(　　)． A． B．1 C．2 D． 二、填空題(本大題共4小題，每小題4分，共16分) 9．(2020·浙江寧波十校聯(lián)考，15)已知兩個(gè)圓錐有公共底面，且兩圓錐的頂點(diǎn)和底面圓周都在半徑為3的同一個(gè)球面上．若兩圓錐的高的比為1∶2，則兩圓錐的體積之和為_(kāi)_________． 10．(2020·江蘇南京二模，11)一塊邊長(zhǎng)為10 cm的正方形鐵片按如圖所示的陰影部分裁下，然后用余下的四個(gè)全等的等腰三角形作側(cè)面，以它們的公共頂點(diǎn)P為頂點(diǎn)，加工成一個(gè)如圖所示的正四棱錐容器，當(dāng)x＝6 cm時(shí)，該容器的容積為_(kāi)_________cm3. 11．如圖，直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝1，BC＝2，AC＝，AA1＝3，M為線段BB1上的一動(dòng)點(diǎn)，則當(dāng)AM＋MC1最小時(shí)，△AMC1的面積為_(kāi)_________． 12．(2020·浙江湖州中學(xué)模擬，16)底面邊長(zhǎng)為1，側(cè)棱長(zhǎng)為2的正四棱柱ABCD－A1B1C1D1的8個(gè)頂點(diǎn)都在球O的表面上，E是側(cè)棱AA1的中點(diǎn)，F(xiàn)是正方形ABCD的中心，則直線EF被球O所截得的線段長(zhǎng)為_(kāi)_________． 三、解答題(本大題共4小題，共44分．解答應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟) 13．(本小題滿(mǎn)分10分)如圖，已知某幾何體的三視圖如下(單位：cm)． (1)畫(huà)出這個(gè)幾何體的直觀圖(不要求寫(xiě)畫(huà)法)； (2)求這個(gè)幾何體的表面積及體積． 14．(本小題滿(mǎn)分10分)斜三棱柱ABC－A1B1C1的底面是邊長(zhǎng)為a的正三角形，側(cè)棱長(zhǎng)等于b，一條側(cè)棱AA1與底面相鄰兩邊AB，AC都成45°角． (1)求這個(gè)三棱柱的側(cè)面積； (2)求這個(gè)三棱柱的體積． 15．(本小題滿(mǎn)分12分)(2012·安徽安慶二模，18)如圖，幾何體ABC－EFD是由直三棱柱截得的，EF∥AB，∠ABC＝90°，AC＝2AB＝2，CD＝2AE＝. (1)求三棱錐D－BCE的體積； (2)求證：CE⊥DB． 16．(本小題滿(mǎn)分12分)(2020·河北邯鄲一模，19)已知四棱錐E－ABCD的底面為菱形，且∠ABC＝60°，AB＝EC＝2，AE＝BE＝，O為AB的中點(diǎn)． (1)求證：EO⊥平面ABCD； (2)求點(diǎn)D到平面AEC的距離． 1．下圖是一個(gè)幾何體的直觀圖及它的三視圖(其中正(主)視圖為直角梯形，俯視圖為正方形，側(cè)(左)視圖為直角三角形，尺寸如圖所示)． (1)求四棱錐P－ABCD的體積； (2)若G為BC的中點(diǎn)，求證：AE⊥PG. 2．有一根長(zhǎng)為3π cm，底面半徑為2 cm的圓柱形鐵管，用一段鐵絲在鐵管上纏繞2圈，并使鐵絲的兩個(gè)端點(diǎn)落在圓柱的同一母線的兩端，則鐵絲的最短長(zhǎng)度為多少？ 3．如圖，AA1，BB1為圓柱OO1的母線，BC是底面圓O的直徑，D，E分別是AA1，CB1的中點(diǎn)，DE⊥平面CBB1. (1)證明：DE∥平面ABC； (2)求四棱錐C－ABB1A1與圓柱OO1的體積比． 4．如圖所示，平面ABCD⊥平面ABEF，ABCD是正方形，ABEF是矩形，且AF=AD=2，G是EF的中點(diǎn)． (1)求證：平面AGC⊥平面BGC； (2)求三棱錐A－GBC的體積． 5．已知正四面體ABCD(圖1)，沿AB，AC，AD剪開(kāi)，展成的平面圖形正好是(圖2)所示的直角梯形A1A2A3D(梯形的頂點(diǎn)A1，A2，A3重合于四面體的頂點(diǎn)A)． (1)證明：AB⊥CD； (2)當(dāng)A1D＝10，A1A2＝8時(shí)，求四面體ABCD的體積． 6．如圖，已知三棱錐P－ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥AC，PA=AC=AB，N為AB上一點(diǎn)，AB=4AN，M，D，S分別為PB，AB，BC的中點(diǎn)． (1)求證：PA∥平面CDM； (2)求證：SN⊥平面CDM. 7．如圖，在三棱柱ABC－A1B1C1中，側(cè)棱與底面垂直，∠ABC=90°，AB=BC=BB1=2，M，N分別是AB，A1C的中點(diǎn)． (1)求證：MN∥平面BCC1B1； (2)求證：MN⊥平面A1B1C； (3)求三棱錐M－A1B1C的體積． 8．一個(gè)多面體的直觀圖和三視圖如圖所示，其中M，G分別是AB，DF的中點(diǎn)． (1)求證：CM⊥平面FDM； (2)在線段AD上(含A，D端點(diǎn))確定一點(diǎn)P，使得GP∥平面FMC，并給出證明． 參考答案 1．解：(1)由幾何體的三視圖可知，底面ABCD是邊長(zhǎng)為4的正方形，PA⊥面ABCD，PA∥EB，且PA＝4，BE＝2，AB＝AD＝CD＝CB＝4，所以VP－ABCD＝PA·S正方形ABCD＝×4×4×4＝. (2)證明：連接BP. 因?yàn)椋剑?，∠EBA＝∠BAP＝90°， 所以△EBA∽△BAP，所以∠PBA＝∠AEB， 所以∠PBA＋∠BAE＝∠BEA＋∠BAE＝90°， 所以PB⊥AE. 由題易證BC⊥平面APEB， 所以BC⊥AE. 又因?yàn)镻B∩BC＝B， 所以AE⊥平面PBC， 因?yàn)镻G?平面PBC，所以AE⊥PG. 2．解：把圓柱側(cè)面及纏繞其上的鐵絲展開(kāi)，在平面上得到矩形ABCD(如圖)，由題意知BC＝3π cm，AB＝4π cm，點(diǎn)A與點(diǎn)C分別是鐵絲的起、止位置，故線段AC的長(zhǎng)度即為鐵絲的最短長(zhǎng)度．AC＝＝5π(cm)， 故鐵絲的最短長(zhǎng)度為5π cm. 3．(1)證明：連接EO，OA. ∵E，O分別為B1C，BC的中點(diǎn)， ∴EO∥BB1. 又DA∥BB1，且DA=EO=BB1. ∴四邊形AOED是平行四邊形， 即DE∥OA.又DE平面ABC，AO?平面ABC，∴DE∥平面ABC. (2)解：由題意知DE⊥平面CBB1，且由(1)知DE∥OA， ∴AO⊥平面CBB1，∴AO⊥BC， ∴AC=AB.因BC是底面圓O的直徑，得CA⊥AB.而AA1⊥CA，AA1∩AB=A，∴CA⊥平面AA1B1B，即CA為四棱錐的高． 設(shè)圓柱高為h，底面半徑為r， 則V柱=πr2h，V錐=h(r)·(r)=hr2， ∴V錐∶V柱=. 4．(1)證明：∵G是矩形ABEF的邊EF的中點(diǎn)， ∴AG＝BG＝＝2， 從而得：AG2＋BG2＝AB2，∴AG⊥BG. 又∵平面ABCD⊥平面ABEF，平面ABCD∩平面ABEF＝AB，且BC⊥AB， ∴BC⊥平面ABEF.∵AG?平面ABEF，∴BC⊥AG. ∵BC∩BG＝B，∴AG⊥平面BGC， ∵AG?平面AGC， ∴平面AGC⊥平面BGC. (2)解：由(1)得：BC⊥平面ABEF， ∴CB是三棱錐A－GBC的高， 而S△ABG＝×2×2＝4， ∴VA－GBC＝VC－ABG＝×4×4＝. 5．(1)證明：在四面體ABCD中， ∵?AB⊥平面ACD?AB⊥CD. (2)解：在題圖2中作DE⊥A2A3于E. ∵A1A2=8， ∴DE=8. 又∵A1D=A3D=10， ∴EA3=6，A2A3=10+6=16. 又A2C=A3C，∴A2C=8. 即圖1中AC=8，AD=10， 由A1A2＝8，A1B＝A2B得題圖1中AB＝4. ∴S△ACD＝＝DE·A3C＝×8×8＝32. 又∵AB⊥面ACD， ∴VB－ACD＝×32×4＝. 6．證明：(1)在三棱錐P－ABC中，因?yàn)镸，D分別為PB，AB的中點(diǎn)，所以MD∥PA. 因?yàn)镸D?平面CMD，PA平面CMD，所以PA∥平面CMD. (2)因?yàn)镸，D分別為PB，AB的中點(diǎn)，所以MD∥PA. 因?yàn)镻A⊥平面ABC，所以MD⊥平面ABC， 又SN?平面ABC，所以MD⊥SN. 在△ABC中，連接DS，因?yàn)镈，S分別為AB，BC的中點(diǎn)， 所以DS∥AC且DS＝AC. 又AB⊥AC，所以∠ADS＝∠BAC＝90°. 因?yàn)锳C＝AB，所以AC＝AD， 所以∠ADC＝45°，因此∠CDS＝45°. 又AB＝4AN，所以DN＝AD＝AC， 即DN＝DS，故SN⊥CD. 又MD∩CD＝D，所以SN⊥平面CMD. 7．(1)證明：連接BC1，AC1.由題知點(diǎn)N在AC1上且為AC1的中點(diǎn)．∵M(jìn)是AB的中點(diǎn)， ∴MN∥BC1. 又∵M(jìn)N平面BCC1B1，∴MN∥平面BCC1B1. (2)證明：∵三棱柱ABC－A1B1C1中，側(cè)棱與底面垂直， ∴四邊形BCC1B1是正方形， ∴BC1⊥B1C，∴MN⊥B1C. 連接A1M，由∠ABC=∠MAA1=90°，BM=AM，BC=AA1得△AMA1≌△BMC.∴A1M=CM.又N是A1C的中點(diǎn)，∴MN⊥A1C. ∵B1C與A1C相交于點(diǎn)C，∴MN⊥平面A1B1C. (3)解：由(2)知MN是三棱錐M－A1B1C的高．在直角△MNC中，，，∴. 又，∴=MN·=. 8．證明：由三視圖可得直觀圖為直三棱柱且底面ADF中AD⊥DF，DF=AD=a. (1)∵FD⊥平面ABCD，CM?平面ABCD， ∴FD⊥CM. 在矩形ABCD中，CD=2a，AD=a，M為AB中點(diǎn)，DM=CM=a，∴CM⊥DM. ∵FD?平面FDM，DM?平面FDM，F(xiàn)D∩DM=D，∴CM⊥平面FDM. (2)點(diǎn)P在A點(diǎn)處． 證明：取DC中點(diǎn)S，連接AS，GS，GA， ∵G是DF的中點(diǎn)，∴GS∥FC. 又AS∥CM，AS∩AG=A， ∴平面GSA∥平面FMC.而GA?平面GSA， ∴GP∥平面FMC. 參考答案 一、選擇題 1．D　解析：圖①的三種視圖均相同；圖②的正(主)視圖與側(cè)(左)視圖相同；圖③的三種視圖均不相同；圖④的正(主)視圖與側(cè)(左)視圖相同． 2．A　解析：由直觀圖可知，在直觀圖中多邊形為正方形，對(duì)角線長(zhǎng)為，所以原圖形為平行四邊形，位于y軸上的對(duì)角線長(zhǎng)為2，故選A. 3．D　解析：由題目所給的幾何體的正(主)視圖和俯視圖，可知該幾何體為半圓錐和三棱錐的組合體，如圖所示： 可知側(cè)(左)視圖為等腰三角形，且輪廓線為實(shí)線，故選D. 4．B 5．D　解析：由三視圖可得該幾何體是四棱錐，記為棱錐P－ABCD，且PD⊥底面ABCD. 從而此幾何體的體積為××2×2＝4. 6．C　解析：該螺栓是由一個(gè)正六棱柱和一個(gè)圓柱組合而成的， V總＝V正六棱柱＋V圓柱＝×32×6×2＋π×12×3＝27＋3π. 7．A　解析：由正(主)視圖可知正三棱錐的底邊長(zhǎng)為6，高為3，從而可得側(cè)棱長(zhǎng)為.而側(cè)(左)視圖是一個(gè)三角形，三條邊分別是底面正三角形的高、側(cè)棱和側(cè)面等腰三角形底邊上的高，其長(zhǎng)度依次為3，和2，故側(cè)(左)視圖的周長(zhǎng)為5＋. 8．D 二、填空題 9．16π　解析：設(shè)兩圓錐的高分別為h,2h，圓錐的底面圓半徑為r，則r2＝2h2. 又球的半徑R＝＝3，則h＝2. 故兩圓錐的體積之和為V＝πr2(2h＋h)＝πr2h＝2πh3＝16π. 10．48 11．　解析：將直三棱柱沿側(cè)棱A1A剪開(kāi)，得平面圖形如圖所示，A′C1為定長(zhǎng)，當(dāng)A，M，C1共線時(shí)AM＋MC1最短，此時(shí)AM＝，MC1＝2. 又在原圖形中AC1＝，易知∠AMC1＝120°， ∴＝××2×sin 120°＝. 12．　解析：O，E，F(xiàn)三點(diǎn)在平面ACC1A1內(nèi)，且矩形ACC1A1的外接圓是球的一個(gè)大圓． 又EF∥A1C，設(shè)A到直線A1C的距離為d，則＝，得d＝，故圓心O到直線EF的距離為. 又球的半徑為，故直線EF被球O所截得的線段長(zhǎng)為2＝. 三、解答題 13．解：(1)這個(gè)幾何體的直觀圖如圖所示． (2)這個(gè)幾何體可看成是正方體AC1及直三棱柱B1C1Q－A1D1P的組合體． 由PA1＝PD1＝，A1D1＝AD＝2，可得PA1⊥PD1. 故所求幾何體的表面積S＝5×22＋2×2×＋2××()2＝22＋4(cm2)． 所求幾何體的體積V＝23＋×()2×2＝10(cm3)． 14．解：(1)由題可知AA1⊥BC，S側(cè)＝SBCC1B1＋2SABB1A1＝(1＋)ab. (2)設(shè)O為A1在平面ABC內(nèi)的射影，則由題可知O在∠BAC的平分線上，可得AO＝(b·cos 45°)÷cos 30°＝b，則斜三棱柱的高A1O＝b，所以三棱柱的體積V＝·＝. 15．(1)解：BC2＝AC2－AB2＝3?BC＝. 幾何體ABC－EFD是由直三棱柱截得，由圖可知DC⊥平面ABC， ∴DC⊥AB. 又∵∠ABC＝90°，∴AB⊥BC.∴AB⊥平面BDC. 又EF∥AB，∴EF⊥平面BCD. 故VD－BCE＝VE－BCD＝S△BCD·EF＝××××1＝. (2)證明：連接CF. 依題意???EF⊥BD.① 又在Rt△BCF和Rt△CDB中， ＝＝，＝＝?＝ ?Rt△BCF∽R(shí)t△CDB?∠BDC＝∠BCF?∠BDC＋∠DCF＝∠BCF＋∠DCF＝90°?CF⊥BD.② 由①②?BD⊥平面CEF. 又CE?平面CEF，∴BD⊥CE. 16．(1)證明：連接CO. ∵AE＝EB＝，AB＝2，∴△AEB為等腰直角三角形． ∵O為AB的中點(diǎn)，∴EO⊥AB，EO＝1. 又∵四邊形ABCD是菱形，∠ABC＝60°， ∴△ACB是等邊三角形，∴CO＝. 又EC＝2，∴EC2＝EO2＋CO2，∴EO⊥CO. 又CO?平面ABCD，EO平面ABCD，∴EO⊥平面ABCD. (2)解：設(shè)點(diǎn)D到平面AEC的距離為h. ∵AE＝，AC＝EC＝2，∴S△AEC＝. ∵S△ADC＝，E到平面ACB的距離EO＝1，VD－AEC＝VE－ADC， ∴S△AEC·h＝S△ADC·EO，∴h＝， ∴點(diǎn)D到平面AEC的距離為.